希望杯第一届（1990 年）初中一年级第 1 试试题
一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )

A．a，b都是0． B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数． 2．下面的说法中正确的是 ( )

A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式． C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式． 3．下面说法中不正确的是 ( A. 有最小的自然数． C．没有最大的负整数． ) B．没有最小的正有理数． D．没有最大的非负数． ( )

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 A．a，b同号． B．a，b异号．C．a＞0． D．b＞0． ( )

5．大于－π 并且不是自然数的整数有 A．2个． B．3个．C．4个．

6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身． 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( A．0个． B．1个．C．2个． D．3个． ) )

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 (

A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a． 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%， 那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( A．一样多． B．多了．C．少了． D．多少都可能．

10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么， 当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( A．增多． )

B．减少．C．不变． D．增多、减少都有可能．

8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重 是______克． 9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的 .如果工作4天后,工作效率提高了 ,那么

完成这批零件的一半，一共需要______天． 10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．

2．x ，2x ，x 都是单项式．两个单项式x ，x 之和为x +x 是多项式，排除A．两个单项 式x ，2x 之和为3x 是单项式，排除B．两个多项式x +x 与x －x 之和为2x 是个单项式，排 除C，因此选D． 3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正

所以C “没有最大的负整数”的说法不 正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，?，n，?，易知无最大非负数，D正确．所以不 正确的说法应选C．

5．在数轴上容易看出：在－π 右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1， 0共4个．选C． 6．由1 =1，1 =1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1) =－1，可知丁也是正确的说 法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于 它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不 正确．所以选B． 7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D． 8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A． 我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－ 1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一

去了原方程x=2的根．所以应

排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为 1，因此选D． 9．设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a?(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)?(1+10%)=0.9?1.1?a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．

10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为

设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为

∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．

10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即

希望杯第一届（1990 年）初中一年级第 2 试试题

2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 ( A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 3.已知数x=100,则( )

A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数． C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数． 4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则 大小关系是( )

5．x=9，y=－4是二元二次方程2x +5xy+3y =30的一组整数解，这个方程的不同的整数 解共有 ( A．2组． ) B．6组．C．12组． D．16组．

二、填空题（每题1分，共5分） 1．方程|1990x－的根是______．

2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表 示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0）， 则m的数值是______． 3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其 中的一个门， 但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙， 现在要打开所有关闭着的20个房间， 他最多要试开______次． 4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x， y的二元一次三项式的乘积． 5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然 数的平方． 三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分） 1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶 汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但 是可以不同时返回， 两车相互可借用对方的油． 为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点， 另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了 多少公里？ 2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B， 直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直 线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=

2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是 乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ∵①=②∴选C． ② ①

4．由所给出的数轴表示（如图3）： 可以看出

可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D． 二、填空题

4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式 6x +mxy-4y -x+17y-15 中划波浪线的三项应当这样分解： 3x -5 2x +3 现在要考虑y，只须先改写作 然后根据-4y ，17y这两项式，即可断定是： 由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x +5xy-4y -x+17y-15就是原六项式，所以m=5． 被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自 然数的平方． 三、解答题 1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，

将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油， 依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8． 甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8， 所以当x=8时，得最大值30(48-4?8)=480（公里）， 因此，乙车行驶的路程一共是2(60?8+480)=1920（公里）． 2．由题设可得

因此，当1＜x≤y≤z时，解 (x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)， (3，3，6)，(3，4，4)四组． 由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．

希望杯第二届（1991 年）初中一年级第 1 试试题

A．最小整数． 2．若a＞b，则 A.

3．a为有理数，则一定成立的关系式是 (

A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7． 4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )

A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以

C. 甲方程的两边都乘以 10．如图: O是原点,则

15．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是 ( A.

