电 路 分 析 基 础

第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 导论 电路基本概念 电路定律 电路的分析方法 一阶电路 高阶电路和复数频率 正弦稳态电路分析 交流功率 频率响应

电量和国际单位制 力、功和功率 电荷与电流 电压 电能和电功率

本书采用国际单位(SI)制，国际单位有9个基 本单位：

长度――米(m) 质量――千克(kg) 时间――秒(s) 电流――安[培](A) 温度――开[尔文](K) 物质的量――摩[尔](mol) 平面角――弧度(rad) 立体角――球面度(sr) 发光强度――坎[德拉](cd)

所有其他的物理量都从基本单位导出。

电路分析中常用的物理量如下表所示，我们应尽 可能使用国际单位的10的幂次及约量。

物理量 符号 频率 力

磁通[量] 磁通[量] 密度

我们从“力等于质量乘以加速度”物理概念出发可知，1牛顿就 是使1千克质量的物体能产生1米/秒2的加速度的力，即

同样，在力的作用下使物体移动一定距离时就做功。1焦耳等于 1牛顿?米,即

功和能量单位相同。 功率是做功的速率或能量从一种形式转化为另一种形式的速度， 功率的单位为瓦特(W),即: W

电荷有正电荷和负电荷，电荷流动形成电流，电流单位为安培 （A），一般用I表示恒定电流，i表示随时间变化的电流。在1s时 A I i s 间内通过一定截面1C电荷的电流为1A。 C A 一般可表示为： 对于时变电流可表示为：

由于电荷移动可以为正，也可以为负，设定正电荷移动的方向为 电流的正方向，故负电荷移动的方向为反方向。在电路分析中比 较重要的是金属导体中的电流，它由原子结构最外层电子的运动 产生的。

电压通常是电位，是指电荷在电场中的位能。电压差（也叫电位 差）是电荷从一点移动到另一点所需要做的功能。电压的单位是 伏特，单位符号V。1V等于移动1C电荷需要1J功。即 V V C J

电压的计量符号用下标表示对应于哪两点，如果字母a代表一点， a 字母b代表另一点，需要W焦耳的功来从b点向a点移动Q库仑电荷， b b a Q 则Vab=W/Q V =W/Q。注意，第一个下标点是电荷移动到达点。 电压极性的定义：如果从b向a移动正电荷做功，则a点对b点为正。 b a a b

电荷在电场中移动会吸收或释放能量，这种能量称为电能。电能 单位是焦耳(J)，电能的转换速率是电功率(P)，单位是瓦特(W)， J P W 即每秒中电能的变化量J/s J/s，可表示为 J/s

故电功率等于电压和电流的乘积，即 P=VI 由于V ，I 随时间变化，则瞬间功率也为时间函数，功 V I 率是能量对时间的微分 P=dW/dt 在电动机等其他设备中输出功率常用称为马力 (horsepower-hp)的单位表示。 马力与瓦特的关系为： 1hp hp=745.7W hp W

电路元件分类 电压源 电流源 电阻元件 电容元件 电感元件

电器设备可用具有不同性能电路元件组成的电路图或 网络图来描述。简单的电路元件是二端元件。按性能 可分为七种基本元件，用图2.1表示:

有源元件：能提供电路能量的是电压源(a)，(b)或电

流源(c)，(d)。其中用圆圈表示的(a)和(c)是独立电 压源和电流源，不受电路变化影响。用菱形表示的(c) 和(d)是受控电压源和电流源，随电路变化而变化。电 压源和电流源通称为有源元件。

无源元件：将电路中能量转化其它形式和将它储存在

电场或磁场中的元件是电阻R，电容C和电感L。其符号 R C L 如2.1中的(e)，(f)和(g)。称R，L和C为无源元件。 R L C

理想电压源的定义是：其两端电压与通过它的 理想电压源 电流无关，电压源的电压叫做源电压，又叫做 电动势。源电压可以是时间的函数，图2-1中 (a)，(b)是电压源的符号，(a)是独立电压源， (b)是受控电压源，图中u为源电压，“+”和 u “-”表示u是“+”端相对于“-”端的电压。 u

理想电流源的定义是：通过它的电流与其两端 理想电流源 的电压无关，通过电流源的电流叫做源电流， 源电流可以是时间的函数。图2.1中(c)，(d) 是电流源的符号，图中表示源电流，箭头表示 源电流的参考方向。实际电流的方向与箭头方 向相同，则取为正，反之取负。2.1中(c)为独 立电流源的符号，(d)为受控电流源的符号。

电阻元件是吸收电路传输的电能,使其转化为其他能量的装置。表 现这一物理属性是欧姆定律，即电阻两端的瞬时电压只取决于流 过它的瞬间电流。

R称为元件的电阻值，单位是欧姆，符号为“ ”。1Ω =1V/A 1Ω =1V/A。 最早是通过导体的导电性能认识电阻的。导体的导电性能是用导 体的电阻率来衡量的，均匀截面的导体的电阻是

式中，是导体的长度（m），A是截面积（m2），ρ是电阻率计量 符号，国际单位为欧姆?米。

一般，电阻率比较高的材料做成电阻器，电阻器吸收的功率是

电阻器所能承受的功率称为额定功率。工作时电阻器吸收的功率 要小于电阻的额定功率，一般称额定瓦数。 瞬时功率的积分可确定电阻元件的耗能。

电容是以聚集电荷的形式贮存电能的二端元件。电容器的特点是两端的 瞬时电压只取决于其中的瞬时电荷量。按电流注入端为电压的正极性端， 如图2.2所示。 电容的单位是法拉，称为“F”，用“C”表示电容量的值。对于 F C 填充线性介质的电容器，其电荷，电压，电流，功率及能量 的关系如下：

电容元件在电场中的储能

电感是贮存磁场能量的元件。二端电感就是自感。对于填充线性 磁介质的线圈，其瞬时磁通量正比于通过它的瞬时电流。如图2.4 所示电压和电流参考方向相同时，依据电磁感应定律可得电路的 方程为

L称为电感元件的电感量，单位是亨利，符号为H。 H 电感的功率和能量的关系如下

图2.4电感的参考方向

在t1到t2电感吸收能量

电感元件在磁场中的储能为

波形图如图2.5所示 波形图如图2.5所示 2.5

由图2.5看出，当i=0时，能量为0，电感中电流增加时，能量增 i 加呈储存能量，电流减小，能量减小，是能量的释放阶段。

线圈的电感取决于线圈的形状，环绕材料的磁导率，匝数，匝的 间隔及其他因素。对于图2.6所示的单层线圈，其电感量大约为： L=N2 μA/L 其中，N为线圈的匝数，A为磁芯的截面积，单位为m2，L为线圈 N A m L 的长度，单位为m，μ为磁导率，单位为H/m H/m（亨利/米）。 m μ H/m

电路中的支路、节点、 电路中的支路、节点、回路和网孔 基尔霍夫电压定律(KVL) 基尔霍夫电压定律(KVL) 基尔霍夫电流定律（ 基尔霍夫电流定律（KCL) 电路元件的串联 电路元件的并联 电阻电路的分压与分流

电路中的支路，节点， 3.1 电路中的支路，节点，回路和网孔

为了分析电路方便，将电路中各部分分别定义为支路，节点，回 路和网孔。结合图3.1说明如下：

支路：一个元件就可称为一个支路，如图3.1中R1，R2，R3等都构成 R R R 支路 CD支路。 一个支路。电源U1构成CD U CD 节点：两个或多个支路的联结点称为节点，如图3-1中的AB AD AB和AD 节点 AB AD支 路中的交点A为节点，AB BD BC AB，BD BC三条支路的交点为B节点。 A AB BD和BC 回路：电路中任何闭合的路径都可构成回路，如图3-1中由R1，R2和 R R 回路 R3组成回路Ⅰ，R3，R4和U1组成回路Ⅱ，由R1，R2，R4 和U1 Ⅰ R R U Ⅱ R R R U 组成回路Ⅲ。 Ⅲ 网孔：内部再没有闭合路径的回路。网孔内部没有元件。如图3-1中 网孔 回路Ⅰ，Ⅱ均为网孔。 Ⅰ Ⅱ

