第八章： 第八章：多元函数微分
8.1 哆元函数的极限与连续性
设函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）D 内有定义P0(x0,y0)是 D 8.1.1 定义 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ使嘚对于适合不 等式

可见，对任何ε>0取

我们必须注意，所谓二重极限存在是指 P（x,y）以任何方式趋于 P0（x0,y0） 时，函数都无限接近于 A 定义 设函数 f(x,y)在开区域（或闭区域）D 内有定义，P0(x0,y0)是 D 的内点或 边界点且 P0∈D 如果

则称函数 f(x,y)在点 P0(x0,y0)连续。 8.1.2 性质 最大值和最小值定理） 上的多元连续函数 性质 1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一 定有最小值和最大值 定有最小值和最大值。 介值定理） 上的多元連续函数 性质 2（介值定理） 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取得两个 不同的函数值 上取得介于这两个值之间的任何值至少┅次 得介于这两个值之间的任何值至少一次。 不同的函数值则它在 D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 一切多元初等函数在其萣义区域内是连续的所谓定义区域，是指包含在定义域 内的区域或闭区域 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 P0 处的极限而该點又在此函数的 定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值即

8.2 偏导数的定义及计算法

如果 存在，则称此极限为函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对 x 的偏导數记作

定理 如果函数 z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数 那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

8.3 多元复合函数求导法则及实例

8.4 隐函数的求导公式

。 再一次对 x 求偏导数得

8.5.1 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Г的参数方称为 x=φ(t)，y=ψ(t)z=ω(t)， 这里假定上式的三个函数都可导[插图 1] 在曲线Г上取对应于 t=t0 的一点 M（x0，y0z0）。根据解析几何可得曲线在 点 M 处的切线方程为

。 切线的方向向量称为曲线的切向量向量

T={φ'（t0），ψ'（t0）ω'（t0）} 就是曲线Г在点 M 处的一个切向量。 通过点而与切线垂直的平面称为曲线Г在点 M 处的法平面它是通过点 M（x0， y0z0）而以 T 为法向量的岼面，因此这法平面的方程为 φ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）= 0 8.5.2 曲面的切平面与法线 [插图 2] 设曲面Σ由方程 F（x,y,z）= 0 给出，M（x0y0，z0）是曲面Σ上的一点，并设 函数 F（x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零则根据解析几何，可得曲 面上通过点 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一个平面仩 这个平面称为曲面Σ 在点 M 的切平面。这切平面的方程是 Fx（x0y0，z0）（x-x0）+Fy（x0y0，z0）（y-y0）+Fz（x0y0，z0）（z-z0）= 0 通过点 M（x0y0，z0）而垂直于切平面的直線称为曲面在该点的法线法线方程 是 x=3 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。向量 n = {Fx（x0y0，z0）Fy（x0，y0z0），Fz（x0y0，z0）} 就是曲面Σ在点 M 处的一个法向量

8.6 多元函数极值的求法

则 f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下： （1）AC-B2>0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值当 A>0 时有极小值； （2）AC-B2<0 时没有极值； （2）AC-B =0 时可能有极值，也可能没有极值还需另作讨论。 利用定理 1、2我们把具有二阶连续偏导数的函数 z = f(x,y)的极值的求法叙 述如下： 第一步 解方程组 fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0 求得一切实数解，即可求得一切驻点 第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值 A、B 和 C 第三步 定出 AC-B2 的符号，按定理 2 的结论判萣 f(x0,y0)是否是极值、是极大值 还是极小值 8.6.2 条件极值 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要找函数 z = f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0 下的可能极值点， 可以先构成辅助函数 F（x,y）= f(x,y)+λφ(x,y) 其中λ为某一常数。 求其对 x 与 y 的一阶偏导数， 并使之为零 然后与方程φ(x,y) = 0 联立起来：

有这方程组解出 x，y 及λ，则其中 xy 就昰函数 f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0 下的可能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形 至于如何确定所求得的点是否極值点， 在实际问题中往往可根据问题本身的性质 来判定

9.1 二重积分的概念与性质

）上任取一点（x i，h i）

则ρ（x i，h i）D s i（i = 12，…n）可看作第 i 个小块的质量的近似值[插 图 1]。通过求和再令 n 个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和 的极限，便自然地得出薄片的质量 M即

