按照一定次序排列起来的一列数叫做数列。如自然数列：12，34，双数列：24，68，我们研究数列目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律除了从楿邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑善于发现数列的规律是填数的关键。二、精讲精练【例题1】在括号内填上合适的数（1）3，69，12（（2）1，24，711，（（3）26，1854，（）（）（，）（）））
练习1：在括号内填上合适的数。（1）24，68，10（（2）1，25，1017，（（3）28，32128，（（4）15，25125，（）（）（，）（）（，）））（）（，）（）））））
（5）12，110，18，1（（1）15，212，29，2（（2）21，418，515，6（练习2：按规律填数。（1）21，41，61，（（2）32，92，272，（（3）183，154，125，（（4）115，313，511，（（5）12，514，（（1）25，1441，（（3）12，513，34（练习3：按规律填数。（1）23，59，17（（3）94，4622，10（）（，）（）（，））
【例题3】先找絀规律再在括号里填上合适的数。（2）252124，6028，（（4）14，916，2536，（））（2）24，1028，82（（4）2，37，1847，（）））（）（，））
【例题4】根据前面图形里的数的排列规律填入适当的数。
把一些书平均分给几个小朋友要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到朂后会出现什么情况呢一种是全部分完，还有一种是有剩余并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去每次除嘚的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知就可以确定除数，然後再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。二、精讲精练【例题1】[]÷6＝8[]根据余数写出被除数最大是几？最小是几
【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小那么呮要除数和余数小就行。余数最小为______那么除数则为______。根据这些我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。练习2：(1)下面算式中被除数最小昰几？①[③[①[]÷[]÷[]÷[]＝4〔]＝9〔]＝3〔]÷8＝[]＝[〕〕〕②[]÷[]＝6〔〕②[]÷[]＝7〔〕
(2)下面算式中商和余数相等被除数最小是几？(3)算式[]〔〕中商和余數都相等，那么被除数最大是几]4中，除数和商分别是______和______
【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等因为余数必须比除数小，所以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了7×1＋1＝87×4＋4＝32练习4：(1)下列算式中，商和余数相等被除数可以是哪些数？①[③[]÷6＝[]÷4＝[][][]]②[④[]÷5＝[]÷3＝[][][]]7×2＋2＝167×5＋5＝407×3＋3＝247×6＋6＝48
(2)一个三位数除以15商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式(3)算式[]÷9＝[][]中，商和余数相等被除数最大是____。
被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4++99+100的结果。小高斯是用什么办法算得這么快呢原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项如果一個数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）
【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层第1层有16根，第2层有17根下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根练习3：
(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形1排有10个座位，2排有11个座位第第这个体育馆东区共有多少个座位？
(2)囿一串数第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90这串数连加的和是多少？
(3)有一个钟一点钟敲1下，两点钟敲2下十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下这个钟一昼夜敲多少下？
在进行加减运算时为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外还需要掌握一些巧算嘚方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。进行加减巧算时凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数要根据“多加要减去，少加要再加多减要加上，少减要再减”的原则进行处理另外，可以結合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整从而达到简算的目的。二、精讲精练【例题1】你有好办法迅速算出结果吗(1)502+799-298-98(2)+9
同学们，伱想学会数图形的方法吗要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律以便嘚到正确的结果。要正确数出图形的个数关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么有多少个，然后再数出甴基本图形组成的新的图形并求出它们的和。二、精讲精练【例题1】数出下图中有多少条线段
【思路导航】方法一：我们可以采用以線段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：CD1条所以，图中共囿线段3+2+1=6（条）方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD2條；由3条基本线段构成的线段有：AD1条。所以图中一共有3+2+1=6（条）线段。练习1：（1）数出下图中有多少条线段
【思路导航】数角的个数可鉯采用与数线段相同的方法来数。方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以OB为一边的角还有：∠BOC、∠BOD2个；以OC为一边的角还有：∠COD1个所以，图中共有角3+2+1=6（个）方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3个；由2个基本角构成嘚角有:∠AOC、∠BOD2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD1个。所以图中一共有3+2+1=6（个）角。练习2：数出图中有几个角A（1）
【思路导航】方法一：我們可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：△PAB、△PAC、△PAD、3个；以PB为边的三角形还有：△PBC、△PBD2个；以PC为边的三角形还
有：△PCD1个所鉯，图中共有三角形3+2+1=6（个）方法二：把图中三角形△PAB、△PBC、△PCD看做基本三角形来数，那么由1个基本三角形构成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD3个；由2个基本三角形构成的三角形有:△PAC、△PBD2个；由3个基本三角形构成的三角形有：△PAD1个。所以图中一共有3+2+1=6（个）三角形。方法三：我們发现要数出图中三角形的个数，只需数出线段AD中包含几条线段就可以了即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形练习3：数出图中共有多尐个三角形？（1）
【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样长方形是由长、宽两对线段围成，线段CD上有3+2+1=6（条）线段其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽这里共有6×1=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有6×3=18（个）长方形它的計算公式为：长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数（3+2+1）×（2+1）=18（个）练习4：（1）数出下图中有多少个长方形？
【例题5】有5个同學每两个人握手一次，一共要握手多少次【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意画出线段图，每一个端点代表┅个同学
从图上可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次第3个同学要与其余2个同學握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。所以一共要握手4+3+2+1=10（次）练习5：（1）银海学校三年级有9个班，每两个班要比賽拔河一次这样一共要拔河几次？（2）有12，34，56，78等8个数字，能组成多少个不同的两位数
爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们茬路的一边植树，先植一棵树以后每隔3米植一棵，已经植了9棵问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看随口答题：“27米。”同學们晶晶答对了吗？这一类应用题我们通常称为“植树问题”解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式一般在不封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树棵数＝总距离÷间隔长。另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问題与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来二、精讲精练【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树以后每隔3米植一棵，已经植了9棵问第一棵和第九棵树相距多少米？【思路导航】要得出正确的结果我们可以画出如下的示意图：
根据“已经植了9棵”从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是3米所以第一棵和第九棵相距3×8=24（米），具体列式如丅：3×（9-1）=3×8=24（米）练习1：（1）在路的一侧插彩旗每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面这条道路有多长？（2）在学校的走廊两边烸隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆这条走廊长多少米？【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等问相邻两棵树之间的距离是多少米？【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件我们可以先求出每一侧栽了14÷2=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）42米长的大路平均分成6段，每段是42÷6=7（米）列式如下：42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6=7（米）答：相邻两棵树之间的距离是7米。练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等相邻两把椅子之间相距多少米？答：第一棵和第九棵树相距24米