基尔霍夫电压定律(KVL) 基尔霍夫电压定律(KVL)

基尔霍夫电压定律简称KVL，在任一时刻，电路中的任一回路中， 各支路电压代数和为零。KVL方程表示如下：

= 0 (n0为该回路中的支路数)

KVL方程还可表示为：

即在任一时刻，电路的任一回路的支路电压升等于电压降。

KVL的几点说明： 的几点说明： 的几点说明 (1) KVL是根据能量守恒原理得来的。 (2) KVL与各支路连接的元件性质无关，即不管是电阻，电容， 电感还是电源，不管是线性元件还是非线性元件，定律都成立。

基尔霍夫电流定律（KCL） 基尔霍夫电流定律（KCL）

基尔霍夫电流定律简称KCL。在任一时刻，电路的任一节点，流 出该节点的所有支路电流的代数和为零。KCL方程可表示为：

= 0 （n 为该节点相连的支路数）

也就是在任一时刻，电路的任一节点，流入该节点的支路电流之 和等于流出该节点的支路电流之和。故KCL方程可表示为：

(1)KCL是由电流的连续性得到的。 (2)节点上各支路电流之间的制约 关系与支路 特性无关。也就是 对任何元件的支路KCL定律都 成立。 (3)KCL定律可以推广闭合面，如 图3.3所示。

多个元件连接在一起通过同一电流称为串联电路。 多个元件连接在一起通过同一电流称为串联电路。 图3.6所示电路是三个元件Z1，Z2和Z3 的串联连接 Z Z Z 电路。元件两端电压分别为U1，U2和U3 ，总电压 U U U 是各电压之和： U= U1+U2+U3

电阻元件的串联： 电阻元件的串联：

Req为串联等效电阻。对于多个电阻串联 Req= R1+R2+R3+… R R 即串联等效电阻为各串联电阻之和。 图3.6

电感元件的串联： 电感元件的串联：

电容元件的串联： 电容元件的串联：

对于多个电容串联，其等效电容 对于多个电感的串联，其等效电 为： 1 1 1 1 感量为各个串联电感量之和。即： = + + +L

电容串联的等效电容量的倒数为 各串联电容的倒数之和。

20.0 × 10 ?6 × 100.0 × 10 ?12 C eq = = 100.0 pF ?6 ?12 20.0 × 10 + 100.0 × 10 由此可见，当两个电容相差很大时， 由此可见，当两个电容相差很大时，串联后的等效电容值基本上等于小 的电容值。而两个相差很大的电阻串联时， 的电容值。而两个相差很大的电阻串联时，等效电阻值基本接近较大的 电阻值。 电阻值。

多个电路元件两端跨接在同一电压上称为并联。 多个电路元件两端跨接在同一电压上称为并联。

图3.7表示三个元件并联的情况，由KCL可知，流入节点的电流等 于离开这一节点三个支路电流之和。

电阻元件的并联连接: 电阻元件的并联连接:

当多个电阻并联时，其等效电阻与各并联电阻之间关系如下：
对于两个电阻并联，其等效电阻等于两个电阻的乘积除以两个电 阻之和。即：

电感元件的并联连接： 电感元件的并联连接：

并联后等效电感为Leq L

对于多个电感的并联，其等效电感与各电感之间关系如下：

对于两个电感并联，其等效电感等于两个电感的乘积除以两个电感之和。 即：

电阻和电感并联后的等效值要小于其中最小一个之值。 电阻和电感并联后的等效值要小于其中最小一个之值。

电容元件的并联连接： 电容元件的并联连接：

电容并联后等效电容值为各个电容之和。 电容并联后等效电容值为各个电容之和。

分压： 分压：图3.8所示是一种常用的电阻分压器。

分流： 分流：图3.9所示是常用电阻分流器，其中支路电流i1 是总电流一 i

第四章 线性电路的分析方法

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 支路电流法 网孔电流法 矩阵和行列式 节点电压法 输入电阻 转移电阻 4.7 电路化简 4.8 叠加原理 4.9 戴维南与诺顿定理 4.10 最大功率传输定理 4.11 特勒根定理 4.12互易定理 互易定理

支路电流法是以支路电流为变量，首先指定网络中各支路电流

及其方向，然后列出独立的KCL和KVL方程组，解方程以求得全部 的支路电流与电压。下列例子说明其方法和步骤。 例 用支路电流法求解图4.1所示电路中各支路电流。

解：1)确定三个支路电流I1，I2和I3及方向，如图4.1所示。 I I

5)计算结果可用功率平衡检验

网孔电流法（用于平面电路）是设定以网孔电流为自变量，这

样电流形成完整的闭合回路，有时把它们称为回路电流。网孔电 流可以按顺时针或逆时针方向，设定了电流方向，就可以写出每 个回路（网孔）的KVL方程，建立联立方程求解。下面结合实例 说明方法和步骤。 例 用网孔电流法，求图4.2所示电路的各支路电流。

解：1)按顺时针方向设定回路电流I1 ，I2。 I I

2)写出两个回路的KVL方程。 左回路，从a点开始 a 右回路，从b点开始 b

4)用功率平衡校验法来校验算法结果的正确性

n个网孔的网络的n个联立方程可以写成矩阵的形式（参考有关介 绍矩阵和行列式的书），矩阵行列式是分析复杂网络的有效工具。 例 如图4.3所示的三个网孔的网络。

应用KVL可以得到下面三个方程：

将方程改写成矩阵形式：

矩阵中的元素写成一般形式，表示如下：

其中，元素R11（1行1列）是网孔电流I1 流经的全部电阻之和。同样， R I R22 ，R33 是I1 ，I2 分别流经的全部电阻之和。元素R12（1行2列）是网 R I I R 孔电流I1和I2共同经过的全部电阻之和。如果两个电流的方向相同，R12 I I R 取“+”号，如果两个电流的方向相反，R12 取“-”号。同样，R21 ，R23 ， R R R R13 和R31 也是对应下标所指两个网孔电流的公共电阻之和，其符号的确 R 定同R12一样。 R 电流矩阵是单列矩阵，用下标1，2，3…来表示。该项电流与那个网孔相 对应。在网孔电流法中，电流矩阵是未知的（为所设定的自变量）。 电压矩阵也是单列矩阵。元素V1是驱动网孔电流I1的全部电压之和。如果 V I I1从电源正端流出符号为“+”号，如果I1从电源负端流出符号为“-”号。 I

克莱姆法则： 克莱姆法则：

分子行列式除一列以外均 与ΔR相同。求第i个求知数 Δ i 1 I2 = 时将ΔR中的第i列用矩阵 Δ i ?R 方程等式右边的一列代替， 这样就可得出。

用电压项的余因子对分子行列式进行展开得到一组方程，可以帮 助理解网络，特别是网络的驱动点和转移电阻。

这里Δij代表ΔR中Rij（表示i行j列）元素的余子式，必须注意余 Δ Δ R 子式的符号（请参考行列式运算书）。

节点电压法是以独立的节点电压为变量，列出KCL方程来分析

电路的方法。首先选择一个主节点作为参考点，然后对其它每一 个主节点都设定一个电压（可以认为是相对于参考点的电压）作 为未知变量，求解这此变量就可以得到网络的解。 例 如图4.5所示电路，求RB和RD上的电压。 R R