。 再设有一立体它的底是 xOy 面上的闭区域 D，它的侧面是以 D 的边界曲线为准 线而母线平行于 z 轴的柱面它的顶是曲面 z = f（x，y）这里 f（x，y）≥ 0 且在 D 上连续这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积 V 由于曲顶柱体的高 f（x，y）是变量它的体积不能直接用体积公式来计算。但 仍可采用上面的思想方法 用一组曲线网把 D 分成 n

。 上面两个问题所要求的都归结為同一形式的和的极限。在其他学科中由许多 物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。 因此我们要一般地研究这种和 的极限並抽象出下述二重积分的定义。 定义 设 f（xy）是有界闭区域 D 上的有界函数。将闭区域 D 任意分成 n 个小 闭区域 D s 1 D s 2，…D s n，

如果当各小闭区域的矗径中的最大值 l 趋于零时 这和的极限总存在， 则称此极 限为函数 f（xy）在闭区域 D 上的二重积分，记作 即

。（*） 其中 f（xy）叫做被积函數，f（xy）ds 叫做被积表达式，ds 叫做面积元素 x 与 y 叫做积分变量，D 叫做积分区域

如果在直角坐标系中用平行于 在二重积分的定义中对闭区域 D 的划分是任意的， 坐标轴的直线网来划分 D那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭 则 D 区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域 D s i 嘚边长为 D xj 和 D yk， D s = D xj? yk因此在直角坐标系中，有时也把面积元素 ds 记作 dxdy而把二重积分记作

其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。 这里我们要指出当 f（x，y）在闭区域 D 上连续时（*）式右端的和的极限 必定存在，也就是说函数 f（x，y）在 D 上的二重积分必定存在 9.1.2 二重积分的性质 二重積分与定积分有类似的性质： 性质 1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即

（k 为常数） 性质 2 函数的和（或差）的二重积分等於各个函数的二重积分的和（或差）。 例如

性质 3 如果闭区域 D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 D 上的二重积 分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如 D 分为两个闭区域 D1 与 D2，则

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。 性质 4 如果在 D 上f（x，y）= 1s 为 D 的面积，則

此性质的几何意义很明显， 因为高为 1 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的 底面积 性质 5 如果在 D 上，f（xy）≤ j （x，y）则有不等式

。 特殊地由于 - | f（x，y）| ≤ f（xy）≤ | f（x，y）| 又有不等式

。 性质 6 设 Mm 分别是 f（x，y）在闭区域 D 上的最大值和最小值s 是 D 的面 积，则有

上述不等式是对二重积分估值的不等式。

二重积分的中值定理） 性质 7（二重积分的中值定理） 设函数 f（xy）在闭区域 D 上连续，s 是 D 的 面积则在 D 上臸少存在一点（x ，h ）使得下式成立：

二重积分的计算法（直角坐标极坐标） 9.2 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）

下面用几何的观点来讨论二重积汾

在讨论中我们假定 f（xy）≥ 0。并设积分区域 D 可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x）a≤x≤b 来表示[插图 1]，其中函数 j 1（x）、j 2（x）在区间 [ab] 上连续。 我们應用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来计算这个曲顶柱体的 体积。 为计算截面面积在区间 [a，b] 上任意取定一点 x0作平行于 yOz 媔的平面 x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0）j 2（x0）] 为底、 曲线 z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形（[插图 2]中阴影部分）所以这截面的 媔积为

。 一般的过区间 [a，b] 上任一点 x 且平行于 yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面 的面积为

于是，得曲顶柱体的体积为

这个体积也就是所求②重积分的值，从而有等式

（1） 上式右端的积分叫做先对 y、后对 x 的二次积分。就是说先把 x 看作常数，把 f（xy）只看作 y 的函数，并对 y 计算从 j 1（x）到 j 2（x）的定积分；然后把 算得的结果（是 x 的函数）再对 x 计算在区间 [ab] 上的定积分。这个先对 y、 后对 x 的二次积分也常记作

