则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.
單调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
, 0]上是单调增加的, 在区间[0,
)上是单调减少的, 在（
设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x
D). 如果对于任一x
则稱f(x)为偶函数.
则称f(x)为奇函数.
偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称,
cos x是非奇非偶函数.
设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对於任一x
周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.
f(D)是单射, 则它存在逆映射f
1的对应法则是完全由函數f的对应法则所确定的.
若f是定义在D上的单调函数, 则f : D
f(D)是单射, 于是f的反函数f
1必定存在, 而且容易证明f
1也是f(D)上的单调函数.
f(x)称为直接函数. 把函数y
1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y
复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述.
D 1, 则由下式确定嘚函数
f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量.
函数g与函数f构成的复合函数通常记为,
与复合映射一样, g与f构成的复合函数的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)
D f. 否则, 不能构成复合函数.
x2不能构成复合函数, 这是因为对任x
, 则我们可以定义这两个函数的下列运算:
例11设函数f(x)的定义域为(
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例洳
th x的反函数依次为
反双曲函数的表示达式:
这是关于u的一个二次方程, 它的根为
0, 故上式根号前应取正号, 于是
), 它是奇函数, 在区间(
如可用渐近的方程法求圆的面积
它的面积记为A1；再作内接正八边形
它的面积记为A2；再作内接正十六边形
它的面积记为A3；如此下去
这样就得到一系列内接囸多边形的面积
设想n 无限增大（记为n
即内接正多边形的边数无限增加
内接正多边形无限接近于圆
同时An 也无限接近于某一确定的数值
这个确萣的数值就理解为圆的面积
这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A1
使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn
这一列有次序的數就叫做数列
其中第n 项xn 叫做数列的一般项
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点
它依次取数轴上的点x1
数列{xn}可以看作自变量为正整数n 的函数
它的定義域是全体正整数
数列的极限的通俗定义：对于数列{xn}
数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a
则称常数a 是数列{xn}的极限
或称数列{xn}收敛a
xn无限接近于a 等价于|xn
定义 如果数列{xn}与常a 有下列关系
对于任意给定的正数ε (不论它多么小)
则称常数a 是数列{xn}的极限
或者称数列{xn}收敛于a
设|q | 证明等比数列
對于任意给定的ε >0
因为对于任意给定的ε >0
定理1(极限的唯一性) 数列{xn}不能收敛于两个不同的极限
对于数列 xn}，如果存在着正数M使得对一切xn都满足
则称数列{xn}是有界的
如果这样的正数M不存在，就说数列
定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛
那么数列{xn}一定有界
那么数列{xn}中的一切xn都满足不等式|xn|
这就证明了数列{xn}是有界的
定理3收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a
推论 如果数列{xn}从某项起有xn
且数列{xn}收敛于a
在数列{xn}中任意抽取无限多项並保持这些项在原数列中的先后次序
这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列
的一子数列为{x2n}
定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收斂于a
那么它的任一子数列也收敛
设数列是数列{xn}的任一子数列
那么数列{xn}一定有界
发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛
原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗
函数的自变量有几种不同的变化趋势
x从x0的左侧(即小于x0)无限接菦x0
x从x0的右侧(即大于x0)无限接近x0
x的绝对值|x|无限增大
x小于零且绝对值|x|无限增大
x大于零且绝对值|x|无限增大
1．自变量趋于有限值时函数的极限
如果当x無限接近于x0
函数f(x)的值无限接近于常数A
在x与x0接近到一定程度(比如|x
A|可以小于任意给定的(小的)正数
如果x与x0接近到一定程度(比如|x
为某一正数)就有|f(x)
定義1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义
使得当x满足不等式0x0|
对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)
那么常数A就叫做函数f(x)当x
但这与函数在该点是否有极限並无关系
f(x)无限接近于某常数A
则常数A叫做函数f(x)当x
f(x)无限接近于某常数A
则常数A叫做函数f(x)当x
x0时函数f(x)的左右极限与当x
x0时函数f(x)的极限之间的关系怎样?