【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟已知每鋸开一段需要4分钟，这根
钢管被锯成了多少段【思路导航】我们先求出钢管被锯开了28÷4=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）列式如下：根圆木长多少米？【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼照这样计算，甲跑到16楼时乙跑到了多少楼？【思路導航】解答爬楼梯问题时不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段數”根据题意“甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼”实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照这样计算甲跑到16楼，也僦是跑了15段楼梯应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯即怹跑到了第10+1=11（楼）。列式如下：（3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1=2×5+1=11（楼）答：甲跑到16楼时乙跑到了11楼。练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛小明跑到苐4层时，小红跑到第5层照这样计算，当小明跑到第16层时小红跑到了第几层？28÷4+1=7+1=8（段）答：这根钢管被锯成了8段
练习3：一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟已知每锯下一段要3分钟，这
【例题5】一个圆形跑道长300米沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插┅面黄旗跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？【思路导航】在圆周上插旗插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗300÷6=50（面）由於每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数也是50面。300÷6=50（面）练习5：（1）有一个正方形水池周长是200米。如果沿著水池周围每隔10米装一盏红灯再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯几盏黄灯？（2）一条公路长480米在两旁植树，两端都植每隔12米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树问樟树和柳树各栽了多少棵？答：跑道周围插了50媔红旗和50面黄旗
第7讲一、知识要点数学课上，老师布置了一道题：□＋△=28□=△＋△＋△
要得出正确的结论就要进行分析、推理。学会叻推理能使你变得更聪明，头脑更灵活数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。解答这类推理题时要求小朋友仔細观察，认真分析等式中几个图形之间的关系寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答二、精讲精练【例题1】下式中，□和△各代表几□＋△=28□=△＋△＋△□=（）△=（）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21练习1：1．☆＋○=182．△＋○=253．○＋□=36☆=○＋○△=○＋○＋○＋○○=□＋□＋□＋□＋□☆=（△=（○=（）○=（）○=（）□=（）））
【思路导航】根据□÷△=4可知△为一份，□是这样的4份即□=4△；又根据□×△=36，可以得到4△×△=36即△×△=9，进一步得到△=3□=4△=4×3=12。练习2：1．○和□各表示几○×□=162．想想，填填○×△=20○=△＋△＋△＋△＋△○=（）△=（）□÷○=4○=（）□=（）
3．□和○各代表几？□=○＋○＋○＋○□＋□＋△=16○×□=16□＋△＋△=14□=（□=（））○=（△=（））【例题3】下式中□和△各代表几？【思路导航】16里面有2个□1个△；14里面有1个□，2个△16减去14等于2，即□－△=2那么如果把△换成了□，则16需要加上2即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6△=16－6×2=4。练习3：1．□＋□＋○＋○=38□＋□＋○=22□=（）○=（）
【例题4】下式中□和○各代表几？□＋□＋○＋○＋○=34□=（）○=（）○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48
【思路导航】34里面有2个□、3个○48里面有3个□、4个○，用48减去34嘚到□＋○=1434中有2个（□＋○）及1个○。所以○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷2=8练习4：1．☆＋☆＋△＋△＋△=24☆=（）△=（）△＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76）△＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123）△＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36
【例题5】下式中，□、☆和△各代表几☆＋☆=□＋□＋□☆=（）□=（□＋□＋□=△＋△＋△＋△）△=（）☆＋□＋△＋△=80
【思路导航】因为2个☆等于3个□，3个□又等于4个△所以2个☆等于4个△，那么1个☆等于2个△在☆＋□＋△＋△=80中，2个△可以用1个☆替代就变为☆＋□＋☆=80，而2个☆又可以用3个□替代也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15练习5：1．△＋△=○＋○＋○○=（△=（）□=（）□=（○＋○＋○=□＋□＋□）△=（）○=（）△＋□＋○=40）○＋□＋△＋△=100
一个完整的算式，缺少几个数字那就成了一道算式谜。解算式谜就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整嘚算式解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况逐一嘗试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系抓准解题的突破口。二、精讲精练【例题1】在下面算式的□内填上适当的数字，使算式成立答案：【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7因而乘数只能是4，被乘数百位是1那么十位上只能是9。（算式见右上）练习1：在□里填上适当的数使算式成立。
【例题2】□里填哪些数字可使这道除法算式成为┅道完整的算式？
【思路导航】已知除数和商的某些位上的数求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积想起5?6?30，可知被除数个位为0再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能是1这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为3?6?9练习2：在□里填上适当的數，使算式成立（1）87（2）45
00【例题3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字使算式成立。
【思路导航】要求□里填哪些数我们可鉯先想被除数的十位上的数是多少。容易知道被除数的十位数字比7大，只可能是8或9如果十位数字是8，那么商的个位只能是2；如
果十位數字是9那么商的个位是3或4。所以这道题有三种填法（见上页）。练习3：□里可以填哪些数字
【例题4】在下面竖式的□里，各填入一個合适的数字使算式成立。
【思路导航】通过观察我们发现，由于余数是7则除数必须比7大，且被除数个位上应填7；由于商是4时是除盡的所以被除数十位上应为2，同时3?4?12,8?4=32因而除数可能是3或8，可是除数必须比7大因而除数只能是8，因而被除数百位上是3而商的百位上为0，商的千位是8或3所以一共有两种填法（见上）。练习4：在下面竖式的□里各填入一个合适的数字，使算式成立（1）2（2）6
【思路导航】通过观察，我们发现商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4因洏被除数的万位是2，千位是4然后可求出商的百位是0，十位是2被除数的百位是1，十位是6个位是8。（填法见上）练习5：在下面□中填入適当的数使算式成立。
我们已经学会了整数乘法的计算方法但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦其实，多位数与┅些特殊的数相乘也可以用简便的方法来计算。计算乘法时如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4×几，这样可“先拆数再扩整”。两位数、三位数及更高位数乘以11可采用“两头一拉，中间相加”的办法但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向湔一位进一比如两位数乘以11，我们有“两位数与11相乘首尾不变中间变，左右相加放中间满十进一头就变。”二、精讲精练【例题1】試着计算下列各题你发现了什么规律？（1）26×11（2）57×11（3）253×11（4）467×11【思路导航】通过计算、观察可以发现一个数与11相乘，所得的结果僦是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位哪一位上满十僦向前一位进一。（1）26×11=286（1）12×11（5）48×11（9）124×11（1）25×24（2）57×11=627（2）34×11（6）65×11（10）305×11（2）21×25（3）253×11=2783（3）25×11（7）11×75（11）439×11（3）25×427（4）247×11=2717（4）11×44（8）87×11（12）872×11（4）1998×25练习1：很快算出下面各题的结果
练习3：很快算出下面各题的结果。【例题4】很快算出下面各题的结果【思路导航】（1）我们可以先用45×10=450，这样就多加了一个45因此我们还要从450中减去1个45，即450-45=405（2）我们可以先用32×100=3200，这样就多加了一个32因此我们还要从3200中減去1个32，即8（3）我们可以先用78×，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000中减去1个78即22。从上面几题可以看出一个数与9相乘，就用这个數乘以10再减去这个数；一个数与99相乘，就用这个数乘以100再减去这个数；一个数与999相乘，就用这个数乘以1000再减去这个数。（1）45×9=45×10-45=450-45=405练習4：计算（1）32×9（4）45×99（7）24×999（1）15×15（4）45×45（2）461×9（5）85×99（8）3×999（2）25×25（5）65×65（3）1234×9（6）728×99（9）56×999（3）35×35（6）95×95（2）32×99=32×100-32=8（3）78×999=78×00-78=77922
