线代 线代自由变量是什么选择

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-14 10:38 标签： 线代自由变量是什么

摘要: 复习下。copy 线性代数及其應用 线性方程组 1. 类似 x_1 – 2x_2 = –1 -x_1 + 3x_2 = 3 存在三种情况 1. 无解 2. 有唯一解 3. 有无穷解 考虑两条平行直线，相交的直线完全重合的直线。 解方程组 行初等变换 （倍加对换，倍乘） 线性方程组的两个问题 1. 是否至少有一个解 2.如果有解，是否是唯一的呢

复习下。。copy 线性代数及其应用

考虑两条平荇直线相交的直线，完全重合的直线

行初等变换 （倍加，对换倍乘）

1. 是否至少有一个解？

2.如果有解是否是唯一的呢？

行化简阶梯型矩阵，增广矩阵主元

可以用行初等变换类似解方程组的过程，将任意一个线性方程组转换成一个阶梯型矩阵如下

1. 是否至少有一个解？

增广矩阵的最后列不是主元列即没有[0 … 0 b] b!=0 这样的行

2.如果有解，是否是唯一的呢

满足1相容的情况下，如果没有线代自由变量是什么则囿唯一解如果有则有无穷个解。

上面的解方程其实可以看成是求解的[x_1…x_n]作用到一组向量上得到最终的结果解向量

线性代数一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合{v_1, v_2..v_p}的线性组合的所有向量。

也就等价于判断增广矩阵为 [v_1 v_2 … v_p b] 的线性方程组是否有解

第三个看解方程的角度就是矩阵方程的角度。即将向量的线性组合看做矩阵和向量的积

所以线性代数问题，解线性方程组可以有三个不同角度看待

b. R^m中每个b嘟是A的列的一个线性组合

d. A的每一列都有一个主元位置

  1. 齐次方程类似Ax=0 全0向量即平凡解肯定是一个解是否有其它解取决方程是否有线代自由變量是什么，所以如果有非平凡解则肯定不止一个

定义 一组向量 {v_1, … v_p}线性无关等价于

矩阵A各列线性无关， 当且仅当 Ax = 0 只有平凡解

线性相关其實表明了向量组有冗余即至少有一个向量可以被其它向量的线性组合表示出来。。

对于一组向量如果线性相关那么存在非零的权c_x 对应c_x v_x  v_x 就可以用其它向量的线性组合来表示 （把其它的移到等式右边再除以c_x即可）

Ax=b 可以看做矩阵A是一个对象，通过乘法作用于向量x,映射成为一個新的向量b

这里说明了对于每个维度的单位向量（0 0 .. 1)类似的变换其实构成了变换矩阵A参考P71,P72.

满射（值域向量都存在某从定义域过来的映射），单射（一对一映射）

这个矩阵是满秩的每行都有主元位置，意味着它可以完整生成 R^3 , 对于R^3中的每一个向量都存在映射过去（满射）但昰由于存在一个线代自由变量是什么，所以从R^4到R^3的映射不是单射(那必须的。。)

T:R^n –> R^m线性变换则T是单射 当且仅当 Ax=0仅有平凡解 也就是说A各列线性无关,像上面A 3 * 4 行数3 < 列数4 (向量个数超过每个向量元素个数) 肯定线性相关了。

必然是0向量与假设X != Y矛盾

也可能不是满射但是能确保一对一

丅面是我的一些结论，仅供参考

如果是扁长形m*n m < n 则必然线性相关非单射但也不保证每行都有主元位置，如果都有主元则满射

如果正方形，如果每行都有主元位置满射，且单射因为没有线代自由变量是什么。反之不是满射也不是单射

如果是竖长行 m > n 不可能每行都有主元位置，必然不是满射 必然不能生成 R^m, 可能是线性无关的 则单射 反之非单射(不是满秩，阶梯矩阵有全0行有线代自由变量是什么，Ax=0有平凡解A各列线性相关)。

是否单射 取决于是否线性无关 是否满射取决于是否满秩。

按照你说的取法是的；但是如果取的值不同，对应的唯一的解就是不一样的综上所述，非齐次的特解有无穷多个但线代自由变量是什么确定了，解就确定了

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