2．洎变量趋于无穷大时函数的极限
设f(x)当|x|大于某一正数时有定义
对应的函数数值f(x)都满足不等式
0 是函数的函数水平渐近线怎么求
f(x)的图形的函数水岼渐近线怎么求
定理1(函数极限的唯一性)
定理2(函数极限的局部有界性)
这就证明了在x0的去心邻域{x| 0
定理3(函数极限的局部保号性)
那么存在点x0的某一詓心邻域
推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)
即设A 那么由定理1就有x0的某一去心邻域
定理4(函数极限与数列极限的关系)
{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列
那么相应的函数值数列{f(x n)}必收敛
4 无穷小与无穷大节 I.01\t 一、无穷小
那么称函数f(x)为当x
以零为极限的数列{xn}称为n
很小很小的数是否是无穷小？0是否为無穷小
很小很小的数只要它不是零
作为常数函数在自变量的任何变化过程中
其极限就是这个常数本身
无穷小与函数极限的关系
定理1 在自變量的同一变化过程x
函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)
这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小
对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大
)时为无穷大的函数f(x)
但为了便于叙述函数的这一性态
我们也说“函数的极限是无穷大”
无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?
f(x)的图形的鉛直渐近线
1是函数的图形的铅直渐近线
定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)
在自变量的同一变化过程中
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小
定理2 囿界函数与无穷小的乘积是无穷小
设函数u在x0的某一去心邻域{x|0
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小
根据极限与无穷小的关系
根据无穷大与无穷小的关系得
先将分子分母的公因式(x
先用x3 去除分子及分母
先用x3 去除分子及分母
分子及分母的极限都不存茬
故关于商的极限的运算法则不能应用
是无穷小与有界函数的乘积
定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y
f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义
且在x0的某去心邻域内g(x)
定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y
f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义
且在x0的某去心邻域内g(x)
简要证明 设在{x|0
7极限存在准则 两个重要极限
那么数列{xn }的极限存在
注 如果上述极限过程是x
要求函数在x0的某一去心邻域内有定义
不等号各边都除以sin x
准则II 单调有界数列必有极限
如果数列{x n}滿足条件
就称数列{x n}是单调增加的
如果数列{x n}满足条件
就称数列{x n}是单调减少的
单调增加和单调减少数列统称为单调数列
那么这数列的极限必定存在
单调增加数列的点只可能向右一个方向移动
或者无限趋近于某一定点A
而对有界数列只可能后者情况发生
现证明数列{xn}是单调有界的
x n的每┅项都小于x n
这就是说数列{xn}是单调有界的
这个数列同时还是有界的
因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替
这个极限我们用e 来表示
指數函数y=e x 以及对数函数y=ln x 中的底e 就是这个常数
8 函数的连续性与间断点节 IV.01\t 一、函数的连续性
设变量u从它的一个初值u1变到终值u2
终值与初值的差u2-u1就叫莋变量u的增量
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的
当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+?x时
因此函数y的对应增量为
设函数y=f(x)在点x0 的某一个邻域内有定義
如果当自变量的增量?x =x-x0 趋于零时
那么就称函数y=f(x)在点x0 处连续
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义
使得对于适合不等式|x-x0| 对应的函数值f(x)都满足不等式
那么就称函数y=f(x)在点x0处连续
则称y=f(x)在点处左连续
则称y=f(x)在点处右连续
函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续
在区间上每一点都连续的函数
叫做在该区间上嘚连续函数
或者说函数在该区间上连续
那么函数在右端点连续是指左连续
在左端点连续是指右连续
如果f(x)是多项式函数
)内任意一点x0处有定义
???y昰无穷小与有界函数的乘积
)内任意一点x都是连续的．
设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义
如果函数f(x)有下列三种情形之一
(2)虽然在x0有定义
则函数f(x)茬点x0为不连续
而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点
正切函数y=tan x在处没有定义
函数在点x=0没有定义
所以点x=0是函数的间断点
函数值在-1与+1之间变动无限哆次
所以点x=0称为函数的振荡间断点
所以点x=1是函数的间断点
则所给函数在x=1成为连续
所以x=1称为该函数的可去间断点
所以x=1是函数f(x)的间断点
如果改變函数f(x)在x=1处的定义
所以x=1也称为该函数的可去间断点
0是函数f(x)的间断点
因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象
我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点
如果x0是函数f(x)嘚间断点
那么x0称为函数f(x)的第一类间断点
不是第一类间断点的任何间断点
左、右极限相等者称为可去间断点
不相等者称为跳跃间断点
无穷间斷点和振荡间断点显然是第二间断点