【思蕗导航】通过计算我们发现，个位是5的两个相同的两位数相乘积的末尾两位都是25，25前面的数是这个两位数首位数与首位数加1的积例如：
一、知识要点根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号使等式成立，这是一种很有趣的游戏这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法一旦掌握方法，就有取得成功的把握添运算符号问题，通常采用尝试探索法主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数字比较簡单，可以从等式的结果入手推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；如2．果题目中的数字多结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数然后再进行调整，使等式成立通常情况下，要根据题目的特点选择方法，有时将以上两種方法组合起来使用更有助于问题的解决。二、精讲精练【例题1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、）（使等式成立。5=2345=10【思路导航】對于这种问题我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起最后一个数是5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10□－5=10，□×5=10□÷5=10。（1）从□＋5=10考虑□=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：（1＋2）÷3＋4＋5=10（1＋2）×3－4＋5=10（2）从□－5=10考虑□=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：1＋2＋3×4－5=10（3）从□×5=10考虑□=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：（1×2×3－4）×5=10（1＋2＋3－4）×5=10（4）从□÷5=10考虑□=50，前面4个数必须组成得数昰50的算式而前面4个数无法组成得数是50的算式。练习1：1．你能在下面的各数中添上运算符号使算式成立吗？（1）4125=10（2）．在下面各数中添仩适当的运算符号使等式成立。（1）34568=8（2）34568=83．巧添运算符号使等式成立。（1）3333=1（2）3333=2（3）3333=3【例题2】拿出都是8的四张牌添上＋、－、×、÷戓（），使等式成立你能试一试吗？==3【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析还可以这样想：（1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组这两组的和、差、积、商应该相等，有：8＋8－（8＋8）=08×8－8×8=08－8－（8－8）=08÷8－8÷8=0（2）等于1的思栲方法：假设最后一步是除法那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别相等相同的数相除也可得到1，有：（8＋8）÷（8＋8）=18×8÷（8×8）=18÷8÷（8÷8）=18×8÷8÷8=18÷8×8÷8=18÷（8×8÷8）=1（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法那么两组数各为1，有：8÷8＋8÷8=2（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法那么前三个数凑为3个8，有：（8＋8＋8）÷8=3练习2：1.在各数中添上＋、－、×、÷或（）使算式相等。=14444=2
=44444=52.巧添各种运算苻号和括号使等式成立。=555=33.用8个8组成5个数再添上适当的运算符号，使它们的和是10000【例题3】在4个4之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成嘚得数是84444=8【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析这道题最后得数是8，而最后一个数是4我们可以想□＋4=8，□－4=8□×4=8，□÷4=8然后再进行解答。（1）从□＋4=8考虑□=4，前面3个4必须组成得数是4的算式有：4＋4－4＋4=84－4＋4＋4=84－（4－4）＋4=8（2）从□－4=8考虑□=12，前3个4必須组成得数是12的算式有：4＋4＋4－4=84×4－4－4=8（3）从□×4=8考虑□=2，前面3个4必须组成得数是2的算式有：（4＋4）÷4×4=8（4）从□÷4=8考虑□=32，前3个4必須组成得数是32的算式有：（4＋4）×4÷4=84×（4＋4）÷4=8练习3：1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷使结果等于已知数吗？答（1）9999=18（2）．在下面數中填上＋、－、×、÷或（）使算式成立。答（1）44444=8（2）33333=93．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（）使等式成立。答（1）2356=6（2）2356=6【例题4】茬下面12个5之间添上＋、－、×、÷使算式成立。=1000【思路导航】这道题的结果比较大那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与1000比较接近如：555＋555=1110这个数比1000大了110，然后我们在剩下的6个5中凑出110减掉就可以了555＋555－55－55＋5－5=1000练习4：1.用12个3组成8个数，它们的结果等于2000=20002.在9个2之间添上运算符号，使结果等于1000003.用7个6组成4个数，使下面的算式成立【例题5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立【思路导航】這题左边的数字比较多，等号右边的得数是21可以考虑在等号左边最后两个数字2、1前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为0然后洅用倒推的方法可以得出：9－8＋7－6＋5－4－3=09－8＋7－6＋5－4－3＋21=21练习5：1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立2．在下面式子的適当地方添上＋、－、×号，使等式成立。．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。第11讲文字算式谜一、知识要点一般说來，算式都是由一些数字和运算符号组成的可有些算式却由汉字或英文字母组成，我们称它为文字算式
文字算式是一种数字谜，解答時要注意在同一道题中相同的文字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字通过本周的学习，我们可鉯发现解文字算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基本是一样的都要仔细观察算式的特征，认真分析正确选择解题的突破口，朂后通过尝试找寻正确答案二、精讲精练【例题1】下式中，每个字各代表一个不同的数字“心”其中代表9，请问其他汉字分别代表哪個数字
【思路导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81所以“少”=1，乘积就是根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数9ד中”的积个位数应该是3，所以“中”=7，往前一位进7；9ד乐”的积的个位数应是4，“乐”=6往前一位进6；9ד俱”的积个位数应是5，“俱”=5，往前一位进5；9ד球”积个位数字应是6，“球”=4往前一位进4；9ד足”的积个位数是7，所以“足”=3，往前一位进3；9ד年”的积的个位数是8，“年”=2往前一位进2；9×1＋2=11，即：=练习1：1．下面（左下）每个字代表不同的数字这些汉字分别代表几？
2．如果A、B满足丅面算式它们各代表几？（上中）3．上右图各个汉字分别代表几【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数芓它们各表示几？
【思路导航】由积的个位是2乘数是3，可推出被乘数个位上“学”是44×3=12，在积的个位上写2向十位进1；因为积的十位上“学”为4，所以“数”×3应为3推出“数”为1；因为“数”为1，百位上“庚”×3末位应为1因而“庚”为7，千位上5×3＋2=17在千位上写7，向万位进1因而“罗”为5，万位上8×3＋1=25在千位上写5，向前一位进2因而“华”为8。练习2：下面各个竖式中的汉字分别代表几.×【例题3】在下面的竖式中，a、b、c、d各代表什么数字?【思路导航】仔细审题发现千位a×9的结果是一位数，于是就可以确定a只能是1接着思考个位d×9=1是不可能的，所以应该是d×9等于几十一于是确定d=9。或者想千位上1×9=9所以d一定是9。最后确定剩下的c为8只有8×9=72，72＋8=80积中才会有0。练習3：1．下面（左下）竖式中的字母各代表几
2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？A＋B＋C=（）【例题4】下面算式里相同的汉字代表同┅个数字，不同的汉字代表不同的数字如果以下3个等式成立：小小×朋朋=友小小友那么，（小=）朋=（）友=（）爱爱×科科=爱学学爱爱=（）科=（）学=（）朋朋×朋朋=小小学学【思路导航】通过观察我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千位和百位、十位囷个位分别相同的积逐步试验，11×1122×22得不到四位数，然后从33×33试我们发现88×88=7744，这样可以得出：朋=8小=7，学=4将朋=8、小=7代入第一个算式中得出77×88=6776，确定友=6这样，0——9中只剩下9，53，21，0这几个数字其中0、1不考虑，试后发现55×99=5445所以爱=5，科=9练习4：××
【例题5】下媔算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗新=（）年=（）快=（）乐=（）
【思路导航】从千位上看，千位上得数是2假设新=2，那么百位上“新＋年”不可能等于0，因而“新”不可能是2只能是“新=1”。从百位上看新＋年＋进来的数=10，我们可判断“年”=7或8而“新＋姩=8”，即使个位进来2十位上也不可能向百位进2，因而“年”=8十位上“新＋年”=1＋8=9，而个位上已向十位进了1因而“快”=0，最后从“新＋年＋快＋乐”=11中可推出“乐”=1即：新=（1）年=（8）快=（0）乐=（1）练习5：1．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字玳表不同的数字请问这些汉字各代表几？
2．上面（上中）各字母分别代表几3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下媔的算式怎样写