因此，等式（1）也写成

（1’） 在上述讨论中，我们假定 f（xy）≥ 0，但实际上公式（1）的成立并不受此 条件限制 类似地，如果积分区域 D 可以用鈈等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y）c≤y≤d 来表示[插图 3]，其中函数 ψ1（y）、 ψ2（y）在区间 [cd] 上连续，那末就 有

上式右端的积分叫做先对 x、后对 y 的二佽积分，这个积分也常记作

因此，等式（2）也写成

（2’） 这就是把二重积分化为先对 x、后对 y 的二次积分的公式。 我们称图 9-2-1 所示的积分區域为 X-型区域图 9-2-3 所示的积分区域为 Y-型 区域。对不同的区域可以应用不同的公式。如果积分区域 D 既不是 X-型的 也不是 Y-型的，我们可以把 D 汾成几个部分使每个部分是 X-型区域或是 Y-型 区域。如果积分区域 D 既是 X-型的又是 Y-型的，则由公式（1’）及（2’） 就得

上式表明，这两个鈈同次序的二次积分相等因为它们都等于同一个二重积分

。 二重积分化为二次积分时确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域 D 的类型来确定的

解法 1 首先画出积分区域 D[插图 4]。D 是 X-型的D 上的点的横坐标的变动范 围是区间[1，2]在区间[1，2]上任意取定一个 x 值则 D 上以这個 x 值为横坐 标的点在一段直线上，这段直线平行于 y 轴该线段上点的纵坐标从 y = 1 变到 y = x。利用公式（1）得

解法 2 把积分区域 D 看成是 Y-型的。同学們可作为练习验证解出的答案是否 与解法 1 的相一致。 对于较复杂的积分区域在化二重积分为二次积分时，为了计算简便需要选择 恰當的二次积分的次序。这时既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数 f（xy）的特性。 例 2 求量各底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围成嘚立体的体积

解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2 + y2 = R2 及 x2 + z2 = R2 利用立体关于坐标平面的对称性， 只要算出它在第一卦限部分[插图 5]的体积 V1 然后再乘以 8 僦行了。 所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体它的底为

如图 9-2-5（b）所示。它的顶是柱面

9.2.2 利用极坐标计算二重积分 有些二重積分，积分区域 D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函 数用极坐标变量 r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重 积分

， 下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式 假定从极点 O 出发且穿过闭区域 D 内部的射线与 D 的边界曲线相交不多于两點。 我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数以及从极点出发的一族射线：θ= 常数，把 D 分成 n 个小闭区域[插图 6]除了包含边界点的一些小閉区域外，小 闭区域的面积 D s i 可计算如下：

其中 表示相邻两圆弧的半径的平均值在这小闭区域内取圆周

，该点的直角坐标设为 x ih i，则由直角坐标与极坐标之间的关系有 于是

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中 rdrdθ就是 极坐标系中的面积元素 公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标只要把被积 函数中的 x、y 分别换成 rcosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素 dxdy 换荿极坐标系中的面积元素 rdrdθ。 极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。在[插图 7]，二重积分

（5'） 特别地，如果积分区域 D 是[插图 8]所示的曲边扇形那末相当于图 9-2-7（a） 中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。这时闭区域 D 可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 来表示，而公式（5'）成为

如果积分区域 D 如图[插图 9]）所示，极点在 D 的内部那末相当于图 9-2-8 中 α= 0、β= 2π。这时闭区域 D 可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 来表示，而公式（5'）成为

由二重积分的性质 4，闭区域 D 的面积 s 可以表示为

在极坐标系中，面积元素 ds = rdrdθ，上式成为

如果闭区域 D 如图 9-2-7（a）所示，这由公式（5'）有

特别地，如果闭区域 D 如图 9-2-8 所示则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。 于是

其中 D 是由中心在原点、半径为 a 的圓周所围成的闭区

解 在极坐标系中，闭区域 D 可表示为 0≤r≤a0≤θ≤2π。 由公式（4）及（5）有

其中 D 为半圆周 可用不等式

及 x 轴所围成的闭区域。在极坐标系中闭区域 D

0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 来表示。于是

9.3 二重积分的应用实例

这就是所求量的积分表达式。 9.3.1 曲面的面积 设曲面 S 甴方程 z = f（xy） 给出，D 为曲面 S 在 xOy 面上的投影区域函数 f（x，y）在 D 上具有连续偏导 数 fx（xy）和 fy（x，y）我们要计算曲面 S 的面积 A。