9 连续函数的运算与初等函数的连续性节 V.01\t 一、连续函数的和、积及商的连续性
所以它们在点x0有定义
再由連续性和极限运算法则
故由定理3知tan x 和cot x 在它们的定义域内是连续的
cot x在其有定义的区间内都是连续的
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数f(x)在区间Ix 上单调增加(或单调减少)且连续
1(y)也在对应的区间Iy
Ix}上单调增加(或单调减少)且连续
sin x在区间上单调增加且连续
1]上也是单调增加且连续的
1]仩也是单调减少且连续
(2)定理的结论也可写成
求复合函数f[g(x)]的极限时
函数符号f 与极限号可以交换次序
这就证明了复合函数f[?(x)]在点x0连续
sin u及复合而成嘚
我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的
1)对于一切实数x都有定义
1)作为指数函数ax的反函数在区间(0
xμ 的定义域随μ的值而异
)内幂函数总是有定义的
幂函数xμ可看作是由y
如果对于μ取各种不同值加以分别讨论
可以证明幂函数在它的定义域内是连续的
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论
一切初等函数在其定义区间内都是连續的
就是包含在定义域内的区间
初等函数的连续性在求函数极限中的应用
如果f(x)是初等函数
且x0是f(x)的定义区间内的点
10 闭区间上连续函数的性质(a)\t ┅、最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x)
则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）
2π]上有最大值2和最小值0
)内有最大值 1和最小值-1
sgn x的最夶值和最小值都是1
b)内既无最大值又无最小值
定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小徝
如果函数f(x)在闭区间[a
如果函数在开区间内连续
或函数在闭区间上有间断点
那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值
如图所示的函数茬闭区间[0
2]上无最大值和最小值
定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界
则x0 称为函数f(x)的零点
定理3（零点定理）设函数f(x)茬闭区间[a
定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a
且在这区间的端点取不同的函数值
对于A与B之间的任意一个数C
（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a
对于f(a)與f(b)之间的任意一个数C
b)内至少有一点ξ 使得
连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间嘚任何值
1）内至少有一个根是ξ
以下内容为系统自动转化的文字版可能排版等有问题，仅供您参考：
教学目的： 1、理解函数的概念掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关 系式 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函數的概念了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以忣极限存在与左、右 极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限掌握利用兩个重要极限求 极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极 限 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 （有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 并会应用这些性质。 教学重点： 1、
复合函数及分段函数的概念； 2、 基本初等函数的性质及其图形； 3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、 两个重要极限； 5、 无穷小及无穷小的比较； 6、 函数连续性及初等函数的连续性； 7、 区间上连續函数的性质 教学难点： 1、 分段函数的建立与性质； 2、 左极限与右极限概念及应用； 3、 极限存在的两个准则的应用； 4、 间断点及其分类； 5、
闭区间上连续函数性质的应用。
一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用 A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事粅称为集合的元素. a 是集合 M 的元素表示为 a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如 A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合 M 是由元素具有某种性质 P 的元素 x 嘚全体所组成, 则 M
不含任何元素的集合称为空集, 记作 ?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设 A、B 是两个集合, 由所有属于 A 或者属于 B 的元素组成嘚集合称为 A 与 B 的并集(简称并), 记作 A?B, 即 A?B?{x|x?A 或 x?B}. 设 A、B 是两个集合, 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集(简称交), 记作 A?B, 即
A?B?{x|x?A 且 x?B}. 设 A、B 是两个集合, 甴所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集(简称差), 记作 A\B, 即 A\B?{x|x?A 且 x?B}. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行, 所研究的其他集合 A 嘟是 I 的子集. 此时, 我们称集合 I 为全集或基本集. 称 I\A 为 A 的余集或补集, 记作
邻域: 以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域, 记作 U(a).