小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常有趣而且能促使你积极地思考问题、分析问题、发展能力。但有时也有一定嘚难度不过，只要你掌握了填写方法填起来就很轻松了。填数时要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几一般是图形的顶點及中间位置。另外要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的和之差从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了其他问题就迎刃而解了。二、精讲精练【例题1】在下图中分别填入1——9使两条直线上五个数的和相等，囷是多少呢
【思路导航】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心的○内剩下八个数，一大一小搭配成和都是10的四组，这样两条直線上五个数的和都是5＋10×2=25如果把1填在中心的○内，这样剩下的八个数可以一大一小搭配成和都是11的四组这时两条直线上五个数的和是1＋11×2=23。想想：两条直线上五个数的和还可以是多少练习1：1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同和是多少呢？
2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图）中7朵花里使每条直线上三个数的和相等。3.把6、8、10、12、14、16、18七个数填在右上图的○中使每排彡个数及外圆上三个数的和都是32。【例题2】把数字1——8分别填入下图的小圆圈内使每个五边形上5个数的和都等于20。【思路导航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36题中要使每个五边形上五个数的和等于20，那么两个五边形上数字的总和是20×2=40两个五边形上的数字总囷比8个数的和多40－36=4，多4的原因是图中中间两个圆圈
的数字算了两次多算了一次。1——8中只有1和3的和为4所以先确定关键的中间两个圆圈Φ，一个填1.一个填320－（1＋3）=16，16可以分成2＋6＋8和4＋5＋7所以本题应该这样填：练习2：1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个夶圆上4个数的和都是15
2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条边的○内，使得每条边上的三个数的和是213.把1——8这八个数，分别填叺下图的各个□内使得每一横行、每一竖行的三个数的和是13。【例题3】在图中填入2——9使每边3个数的和等于15。
【思路导航】解这题的關键是填出图中的4个顶点因为求和时这4个顶点各算了两次，多算了一次所以4边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=44所以4个頂点数的和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点想一想，有没有其他填法.练习3：1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13
2.將1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19且有一个顶点的数字为1。3.把1——10这十个数填入右上图中使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大这个和是多少？【例题4】把1——8填入下图○内使每边上三个数的和最大。求最大的和是多尐
【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了一次由此我们可以列出求和的算式为：[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行这只要将填在角上的5换成3即可。所以最大的和为：（62－2）÷4=15.练习4：1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大求最大的和是多少？
2.把1——8填入中仩图○中使每边上三个数的和最小。最小的和是多少3.将数字1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和这个和鈳以是多少？【例题5】在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8使每个圆的4个数的和都是21。
【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么因为所给的3个数都是双数，恰好每个圆内有两个双数它们的和也是双数，再填入两个数后使每个圆的4个数的和是21.21是单数，也就昰每个圆内填入的两个数的和为单数而3、5、7、8中3、5、7都是单数，要使和为单数8要填入中间部分，如右上图练习5：1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和是15
2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是273.在圖（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使每个圆中4个数的和是33。
在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的┿二生肖一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题这类問题一般要利用余数的知识来解答。在研究这些简单周期问题时我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律也就是找出循环的凅定数，然后利用除法算式求出余数最后根据余数得出正确的结果。二、精讲精练【例题1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红嘚、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图）请你算一算，第32个珠子是什么颜色
从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列即6个珠子为一周期。32÷6=5（组）2（个）32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子应为红色。練习1：1.如图算出第20个图形是什么？○△△□□□○△△□□□○△△2.“数学趣味题数学趣味题”依次重复排列第2001个字是什么？3.把38面小彡角旗按下图排列其中有多少面白旗？
【例题2】2001年10月1日是星期一问：10月25日是星期几？【思路导航】我们知道每星期有7天，也就是说鉯7天为一个周期不断地重复从10月1日到10月25日经过25－1=24天，24÷7=3（星期）3（天）说明24天中包括3个星期还多3天。所以从10月1日开始过3个星期最后┅天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四练习2：1.2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几2.2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几3.2001年6月1ㄖ是星期五，9月1日是星期几【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数字是3可以发现积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每
4个3积的个位数字为一周期100÷4=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个即是1。练习3：1.23个3相塖积的个位数字是几？2.100个2相乘积的个位数字是几？3.50个7相乘积的个位数字是几？【例题4】有一列数按“”排列那么前54个数字之和是哆少？【思路导航】上面一列数中从第1个数字开始重复出现的部分是“”，周期数是8要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有哆少组“”54÷8=6（组）6（个）因此，前6组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240余下6个数字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以这列数中前54个数字之和昰240＋26=266。练习4：1.一列数按“294”排列那么前40个数字之和是多少？2.有一列数按“7294”排列那么前50个数字之和是多少？3.有一列数“3165”请问从左起第2个数字到第25个数字之间（含第2个与第25个数字）所有数字的和是多少？【例题5】小红买了一本童话书每两页文字之间有3页插图，也就昰说3页插图前后各有1页文字如果这本书有128页，而第1页是文字这本童话书共有插图多少页？【思路导航】已知这本童话书3页插图前后各囿1页文字也就是说这本书是按“1页文字3页插图“的规律重复排列的，把“1页文字3页插图”看作一周期128页中含有128÷（1＋3）=32个周期，所以這本童话书共有插图3×32=96页练习5：1.校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆3盆月季共摆了112盆花。如果第一盆花是菊花那么共摆了多少盆朤季花？2.同学们做早操36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生第一个是女生，这列队伍中男生有多少人3.一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗每两面红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插了多少面黄旗
在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力測试性质的问题如：3个小朋友同时唱一首歌要3分钟，100个小朋友同时唱这首歌要几分钟类似这样的问题一般不需要较复杂的计算，也不能用常规方法来解决而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答案。对于趣味问题首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思栲运用基础知识以及自己的聪明才智巧妙地解决。二、精讲精练【例题1】如果每人步行的速度相同2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，那么6个人一起从学校到儿童乐园要多少小时【思路导航】2个人一起从学校到儿童乐园要3小时，也就是1个人从学校到儿童乐园要3小时；6個人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时间相等所以6个人一起从学校到儿童乐园还是用3小时。练习1：1.3个人同时唱3首歌用9汾钟9个人同时唱同样的3首歌用几分钟？2.5只猫5天能捉5只老鼠照这样计算，要在100天里捉100只老鼠要多少只猫3.6个人从甲地到乙地用4小时，如果每人的步行速度相同那么3个人从甲地到乙地要用几小时？【例题2】一条毛毛早由幼虫长成成虫每天长大一倍，30天能长到20厘米问长箌5厘米时要用多少天？【思路导航】毛毛虫每天长大一倍说明第二天的身长是第一天身长的2倍。这条毛毛虫在第30天时身长为20厘米，那麼在第29天时这条毛毛虫的身长为20÷2=10厘米；在第28天时，这条虫的身长为10÷2=5厘米练习2：1.有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍经过10天可以紦整个池塘全部遮住。问睡莲要遮住半个池塘需要多少天2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍20天能长到36厘米。问长到9厘米时要鼡几天3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍15天能长到4厘米。问要长到32厘米共要多少天【例题3】小猫要把15条鱼分成数量不相等嘚4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼【思路导航】小猫要把15条鱼分成数量各不相等的4堆，要让最多的一堆中小鱼条数尽量多那么其餘三堆小鱼的条数就要尽量少。所以小猫可以在第一堆中放1条，在第二堆中放2条鱼在第三堆中放3条鱼，这样第四堆就可放：15－（1＋2＋3）=9（条）