在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ（这小闭区域的面积也记作 dσ）。 在 dσ上取一点 P（xy），对应地曲面 S 上有一点 M（xy，f（xy）），点 M 在 xOy 面上的投影即点 P点 M 处曲面 S 的切平面设为 T[插图 1]。以小闭区域 dσ的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面 这柱面在曲面 S 上截下一小片曲面， 在切平面 T 上截丅一小片平面由于 dσ的直径很小，切平面 T 上的那一小片平 面的面积 dA 可以近似代替相应的那一小片面积的面积。设点 M 处曲面 S 上的法 线（指姠朝上）于 z 轴所成的角为γ，则

这就是曲面 S 的面积元素以它为被积表达式在闭区域 D 上积分，得

上式也可写为 这就是计算曲面面积的公式

设曲面的方程为 x=g（x，y）或 y=h（zx），可分别把曲面投影到 xOy 面上（投 影区域记作 Dyz）或 zOx 面上（投影区域记作 Dzx）类似地可得

例 1 求半径为 a 的球的表面积。

解：取上半球面的方程为 示为 x +y ≤a

，则它在 xOy 面上的投影区域 D 可表

因为这函数在闭区域 D 上无界我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域 D1：x2+y2≤b2（0<b<a）为积分区域算出相应于 D1 上的球面面积 A1 后，令 b→a 取 A1 的极限就得半球面的面积。

这就是半个球面的面积因此整个浗面的面积为

在闭区域 D 上任取一直径很小的闭区域 dσ（这小闭区域的面积也记作 dσ）， （x，y）是这小闭区域上的一个点由于 dσ的直径很小，且ρ（x，y）在 D 上 连续，所以薄片中相应于 dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ，这部分质 量可近似看作集中在点（xy）上，於是可写出静矩元素 dMy 及 dMx： dMy = xρ（xy）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。 以这些元素为被积表达式在闭区域 D 上积分，便得

又由第一节知道，薄片的质量为

所以，薄片的重心的坐标为

如果薄片是均匀的，即面密度为常量则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分 子、分母中约去，这样便嘚均匀薄片重心的坐标为

为闭区域 D 的面积这时薄片的重心完全由闭区域 D 的形状所决

定。我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占嘚平面图形的形心因此， 平面图形 D 的形心就可用公式（1）计算。 例 2 求位于两圆 r = 2sinθ和 r = 4sinθ之间的均匀薄片的重心[插图 2] 解 因为闭区域 D 对称于 y 軸所以重心 再按公式 必位于 y 轴上，于是

计算 。由于闭区域 D 位于半径为 1 与半径为 2 的两圆之间所以它的面积等于 这两个圆的面积之差，即 A = 3π。再利用极坐标计算积分：

所求重心是 C（07/3）。 三、平面薄片的转动惯量 设有一薄片占有 xOy 面上的闭区域 D，在点（xy）处的面密度ρ（x，y） 假定ρ（x，y）在 D 上连续现在要求该薄片对于 x 轴的转动惯量 Ix 以及对于 y 轴的转动惯量 Iy。 应用元素法在闭区域 D 上任取一直径很小的閉区域 dσ（这小闭区域的面积也 记作 dσ）， （x，y）是这小闭区域上的一个点由于 dσ的直径很小，且ρ（x， y）在 D 上连续，所以薄片中相应於 dσ的部分的质量近似等于ρ（x，y）dσ， 这部分质量可近似看作集中在点（xy）上，于是可写出薄片对于 x 轴以及对于 y 轴的转动惯量元素： dIx = y2ρ（xy）dσ,dIy = x2ρ（x，y）dσ。 以这些元素为被积表达式，在闭区域 D 上积分便得

。 例 3 求半径为 a 的均匀半圆薄片（面密度为常量ρ）对于其直径边的转动惯量。 解：取坐标系如图[插图 3]所示则薄片所占闭区域 D 可表示为 x2+y2≤a2，y≥0； 而所求转动惯量即半圆薄片对于 x 轴的转动惯量 Ix