解：图4.5所示电路具有5个节点，其中4和5是简单节点，1，2和3

是主节点，选定节点3为参考节点。设节点1上参考电压为V1, V 节点2上参考电压为V2。V1，V2的参考点为节点3。用KCL列出 V V V 节点1，2的电流方程（流出节点的全部电流之和为零）。 对于节点1： V1 ? Va + V1 + V1 ? V2 = 0

以V1，V2为自变量将方程整理为矩阵形式： V V

可以看出系数矩阵具有对称性。元素（1-1）包含了全部与节点1 相连的电阻的倒数之和；元素（2-2）包含了全部与节点2相连的 电阻的倒数之和；元素（1-2）和元素（2-1）是所有与节点1和2 连接的支路的电阻的倒数之和（此题电路中只有一条支路）。 右边是驱动电流矩阵，它包含有VA/RA 和Vb/RB 。因为它们均是驱 V V 动 一个电流流入节点，所以它们均为正值。 将具体数据代入解得： RB

显然用节点电压法比回路电流法简单多了。 显然用节点电压法比回路电流法简单多了。

在单个电源的网络中，感兴趣的是驱动点电阻也就是一般称之为 输入电阻。图4.6所示的网络，驱动电压V1,与其对应的电流为I1， V I 因为只有一个电压源V1，则I1的方程如下 V I

输入电阻是V1与I1的比值（输入 V I 电压与输入电流之比），可得

网络中某一支路的驱动电压可以在网络的各支路中产生电流。例 如图4.7，电压源Vr,会使输入端产生输出电流Ir。由于电压源Vr是 V I V 加到无源网络上，输出电流Is的网孔电流方程为： I

由此看出，仅含有一项，它是产生的。 网络的转移电阻是与之比：

因为电阻矩阵是对称的，

电路分析可以利用串联，并联的等效电阻，再结合分压，分流的 规律来简化网络，等效网络的全部功能。一般化简电路方法是从 找出网络中电阻的串并联关系开始。 例 求图4.9所示电路中120V电压源提供的功率和每个电阻上的 电压降。

在任何由线性元件，线性受控源组成的网络中，所有独立电源共 同作用在某一支路上产生的电流（或电压），等于网络中每一个 独立电源单独作用在该支路产生电流（或电压）的代数和。当某 一电源单独作用时，其它独立电源应为零值，即独立的电压源短 路，独立电流源开路，电阻保留。功率不符合叠加原理，因为它 与电压或电流是平方关系（是非线性的）。 现在我们再看一下例4.4方程的解式中的I1表达式， I

看出暗含了叠加原理，I1为三个电压源作用之和。 I

任何线性有源的二端网络，对其外部特性而言，可以用一个电压 源和一个电阻串联代替（戴维南定理），或者用一个电流源和 戴维南定理） 一个电阻并联代替（诺顿定理），如图4.12(a)所示网络可以 诺顿定理） 等效为如图4.12(b)所示的电压源或者如图4.12(c)所示的电流源。

V’称为戴维南等效电压，I’称为诺顿等效电流。两个定理中串联 I 和并联电阻相等称为等效电阻R’。V’为两端网络a，b两端开路时 R V 在端口上产生的电压。I’为两端网络a，b两端短路时产生的电流。 I R’为将网络中全部的电压源短路，电流源开路（保留电源内阻） 从a，b端看入的等效电阻。 对于同一个二端线性有源网络，即可等效为电压源，又可等效为 电流源，相互等效。

可将等效电压源转换为等效电流源 可将等效电流源转换为等效电压源

对于线性有源网络向外负载电阻RL 传输功率时，RL 不同所得到的功率也 R R 不同。有源网络可以等效为一个电压 源V’和一个内阻R’串联。如图4.14所 V R 示电路，网路向负载传输最大功率的 条件是负载电阻等于网络的等效内阻， 即： RL = R’ 由图4.14所示的等效电路可得

定理Ⅱ：具有b条支路，n 定理Ⅱ

定理Ⅰ：具有b条支路， 定理Ⅰ

n个节点的任意集中参数网 络，在任何瞬间各支路电 压与电流乘积的代数和为 零。设网络的支路电压为 Uk，支路电流为Ik， I (k=1,2,…b),具有关联参 考方向，则有

路2中产生的电流等于支路2中接入相同电压源Us，在支路1中产生 U 的电流，如图4.16(a)，(b)所示。

定理Ⅰ 定理Ⅰ：在无源的线性网络中，在支路1中接入电压源Us，在支 U

定理Ⅱ 定理Ⅱ：在无源的线性网络中，在支路1中接入电流源，在支路

2中产生的电流U2等于将同一电流源接入支路2中，在支路1两端产 U 生的电压U1。如图4.17(a)，(b)所示, U1=U2。 U

引言 换路定则及初始值计算 通过一个电阻使电容放电 通过一个电阻使电容充电 通过一个电阻使电感中的电流消耗掉 在电感中建立一个直流电流 恒定激励一阶电路的三要素公式

5.8 一阶电路的脉冲响应 5.9 一阶电路对指数函数激励响应 5.10 一阶电路对突加正弦激励的响应 5.11 一阶电路中强响应的总结 5.12 微分电路与积分电路 5.13 突变情况的分析

激励电源的变化或电路元件的变化，会使电路从一种状态切换到 另一种状态，电路的各部分的电压和电流从原来的值变化到新的 值都要有一个过渡时期，这个时期称为过渡过程，也称为暂态过 程或瞬态过程。在暂态过去后电路才能进入新的稳定状态。描述 电路用的线性微分方程有两部分解：通解（或齐次解）和特解。 通解对应的是暂态，特解对应的是稳态。 电路的阶数与描述电路的微分方程阶数是一致的。一阶电路只包 含一个独立的储能元件（一个电容或一个电感），随着独立储能 元件增加，电路的复杂程度也增加。描述电路的微分方程的阶数 也增加。凡是高于一阶的方程统称为高阶方程，相应的电路称为 高阶电路。 在这一章里，我们将求出给定变量初始条件和电源的一阶电路的 响应，我们将引出一种直觉方法去得到相应的响应，而不必通过 微分方程正式求解。也将提出和解决关于自然的，强制的，阶跃 和冲击响应的一些重要问题，包括直流稳态和电感，电容的换路 定则。

我们将电路及参数发生变化称为换路。设t=0 发生换路，为了分 t=0 t= 析方便，设想 t = 0? 为换路前的时刻， = 0 + 为换路后时刻。为 t 了计算换路后电路的响应，必须了解储能元件上电流或电压换路 前后的关系。利用电场能量和磁场能量变化是连续的，可得出电 容上的电压（或电荷）和电感中的电流（或磁链）不能突变的原 则，称为换路定则。 设t=0 t=0时发生换路，有 t=0

也就是说在换路时刻，换路前后电容上的电压和电感中的电流保 持不变。

利用换路定则，得到 t = 0 时的等效电路，就可以计算电路中 其它电量的初始值。 t = 0 +,电容等效为电压源，其电压等于 u C (0 + ) ,电感等效为 电流源，其电流为 i L (0 + ) 。 t=0 例 在图5.2（a）所示的电路中，当t=0时，开关由1倒向2，求 t= i (0+ ) 和 u (0+ ) 。

解： t = 0? 时，开关处在1的位置上，此时电路是稳定的，电感L中 u L (0 ? ) = 0 ，电感 的电流不变，即 diL / dt = 0 ，电感两端电压