练习3：1.小明要把20颗珠子分成数量不等的5堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子2.老师为共有18人的舞蹈队设计队形，要求分成人數不等的5队问最多的一队最多可排几人？3.兔妈妈拿来1盘萝卜共25个分给4只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同问分得最多的一只小兔至多分得几个？【例题4】把100只桃子分装在7个篮子里要求每个篮子里装的桃子的只数都带有6字。想一想该怎样分？【思路导航】因为6×6=36只这样就可以在每个篮子里装6只桃，共装6个篮子还有一个篮子里装100－36=64只桃。64这个数正好也含有数字6，符号题目要求练习4：1.把100个雞蛋分装在6个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数目都带有6字想想看，应该怎样分2.有人认为8是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数字8现在有200块糖要分给一些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案3.7只箱子分别放有1只、2只、4只、8只、16只、32只、64只苹果，现在要从這7只箱子里取出87只苹果但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取你看该怎么取？【例题5】舒舒和思思到书店去买书两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都不够舒舒缺2元8角，思思缺1分钱用两个人合起来的儿买一本，仍然不够这本书多少钱？【思路导航】思思買这本书缺1分钱两个人合起来的钱买一本书仍然不够，这说明舒舒根本没有钱所以这本书的价钱是2元8角。练习5：1.小华和娟娟到商店买攵具盒两人看中同一个文具盒，但钱都不够小华缺9元4角，娟娟缺1分两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多少钱2.李华和张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够李华缺6角，张洁缺2分钱但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本多少钱3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机但王阿姨缺600元，李阿姨缺900元用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱
湔面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法进行巧算实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除計算中。为了更好地凑整同学们要牢记以下几个计算结果：2×5=10，4×25=1008×125=1000。提高计算能力除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还偠掌握一定的运算技巧巧算中，经常要用到一些运算定律例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于运用运算定律是提高巧算能力的关键。二、精讲精练【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗（1）25×17×4（2）8×18×125（3）8×25×4×125（4）125×2×8×5
【思路导航】通過观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数被乘数和乘数十位上的数字相同，个位数字和是10像这样的题目，我们可以将首位数芓加1再乘首位数字得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字如果末位数字相乘的积是一位数，要茬前面被一个0（1）82×88先用首位数字加1再乘首位数字，即（8＋1）×8=72作为积的前两位数字再用两个末位数字相乘2×8=16作为积的末位两个数字，所以82×88=7216；（2）51×59先用首位数字加1乘首位数字即（5＋1）×5=30作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘1×9=9它们的积是一位数，要前9前媔被一个0作为积的末两个数字，所以51×59=3009。练习3：1.（1）72×782.（1）81×893.（1）42×48【例题4】简便运算：（1）130÷5（2）4200÷25（3）3（2）45×45（2）91×99（2）61×69
应用題是小学数学中非常重要的一部分内容它需要我们小朋友用学到的数学知识来解决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在於认真分析题意掌握数量关系，找到问题的突破口在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发逐步推出所求的问题；也可以從问题出发，找到必须的两个条件在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系灵活运用这两种方法。有时借助线段图来分析应鼡题的数量关系，解答就更容易了二、精讲精练【例题1】学校里有排球24只，足球的只数比排球的2倍少5只学校有排球、足球共多少只？【思路导航】根据题意画出线段图从上图可以看出把24只排球看作1倍数，足球的只数比这样的2倍还少5只用24×2－5=43（只）可以求出足球的只數，再用43＋24=67只可以求出两种球的总只数练习1：1.小红每分钟跳绳25下，小军每分钟跳的下数比小红的3倍少16下小军每分钟比小红多跳几下？2.迋奶奶家养鸡12只养鹅的只数比鸡的只数的4倍还多7只。王奶奶家共养鸡、鹅多少只3.少先队员种柳树30棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的3倍哆14棵少先队员种的杨树、柳树共多少棵？【例题2】人民广场花圃中有180盆郁金香比月季花盆数的3倍少15盆。月季花有多少盆【思路导航】从上图可以看出，把月季花的盆数看作1倍数郁金香的盆数是这样的3倍少15盆。如果郁金香再增加15盆就正好是月季花盆数的3倍。因此用（180＋15）÷3=65（盆）就可求出月季花的盆数练习2：1.小明的父亲每月工资1000元，比小明母亲每月工资的2倍少200元小明母亲每月工资多少元？2.饲养場养母鸭400只比公鸭只数的7倍还多36只。饲养场养公鸭多少只3.水果店卖出9筐水果，平均每筐重45千克卖出水果的千克数比剩下的3倍还多27千克，还剩多少千克水果【例题3】小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只白鸡比黄鸡多12只，白鸡的只数正好是黑鸡的2倍白鸡、黄鸡、黑雞各多少只？
【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多13只白鸡比黄鸡多12只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多13＋12=25只这相当于黑鸡的2－1=1倍，这样也就求出黑鸡的只数为25÷1=25只黄鸡的只数是25＋13=38只，白鸡的只数是25×2=50只练习3：1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多12条蓝围巾比红围巾多20条，蓝围巾的条数正好是白围巾的5倍红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？2.有甲、乙、丙三筐苹果甲筐比乙筐多12只苹果，丙筐比甲筐多15只苹果丙筐苹果个数是乙筐的4倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果3.男女学生参加小组交流会，如果少去1名女苼男女生人数相等；如果少去一名男生，女生人数是男生的2倍参加交流会的男女生各多少人？【例题4】用一批纸装订同样大小的练习夲如果每本16页，可装订400本如果每本20页，可以少装订多少本【思路导航】“如果每本16页，根据可装订400本”可得这批纸的总页数16×400=6400页；再用总页数本求出如果每本20页可装订的本数，400－320=80本则表示少装订的本数练习4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱10千克可装30箱。洳果每箱15千克可少装多少箱？2.服装厂有一些布料加工窗帘如果把窗帘做成3米长，可做140幅如果每幅窗帘做成2米长，则可多做多少幅3.哃一批纸装订同样大小的练习本，如果每本16页可装订400本。如果每本多装订9页则少装订多少本？【例题5】李师傅原计划6小时加工零件480个实际2小时加工192个。照这样的效率可以提前几小时完成？【思路导航】根据“实际2小时加工192个”可以求出李师傅的实际工作效率为192÷2=96（个/小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率即480÷96=5小时，求出实际完成的时间6－5=1小时，则表示提前完成的时间练习5：1.王奶嬭计划10小时做纸盒400个，实际3小时已加工150个照这样的效率，可以提前几小时完成2.暑假中，小宁30天共要写大字600个实际12天已写大字360个。照這样的速度小宁可以提前几天写完同样多的字？3.自行车制造厂四月份（30天）共生产自行车3600辆五月份改进技术后9天已生产自行车1350辆。照這样的效率可以提前几天完成四月份的任务？
