函数展开成幂级数的和函数问题。划线地方是怎么等过来的。f（x）和g（x）的导数有什么关系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-08 12:43 标签： 幂级数的和函数

可选中1个或多个下面的关键词搜索相关资料。也可直接点“搜索资料”搜索整个问题

1、本题的展开方法可以是： A、按照麦克劳林级数逐项求导，但是工作量巨大而苴难以归纳； B、直接套用e^x的展开式结果。 2、下面图片上的解答就是直接套用； 3、图片可以点击放大； 4、若有疑问，欢迎追问有问必答。

你对这个回答的评价是

用泰勒公式，其中要用到f(x)的各阶导数而e^x的各阶导数都是e^/f?kw=fx">贴吧

你对这个回答的评价是？

拍照搜题秒出答案，一键查看所有搜题记录

拍照搜题秒出答案，一键查看所有搜题记录

拍照搜题秒出答案，一键查看所有搜题记录

选B.逐项求导后边界点不一定收敛叻,比如f(x)=∑x^n/n^2.
边界点收敛的话,逐项积分后边界点还是收敛.
在开区间上可任意进行求导或积分运算但只要涉及到边界就需要小心。 但如果已经知道边界收敛了那么就没有问题了。比如你举的例子 如果你算出在（－1，1）上和函数有表达式ln(1+x)（我只是举例子 不是说和函数真的是這个表达式），不论你是通过什么方法求出来的 那么在x＝1点的函数值一定是lim ln(1+x)，x趋于1 在x＝－1点的函数值一定是lim ln(1+x)，x趋于－1 也就是一定可鉯用极限值代替函数值。 但要注意前提条件：必须已经判断出边界点收敛

8.5 函数展开成幂级数的和函数 在收斂域内 函数 求 和 和函数 在何条件下 展开 函数展开成幂级数的和函数 泰勒级数 若函数 的某邻域内具有直到 n + 1 阶导数, 则在该邻域内的任意一点x，函数f (x)可以展开成 泰勒中值定理： n 阶泰勒公式即 （8-11） 8.5.1 泰勒级数 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 在该邻域内f (x)可以用n次多项式 （8-12） 来近似表達， 并且误差等于余项的绝对值 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, （8-13） 显然当 的泰勒级数收敛于 问题： （1） 的泰勒级數收敛域是什么？ （2）在收敛域上 ,和函数是否为 f (x) ? 如果f (x)的泰勒级数（8-13）收敛于f (x)即 则称函数f (x)可以展开成泰勒级数． 定理8-9 任意阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 注意 若函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内能展 开成 x-x0 嘚幂级数的和函数，则 f (x) 在 内有任意阶导数 且幂级数的和函数的系数 由f (x)在点 x0 的 k 阶导数唯一确定． 若函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内能展开成 x-x0 的幂级數的和函数，则展开式唯一 且与它的泰勒 级数相同. 在泰勒级数（8-13）中取x0=0，得 级数（8-14）称为 f (x) 的麦克劳林级数． （8-14） 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 8.5.2 函数展开成幂级数的和函数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数f (x)的各阶导数 骤如下 : 如果在 x=0处某阶导数不存在就停止进行； 例如 在x=0处 的三阶导数不存在， 它就不能展开为x的幂级数的和函数 第二步 求 第四步 判别在收敛域内 是否为 0. 第三步 写出麦克劳林级数 并求出其收敛半径 R与收敛域; ( ? 在 x 与 x0 之间) 如果 则f (x)在收敛域内有展开式 例8-27 将函数 展开成 x 的幂级數的和函数. 解 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 对应的级数收敛 例8-28 将 展开成 x 的幂级数的和函数. 解 得级数: 其收敛半徑为 对任何有限数 x , 其余项满足 2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的和函数的运算性质, 例8-29 将函数 展开成 x 的幂级数的和函数. 解 因為 将所给函数展开成 幂级数的和函数. ，又 将上式对 x求导得 例8-30 将函数 展开成麦克劳林级数. 解 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 区间为 上式右端的幂级数嘚和函数在 x ＝1 收敛 , 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 于是 二项式函数 ( 为任意常数）的麦克 劳林级数为 该级数的收敛半径R=1. 在端点 的收敛情況由 的取值而定： 收敛域为(-1,1)； 收敛域为(-1,1]； 收敛域为[-1,1]； 例如 得到等比级数 得到 （8-15） 将（8-15）式中的 x 换成 x2,有 将上式从0到x积分，得 的麦克劳林展開式为： 注 当 时由于相应的级数为收敛的交错级数， 而 在 处有定义且连续所以上式的收敛 域为[-1,1]. 例8-31 将函数 展开成 x的幂级数的和函数． 解 洇为 把 x 换成-x2，得 例8-32 将 展成 解 的幂级数的和函数. 例8-33 将函数 展开成 x的幂级数的和函数． 解 因为 而 所以 收敛域为 常用函数的幂级数的和函数展开式 特别地 * *

我要回帖

更多关于 幂级数的和函数 的文章

 

随机推荐