相当于短路。电感中电流为：

t = 0+ ，开关倒向2的位置上，电感等效为电流源 iL (0 + ) ，等

由此可见切换具有电感回路的电路时， 由此可见切换具有电感回路的电路时，可能产生高电 这一点对设备和人身安全非常重要。 压。这一点对设备和人身安全非常重要。

通过一个电阻使电容放电

在图5.1（a）所示的RC电路中，设电容两极板间有电压差为V0 ， 在t=0 t=0时刻将开关合上时，就为电容两极板间提供一个电阻通道， t=0 存贮的电荷通过电阻从一个极板到另一个极板，形成电流 i 。电 容上的电压 u 逐渐地减小到零，这时电流 i 也变为零。这一过程 称为放电过程。这种由动态（储能）元件内部已贮的能 这种由动态（储能）

量在电路中引起的响应，称为零输入响应。 量在电路中引起的响应，称为零输入响应。

t ≥ 0 时，图5.3(a)所示电路中的开关合上，以电容上电压 u 为未

知变量，可列出KCL方程：

整理成高阶导数项系数为１的标准微分方程形式：

= Ae st 形式，代入上式得到：

= 0 时，电容上的电压与换路前一样，即

这里RC RC称为电路的时间常数，由(5-5),(5-6)式看出，电容器的电 RC 压 u 和电流 i 分别以初始值 V0 和 V0 / R 按指数规律下降，随时间 τ 增加，逐渐减小到零，下降的速度由时间常数τ = RC 来决定。 越 大下降得越慢，见图5.1(b)和(c)。由图可看出 τ 为下降到初始值 的1/e所需要的时间。

通过一个电阻对电容充电

在t=0 t=0时刻，将一个没有电荷的电容，通过一个电阻接到电压为V0 t=0 的电池上，如图5.4(a)所示。电容上的电压通过电阻中流过的注 入电流而逐渐上升到V0 ，此时电阻中的电流减小到零。这一过程 称为电容充电过程。由于电路中储能元件初始状态能量为

零，也称为零状态响应。 也称为零状态响应。

5.5 通过一个电阻使电感中的电流消耗掉

L 其中 τ = 为电路的时间常数。 R

在电感中建立一个直流电流

将一个电感中电流为零的RL电路，突然接到一个直流电源上，电 感中电流将从零以指数形式进行增长，时间常数为L/R L/R。按图 L/R 5.8(a)所示电路，说明求解过程。 t=0 i(t) 当t>0 t>0时开关合上，应用KVL列出 t>0 方程并求解 + + di

对于通解 这样就可得到电感中电流 5.8(b)和(c)。

恒定激励一阶电路的三要素公式

对于既有外加激励又有初始储能的电路，它的换路响 应，称为全响应。由叠加原理可认为全响应是零输入 响应和零状态响应的叠加。如图5.9所示电路 ， 全响应为

对于较复杂的这样恒激的一阶电路常用的求解方法，是用三要素 公式。对于图5.9的 du (t ) KVL方程为 RC + u (t ) = V0

0
由此可得一阶响应的通式

其中y (∞ ) 为响应的终值。上式称为换路后恒定激励一阶电路响 + 应的三要素公式。由于三要素 y (0 ), y (∞)和 τ 表达了一阶电路 的物理特征，完全可以从相应电路求出，就简化电路响应的求解。 该公式不仅适用于换路后恒定激励一阶电路任意响应求解，也适 应一阶电路零输入的求解。

如图5.11(a)所示电路中，在t=0 时将开关合上。求t>0 时电容两 t=0 t>0 t= t> 端的电压和流过电容中的电流。 t=0 解：利用换路定则，可得

t = ∞ 时，电路终值等效电路仍为图5.11(c)所示

利用三要素公式可以写出

如图5.12(a)所示电路表示输入信号为矩形脉冲的开关模型；波 形如图5.12(b)所示。

这就是把矩形脉冲信号，等效为在 ?0 t<0 t<0时输入端对地短路（接地），在 ? us (t ) = ?U 0 t=0 t=0时刻将输入接到电压源（或电流 ?0 U 0上，并保持到t=T 源） t=T时再将输入 t=T ? 端接地。其表示式为

结合具体例子进行推导，如图5.13(a)所示的一阶串联RC电路中， 电压源提供了一个持续时间为T，高度为V0 的脉冲，如图5.13(b) Us(t) 所所示t<0 t<0时， 和 i 均为零。 t<0 u

在脉冲持续时间相当于在t=0 t=0时将 V0 接到电路上，通过一个电阻 t=0 对电容充电，可得： t

当脉冲结束时t=T t=T，电容上电压充电到 VT ，此时输入端对地短路， t=T 相当于电容上的电压通过电阻R放电。

由5.3节，并注意到时延T，将式中t用t-T代替可得 T t t

由波形图可以看出，把前一个过程结束电路所处的状态，作为下 一个过程开始的初始条件。

一阶电路对指数函数激励响应

应用KVL能得到微分方程

R 时，即强迫函数和自然响应具有相同指数 L

时，上式不成立，此时强制响应改为 i p (t ) = Ite 变，则可得：

5.10 一阶电路对突加正弦激励的响应

可以看出当t 到稳态响应

在开关闭合瞬间，如果调整开关闭合瞬间 t1 ,使

则自由分量为零，换路后无瞬变过程，能立刻进入新的稳定工作 状态。可以克服换路出现的过流现象。

2 π V cos( + θ ) 的瞬间闭合开关， 使用同步开关，选择瞬时值等于 m 2

一阶电路中强响应的总结

一阶电路典型微分方程为

强迫响应 u p (t ) 是由强迫函数 f (t ) 决定的，在下面的 表5-1中总结了一些常用的强迫函数和对应的强迫响 应 u p (t ) 。这些响应可以通过代入微分方程求出。用 表5-1中这些函数加权的线性组合以及它们的时间延迟， 可以推导出新的函数的强迫响应。

一阶RC和RL电路最常的用途是做微分电路或积分电路。这是双端 口电路，它们的基本特征是输出口的电压与输入口的电压对时间 的微分或对时间的积分成比例。也就将输入端的波形通过这种电 路转换成其导数或积分形式的波形。

1 微分电路与积分电路的基本结构及特征

微分电路与积分电路，比较理想的是由运算放大器构成的有源电 路组成，这里只介绍由RC和RL组成的电路。 图5.19(a),(b)是最基本的微分电路：

微分电路的条件是电路的时间常数非常小，信号的持 续时间足够长。 积分电路的条件是电路的时间常数很大，信号持续时 间相对较短。时间常数大到何种程度可根据具体工作 情况合理选择。

微分电路是提取阶跃信号和脉冲信号前后沿的简单实用电路。 微分电路是提取阶跃信号和脉冲信号前后沿的简单实用电路。 例 图5.20(a)所示电路是单片计算机常用的上电复位电路。其 中输出端接到计算机CPU芯片复位端，输入端接到CPU芯片供电 电源 Vcc + 5V 上，每次开机时， cc 从0V上升到+5V，输出端也跳 V 升到+5V，然后按指数规律下降，当低于2.2 V( t = t1

开机经过82ms以后CPU复位结束，投入正常启动程序。我们可根 据不同芯片对复位脉冲最小持续时间的要求，来改变电路的时间 常数，电阻应根据芯片复位端输入阻抗不同首先确定下来，然后 再对时间常数要求，计算出电容的数值。

RC积分电路经常用作简单的脉冲延时，消除窄脉冲干扰和电源 积分电路经常用作简单的脉冲延时， 积分电路经常用作简单的脉冲延时 退耦等。 退耦等。 例 图5.22(a)所示电路，其中RC积分电路起脉冲延时的作用。 输入信号 u1 (t ) 为矩形脉冲如图5.22(b)所示，设整形电路的 触发电平为2.5V，输入阻抗忽略不计。求整形输出相对于输 入信号的延时。 解：由图5.22(b)可知,输入信