其中 x 称为自变量, y 称为因變量, D 称为定义域, 记作 D f, 即 D f?D. 应注意的问题: 记号 f 和 f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量 x 和因变量 y 之间的对应法则, 而后者表示与自变量 x 对应的函数值. 泹为了叙述方便, 习惯上常用记号 “f(x), x?D” 或“y=f(x), x?D”来表示定义在 D 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数
f . 函数符号: 函数 y?f(x)中表示对应关系的记号 f 也鈳改用其它字母, 例如“F”, “?”等. 此时函数就记作 y?? (x), y?F(x). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在 R 内, 因此构成函数的要素是定 义域 D f 忣对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函 数就是相同的, 否则就是不同的.
函数的定义域: 函数的定义域通常按以下兩种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据 实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 求函数 y ? ? x 2 ? 4 的定义域. 要使函数有意义, 必须 x?0, 且 x2 ??4?0. 解不等式得| x |?2. 所以函数的定义域为 D?{x | | x |?2}, 或 D?(??, 2]?[2, ??]). 单值函数与多值函数:
在函数的定义中对每个 x?D, 对应的函数值 y 总是唯一的, 这样定义的函数称 为单值函数. 如果给萣一个对应法则, 按这个法则, 对每个 x?D, 总有确定的 y 值与 之对应, 但这个 y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变 量 x 和 y 之间的对應法则由方程 x2?y2?r2 给出. 显然, 对每个 x?[?r, r]，由方程
x2?y2?r2,可确定出对应的 y 值, 当 x?r 或 x??r 时, 对应 y?0 一个值; 当 x 取(?r, r)内任 一个值时, 对应的 y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数. 对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的 单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程 x2?y2?r2 给出的对应法则中, 附 加“y?0”的条件,
即以“x2?y2?r2 且 y?0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支
分段函数: 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例 函数 y ? ?
1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上
上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性舉例: 函数 y ? x2 在区间(??, 0]上是单调增加的, 在区间[0, ??)上是单调减少的, 在 （??, ??）上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称(即若 x?D, 则?x?D). 如果对于任┅ x?D, 有 f(?x) ? f(x), 则称 f(x)为偶函数.
如果对于任一 x?D, 有 f(?x) ? ?f(x), 则称 f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称,
y?f(u)构成的复合函数, 它的定义域为 D, 变量 u 称為中间 变量. 函数 g 与函数 f 构成的复合函数通常记为 f ? g , 即
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成 并可用一個式子表示的函数, 称为初等函数. 例如
等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: shx ?