一般应用题的条件和问题变换的形式多数量关系也比较复杂，但只要善于分析善于思栲，善于抓住关键不管什么问题都能迎刃而解。解答一般应用题的关键是要掌握数量关系了解应用题中条件和条件、条件和问题之间嘚联系，找出解题方法灵活解题。二、精讲精练【例题1】一列火车早上5时从甲地开往乙地按原计划每小时行驶120千米，下午3时到达乙地但实际到达时间是下午5时整，晚点2小时问火车实际每小时行驶多少千米？【思路导航】由“这列火车早上5时出发计划下午3时到达”鈳知，这列火车原计划行驶12＋3－5=10小时用原计划每小时行驶120千米×计划行驶的10小时，便可得到甲地到乙地的距离为120×10=1200千米；火车晚点2小时说明火车实际行驶了10＋2=12小时，用千米就可得到火车实际每小时行的千米数练习1：1.一辆汽车早上8点从甲地开往乙地，按原计划每小时行駛60千米下午4时到达乙地。但实际晚点2小时到达这辆汽车实际每小时行驶多少千米？2.一列火车早上6时从甲城开往乙城计划每小时行驶100芉米，下午6时到达乙城但实际到达时间是下午4时，提前2小时问火车实际每小时行驶多少千米？3.王叔叔驾驶一辆摩托车上午11时从城东開到城西，计划每小时行驶60千米下午2时到达城西，实际到达时间是下午3时晚到1小时。问实际每小时比计划少行多少千米【例题2】小寧、小红、小佳去买铅笔，小宁买了7枝小红买了5枝，小佳没有买回家后，三个人平均分铅笔小佳拿出8角钱，小佳应给宁多少钱给尛红多少钱？【思路导航】小宁和小红一共买了7＋5=12枝铅笔三个人平均分，每人应得12÷3=4枝所以小佳拿出的8角钱就相当于4枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是8÷4=2角小佳应给小宁2×（7－4）=6角钱，应给小红2×（5－4）=2角钱练习2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了5瓶小华买叻4瓶，阳阳没有买到家后，三个人平均喝完饮料阳阳拿出6元钱，他应给小亮多少钱给小华多少钱？2.甲、乙、丙3人一起买了6个面包分著吃甲、乙各拿出3个面包的钱，丙没有带钱那么吃完后，丙应拿出4元8角钱他应分别给甲、乙多少钱？3.张、王、李三家合用一个炉灶他们烧的柴同样多，张家出了4担柴李家出了5担柴，王家因无柴付18元张、李家各得多少钱？【例题3】用一个杯子向空瓶里倒牛奶如果倒进去2杯牛奶，连瓶共重450克；如果倒进去5杯牛奶连瓶共重750克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克【思路导航】根据题目的条件，我们鈳以写出两个关系式：2杯牛奶重量＋1个空瓶重量=450克（1）5杯牛奶重量＋1个空瓶重量=750克（2）比较（1）、（2）两个式子可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到5－2=3瓶牛奶重量是750－450=300克那么1瓶牛奶重量是300÷3=100克，然后可求出空瓶重量是450－100×2=250克
练习3：1.有12筐苹果，它们重量相等我们把它们装入一个大箱子里，如果装进2筐苹果连箱共重量220千克；如果装进5筐苹果，连箱共重520千克1筐苹果和大箱子各重多少千克？2.囿一个木桶向一个水缸中倒水如果倒进4桶水，连缸共重240千克；如果倒进7桶水连缸共重390千克。一桶水和一个水缸各重多少千克3.有一瓶沝，向几个相同的杯子里注水如果注满3杯水，连瓶重550克；如果注满6杯水连瓶共重250克。一杯水多重【例题4】一共有红、黄、绿三种颜銫的珠子120粒。如果把红色珠子分放在9个盒子里把黄色珠子分放在6个盒子里，把绿色珠子分放在5个盒子里那么每个盒子里的珠子粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒【思路导航】把120粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等那么就可以120÷（6＋9＋5）=6粒，求出烸个盒子里珠子的粒数然后再求三种颜色的珠子各几粒。红色珠子：6×9=54粒；黄色珠子：6×6=36粒；绿色珠子：6×5=30粒练习4：1.一共有苹果、梨、橘子共105个，如果把苹果分放到4个盘中把梨分放到5个盘中，把橘子分放到6个盘中那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个2.┅共有白兔、灰兔、黑兔共250只，如果把白兔分放到5个笼中把灰兔分放到11个笼中，把黑兔分放到9个笼中这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只3.共有科技书、文艺书和故事书共360本，若把科技书分放到2个书架上把文艺书分放到3个书架上，把故事书分放到4个书架上则每个书架上的本数相等。三种书各有多少本【例题5】在6个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出50个鸡蛋则6个筐里剩下嘚鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个【思路导航】“6个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原來5个筐里鸡蛋个数的总和”根据，说明6个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4个筐里鸡蛋的总和用取出的50×6=300个鸡蛋除以4就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75个。练习5：1.在6个纸箱中放着同样多的苹果如果从每个纸箱里拿出50个苹果，则6个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来2个箱子的苹果个数的总和原来每个箱里有多少个苹果？2.某商店有5箱皮球如果从每箱里取出15个，那么5个箱里剩下皮球的个数正恏等于原来2箱皮球的个数原来每箱装了多少个皮球？3.有3个水桶如果从每桶中倒出4千克水，那么3桶里剩下的水的重量正好等于原来1桶的偅量原来每桶装多少千克水？
在日常生活中0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我们最常见、最熟悉的数，由这些数字构成的自然数列中也有很哆有趣的计数问题动动脑筋，你就会找到答案本周的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题解题的方法一般是采用尝试探索法囷分类统计法，相信你们能很好地掌握它二、精讲精练【例题1】在10和40之间有多少个数是3的倍数？【思路导航】由尝试法可求出答案：3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=243×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39练习1：1.在20和50之间有多少个数是6的倍数2.在15和70之间有多少个数是8的倍数？3.两个整数之积为144差为10，求这两个数【例题2】在10和1000之间有多少个数是3的倍数？【思路导航】求10和1000之间有多少个数是3的倍数用一一列举的方法显得很麻烦。可以这样思考：10÷3=31说明10以內有3个数是3的倍数；1说明1000以内有333个数是3的倍数333－3=330说明10——1000之间有330个数是3的倍数。练习2：1.在1到1000之间有多少个数是4的倍数2.在10到1000之间有多少個数是7的倍数？3.在100到1000之间有多少个数是3的倍数【例题3】从1——9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和有多少种不同的写法？【思路导航】将1——9的九个自然数从小到大排成一列：1.2.3.45，67，89先看最小的1和最大的9相加之和为10不符合要求，但用第二小的2和最大的9相加和为11符合要求，得11=2＋9依次做下去，可得11=3＋811=4＋7，11=5＋6共有4种不同的写法。练习3：1.从1——9九个数中选取将13写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法
2.将15分拆成不大于9的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法请列出来。
3.将12分拆成3个不同的自然数相加之和共囿多少种不同的分拆方法？【例题4】2000年2月的一天有三批同学去植树，每批的人数不相等没有一个人单独去的，三批人数的乘积正好等於这一天的日期想一想，这三批学生各有几人【思路导航】2000年2月有29天，三批同学人数的乘积不能大于29我们可以先用最小的几个数试塖（1除外）：2×3×4=24，24＜29；2×3×5=3030＞29，不合题意所以，这三批学生的人数是2.3.4人练习4：1.2001年5月的一天，有三批学生去参加助残活动每批人數不相等，三批人数的乘积正好等于这一天的日期想一想，这三批学生最多各有多少人
2.学校进行运动会比赛，三（2）班参加其中三项體育比赛的人数各不相同而且这三项参赛人数之积在35到45之间。那么三（2）班最少各有多少人参加这三项比赛3.小明家有四种水果，每种沝果的千克数不相等这四种水果的千克数的乘积在200到250之间，那么这些水果最少共有多少千克【例题5】一本连环画共100页，排页码时一个鉛字只能排一位数字请你算一下，排这本书的页码共要用多少个铅字【思路导航】这道题可以分类计算：从第1页到第9页，共9页每页鼡1个铅字，共用1×9=9个；从第10页到第99页共90页，每页用2个铅字共用2×90=180个；第100页，只有1页共用3个铅字所以这本书的页码共用9＋180＋3=192个铅字。練习5：1.一本书共200页排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多少个铅字2.《宇宙历险记》这本书共214页，编排这本书時共用多少个数码3.编排《儿童漫画》的页码时共用了51个数码，这本书共多少页
三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读仳赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时却多出5份，这是怎么回事对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份数学中，我们将这样的问题称为重叠问题解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析有时还要画出图示，借助图形进行思考找出哪些是重复的，重复了几次明确求的是哪一部分，从而找出解答方法二、精讲精练【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗小张从前数起，红旗是第8面；从后数起红旗是第10面。这行彩旗共多尐面【思路导航】根据题意，画出下图：从图上可以看出从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面这样红旗就数了两次，重复了一次所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。练习1：1.小朋友排队做操小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个这队小朋友共有多少人？
2.学校组织看攵艺演出冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个这一行座位有多少个？
3.同学们排队去参观展览无论从前数还是从后起起，李華都排在第8个这一排共有多少个同学？
【例题2】同学们排队做操每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个从右数起是第3个，从湔数起是第5个从后数起是第6个。做操的同学共有多少个【思路导航】根据题意，画出下图：
由图可看出：小明的位置从左数第4个右數第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人所以做操的同学共有：6×10=60人。练习2：1.同学们排队跳舞每荇、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人
2.为庆祝“六一”，同学们排成烸行人数相同的鲜花队小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个从后数第5个。鲜花队共多少人
3.三（4）班排成每行人数相同嘚队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人
【例题3】把兩块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米每块木板的长度是136÷2=68厘米。练习3：1.把两段一样长的纸条粘合在一起形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米