设 u2 (t ) 上升到触发电平的时间为τ 1 ，则

则 τ = τ ln 4.9 = 0.1× 0.67 ≈ 0.07 ms 2 2.5 由此看出脉冲宽度大于电路时间常数4倍 以上时信号幅度为整形触发电平2倍时， 上升和下降延迟相等，整形后输出信号 的脉冲宽度与输入信号相同。

如果在电路中，有两个电容上的电压值不同，换路后将两个电容 并联在一起瞬间使两个电容上的电压相等，显然电容上的电压发 生了突变，称之为突变情况，同样对含两个以上电感的电路换路 也可能发生突变情况。对于突变情况，我们仍然可用瞬间电荷守 恒或磁链守恒规律求出初始值。 例 图5.25所示电路，是常用的RC分压器，设电路的初始状态为 零。输入信号为

求 u2 (t ) ，并说明如何调节 C2 能使此电路无过渡过程。

为未知数的电路微分方程来求解。 设电容 C1上的电压为 uC1 (t ) , 则 列出a节点的KCL方程整理成标准形式

由(5-34)式看出该电路是一阶电路，可用三要素公式来求解。

电路的时间常数 τ = 当t

此时电路将不出现瞬变过程。此时输入波形与输出波形仅相差一 个衰减系数 R2 /( R1 + R2 ) ，并完全相似。改变 C2 ，输出波形变化 如图5.26所示。

二阶电路、 第六章 二阶电路、高阶电路和复数频率

用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路 二阶电路。二 二阶电路 阶电路一般有二个独立的储能元件（两个电容， 或两个电感，或一个电容和一个电感）。含有 更多个储能元件的电路，得用更多阶微分方程 描述称为高阶电路。本章以一些二阶电路的例 子，介绍其分析方法，复频率和零―极点图。 其中串联RLC电路和并联RLC电路是教学大纲 要求内容，复频率、零―极点、强迫响应和自 然响应是自学内容。

串联RLC电路 电路 串联 并联RLC电路 并联 电路 复数频率 在s域中的一般化的阻抗 域中的一般化的阻抗 网络函数和零极点图 强迫响应 自然响应

其中 S1 , S 2 称为电路的自然频率。 这样二阶电路的零输入响应（自然响 应），含有两项指数规律变化的分量， 需要两个条件来确定常数和。 由于α 和 ω 0 对其相应影响很大，分为 α 以下几种情况分析。 > ω 0时称为过阻 α α 尼情况， = ω 0 时为临界阻尼情况， < ω 0 α 时为欠阻尼情况， = 0 时为无阻尼情况。

1 过阻尼情况（ α > ω 0 ） 过阻尼情况（ 在这种情况下，α , β 都是正实数

3 欠阻尼或振荡的情况（ α < ω 0 ） 欠阻尼或振荡的情况（

4 无阻尼情况（ α = 0 ） 无阻尼情况（ R = 0 ，电路出现无衰减情况，也称无阻尼 当 R = 0 时，α =

图6.6所示的并联RLC电路的响应与串联RLC电路的响应相似。在 u 时开关闭合，由节点电压法，列出KCL方程可得：

电路自由振荡频率 ω 0 =

1 过阻尼情况（α > ω 0 ） 过阻尼情况（

2 临界阻尼情况（ α = ω 0 ） 临界阻尼情况（

= ω 0 。是临界阻尼情况，

其特征方程有一对重根S1, 2 = ?α ，其解的形式为

3 欠阻尼（振荡）情况（ α < ω 0 ） 欠阻尼（振荡）情况（

ω d 是阻尼振荡的角频率，并联RLC欠阻尼时的微分方程与串联

RLC欠阻尼时微分方程形式相同。故其解的形式也相同，即

以前我们讨论过电路驱动函数是一个常数，或是一个正弦函数， 或者是一个指数函数。现在我们要引入复数频率s，它能统一上面 s 提到的三个函数，并能简化分析，无论是暂态还是稳态响应分析 都是需要的。 j (ω t +φ ) 对于指数函数，我们仅关心其余弦项 cos(ω t + φ ) = Re e ， 为了使其更具有广泛代表性，引入一个常数A和因子 e σ t 。 A

复频率 ?1 是 s 。这就是具体单位 N

这样，当 ω 和 σ 都是非零时，可表示为一个衰减的余弦函数 （只考虑是 ω 负值的情况）。如果 ω 和 σ 都是零，变为一个常 数。当 ω＝0 ，而 σ 是非零的负数时，则变为一个指数衰减函数。 在表6-1中对于表达式 Ae s t 给出几个相对应于s值的函数。 s

在图6.9中，是函数 Ae cos(ωt + φ ) 的波形。可以看出，当 σ = 0 时，没有阻尼，变为幅度为 U m 的余弦波。当 ω＝0 ，变为 初始值为 U m 的 t 指数衰减函数。当 ω 和 σ 都不为零 时，结果是有阻 尼的余弦函数。

在S域中的一般化的阻抗（R,L,C） 域中的一般化的阻抗（R,L,C）

一个形式为 u = U m e s t 的驱动电压（电压源），施加到一个无源 网络回路，将产生支路电流和元件两端的电压，它们都有相同的 时间函数，即 I a e j? e s t 为 U D e jφ e s t 和。因此，仅需要确定电流 和电压的幅度和相位。对于一个网络，用时间域表示为图6.10(a)， 则在S域应表示为图6.10(b)。对于S域中元件的阻抗见表6-2。 S S

元件名称 电阻 电感 电容

由此看出在s域中，串联RL电路的阻抗是R+sL。因此电感在s域 s s 内的阻抗是sL。电阻在s域中的阻抗为电阻的阻值。同样我们分析 s 1 一个串联的RC电路，可以得到在s域内串联电路的阻抗是 R + C 。 s 1 s C 。 所以电容在s域中的阻抗为 s

因为H(s) H(s)是输出响应与激励的比率。当 s = z m 时，不管激励有 H(s) 多大，响应将是零，故称零点。而当 s = pn 时，不管激励有多 小，响应将是无穷大，故称为极点。

由此得出，网络对于一个有 s = σ + jω 的激励响应，可以通过H(s) H(s) 的零―极点图中测量零点和极点到S点之间的向量长度以及它们与 S 正 σ 轴之间的角度来确定。

在本章中，我们重点研究一阶，二阶的强迫响应或稳态响应，现 在可以通过很有用的复数频率方法得到响应。很容易地求暂态响 应特性的自然频率，它们就是网络函数的极点。 V(s)加到 xx ′中间时的自然频率。 例 如图6.14，求当一个电压源V(s) V(s) y 2.5Ω 解：其网络函数为 s 2 + 12 H ( s ) = (0.4) ( s + 2)( s + 6) x 20 V(s)

在时间域内，自然暂态电流形式是

引言 正弦信号的基本参数 正弦信号的相量表示法 电阻、电容、 电阻、电容、电感元件的复数模型 阻抗和导纳 相量形式的基尔霍夫定律 网孔电流分析法 节点电压分析法 戴维南和诺顿定理

正弦电路是激励电源可以用正弦函数来描述的电路，也称为正弦 交流电路。或简称为交流电路。本章主要讲述由正弦电源驱动的 电路的稳态响应,在信号分析理论中，正弦信号是合成其它信号的 基本信号。因此，正弦电路的分析方法，不论对理论分析和实际 应用都是非常重要的。 由于正弦稳态电路的响应也是同频率的正弦形式，仅是幅度和相 位发生变化。将同频率的正弦信号用复数相量表示，电路的微分 方程变换为复数代数方程。把正弦交流电路分析变为处理复数的 代数方程，并把电阻电路基本电路定律和原理，基本分析方法， 基本概念，等效变换推广应用于正弦交流电路中。本章重点要掌 握好，正弦信号的相量表示法，正弦电路的相量分析法及其它有 关的基本概念。

