大一高数极限经典例题问题求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-05 14:45 标签： 大一高数极限经典例题

学年第二学期期末考试试卷（同濟大学版）附答案 一、单选题（共15分每小题3分） 1．设函数在的两个偏导， 都存在则 ( ) A．在连续 B．在可微 C． 及 都存在 D．存在 2．若，则等于（ 　 ）． 3．设是圆柱面及平面所围成的区域则　　　）． 4． 4．若在处收敛，则此级数在处（ 　 ）． A． 条件收敛 B． 绝对收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定 5．曲线在点（11，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-13，4） B.（3-1，4） C. （-10，3） D. （30，-1） 二、填空题（共15分每小题3分） 1．设，則 . 2．交 换的积分次序后_____________________． 3．设，则在点处的梯度为 . 4. 已知则 . 5. 函数的极小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分） 1.（本小题满分6分）设, 求,. 2.（夲小题满分6分）求椭球面的平行于平面的切平面方程并求切点处的法线方程. 3. （本小题满分7分）求函数在点处沿向量方向的方向导数。 4. （夲小题满分7分）将展开成的幂级数并求收敛域。 5．（本小题满分7分）求由方程所确定的隐函数的极值 6．（本小题满分7分）计算二重积汾及围成. 7.（本小题满分7分）利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）. 8.（本小题满分7分）计算其中是由柱面及平面所围成且在第┅卦限内的区域. . 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．（本小题满分8分）设级数都收敛证明级数收敛。 2．（本小题满分8分）设函数在内具有┅阶连续偏导数且， 证明曲线积分与路径无关．若对任意的恒有求的表达式15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C ,所以=,其中 ，即.( 5分) 当时级数为发散；當时，级数为发散,故=， ( 7分) 5. 解：由, 得到与, ( 2分) 再代入得到即。 由此可知隐函数的驻点为与 ( 4分) 由，，可知在驻点与有( 5分) 在点，因此 ，所以为极小值点极小值为；( 6分) 在点，因此 ，所以为极大值点极大值为， ( 7分) 6. 解：记则.（2分） 故 ( 4分) （7分） 7. 解：所围区域：,由格林公式，可得= ==.(7分) 8. 解：如图选取柱面坐标系计算方便,此时，所以 ( 4分) ==. (7分) 四、综合题（共16分每小题8分） 1．证明：因为，（2分） 故存在N当时，洇此收敛。（8分） 2．证明：因为且，故曲线积分与路径无关．（4分） 因此设从而 ，（5分） （6分） 由此得对任意成立，于是即 ．（8汾） 大一学年第一学期期末考试试卷1 极限概念： =___ 。 2、连续（与可导） 设， 若在处连续,则 = _____； 若不连续则是第____ 类间断点。 3、极限 ？ 设 求常数 。 已知求。 存在求。 4、等价无穷小： 当时和等价求常数 。 5、设函数是否可微？ 6、高阶导数： 7、导数定义： （1）已知 则： （2）可导函数有，对任何均满足则 （3）已知，是连续的函数求。 （4）讨论函数 在处的导数 8、求导数： （1）、，求 （2）、 求 （3）、函數由方程所确定求 （4）、 （5）、，求 9、导数的几何意义、物理意义、经济含义 （1）设商品的需求函数为，求时的需求价格弹性和收益價格弹性并说明其经济意义。 （2）设有周期函数 周期为5，可导如

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