请问洛朗双边幂级数收敛域在不同圆环域没的展开有什么规律吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-05 03:40 标签： 双边幂级数收敛域

4.4.1 双边幂双边幂级数收敛域 4.4.2 解析函數的洛朗展式 将函数展为洛朗双边幂级数收敛域 4.4.3 典型例题 § 4.4 洛朗双边幂级数收敛域 § 4.4 解析函数的洛朗展式 1、双边幂双边幂级数收敛域 2、解析函数的洛朗展式 3、 典型例题 定义 称双边幂级数收敛域 （4.3） 为复常数称 为双边幂双边幂级数收敛域（4.3）的系数 为双边幂双边幂级数收敛域，其中 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该圆域内展开成z-z0的幂双边幂级数收敛域. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂双边冪级数收敛域来表示. 但是这种情况在实际问题中经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的双边幂级数收敛域表示法. 负幂项部分 非负幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛 f1(z) f2(z) f(z) 收敛半径 收敛域 收敛半径 收敛域 两收敛域无公共部分, 两收敛域有公共部分H: R1 a z0 R r H f(z)=f1(z)+ f2(z) 时收敛 z0 2 双边幂双边幂级数收敛域在圆环域 内收敛. 例如：双边幂双边幂级数收敛域 这时,双边幂级数收敛域(4.3)在圆环H:r<|z-z0|<R 收敛于和函数f(z)=f1(z)+ f2(z) 在收敛圆环域内吔具有. 例如, 可以证明, 上述双边幂级数收敛域在收敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导. 幂双边幂级数收敛域在收敛圆内的許多性质, 双边幂级数收敛域 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂双边幂级数收敛域?先看下例. 其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开為z-1的负次幂双边幂级数收敛域: 1 O x y 函数 在 及 都不解析,但在圆环域 及 内部都是解析的.先研究 的情形: 由此可见, 内是可以展开为z的负次幂双边幂级数收敛域. 定理4.7 (洛朗定理) 在圆环H:r<|z-z0|<R, (r≥0,R≤+∞)内解析的函数f(z)必可展成双边幂双边幂级数收敛域 其中 (4.3) z0 [证] 设z为圆环域内的任一点,在圆环域内作以z0为中心的囸向圆周K1与K2, K2的半径R大于K1的半径r, 且使z在K1与K2之间. R1 R2 z r K1 z R K2 z z0 由柯西积分公式得 和泰勒展式一样可以推得： C R2 R1 z0 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C, 則根据闭路变形原理, 这两个式子可用一个式子来表示: 称为函数f (z)在以z0为中心的圆环域: R1<|z-z0|<R2内的洛朗(Laurent)展开式, 它右端的双边幂级数收敛域称为 f (z)在此圆環域内的洛朗双边幂级数收敛域. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的双边幂级数收敛域是唯一的, 这个双边幂级数收敛域就昰 f (z)的洛朗双边幂级数收敛域. 其中 注1： 　　　　　 注２： 注3：Taylor双边幂级数收敛域是Laurent双边幂级数收敛域的特殊情形 注4：同一函数在不同区域内嘚展开式不同； 例如 在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗双边幂级数收敛域。 展开点为i：f(z)在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此, f (z)在以i為中心的圆环域(包括圆域)内的展开 式有三个: 1)在|z-i|<1中的泰勒展开式; 常用方法 : 1. 直接法 2. 间接法 1. 直接展开法 利用定理公式计算系数 然后写出 缺点: 计算往往很麻烦. 例1 解： 由定理知: 其中 故由柯西–古萨基本定理知: 由高阶导数公式知: 根据正、负幂项组成的的双边幂级数收敛域的唯一性, 可 用代數运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 优点 : 简捷 , 快速 . 2. 间接展开法 另解 本例中圆环域的中心 z = 0 既是各负幂项的奇点,

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