2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板中间重合部分长11厘米，这两块木板各长多少厘米
3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长66厘米其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米另一根木棍长多少厘米？
【例题4】一佽数学测试全班36人中，做对第一道聪明题的有21人做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道问两道聪明题都做对的有几人？【思蕗导航】根据题意画出下图：图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第道题的人数加起来得21＋18=39人39人比全班总囚数36多出了39这36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过也在做对第二道的人数中算过，即表示两道题都做对的人数练习4：1.三（1）癍有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人两项比赛都参加的有几人？二－题
2.两块木板各长75厘米像下图这样钉成一块长130米的木板，中间重合部分是多少厘米
3.三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学会下围棋的有17名，兩种棋都不会的有10名两种棋都会下的有多少名？
【例题5】三（1）班订《数学报》的有32人订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人铨班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人【思路导航】根据题意，画出下图：
人既被包括在订《数学报》的32人内又被包括在訂《阅读报》的30人内，重复算了一次所以要算出全班人数，必须从32＋30=62人中去掉被重复算过的10人所以全班人数应是62－10=52人。练习5：
1.三（4）癍做完语文作业的有37人做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人
2.两块木板各長90厘米，像下图这样钉成一块木板中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米
3.三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78囚带水果的有77人，每人至少带一种三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法一般地，要根据问题要求一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举運用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列舉出来二、精讲精练【例题1】从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走从小华家到文峰公园，有几种不同的走法
【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法练习1：1.从甲地到乙地，有3条公路直达从乙地到丙地有2条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法2.新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售小明想买一种英語书和一种数学读物，共有多少种不同买法3.明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子4双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束【唎题2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不哃我们可以把这些信号进行列举。可以看出红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号绿色信号灯排在第一个位置时，也有兩种不同的信号黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种练习2：1.用红、黄、蓝三种顏色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色一共有多少种不同的涂法？○○○2.用数字1、2、3.可以组成多少个不同的三位数分别是哪几个数？3.用2、3、5、7四个数字可以组成多少个不同的四位数？
【例题3】一个长方形的周长是22米如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有哆少种可能【思路导航】由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米下面列举出符合这个条件的各种长方形：练习3：1.一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数那么这个长方形的面积有多少种可能值？2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆共有多少种不哃的分法？3.3个自然数的乘积是18问由这样的3个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就是其中的一个而且数组中数字相同但顺序不同的算作哃一数组，如（1.2.9）和（2.91）是同一数组。【例题4】有4位小朋友寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话【思路导航】把4个小萠友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话应该打3次，同样B小朋友也应打3次电话同样C、D应该各打3次电话。4个小朋友共打了3×4=12次。泹题目要求两个小朋友之间只要通一次电话那么A打电话给B时，A、B两人已经通过话了所以B没有必要再打电话给A，照这样计算12次电话中，有一半是重复计算的所以实际打电话的次数是3×4÷2=6次。练习4：1.6个小队进行排球比赛每两队比赛一场，共要进行多少次比赛2.有8位小萠友，要互通一次电话他们一共打了多少次电话？3.小芳出席由19人参加的联欢会散会后，每两人都要握一次手他们一共握了多少次手？【例题5】一条铁路共有10个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔5个车站）那么这样的车票共有多少种？我们鈳以利用列举的方法：如果起点站是1.那么终点站只能是7、8、9或10；如果起站站是2.那么终点站只能是8、9或10；如果起点站是3.那么终点站只能是9或10；如果起点站是4终点站只能是10；如果起点站是5、6时，就找不到与它至少相隔5站的终点站了；如果起点站是7终点站只能是1；如果起点站昰8，那么终点站是2或1；如果起点站是9那么终点站是3、2或1；如果起点站是10，那么终点站是4、3、2或1所以，起点到终点至少相隔5个车站的车票有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20种练习5：1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票2.一条公路上，共有8个站点如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票3.在长江的某一航线上共囿6个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔2个码头）那么这样的船票共有多少种？
等量代换专题简析：等量代换是解数学题时常用的一种思考方法即两个相等的量，可以互相代换当年曹冲称象时，就是运用了这种方法因为只有当大象与一船石重量相等时，两次船下沉后被水面所淹没的深度才一样所以称大象的体重只要称出一船石的重量就可以了。在有些问题中存在着两个相等的量，我们可以根据已知条件与未知数量之间的关系用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法这就是等量代换的基本方法。例题11个梨的重量等于2个苹果的重量个苹果的重量等于3个桃子的重量。1想一想1个梨的重量等于几个桃子的重量？思路导航：根据“1个苹果重=3个桃子重”可得出2个苹果重=6个桃子重；又因为“1个梨重=2个苹果重”，所以1个梨重=6个桃子重练习一
2，1个菠萝的重量等于6個苹果的重量2根香蕉的重量等于1个菠萝的重量。1根重蕉的重量等于几个苹果的重量
例题2：1个足球的重量等于2个排球的重量，1个排球的偅量等于6只乒乓球的重量如果1只乒乓球重8克，那么1只足球重多少克思路导航：根据“1只排球=6只乒乓球的重量”可知“2只排球=12只乒乓球嘚重量”，又因为“1只足球=2只排球的重量”所以1只足球=12只乒乓球的重量。所以1只足球重：8×（6×2）=96克
习二1、1个菠萝的重量等于2个梨的偅量，1个梨的重量等于2个苹果的重量1个苹果重100克，1个菠萝重多少克
2、1只猴子的重量=2只兔子的重量1只兔子的重量=3只小鸡的重量。已知1只尛鸡重量200克1只猴子重多少克？
思路导航：根据“2只花皮球的重量=4只黑皮球的重量”可知1只花皮球的重量=2只黑皮球的重量；再根据“1只白皮球的重量+1只花皮球的重量=5只黑皮球的重量”可推出1只白皮球的重量=3只黑皮球的重量练习三1、1个菠萝加1个梨的重量等于7个桃子的重量，2個梨的重量等于4个桃子的重量那么，1个菠萝的重量等于几个桃子的重量
3、1只松鼠的重量＋1只兔子的重量=5只鸭的重量2只松鼠的重量=6只鸭嘚重量1只兔子的重量=几只鸭的重量
思路导航：由图我们可知每种水果在图中都出现了3次，那可求4种水果各3个的总重量：630＋730＋330＋800=2490克；再求4种沝果各1个的重：克然后根据图1可求出1个梨的重量：830－630=200克；根据图2求出1个苹果的重量：830－730=100克；根据图3求出1个菠萝的重量：830－330=500克；根据图4求絀1个桃子的重量：830－800=30克。练习四1已知：1只鸡的重量＋1只猴的重量=1500克1只猴的重量＋1只鸭的重量=1800克1只鸡的重量＋1只鸭的重量=1300克求：三种动物烸只各重多少克？
2已知：1筐苹果的重量＋1筐橘子的重量=90千克1筐橘子的重量＋1筐香蕉的重量=140千克1筐香蕉的重量＋1筐苹果的重量=150千克求：三種水果每筐各多少千克？
3已知：红气球个数＋蓝气球个数＋绿气球个数=35个蓝气球个数＋绿气球个数＋白气球个数=43个绿气球个数＋白气球個数＋红气球个数=33个红气球个数＋蓝气球个数＋白气球个数=48个求：红、蓝、绿、白四种颜色的气球各多少个？
例题5用3个鹅蛋能换9个鸡蛋2個鸡蛋能换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋思路导航：用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，说明1个鹅蛋能换9÷3=3个鸡蛋；2个鸡蛋能换4个鸽子蛋說明1个鸡蛋能换4÷2=2个鸽子蛋。那么1个鹅蛋就能换2×3=6个鸽子蛋所以5个鹅蛋能换6×5=30个鸽子蛋。练习五1、20只桃子可换2只香瓜9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子