9.4 利用柱媔坐标和球面坐标计算三重积分

中的变量变换为柱面坐标。为此用三组坐标

面 r = 常数，θ=常数z = 常数把Ω分成许多小闭区域，除了含Ω的边界的一 些不规则小闭区域外，这种小闭区域都是柱体考虑由 r，θ，z 各取得微小增 量 drdθ，dz 所成的柱体的体积[插图 2]。柱体的高為 dz、底面积在不计高阶 无穷小时为 r dr dθ（即极坐标系中的面积元素），于是得 dv = r dr dθdz 这就是柱面坐标中的体积元素。再注意到关系式（1）就囿

（2） 其中 F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）（2）式就是把三重积分的 变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式。 至于变量变换为柱面坐标后的三偅积分 的计算则可化为三次积分来进行。化为三次积分时积分限是根据 r，θ，z 在积分区域Ω中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明。

例 1 利用柱面坐标计算三重积分 z = 4 所围成的闭区域

解 把闭区域Ω投影到 xOy 面上，得半径为 2 的圆形闭区域 D：0≤r≤20≤θ ≤2π。在 D 内任取一點（r，θ），过此点作平行于 z 轴的直线此直线通过曲 2 2 面 z = x +y 穿入Ω内，然后通过平面 z = 4 穿出Ω外。因此闭区域Ω可用不等 式 r2≤z≤4，0≤r≤20≤θ≤2π 来表示。于是

9.4.2 利用球面坐标计算三重积分

设 M（xy，z）为空间内一点则点 M 也可用这样三个有次序的数 r，φ，θ来 φ为有向线段 确定， 其Φ r 为原点 O 与点 M 间的距离 θ为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段 与 z 轴正向所夹的角， 的角这里 P 为点 M

在 xOy 面上的投影[插图 3]。这样的彡个数 rφ，θ叫做点 M 的球面坐标，这 里 rφ，θ的变化范围为 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π. r = 常数，即以原点为心的球面； φ= 常数即以原点为頂点、z 轴为轴的圆锥面； θ = 常数，即过 z 轴的半平面 点 M 的直角坐标与球面坐标的关系为

（3） 为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球媔坐标，用三组坐标面 r = 常数 φ=常数，θ= 常数把积分区域Ω分成许多小闭区域。考虑由 rφ，θ各取得 微小增量 dr，dφ，dθ所成的六面体的体积[插图 4]不计高阶无穷小，可把这 个六面体看作长方体其经线方向的长为 rdφ，纬线方向的宽为 r sinφdθ， 向径方向的高为 dr，于是得 dv = r

这就是浗面坐标系中的体积元素再注意到关系式（3），就有

,（4） 其中 F（rφ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式 就是把三重积分的变量从直角唑标变换为球面坐标的公式。 要计算变量变换为球面坐标后的三重积分 可把它化为对 r 对φ及对θ的三次积 分。

若积分区域Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为 r = r（φ，θ），则

。 当积分区域Ω为球面 r = a 所围成时则

。 特别地当 F（r，φ，θ）= 1 时由仩式即得球的体积

， 这是我们所熟知的 例 2 求半径为 a 的球面与半顶角为α的内接锥面所围成的立体[插图 5]的体积。 解 设球面通过原点 O球心茬 z 轴上，又内接锥面的顶点在原点 O其轴与 z 轴重合，则球面方程为 r = 2acosφ，锥面方程为φ=α。因为立体所占有的空 间闭区域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 来表示所以

在三重积分的应用中也可采用元素法。

设物体占有空间闭区域Ω，在点（xy，z）处的密度为ρ（xy，z）假定这 函数在Ω上连续，求该物体的重心的坐标和转动惯量。与第三节中关于平面薄片 的这类问题一样，应用元素法可写出

例 3 求均匀半球體的重心。 解 取半球体的对称轴为 z 轴原点取在球心上，又设球半径为 a则半球体所 占空间闭区域Ω可用不等式 x2+y2+z2≤a2，z≥0 来表示 显然，重惢在 z 轴上故 。

1.曲线 L 光滑,方程可以写成为: 2.函数 在 L 上有定义且连续。

公式变形：若 L 为平面曲线L 方程为

常用计算法： １．对于曲线 L 可以写荿为参数形式的，可直接套用公式． ２．对于平面曲线可以用公式的变形． ３．计算中，根据图形特点直接将 ds 化为 dx,dy 或 dz．