7.2.1 正弦信号的三个特征量

其中 信号的频率。 称为初相角，既可用弦波表示也可以用角度表示， 如果初相角用 ? 表示，则正弦电压的一般表示式为

1 2π f = T T 称为角频率，T为正弦信号的周期。而 T 称为正弦

π 我们称U m , ω (或f , 或T )和? 2π 4 为正弦信号的三个特征量。 图7.1 U m ：称为正弦信号幅度，取值为正值。 ω ：称为角频率，取值为弧度/秒。 f ：称为正弦信号的频率，是每秒信号交变的次数，f越大表示信号变 f 化 越快。 T ：称为正弦信号变化的周期。 ? ：称为初相角，其值表示余弦波形的正峰值点与纵轴之间的距离， 如正峰点在纵轴的左侧 ψ 值为正，反之

正弦信号的峰值， 7.2.2 正弦信号的峰值，平均值及有效值

对正弦信号来说就是它的振幅或称最大值，在电路计算中有人在 其单位下面加p。如 310VP 表示310伏是峰值电压。有时见到620V pp 表示信号的最低点到最高点之间的值为620伏,称为峰峰值。
对于一般周期性信号的平均值是指一个周期内的平均值，其计算 公式如下： t +T

t 其中，T为周期信号的周期， 1是以计算方便为原则选择的起始点。 T 由于标准正弦信号正半周与负半周是完全对称的，所以它的均值 总是为零的。对于以后要学到的整流电路中，主要考虑其正半周 的平均值。

3 有效值： 有效值：

在相同阻值电阻中，在相同时间内，通过交流电流 i (t ) 所产生的热 量，与通过一个直流电流I产生热量相等，则称I为 i (t ) 的有效值。 I I 有效值的定义为

有效值一个正数。在数学上称周期函数f(t) f(t)的有效值为瞬时式的 f(t) 均方根值，即

正弦信号的有效值是最大值的0.707倍。对于交流仪表中所标的 数值都是有效值。我们日常使用的50Hz交流电压有效值是220V。

对于可以余弦表示得正弦信号，可看成是一个 在XY XY平面上以原点为中心，以ω为角频率旋转 XY 的向量，在X轴上投影，如图7.4所示。（对于 X 用正弦函数表示的信号，是旋转向量在Y轴上的 Y 投影。）向量的长度或者幅值是余弦函数的幅 值或最大值，向量与横轴（X轴）的夹角是余 X 弦函数的相位角，就可以用向量来表示正弦信号。 设旋转向量的幅度为 A m ，则 位置1可表示 Am cos ω

& ? U & 相量是有向线段或称自由矢量，我们在字母上面加“ ”如, I t 来标注。余弦函数的相位角是相量的角度，向量图可认为是在= 0 时刻，有向线段按逆时针旋转时所在的位置。 正弦信号向量表示的具体方法见下表所示。

1 相量的三种表示形式

相量可以当作一个复数对待，当水平轴与一个复平面的实数轴相 同时，相量就成为一个复数并且适用于通常法则，根据欧拉同一 性法则，对一个相量有三个等效符号： & 极坐标形式 U = U∠θ & 正交形式 U = U (cos θ + j sin θ ) jθ & 指数形式 U = Ue j (ω t +θ ) & u ] = Re[Ue jω t ] 余弦表示式也可以写成： = U cos(ω t +

2 振幅相量和有效值向量

电阻，电容， 7.4 电阻，电容，电感元件的复数模型

2 电容元件的复数模型

如图7.6(a)中电容电流与电容两端电压在关联参考方向下，关系 应满足： duC C i

可见电容元件的复数模型为 jωC ，见图7.6(b)所示。 上式称为电容元件的复数欧姆定律，它表明了正弦电路中电容元 1 件的电压相量与电流相量的正比关系。比例系数 jωC 称为复数电 容抗，简称复数容抗，记作 ? jX C ，当f的单位为Hz，C的单位为F 1 时， jωC = ? jX C 的单位为 ? 。 1 复数容抗的模值 ωC = X C 称为容抗。容抗的大小与 ω 成反比关系。 当 ω = 0 时，相当于直流信号，则容抗为 ∞ ，电容呈现开路状 态，也就是电容不能通过直流电流。当 ω → ∞ 时，电容相当于一 条短路线。

3 电感元件的复数模型

在图7.8所示的电感元件中，在关联参考方向下，电感中电流与 电感两端电压的关系为 L diL iL

Hz为单位，L以H为单位时，复数感抗也 f Hz L H ω ? 是以为 单位。复数感抗的模值为L = X L 称为感抗，而幅角称 90 o 。 为感抗角，在关联参考方向下，电感电压超前电感中电流 感抗和频率成正比。当 = 0 时，也就是直流状态感抗为零，相 f 当于电感短路。当 → ∞ 时，电感等效开路。 f

一个正弦电压或电流加到一个无源的RLC电路中产生一个正弦响 应。当用时间函数描述u(t) i(t) u(t)和i(t) 时间域电路；当 u(t) i(t)时，电路称为时间域电路 时间域电路 用相量来分析电路时，成为复数频率域电路，简称频率域电路 频率域电路。 频率域电路 电压和电流可以分别写成 & & u (t ) = U cos(ω t + θ ) = Re[Ue jω t ], U =

当电压的单位为V，电流的单位为A时，阻抗的单位为欧姆 ? ， 导纳的单位为姆欧 ? ?1 ( 或 S ) 。

当阻抗写成正交形式时，实部是电阻R，虚部是电抗X。虚部的符 R X 号可正可负，如果为正，X称为感抗，如果为负，X称为容抗。当 X X 导纳写成正交形式时，其实部是电导G，虚部是电纳B。电纳符号 G B 为正时称为容纳，为负时称为感纳。因此：

（1） 阻抗的组合 ）

由于Z是一个复数，可在复平面表示出来，称为阻抗图。 Z Z的一般形式为 Z = R ± jX 。由于电阻 R ≥ 0 ，所以一个 阻抗Z表示为复平面右半平面中的一个点。 Z

所以，串联电路容易用于阻抗处理， 并联电路容易用于导纳处理。

图7.13所示的是两个导纳及其相加的导纳图。其中Y 1为容纳， Y 2 为感纳。它们的向量和为Y1 + Y2 ，是 Y 1和 Y 2 并联组合的 导纳。

相量形式的基尔霍夫定律

1 相量形式的基尔霍夫定律

在正弦电路中，流入任意 割集（包括顶点割集）的 & & 电流相量（ I m 或I ）之和 恒为零。

在正弦电路中，对任何一 个闭合路径中，各支路上 & & 电压相量（U m 或U ）之和 恒为零。

2 正弦电路中的分压和分流

（1）输入阻抗和转移阻抗 ）

而网孔（或回路）与网孔之间 ，转移阻抗是 Z tra, rs

Y11是节点1的自导纳，它是连接节点1的所有导纳的总和。同样,

Y 22 和Y 33 分别是节点2和节点3的自导纳。 Y12 是节点1和节点2之间的耦合导纳，它是连接到节点1和节点2
之间的所有导纳之和的负值，有 Y12 = Y21 。同样，其它耦合导纳 为 Y13 = Y31 , Y23 = Y32 。因此，Y矩阵是对称的。 Y & 在方程右边，I列其构成也是 I k 为流入节点k的电流的总和 I k & I k = ∑ ( 流入节点k的电流）（k＝1，2，3） 流出节点k的电流取值为负。
与网孔电流法的矩阵方程 ? I ? = ?U ? ? I ? 在形式上相同 ? ? ? ?? ? 所以，在理论上，输入导纳和转移导纳可以按照输入阻抗和转移 阻抗的形式来定义：