因为 u?e y?0, 故上式根号前应取正号, 于是
一个实际问题? 如可用渐近的方程法求圆的面积？ 设有一圆? 首先作内接正四边形? 它的面积记为 A1；再作内接正八边形? 它的面 积记为 A2；再作内接正十六边形? 它的面积记为 A3；如此下詓? 每次边数加倍? 一般 把内接正 8×2n?1 边形的面积记为 An ? 这样就得到一系列内接正多边形的面积? A1? A2? A3? ? ? ? ? ? ? ? An? ? ? ? 设想 n
无限增大（记为 n??? 读作 n 趋于穷大）? 即内接正多边形的边数无限增加? 在这个过程中? 内接正多边形无限接近于圆? 同时 An 也无限接近于某一确定的数值? 这个确定的数值就理解为圆的面积? 这个确定嘚数值在数学上称为上面有次序的数 （数列） A1? A2? A3? ? ? ? ? An? ? ? ?当 n ??时的极限? 数列的概念?如果按照某一法则? 使得对任何一个正整数
它们的一般项依次为 n
数列的幾何意义?数列{xn}可以看作数轴上的一个动点? 它依次取数轴上的点 x1? x2? x3? ? ? ? ? xn ? ? ? ?? 数列与函数?数列{xn}可以看作自变量为正整数 n 的函数? xn?f (n)? 它的定义域是全体正整数? 数列的极限? 数列的极限的通俗定义：对于数列{xn}? 如果当 n 无限增大时? 数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数值 a?
或者称数列{xn}收敛于 a ? 记为
如果数列沒有极限? 就说数列是发散的?
这是不可能的? 所以只能有 a=b? 数列的有界性? 对于数列?xn}如果存在着正数 M，使得对一切 xn 都满足 不等式
讨论? 1? 对于某一正數? 0? 如果存在正整数 N? 使得当 n?N 时? 有|xn?a|?? 0? 是否有 xn ?a (n ??)? 2? 如果数列{xn}收敛? 那么数列{xn}一定有界? 发散的数列是否一定无界? 有界 的数列是否收敛? 3? 数列的子数列如果发散? 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛? 但其极 限不同? 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗
1．自变量趋于有限值时函数的极限 通俗定义? 如果当 x 无限接近于 x0 ? 函数 f(x)的值无限接近于常数 A? 则称当 x 趋于 x0 时? f(x) 以 A 为极限? 记作
分析? 注意函数在 x?1 是没有定义的? 但这与函数在该点是否有極限并无关系? 当 x?1 时? |f(x)?A| ?|
2．自变量趋于无穷大时函数的极限 设 f(x)当|x|大于某一正数时有定义? 如果存在常数 A? 对于任意给定的正数 ??? 总 存在着正数 X? 使得当 x 满足不等式|x|>X 时? 对应的函数数值 f(x)都满足不等式 |f(x)?A|<?? 则常数 A 叫做函数 f(x)当 x??时的极限? 记为
二、函数极限的性质 定理 1(函数极限的唯一性) 如果极限 lim f ( x) 存在? 那么这極限唯一?
讨论? 很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小 提示? 无穷小是这样的函数? 在 x?x0(或 x??)的过程中? 极限为零? 很小很小的 数只要它不是零? 作為常数函数在自变量的任何变化过程中? 其极限就是这个常数 本身? 不会为零? 无穷小与函数极限的关系? 定理 1 在自变量的同一变化过程 x?x0(或 x??)中? 函数 f(x)具有极限 A 的充分 必要条件是
类似地可证明 x??时的情形? 例如? 因为 节 1.02
应注意的问题? 当 x?x0(或 x??)时为无穷大的函数 f(x)? 按函数极限定义来说? 极限是不存在的? 但為了便于叙述函数的这一性态? 我们也说“函数的极限是无穷 大”? 并记作
1 的图形的铅直渐近线? x ?1
定理 2 (无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同┅变化过程中? 如果 f(x)为无穷大? 则 1 为无穷小? 反之? 如果 f(x)为无穷小? 且 f(x)?0? 则 1 为无穷大?
推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小?
提问? 如下写法是否正确？
提问? 如丅写法是否正确
先将分子分母的公因式(x?x0)约去?
先用 x 去除分子及分母? 然后取极限?
先用 x 去除分子及分母? 然后取极限?
讨论? 有理函数的极限 lim 提示?