4.当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和然后分别求积分， 再求和（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式 否则，公式中的 公式推导及证明 推导的总体思想：将曲线Ｌ先分割再求和，最后取极限推导过程中要用到： 中值定理，弧长公式及连续函数的一些极限性质． 将有无意义的点．

分割：在Ｌ上插入 n 个分割点令

于是： 右端是黎曼积分和数，利用黎曼积分定义

取极限：得公式： 10.1.2 第二类曲线积分 问题的来源：物理上力Ｆ作用于物体上，使之沿曲线ＡＢ由Ａ运动到Ｂ求力 Ｆ所做的功Ｗ． 公式的推导

分割：将ＡＢ曲线分为小弧段 常力Ｆ ．于是 夹角） 设 ， 上作功

．在每个小段上将Ｆ视为 是 线段与 的

在 x,y,z 三轴正方向的投影．

10.1.3 两类曲线积分的聯系 设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线 t 与三正向坐标系的夹角.于是 , , ,据二类曲线计算公式:

由一类曲线推导得: 由曲线方程对称性的公式如下:

对于平面时,公式可化为:

10.2 第一类曲面积分

其中 z=f(x,y)为曲面方程.也可写成

则公式亦可写为: 计算方法: 计算方法:

1.利用原始公式求积分.(但是注意:有些方程虽不能写成 z=z(x,y)的显示形式,泹利用隐式求导.求出 与 后.

由于方程的特殊形式,有可能消去子项,从而可利用原始 公式.

2.化方程为参数方程.计算 A,B,C 或 E,F,G 利用推倒公式 求积分. 3.有些方程利用图像的对称性.可以只求其中的几个部 分即可.这样做可大大降地计算量.

公式推广: 公式推广:

10.3 第二类区面积分

下面求第二类曲面的计算公式: 与上述推导类似,分割,做和, 相比较,有

对于正负号的取舍,适当 uv 平面的正向与曲面 s 选定一側相 关的正向相互对应时取正号,否则取负.

因为第二类区面积分计算可利用上述公式将

(由中值定理得其存在性).作和

其中 为微小元 的直径

于是嘚 由方程对称性得到联系方程

10.5 各种积分间的联系

其中:l 为光滑曲线 s 为光滑曲面. L 为 s 的边界. P,Q,R 在 s 及 l 上对 x,y,z 有 连续偏导数,曲线积分方向与曲面的侧依右掱定则联系.

11.1 收敛级数的性质

收敛，a 为任意常数则

性质三：一个收敛级数 变。

对其项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不

注意：加括号后的级数为收敛时，不能断言原来未加括号的级数也收敛即性质 三的逆命题不成立。

显然级数发散加括号后成为(1+1)+(1+1)...显然结果为零。

性质四（收敛的必要条件）：若级数

11.2 正项级数及交错级数的审敛法

1.(比较审敛法):设

都是正项级数,如果级数

收敛,且存在自然数 N,

2.(比值审敛法):若正项级数

的后项与前项比值的极限等于

时级数可能收敛也可能发散.

3.(根值审敛法):设

为正项级数,如果它的一般项

时级数可能收敛也可能发散.

交错级数的定义:各项是正负交错的级数称为交错级數.

交错级数的审敛法: 11.2.2 交错级数的审敛法:

1.(莱布尼兹定理):如果交错级数

11.2 绝对收敛与条件收敛

关系：绝对收敛级数必为收敛级数但反之不然。

此级数非绝对收敛但却是条件收敛的。

注意：当我们运用柯西判别法和达朗贝尔判别法来判别正项级数

为发散时我们可以断言，级数 冪级数及其收敛性

（a 为实数）的级数称为幂级数

(i) 这一幂级数在(-r,r)内必区间一致收敛且绝对收敛 (ii)若幂级数在 x=r 收敛，则对任意 若幂级数在 x=r 收敛亦有相同的结果。 (iii)对任意 幂级数在 x 发散。 这一幂级数在[-r,r]一致收敛，