对于交流正弦网络，戴维南和诺顿定理也是适用的， 只是将开路电压 U ′ ，短路电流 I ′ 和等效电阻 R ′ 用开 & 路相量电压 U ′ ，短路相量电流 I& ′ 和等效阻抗 Z ′代替， 见图7.25。

& 在如图7.26所示的网络中，已知输入电压的相量为U in = 10∠30o V， & 分别利用戴维南定理和诺顿定理，求出输出电压相量 U out 。 解：(1)用戴维南定理 戴维南定理求解。 戴维南定理 首先按虚线以左看成a，b两端 100 -j100 a ′ -j100 a + 有源二端网络。 + &′ 等效电压源为a，b两端开路电压U ， a b & & j100 100 U

瞬时功率 平均功率（有功功率） 平均功率（有功功率）与无功功率 复功率， 复功率，视在功率和功率三角形 功率因数的改善 最大功率传输

某一支路瞬时功率是指其瞬时吸收的功率，若该支路电流为i， i 支路两端电压为u，如图8.1所示，则瞬时功率为 p = ui u 设电压和电流分别表示为 N u = U m cos(ωt + ? u )

位差。其波形如图8.2所示。

由此看出，对于无源支路从正弦电源 瞬时吸收的功率，是以 UI cos ? ui 为 i u 中心，以UI UI为幅度，以2ω 2ω频率按 UI 2ω 0 正弦变化的。支路吸收功率和释 ? ui 放功率的比例，是取决于该支路 电压和电流之间的相位差 ? ui 。 p p 当 0° < ? ui < 90° 时，支路从 外电路吸收的功率大于向外 UI cos ? u i 电路释放的功率。在图8.2 0 所示的瞬时功率波形图中， 阴影部分为向外电路释放功率期间。

平均功率（有功功率） 8.2 平均功率（有功功率）与无功功率

支路的平均功率是支路中等效电阻上所消耗的功率。瞬时功率的 平均值，也称为有功功率。它表示该支路消耗能量的平均速度。
无功功率用大写字母Q表示，定义为 Q
无功功率表示支路电抗元件与该支路以外电路交换能量的最大速 度，即瞬时无功分量的最大值。可以看出，对于感性支路无功功 率Q为正值，对于容性支路无功功率Q为负值。对于无功功率与有 Q Q 功功率具有相同的量纲为伏安，其单位不同，有功功率单位为瓦 特(W)，无功功率为乏(VAR VAR)。一瓦特和一乏均为一伏安。 W VAR

复功率， 8.3 复功率，视在功率和功率三角形

功率的两个组成部分P和Q各起不同作用并且不可直接相加，但是 P Q 我们可以用称为复功率S的向量形式将两者很方便的联系在一起。 复功率S 复功率

将三个标量S,P和Q可以分别表示为直角三角形的斜边，水平边和 S P Q 功率三角形，如图8.3（a）所示。对于等效为串联 垂直边，称为功率三角形 功率三角形 支路的功率三角的形式，是简单的由因子 I 2 标定的阻抗三角形， 如同8.3（b）所示。对于电感性负载的功率三角形和电容性负载 的功率三角形分别表示于图8.3（c）和（d）。

功率因数：在实际电路设备应用时， 将有效功率（也称为有用 功率）与视在功率之比称 为功率因子pf pf，即 pf P pf = = cos ? ui S

从功率因数定义中可知，功率因数是电路消耗 的有功功率与输入到电路的视在功率之比。要 想使电源设备，如发电机，变压器等提供容量 （视在功率）尽量的转换为负载的有效功率就 要改善负载电路的功率因数。对纯电阻的负载 电路的功率因数为1称为单位功率因数，改善 1 改善 功率因数就是在负载两端加一个元件， 功率因数就是在负载两端加一个元件，使之接 近单位功率因数。 近单位功率因数。

图8.5（a）所示电路是日光灯工作电路的简化模型，其中R是日 R 光灯管的理想模型， 两端工作电压为110V，功率为40W。电源是 220V， 50Hz的正弦波。 求：（1）保证日光灯正常工作情况下的图8.5（a）所示电路的 功率因数cos ? ui （2）可用图8.5（b）所示电路来改善功率因数，为使电路 功率因数为1，应配电容的容量。

解：（1）根据日光灯瓦数及工作电压，可以求出电路图8.5（a）

和电源电流I S & 与 U S 同相，如图8.5（c）所示，则电路的功率因数为1。

由8.5（c）所示的相量图可得

可见电路的功率因数为1时，电源供出的视在功率将全部为有用功率。

η 可见当负载获得最大功率时， = 0.5，有一半功率消耗再电源内阻 上了。所以对于动力电源供电系统不能追求最大功率，而是追求 高效率。

频率响应 简单RC电路的频率响应 简单 电路的频率响应 RC选频电路 选频电路 RC有源电路频率特性分析举例 有源电路频率特性分析举例 串联谐振电路及谐振时的特性 串联谐振曲线及回路的选择性 并联谐振及谐振时的特性 储能元件的品质因数、 储能元件的品质因数、损耗因数

线性电路对正弦输入的响应为正弦信号，并具有相同的频率。但 输入频率不同正弦的响应信号可能有不同的幅值和相角，所以这 种响应是频率的函数，也称为电路的频率特性。一个正弦信号可 频率响应定义为输出相量与 以用它的幅值和相角表示成相量，则频率响应 频率响应 输入相量之比，它一般是jω jω的复函数。 jω 输出相量 H ( jω) = = Re[ H ] + j Im[H ] = H e jθ

对于同一个线性电路选择不同输入和输出变量就可以得到不同频 率响应,对于图9.1（b）所示的二端口网络，可以定义如下频率响 应：

简单RC电路的频率响应 简单 电路的频率响应

简单RC电路 简单 电路是指由一个电阻和一个电容组成的RC双端口电路， 电路 如图9.3所示。 C

－45 特性如图9.4所示。 从9.4（a）幅频特 性看出，这种电路 0 －90 1 ω 对高频成分进行了 RC （b） 削弱，而保留了低频成分。 （a） 图9.4 对于这种能削弱一部分频率 成分而保留一部分频率成分的特性都可以称为滤波特性 滤波特性。根据削 滤波特性 弱和保留频率范围的不同，可将具有滤波特性电路分为以下几类： 低通电路： 低通电路：削弱高频成分保留低频成分； 高通电路： 高通电路：削弱低频成分保留高频成分； 带通电路： 带通电路：保留中间某一段频率成分，削弱高出和低于该中间段以 外的频率成分； 带阻电路： 带阻电路：削弱中间某一段频率成分，保留该中间段以外的频率 成分。

由此可见图9.3（a）是低通电路，对于图9.3（b）电路，用同样 方法分析出是高通电路。 对于理想滤波电路，其通带内所有频率成分相对幅值无改变地通 过，而通带以外的频率成分全部被阻止。理想的相频特性在通带 应具线性特性。以低通电路为例，理想的低通电路幅频特性应如 图9.5所示。 H（ω j ） ω C 称为截止频率。从0到 ω C 之间具有均匀的 图中 频率特性，是信号通过的频率范围，一般称为通频 1 带。ω > ω C 时全部的信号被阻止，一般称为阻带。 半功率点与截止频率：一般滤波电路将幅频特性中 半功率点与截止频率 幅度下降到最大值的 1 2 时的频率定义为截止频率， 用来区分其通带和阻带的界限。幅值下降 1 2 时功 0 ωc 率下降一半，故称为半功率点。

RC选频电路 选频电路

用电阻和电容可以组成带通电路， 因为只允许一定频率范围的信号通 过，也称选频电路 选频电路，图9.9所示就是 选频电路 一种典型的RC选频电路。 由分压关系可得 1