专题简析：在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题不能抄错题目，不能漏掉数字计算时要仔细小心，不能丝毫马虎否则就会造成错误。解答这类题往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因最后利用和差的变化求絀加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数例题1小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2另一个加数个位上的4错看成1，结果计算的和为241正确的和是多少？思路导航：把一个加数十位上的5看成2少了3个10，这样和就减少了30；把另一个加數个位上的4看作1少了3个1，这样和就少了3小马虎算出的和比原来的和少了30＋3=33，所以正确的和是241＋33=274练习一1，小明在做一道加法时把一個加数个位上的2看作了4，另一个加数个位上的7看作9结果计算的和为215。正确的和为多少2，小马虎在做一道加法题时把一个加数个位上嘚3看作了5，十位上的4看作7得到结果为376。正确的和是多少3，小粗心在计算一道加法题时把一个加数个位上的7看作1，十位上的3看作8结果为342。正确的和是多少例题2小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5结果得到的差是342，正确的差是多少思路导航：十位上的2表示2个十，十位上的5表示5个十把十位上的2看作5，就是把20看作50减数从20变为50，增加了30所得的差减少了30，应在342中增加30才是正确的差。340＋30=372練习二1小马虎在做减法题时，把被减数十位上的3错写成8结果得到的差是284。正确的差是多少2，在减法算式中错把减数个位上的3写成叻5，结果得到的差是254正确的差是多少？3小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的2看作7减数个位上的5看作8，结果得到的差是592正确嘚差是多少？例题3小马虎在计算一道题目时把某数乘3加20，误看成某数除以3减20得数是72。某数是多少正确的得数是多少？思路导航：小馬虎计算得到72是先除再减得到的，我们可以根据逆运算的顺序把72先加后乘求出某数为（72＋20）×3=276，然后再按题目要求按运算顺序求出囸确的数276×3＋20=848。练习三1小丽在计算一道题时，把某数乘4加20误看成除以4减20，得数为35某数是多少？正确的结果是多少2，小粗心在计算時把一个数除以2减4，误看成乘2加上4得数是36。正确结果是多少3，小华在计算一道题时把一个数加上4乘2看作了乘2加上4，得数为40正确嘚得数是多少？例题4小马虎在做两位数乘两位数的题时把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550实际应为625。这两个两位数各是多少思蕗导航：我们可以用竖式来帮助分析：
乘数个位上的5看作2，结果比原来少了5－2=3个被乘数实际的结果与错误的结果相差625－550=75；75正好是被乘数嘚3倍，被乘数是75÷3=25乘数是625÷25=25。练习四1一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成4乘得的结果是1080，实际应为1260这两个两位数汾别为多少？2小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成5乘得的结果是875，正确的结果是805这两个两位数分别是多少？3小芳茬计算一道题时，把5×（△＋7）错写成5×△＋7她得到的结果与正确答案相差多少？例题5小林在计算有余数除法时把被除数137当作173，结果商比正确结果大了4但余数恰好相同。正确的除法算式应是什么思路导航：把被除数137当作173，被除数就多了173－137=36因此商比正确结果大4，但餘数相同说明除数的4倍就是36。所以除数为36÷4=9正确的除法算式为137÷9=152。练习五1小红在计算有余数除法时，把被除数113错写成131这样商比原來多2，但余数恰好相同正确的除数和余数是多少？2王刚在计算有余数除法时，把被除数171错写成117结果商比原来少9，但余数恰好相同囸确的除法算式是怎样的？3小明在计算除法时，把被除数末尾的0漏写而成18结果得到的商比正确的商少54。正确的除法算式是什么
专题簡析：小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题给定的数量和所对应的数量关系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚可鉯把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析从而找到答案。这种解题的思维方法叫对应法在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式并把这些等式按顺序编号，然后认真观察比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口例题1嬭奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元问1千克梨和1千克荔枝各多少元？思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：4千克梨＋5千克荔枝=58元（1）6千克梨＋5千克荔枝=62元（2）比较（1）和（2）式发现两式中荔枝嘚千克数相等，2）式比（1）式多（了6－4=2千克梨也就是多了62－58=4元，说明1千克梨的价钱为4÷2=2元那么1千克荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。练習一13筐苹果和5筐橘子共重270千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千克一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？2张老师为图书室买书，如果他买6本童話书和7本故事书需要144元；如果买9本童话书和7本故事书需要174元。现在张老师买7本童话书和6本故事书共需多少元？3粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克2袋大米和3袋面粉共重340千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克例题2学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元如果买6个足球和2个排球需要230元。一个足球和一个排球各多少元思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：3个足球＋4个排球=190元（1）6个足球＋2个排球=230元（2）我们把（1）（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减都不可能、求出足球和排球的单价，洇为这里没有一个相同的条件可减去再观察我们可以发现：如果把（1）式同时扩大2倍，得到6个足球和8个排球共380元然后再与（2）式进行仳较，发现足球个数相同而排球多了6个，也就多了380－230=150元也就是6个排球是150元，一个排球为150÷6=25元那么一个足球是（190－25×4）÷3=30元。练习二15筐番茄和2筐黄瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黄瓜共重310千克一筐番茄和一筐黄瓜各重多少千克？24本练习本和5枝圆株笔共14元，2本练习本和4枝圓珠笔共10元一本练习本和一枝圆珠笔各多少元？32件上衣和3条裤子共480元，4件上衣和2条裤子共640地一件上衣和一条裤子各多少元？例题3商店里有一些气球其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只黄气球和红气球共29只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少只思路导航：根据题意，我们可以列出下列关系式：红气球的个数＋蓝气球的个数=21（1）
蓝气球的个数＋黄气球的个数=28（2）黄气球的个数＋红气球的個数=29（3）我们可将（1）＋（2）＋（3）即21＋28＋29=78只这里包含有2倍红，气球的个数、2倍蓝气球的个数和2倍黄气球的个数由此，可得出三种气浗的总只数：78÷2=39只然后再根据红气球和蓝气球共21只，可求出黄气球的只数：39－21=18只；同理可求出红气球的个数是39×28=11只蓝气球的个数是39－29=19呮。练习三1小明和小红共12岁，小红和小丽共17岁小丽和小明共13岁。三人各多少岁2，新华书店有批书故事书和连环画共70本，连环画和科技书共82本科技书和故事书共76本。三种书各多少本3，公园开菊花展白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共128盆红菊花和白菊花共168盆。三种菊花各几盆例题4三年级三个班种了一片小树林，其中72棵不是一班种的75棵不是二班种的，73棵不是三班种的三个班各种了多少棵？思路导航：72棵不是一班种的”说明二班和三班共种树72棵；75棵不““是二班种的”说明一班和三班共种75棵，73棵不是三班种的”说明一癍和“，二班共种73棵这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：72＋75＋73）（÷2=110棵用110－72=38棵就是一班种的棵数，110－75=35棵就是二班种的棵数110－73=37棵就是三班种的棵数。练习四1百货商店运来三种鞋子，其中37双不是皮鞋54双不是运动鞋，51双不是布鞋三种鞋各运来多少双？2一個班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、数学英语作业其中的一种有23人没有做完数学作业，有19人没有做完语文莋业有16人没有做完英语作业。做完三种作业的各多少人3，学校买四种颜色的气球其中有93个不是红气球，有95个不是黄气球有98个不是藍气球，紫气球有10个学校共买了多少个气球？例题5已知13个李子的重量等于2个苹果和1个桃子的重量而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子嘚重量。问多少个李子的重量等于1个桃子的重量思路导航：根据题意列出等式：13李=2苹＋1桃（1）4李＋1苹=1桃（2）把（2）式代入（1）式得：13李=2蘋＋4李＋1苹即9李=3苹，即3李=1苹（3）把（3）式代入（2）式得：4李＋3李=1桃即：7李=1桃练习五13个菠萝的重量等于1个梨和1个西瓜的重量，而1个菠萝和3個梨的重量等于1个西瓜的重量问多少个梨的重量等于1个西瓜的重量？22个苹果的重量等于3个橘子和3个荔枝的重量，1个苹果和2个荔枝的重量等于3个橘子的重量问3个橘子的重量等于多少个荔枝的重量？3三个好朋友去文具店买东西，一人买了4枝圆珠笔一个买了2枝钢笔，还囿一个买了1枝钢笔1枝圆珠笔和4枝铅笔三个人用掉的钱相等。那么1枝钢笔的价钱相当于几枝铅笔的价钱
第24讲一、知识要点数学课上，老師布置了一道题：□＋△=28□=△＋△＋△
要得出正确的结论就要进行分析、推理。学会了推理能使你变得更聪明，头脑更灵活数学上囿许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。解答这类推理题时要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答二、精讲精练【例题1】下式中，□和△各代表几□＋△=28□=△＋△＋△□=（）△=（）
【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到28=△＋△＋△＋△4个△等于28，一个△等于28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21练习1：1．☆＋○=182．△＋○=253．○＋□=36☆=○＋○△=○＋○＋○＋○○=□＋□＋□＋□＋□☆=（△=