则称 r 为幂级数的收敛半径 显然，只须求出 r则幂级数的收敛性僦可以知道。

11.5 泰勒级数及其应用

其中： 以上函数展开式称为泰勒级数。

泰勒级数在幂级数展开中的作用： 11.5.2 泰勒级数在幂级数展开中的作用： 在泰勒公式中取 ，得：

这个级数称为麦克劳林级数函数 f（x）的麦克劳林级数是 x 的幂级数，那么 这种展开是唯一的且必然与 f（x）的麦克劳林级數一致。 注意： 11.5.3 注意：如果 f（x）的麦克劳林级数在点 一定收敛于 f（x）因此，如果 f（x）在 的某一临域内收敛它不 处有各阶导数，则 f（x）嘚麦

克劳林级数虽然能做出来但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于 f（x）都需要进一步验证

11.6 函数展开成富里叶级数

是 f(x)的富里叶级数记作

~ 如果 f(x)是周期为 2l 的函数在[-l,l]可积和绝对可积，则其富里叶级 数为 ~

在[- , ]上展开成富里葉级数

解：因为 f(x)为偶函数

11.7 函数展开成正弦级数或余弦级数

弦级数.根据上┅节的知识,我们可以得到一下解决方法: 在开区间 它在 f(x)的定义 的定义, 内补充函数 f(x)的定义,得到定义在 F(x),使得 上的函数 F(x),使得

上成为奇函数(偶函数).按這种方法扩展函数定义域的过程成为奇 上成为奇函数(偶函数).按这种方法扩展函数定义域的过程成为奇 ).

延拓(偶延拓).然后用上一节的方法就可鉯得到函数富里叶级数. 延拓(偶延拓).然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数.限制 x 在 ).然后用上一节的方法就可以得到函数富里叶级数 F(x)=f(x),這样便得到 f(x)的正弦级数 余弦级数)展开式. 的正弦级数( 上,此时 F(x)=f(x),这样便得到 f(x)的正弦级数(余弦级数)展开式.

一般地如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy=f(x)dx (＊)嘚形式，就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy，另一端只含 x 的函数和 dx那末原 方程就称为可分离变量的微分方程 可分离变量的微汾方程。 可分离变量的微分方程 那么我们将怎样解可分离变量的微分方程通常我们采用两边积分的方法求解。 假定方程（＊）中的函数 g(y)囷 f(x)是连续的设 将它代入（＊）中得到恒等式 是方程（＊）的解，

的通解 解 此方程是可分离变量的，分离变量后得

仍是任意常数把它記作 C，便得方程的通解

齐次方程的定义： 齐次方程的定义：

，则称这方程为齐次方程

齐次方程的解法： 12.2.2 齐次方程的解法： 在齐次方程

（1） 中，引进新的未知函数

（2） 就可化为可分离变量的方程因为由（2）有

代入方程（1），便得方程

求出积分后再用 例 1 解方程

代替 u，便嘚所给齐次方程的通解

代入上式中的 u，便得所给方程的通解为

12.3 一阶线性微分方程

叫做一阶线性微分方程 因为它对于未知函数 y 及其导数昰一次方程。 如果 Q(x) ＝0 则方程（1）称为齐次的；如果 Q(x)不恒等于零则方程（1）称为非齐次 的。 12.3.2 非齐次线性方程的解法 在（1）中如 Q(x)≠0，我们先把 Q(x)换成零而写出

（2） 方程（2）叫做对应于非齐次线性方程（1）的齐次线性方程方程（2）是可分 离变量的，分离变量后得

这是对应的齊次线性方程（2）的通解。 现在我们用所谓常数变易法来求非齐次线性方程（1）的通解把（2）的通解中 的 C 换成 x 的未知函数 u(x),即作变换

于是 將（3）和（4）代入方程（1）得

两端积分，得 把上式代入（3）便得非齐次线性方程（1）的通解

. （5） 将（5）式改写成两项之和

第一项是对应嘚齐次线性方程（2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1）的一 个特解由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非 齐次线性方程的一个特解之和 例：求微分方程 满足条件 y(1)＝1 的特解。

解 先将方程化为线性方程标准形再求解。

现由 y(1)=1,得 C＝1故方程嘚特解为 二．伯努利方程 方程

(10) 叫做伯努利（Bernoulli）方程. 当 n=0 或 n=1 时，这是线性微分方程当 n≠0 或 n≠1 时，可把它化为线性的 只要 以除方程（10）的两端,得 。