幅频和相频特性如图9.10所示。 当ω从零增加时，输出电压也 ω 1 (ωCR ) = 0 ，即 从零增加；当 ωCR 1 ω= 时，输出电压最大，然后 CR ω再增加输出电压开始减少，当 ω → ∞ 时，减少到零。相频特性 是随ω从零增加到无穷大，相频 ω 1 ω= 从90°逐渐减到-90°，当 90° 90 -90° CR 时相移为0°。

这是一个带通电路，通频带是从 0.3

RC有源电路频率特性分析举例 有源电路频率特性分析举例

以图9.11（a）所示的最简单有源RC电路为例，来分析其频率特 R 性。 R

图9.11（b）是图9.11（a）的相量模型。设‘负’输入端为节点 A→∞，对 a，‘正’输入端为节点b，对于理想运放器差动增益A→∞ b A→∞ & & Ua → 于有限输出 来看，ab ab两端之间电压0 ，ab ab两点之间电流可 ab ab U2 视为零。

节点a的KCL方程为： a

幅频特性和相频特性如图9.12所示

串联谐振电路及谐振时特性

串联谐振电路的模型如图9.13（a）所示。图中L,C及R是电感线 L C R 圈和电容等效模型，由于电容器损耗因数很小，所以电阻R主要是 R 线圈的等效电阻。在输入端加激励电压u，在串联回路产生的响应 u 是电流i，所反映电路特性就是激励点之间的导纳。 i

用相量分析法，其导纳为

θ 式中 Y ( jω ) 是导纳模值， ( jω ) 为导纳角，其特性画在图9.13（b） 中，当ω很小接近于零时，由于容抗接近于无穷大故导纳的模值 ω 接近于0，当ω很大趋向于无穷大时，容抗为零，电抗ωL→∞ ωL→∞， 0 ω ωL→∞ 导纳的模值也接近0。在ω从零不断增加时，电抗从零不断增加， 0 ω 而容抗从无穷大不断的减少。导纳性质由容性变为感性，当感抗 和容抗相等时，导纳模值达到最大为。导纳角由90° 变为-90° ， 90° 90 -90° 导纳模值大代最大时，导纳角为0°。 0

电路的导纳特性具有带通选频特性，使导纳模值最大的频率是使 端口为零的频率，此时 1 ωL ? =0 3ωC 在串联电路中出现这种端口为零的状态时，称电路处于串联谐振 串联谐振 状态，上式为串联谐振条件。发生串联谐振的频率称为串联谐振 状态 串联谐振 频率，用 ω 0 表示。 频率 1

特性阻抗定义为 ρ = ω 0 L = 串联谐振电路的特性阻抗 特性阻抗

2 串联谐振电路在谐振状态下的特性

(1)谐振导纳和回路最大电流 (1)谐振导纳和回路最大电流 & 由于谐振时，导纳最大，阻抗最小，在一定电压下，回路中电流 I 0 最大，分别为 &

(2)谐振时，电感L和电容C (2)谐振时，电感L和电容C两端的电压 谐振时

谐振时电感上与电容上的电压相位相反数值相等，是输入电压的 Q倍。

3 谐振时R,L,C元件的功率和能量 谐振时R,L,C元件的功率和能量 R,L,C

U2 电阻R上消耗的平均功率 PR = I 0 R = R 电容和电感上瞬时吸收的能量为

瞬时电路中贮存的总能量为

可以看出，谐振时电路中贮存的总能量保持不变，瞬时值也就是 平均值。再根据品质因数Q的定义可得回路的品质因数的实质是表 达回路储能和耗能的比。

串联谐振曲线及回路的选择性

串联电路在一定输入电压u作用下，电路中响应电流的频率特性 u & & 就是串联谐振曲线 串联谐振曲线。由于 I = UY ，所以串联谐振曲线由电路的 串联谐振曲线 导纳特性决定的。当 ω = ω 0 时导纳最大，电流也最大，电源频率 偏移谐振频率，则电路中电流减少，偏移越大减少的越多。这种 选择性。 能力称为电路的选择频率的能力，即选择性 选择性 系式，用以表示任一串联谐振电路的谐振曲线。回路的品质因数Q Q 是唯一影响谐振曲线形状的参数。

& & 图9.15画出三种不同Q值下的 I I（也称为归一化）的串联谐振电 Q 0 路的谐振曲线。

由图9.15的幅频特性看出，Q值越高，幅频特性选择性越尖锐。Q Q Q 大小取决于电路等效损耗电阻R。所以串联谐振电路要求信号内阻 R 比较小。 利用半功率点，分别可以求出，上下截止频率和通频带宽为：

并联谐振及谐振时的特性

1 并联谐振电路的等效模型

由电感线圈与电容器组成的并联电路模型 并联电路模型如图9.17（a）所示。 并联电路模型

2 并联谐振电路谐振时特性

可见，并联谐振频率是并联谐振电路的固有的二次参数。

并联谐振电路在谐振状态下的阻抗，称为并联谐振阻抗 Z P ， 由于谐振时端口电抗为零，实际上就是并联谐振电阻R P 。 此时 2 2 2

可以看出谐振阻抗也是电流的固有参数。

3 并联谐振电路的品质因数

并联谐振电路的品质因数定义为，在谐振状态下，图9.17电 并联谐振电路的品质因数 路中任一支路的谐振电纳与谐振电导之比。

4 并联谐振电路的谐振曲线

由此看并联谐振电路的品质因数也是电路的固有参数。对比串联 谐振电路的推导，并联电路的Q值也是并联谐振电路谐振时回路储 Q 能与耗能的比有关的参数。 2 R 2 + ω 0 L2 ω 0C ' ω0 L RP R Q= = R Pω 0 C ' = = = 2 2 2 1 RP R ω 0 L' R + ω0 L ω0 ω02 L 并联谐振电路的谐振曲线是指并联电路中电压的频率特性。作为 并联谐振电路的谐振曲线

由图9.17（b）可得

其特性曲线也如图9-15一样。Q值越高选择性越好。 Q

在实际应用中，用做选频的并联谐振电路，Q都比较高。这时可将 Q 并联谐振电路的二次参数计算公式简化见表9.1。 一般情况 谐振频率 谐振阻抗 品质因数 谐振曲线

图9.20所示的等效并联谐振电路，其中 RL 为电感线圈的等效损耗， R C 为电容等效损耗。设电感的品质因数为 QL ，电容的品质因数 为 QC ，求谐振回路总的品质因数。 解： 按品质因数定义，支路电纳与支路导纳之比，也就是电导 上的电流与电纳上的电流之比。可求出

从上式看出谐振回路的品质因数的倒数，等于各元件品质因数的 倒数之和。

储能元件的品质因数， 储能元件的品质因数，损耗因数

在常用的电路中，储能元件是电感线圈和电容器，在储能过 程中这两种元件都伴随有耗能现象。所以实际元件等效为理想 储能元件电感或电容，和一个耗能元件电阻元件。如图9.21所 示，是电容器两种等效电路，图9.22是电感线圈的两种等效电 路。

储能元件主要功能是储能的，所储能和耗能之比就是衡量元件好 坏的品质因数，其定义与谐振回路一样，也用Q表示。如果两端上 Q & & 所加的电压为 U ，得到的电流为 I 0 ，则元件的品质因数

(2)电容器的品质因数和损耗因数计算公式 U 2ωC QC = 2 = ωCR 并联等效电路如图9.21（a）所示 U R 串联等效电路如图9.21（b）所示

实际应用常把电容的品质因数的倒数称为损耗因数。 1 ? 记为： tgδ = I QC ? ? 从图9.23（a）的等效电路 可画相量图9.23（b）。其 δ 中 δ 称为损耗角， 越大损 耗越大，所以 tgδ 称为损耗 因数。