是不是任何n阶矩阵都有矩阵的正负惯性指数数？非对称的n阶矩阵也有矩阵的正负惯性指数数吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-24 15:20 标签： 矩阵的正负惯性指数
二次型矩阵的秩等于正负惯性指数的和?有这个性质吗
二次型的矩阵 相似于 对角矩阵
对角矩阵中正负数的个数即为它的秩
故A的秩等于正负惯性指数的和

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PAGE PAGE 44 第五章 二次型练习与测试题 一、填空题 1、实二次型的矩阵为 ，秩为　 __　， 正惯性指数为 ，规范形为 . 2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵. 3、复二次型的规范形由 所唯一确定. 4、实二次型正定 ，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同：　　　　　　　　　. 二、判断题 设A、B为n阶方阵，若存在n阶方阵C，使，则A与B合同.（　　） 2、若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素皆大于零.　　（　　） 3、若A为负定矩阵，则必有.　　（　　） 4、实对称矩阵A半正定当且仅当A的所有顺序主子式全大于或等于零.　　（　　） 5、若A负定，则A的所有顺序主子式全小于零.　　（　　） 6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型.　　（　　） 7、若实二次型的符号差为s ，令，则二次型的符号差为－s.　　（　　） 三、计算 1．用可逆线性替换将二次型化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出的正惯性指数与符号差． 2．求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性代换. 四、证明题 1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P，使A＋P′P＝0. 2、实二次型，且秩(A)＝n.　二次型，证明：f与g具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数 自测题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1．二次型的矩阵为 ． 2．实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为 类． 3．两个元实二次型等价的充分必要条件是 ． 4．A正定 ． ． ． 5．某四元二次型有标准形，则其规范形为 ． 二、判断说明题（先判断正确与错误，再简述理由．每小题5分，共20分） 1．元实二次型的符号差与秩有相同的奇偶性． 2．阶实对称矩阵A若满足，则A正定． 3．A为阶复对称矩阵，则与合同． 4．设A，B分别是阶正定矩阵，则也是正定矩阵． 三、计算题（每小题15分，共45分） 1．用可逆线性替换将二次型化为标准形．写出所用的线性变换及变换矩阵，并求出的正惯性指数与符号差． 2．设．矩阵其中为实数，I为单位矩阵．求对角矩阵，使B与相似，并求为何值时，B为正定矩阵． 3．已知二次型通过非退化线性变换化为标准形，求的值及所作的线性变换． 四、证明题（每小题10分，共20分） 1．A为实对称矩阵，B为对称正定矩阵，证明：存在可逆矩阵T，使 为对角形，． 2．设A为3级实对称矩阵，且，证明A为正定矩阵． 小测验五 姓名　 　学号 一、填空题 1、实二次型的矩阵为　　　　　　　，秩为　　　　，正惯性指数为　　　　　　，规范形为　　　　　　　　. 2、与对称矩阵合同的矩阵只能是　　　　　　矩阵. 3、复二次型的规范形由　　　　　　所唯一确定. 4、实二次型正定　　　，i=1,2,…,n. 5、任意3级实对称矩阵与且仅与下列对角矩阵之一合同： 　　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　　， 　　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　　，　　　　　　　， 　　　　　　　，　　　　　　　. 二、判断题 设A、B为n阶方阵，若存在n阶方阵C，使，则A与B合同. （　　） 2、若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素皆大于零.　　（　　） 3、若A为负定矩阵???则必有.　　（　　） 4、实对称矩阵A半正定当且仅当A的所有顺序主子式全大于或等于零.　　（　　） 5、若A负定，则A的所有顺序主子式全小于零.　　（　　） 6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型.　　（　　） 7、若实二次型的符号差为s ，令，则二次型的符号差为－s.　　（　　） 三、求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性替换. 四、证明题 1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P，使A＋P′P＝0. 2、实二次型，且秩(A)＝n.　二次型，证明：f与g具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数。

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