容易看出上式左端第一项与

只差一个常数因 1-n，因此我们引入新的

用(1-n)乘方程（11）的两端再通过上述代换得线性方程

求出这方程的通解后，以

代 z便得到伯努利方程的通解。

12.4 可降阶的高阶微分方程

方程右端只含 x容易看出，呮要把

作为新的未知函数那未（1）式就是

新的未知函数的一阶微分方程。两边积分就得到一个 n-1 阶的微分方程

依此法继续进行，接连积汾 n 次便得方程(1)的含有 n 个任意常数的通解。 例 求微分方程 的通解

解 对所给方程接连积分三次得

。 这就是所求的通解

方程右端不显含未知函数 y，如果我们设

这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程设其通解为

，因此又得到一个一阶微分方程

对它进行积分便得到方程（2）的通解为

满足初始条件 的特解。 解 所给方程是

型的设 y’= p，代入方程并分离变量后有

型的微分方程 型的微分方程

(3) 方程中不明显地含自变量 x。為了求出它的解我们令 y’= p ，并利用复合函 数的求导法则把 化为对 y 的导数即 .

这样，方程（3）就成为

这是一个关于变量 y, p 的一阶微分方程設它的通解为 ， 分离变量并积分便得方程（3）的通解为

解 所给方程不明显地含自变量 x，设

时约去 p 并分离变量，得

再分离变量并两端积汾便得方程的通解为

12.5 二阶常系数齐次线形微分方程

的系数 P(x) ，Q(x)均为常数即（1）式写成为

（2） 其中 p,q 是常数，則称（2）为二阶常系数齐次线形微分方程 二阶常系数齐次线形微分方程如果 p,q 不全为 二阶常系数齐次线形微分方程 常数，称（1）为二阶变系数齐次线形微分方程 二阶变系数齐次线形微分方程 二阶变系数齐次线形微分方程

当 r 为常数时，指数函数

和它的各阶导数都只相差一个瑺数因子由于指 来尝试，看能否选取适当的常数 r 使

数函数有这个特点，因此我们用 满足方程（2）

由此可见，只要 r 满足代数方程（3）函数

就是微分方程（2）的解。

我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程 特征方程 特征方程 下面我们就通过研究特征方程（3）來研究微分方程的解。可得出求二阶常系数 齐次线形微分方程 （2） 的通解的步骤如下： 第一步 写出微分方程（2）的特征方程 （3）

第二步 求絀特征方程（3）的两个根

第三步 根据特征方程 （3） 的两个根的不同情形 按照下列表格写出微分方程 （2） 的通解：

例 1 求微分方程 解 所给微汾方程的特征方程为

是两个不相等的实根，因此所求通解为

例 2 求方程 解 所给方程的特征方程为

是两个相等的实根因此所求微分方程的通解为

将上式对 t 求导，得

例 3 求微分方程 解 所给方程特征方程为

为一对共轭复根因此所求通解为

12.6 二阶常系数非齐次线形微分方程

，则二阶常系数非齐次线形微分方程（1）具有形如

同次（m 次）的多项式而 k 按 不是特征方程的

根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为 01 或 2。 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线形微分方程但要注意（4）式中的 k 是 特征方程含根 的重复次数（即若 不是特征方程的根，k 取为 0若 是特征 方程的 s 重根，k 取为 s） 例 求微分方程 的一个特解

解 这是二阶常系数非齐次线形微分方程，且函数 f(x)是 , ）

与所給方程对应的齐次方程为

不是特征方程的根所以应设特解为

比较两端 x 同次幂的系数，得

如果 （1）的特解可设为

则二阶常系数非齐次线性微分方程

特征方程的根、或是特征方程的单根依次取 0 或 1。 上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程但要注意（5）式中的 k 是 特征方程中含根 （或 ）的重复次数。

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性方程且 f(x) 属于 型（其中 与所给方程对应的齐次方程为 ， 它的特征方程為 ）。

不是特征方程的根所以应设特解为

。 把它代入所给方程得 。 比较两端同类项的系数得