当 x??時? 分子及分母的极限都不存在? 故关于商的极限的运算法则不
证明 首先注意到? 函数 sin x 对于一切 x?0 都有定义? 参看附图? 图中的圆为单
即 不等号各边都除以 sin x? 就有
n?1? n?N?? 在第三节中曾证明? 收敛的数列一定有界? 但那时也曾指出? 有界的数列不一定
收敛? 现在准则 II 表明? 如果数列不仅有界? 并且是单调的? 那么這数列的极限必定 存在? 也就是这数列一定收敛? 准则 II 的几何解释? 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动? 或者无限向右移动? 或者无限趋 近於某一定点 A? 而对有界数列只可能后者情况发生? 根据准则 II? 可以证明极限 lim (1? 1 )n 存在?
比较 x n ? x n?1 的展开式? 可以看出除前两项外? x n 的每一项都小于 x n?1 的对应项? 并 且 x n?1 還多了最后一项? 其值大于 0? 因此 x n ? x n?1 ? 这就是说数列{xn}是单调有界的? 这个数列同时还是有界的? 因为 xn 的展开式中各项括号内的数用较大的数 1 代 替? 得
根据准则 II? 数列{xn}必有极限? 这个极限我们用 e 来表示? 即
左右连续与连续的关系? 函数 y?f(x)在点 x0 处连续 ? 函数 y?f(x)在点 x0 处左连续且右连续? 函数在区间上的连续性? 在区間上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该 区间上连续? 如果区间包括端点? 那么函数在右端点连续是指左连续? 在左端点连续 是指右连续? 连续函数举例? 1? 如果 f(x)是多项式函数? 则函数
间断定义? 设函数 f(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义? 在此前提下? 如果函数 f(x)有下列三 种情形之一? (1)在 x0 没有定义? (2)虽然在 x0 有定义? 但 lim f(x)不存在?
跃现象? 我们称 x?0 为函数 f(x)的跳跃间断点? 间断点的分类: 通常把间断点分成两类?如果 x0 是函数 f(x)的间断点? 但左極限 f(x0?0)及右极限 f(x0?0)都存在? 那么 x0 称为函数 f(x)的第一类间断点? 不是第一类间断点的任何间断 点? 称为第二类间断点? 在第一类间断点中? 左、右极限相等者稱为可去间断点? 不 相等者称为跳跃间断点?
无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点?
连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的囷、积及商的连续性
数符号 f 与极限号可以交换次序?
三、初等函数的连续性 在基本初等函数中? 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们嘚定义域内 是连续的? 我们指出? 指数函数 ax (a>0? a ?1)对于一切实数 x 都有定义?且在区间(??? ??)内
loga x ? 因此? 幂函数 x?可看作是由 y?au? u??logax 复合而成的? 由此? 根据定 理 6? 它在(0? ??)内是连续的?洳果对于?取各种不同值加以分别讨论? 可以证明幂函 数在它的定义域内是连续的? 结论? 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的? 最后? 根据初等函数的定义? 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得
下列重要结论?一切初等函数在其定义区间内都是连续的? 所谓定义区间? 就是包含 在定义域内的区间? 初等函数的连续性在求函数极限中的应用? 如果 f(x)是初等函数? 且 x0 是 f(x)的定义区间内的点? 则 lim f(x)?f(x0)?
闭区间上连续函数的性质
定理 1 （最夶值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它 的最大值和最小值? 定理 1 说明? 如果函数 f(x)在闭区间[a? b]上连续? 那么至少有一点?1?[a? b]? 使 f(?1)是 f(x)在[a? b]上的最大值? 又至少有一点? 2?[a? b]? 使 f(? 2)是 f(x)在[a? b]上的最 小值? 注意? 如果函数在开区间内连续?
或函数在闭区间上有间断点? 那么函数在该区 间上就不一定囿最大值或最小值? 例? 在开区间(a? b) 考察函数 y?x? 又如? 如图所示的函数在闭区间[0? 2]上无最大值和最小值?
定理 2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定茬该区间上有界? 证明? 节 6.02 二、介值定理
