概率论与数理统计期末复习重要知识点 1.离散型随机变量:设X是一个随机变量,如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个,则称X为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布: (1)两点分布(0-1分布): 若一个随机变量X只有两个可能取值,且其分布为P{X?x1}?p,P{X?x2}?1?p x1,x2处参数为p的两点分布。 两点分布的概率分布:两点分布的期望:(2)二项分布: 若一个随机变量X的概率分布由式 二项分布的期望:(3)泊松分布: 若一个随机变量X的概率分布为数为?的泊松分布,记为X~P (?) 泊松分布的概率分布:泊松分布的期望:
E(X)??;泊松分布的方差:D(X)?? f(x),使得对于任意实数x,有 f(x)为X的概率密度函数,
如果对随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数 ,则称X为连续型随机变量,称 简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布: 若连续型随机变量X的概率密度为f(x)??b?a,则称X在区间(a,b)上服 ,a?x?b 均匀分布的概率密度:f(x)???b?a?其它?0, 12 2均匀分布的期望:;均匀分布的方差: ?0若连续型随机变量X的概率密度为 ?的指数分布,记为X~e (?) ?0指数分布的概率密度: 指数分布的期望:(3)正态分布: ?f(x)?若连续型随机变量X
?2?和的正态分布,记为X~N(,?) (x??)22??f(x)?正态分布的概率密度:
正态分布的期望:E(X)??;正态分布的方差:D(X)?? 1(4)标准正态分布:, 标准正态分布表的使用: (1)
6.随机变量的分布函数: 设X是一个随机变量,称分布函数的重要性质: 7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 (1)由X的概率分布导出Y的概率分布步骤: ①根据X写出Y的所有可能取值; ②对Y的每一个可能取值
yi确定相应的概率取值; ③常用表格的形式把Y的概率分布写出 (2)由X的概率密度函数(分布函数)求Y的概率密度函数(分布函数)的步骤: ①由X的概率密度函数②由 FY(y)求导可得Y的概率密度函数 (3)对单调函数,计算Y=g(X)的概率密度简单方法: 定理1 设随机变量X具有概率密度 x?(??,??),又设y=g(x)处处可导且恒 ”g(x)?0g(x)?0)有(或恒有,则Y=g(X)是一个连续型随机变量,其概率密度为 1.离散型二维随机变量X与Y的联合概率分布表: (1)要会由X与Y的联合概率分布,求出X与Y各自概率分布或反过来;类似 P63 例2 (2)要会在X与Y独立的情况下,根据联合概率分布表的部分数据,求解其余数据; 类似 P71 例3 (3)要会根据联合概率分布表求形如 (4)要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度: 设(X,Y)为二维随机变量,F(x,y)为其分布函数,若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对 ????任意实数(x,y),有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量。 (1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限; (2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y),以及形如率值;P64 例3 (3) 要会根据联合概率密度求出 (4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质:
要会根据这些性质解类似P68 第5,6题。
4.常用的连续型二维随机变量分布 二维均匀分布:设G是平面上的有界区域,其面积为A。若二维随机变量(X,Y)具有概率 ,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 定义:设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为意实数x,y,有 (1)离散型随机变量的独立性: ①由独立性的定义进行判断; ②所有可能取值 (2)连续型随机变量的独立性: ①由独立性的定义进行判断; ②联合概率密度 (3)注意与第四章知识的结合
6.相互独立的两个重要定理 定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立,即,对任意实数集A,B,有 定理2 如果随机变量X与Y独立,则对任意函数(1)要求会使用这两个定理解决计算问题 设总体密度函数如下,x1,x2,…xn是样本,试求未知参数的矩估计值,最大似然估计值。
dt?2?2?2????2 ?2,由此可推出???E(X), 从而参数?,?的矩估计值为??s,??x?s (2)似然函数为:L(?)?()exp{? 其对数似然函数为:lnL(?,?)??nln??
由上式可以看出,lnL(?,?)是?的单调增函数,要使其最大,?的取值应该尽可能的大,由于限制x(1)??,这给出的最大似然估计值为??x(1) 将lnL(?,?)关于?求导并令其为0得到关于?的似然方程
?????0?05????1×1 (1)定理4(棣莫佛—拉普拉斯定理) 设随机变量 X1,X2,…Xn,…相互独立,并且都服从参数为p的两点分布,则对任意实数x, (2)定理3(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量 X1,X2,…Xn,…相互独立,服从同一分布,且 确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布 (1)?分布::设X1,X2,…Xn是取自总体N(0,1)的样本,称统计量?2?X12?X22?…?Xn2服从自由度为n的?2分布。 相互独立,则称t?n的t分布。 (3)F分布:设X~?(m),Y~?(n),且X与Y相互独立,则称F? 为(m,n)的F分布。 2.三大抽样分布 (1)设总体X~N(?,?2),X1,X2,…,Xn是取自X的一个样本,X为该样本的样本均值, (2)定理2设总体X~N(?,?),X1,X2,…,Xn,是取自X的一个样本,X与S为该样本的样本均值与样本方差,则有?? (3)定理3 设总体X~N(?,?2),X1,X2,…,Xn,是取自X的一个样本,X与S为该样本的样本均值与样本方差,则有??练习题:
3.求样本函数相关的概率问题 1.矩估计的求法: 设总体X的分布函数 F(x;?1,…,?k)中含有k个未知参数的函数?1,…,?k,则 (1)求总体X的k阶矩 是这k个未知参数的函数,记为(2)从(1)中解得(3)再用
内容提示:概率论知识点总结
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2000年以来一直从事鉴定评审工作,擅长特种设备制造、安装、维修改造行政许可、各类气瓶充装许可、生产许可证咨询、检验检测机构(建筑、食品、机动车辆、共环卫等)资质认定体系文件编写咨询,ISO、CMA、CNAS等认证认可咨询,组成的团队有近10人多年从事此项工作,能够根据单位的实际情况编写体系文件,并具有较为丰富的指导体系建立与运行的实践经验,团队注重交流合作,具有良好的职业操守。