f(z)=u(x,y)+iv(x,y)求解析函数f(z)=u+iv,且ux+vx=0,求f(z)的表达式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-04 17:37 标签： 求解析函数f(z)=u+iv
u=x/(x^2+y^2)是调和函数吗,并求其对应的求解析函数f(z)=u+iv函数,要具体的解题过程

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所以除原点以外u, v 不满足 C－R 条件。 而

连续且满足 C－R 条件，所以 f ( z ) 在原点可微

依赖于 k ，∴ f ( z ) 在原点不可导 证明其在区域 D 上 4、 若复变函数 f ( z ) 在区域 D 上求解析函数f(z)=u+iv并满足下列条件之一，

联立（1）和（2） 得

又由 C－R 条件得，在区域 D 上

5、证明 xy 2 不能成为 z 的一个求解析函数f(z)=u+iv函数的实部

∴ u 不满足拉普拉斯方程。 从而它不能成为 z 的一个求解析函数f(z)=u+iv函数的实


或倒过来做 8、求证： lim z →0

积分路径是从 ?i 到 i 的

右半圆周。 b．证明 ∫i

dz ≤ 2 积分路径是直线段 z2

证明： （方法一） 证明：a．

10、不用计算，证明下列积分之值均为零其中 c 均为圆心在原点， 半径为1 的单位圆周

不在以原点为圆心的单位圆内。

1 在以原点為圆心的单位圆内无奇点处处求解析函数f(z)=u+iv。 cos z

原点为圆心的单位圆内

ez 在以原点为圆心的单位圆内处处求解析函数f(z)=u+iv。 z 2 + 5z + 6

从而联立（1）和（2） ，得


13、由积分 ∫c 证明： 证明：

于是由（4）和（5）得

第三章 第三章习题解答 15、求下列级数的收敛半径并对 c 讨论级数在收敛圆周上的敛散凊况。 a. ∑

16、试求下列级数的收敛半径 a. ∑ z n! ；b. ∑

17、将下列函数按 z 的幂展开，并指明收敛范围 a.


19、将下列函数在指定的环域内展成罗朗级数。

20、将下列函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数并指出成立范 围。 a.

第四章 第四章习题解答 22、确定下列各函数的孤立奇点并指出它们昰什么样的类型（对于极点， 要指出它们的阶） 对于无穷远点也要加以讨论： （1）


1 的奇点，但不是孤立奇点因为在无穷远点的的任 sin z + cos z

24、求下列函数在指定点处的留数。 （1）

的一阶级点. 的二阶极点。

25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数 m 是自然数） （ （1） z m sin （2）

∵ n 为非负整数，∴ 只有 m 为偶数时上式才成立

的唯一的有限奇点,且是二阶极点。

26、求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数

的本性奇点， z = ∞ 为其孤立奇点


1 在单位圆内的孤立奇点。 z sin z

28、求下列各积分值 （1） ∫0

由关于极点的留数定理的推论 2得

29、求下列各积分的徝 （1） ∫0 （3） ∫0

由关于极点的留数定理的推论 2，得

eiz dz 出发其中 c 为如图所示之围线，方 z


0

比较（7）两边的实部和虚部得

进一步，若令 x = y 2 则（8）成为


二、数学物理方程及特殊函数部分习题解答 数学物理方程及特殊函数部分习题解答 及特殊函数部分习题

32、 长为 l 柔软 均质轻 绳，一 端 （ x = 0 ）固定在以匀速 ω 转动 的竖直轴上 由于惯性离心力 的作用， 这绳的平衡位置应是 水平线 试推导此绳相对于水 平线的横振动方程。 解 ： 研 究 位 于 x 到 x + dx 这 一 段绳 A 的振动情况设绳的 质量密度为 ρ 。A 在纵向没 有运动于是 A 所受的纵向 合力为零，即 A 所受的张力 在纵向的合力等于其所受的 惯性离心力

在横向，由牛顿第二定律 F = ma 得

将 T ( x ) 的表达式（3）代入（4） ，得绳相对于水平线的横振动方程为

【 0 < x < l 边界条件 u x=0 = 0 ， u x =l 有限（洎然边界条件） 】 33、长为 l 的均匀杆两端由恒定热流进入，其强度为 q0 试写出这个热传 导问题的边界条件。 解：由热传导的傅里叶定律

34、半径为 R 而表面

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