6．n为正整数，的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成 的四位数是8009．则n的最小值等于______． 7. 计算： ? ? 8. 计算：

15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数 之和都相等,则

答案与提示 一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D 提示： 1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最 小自然数．选C． 有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22 ＜(-3) ，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．

新方程x-4=4x与原方程同解．选C．

6．1990 的末四位数字应为的末四位数字．即为0000，即1990 末位至少要4 个0，所以n的最小值为4．

13．十位数比个位数大7的两位数有70，81，92，个位数比十位数大7的两位数有18， 29，其中只有29是质数．

希望杯第二届（1991 年）初中一年级第 2 试试题

2．一个分数的分子与分母都是正整数，且分子比分母小1,若分子和分母都减去1,则 所得分数为小于 A．5个．

6 的正数,则满足上述条件的分数共有( 7

4．a为有理数．下列说法中正确的是(

A．-1． B．1． C．2． D．3． 6．a，b，c均为有理数．在下列 甲：若a＞b，则ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中， ( )

A．甲、乙都真． B．甲真，乙不真．C．甲不真，乙真． D．甲、乙都不真． 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为 ( ) B．3b-c．C．b+c． D．c-b．

8．①若a=0，b≠0，方程ax=b无解．②若a=0，b≠0，不等式ax＞b无解．③若a≠0, 则方程ax=b有唯一解x=

A．①、②、③、④都正确．B．①、③正确，②、④不正确．

C．①、③不正确，②、④正确．D．①、②、③、④都不正确． 9.若abc=1,则

A．1． B．0． C．-1． D．-2． 10．有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分， 不答得2分．某同学共得了20分，则他( )

A．至多答对一道小题．B．至少答对三道小题． C．至少有三道小题没答．D．答错两道小题． 二、填空题（每题1分，共10分） 1． 绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______． 2． 单项式

4． 现在弟弟的年龄是哥哥年龄的 的年趟龄是_____.

1 1 ,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的 ,则哥哥现在 2 5

5． 某同学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了1.5小时，若他上学、下学都 乘车．则只需0.5小时．若他上学、下学都步行，则往返全程要用______小时． 6． 四个连续正整数的倒数之和是

19 ,则这四个正整数两两乘积之和等于______． 20

2 1 去参加歌咏比赛, 全班学生的 9 4

去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人. 10．游泳者在河中逆流而上．于桥A下面将水壶遗失被水冲走．继续前游20分钟后他 发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶．在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面追到了水壶．那 么该河水流的速度是每小时______公里．

三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明， 字迹与绘图力求清晰、工整） 1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数，问从这100名 运动员中至少要选出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差 9？请说明你的理由． 2．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对 值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显 示|x1-x2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算， 现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后 显示的最后结果设为p．试求出p的最大值，并说明理由．

答案与提示 一、选择题 1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．D 提示： 1．两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者．两个自然数的最大公约数一 定不大于两数中较小者．所以q≥a＞b≥p．选B．

=-1-(-1)+1=1．选B． 6．若c=0，甲不正确．对于乙，若ac ＞bc ，可推出c≠0，∴c ＞0，进而推出a＞b， 乙正确．选C．

5．设步行速度为x，乘车速度为y，学校到家路程为s，则

6．设所求的四个连续整数分别为a，a+1，

∴a=2不合题设条件．

9．显然全班人数被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人数 小于50，可见全班总计36人，看电影的同学为36-8-9=19． 10．设该河水速每小时x公里．游泳者每小时

解得x=3．即该河水速每小时3公里． 三、解答题 1．若选出54个人，他们的号码是1，2，?，8，9，19，20，?，26，27，37，38?， 44，45，55，56，?，62，63，73，74，?，80，81，91，92?，98，99．的时候，任两 个人号码数之差均不等于9． 可见，所选的人数必≥55才有可能． 我们证明，至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9． 被选出的55人有55个不同号码数，由于55=6?9+1，所以其中必有7个号码数被9除余 数是相同的．但由1―100这一百个自然数中，被9除余数相同的数最多为12个数．因此7个 数中一定有两个是“大小相邻”的，它们的差等于9． 所以至少要选出55名小运动员，才能使其中必有两人运动服的号码数相差9． 2．由于输入的数都是非负数．当x1≥0，x2≥0时，|x1-x2|不超过x1，x2中最大的数．对

所以P的最大值为1990．

希望杯第三届（1992 年）初中一年级第 1 试试题

A．正整数． B．负整数．C．负分数． D．0． 2．下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( A. )

4．两个10次多项式的和是 (

7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 A．(a-b)(ab+a)．

9．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( A．互为相反数． B．互为倒数． C．互为负倒数． D．相等．

10．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是 10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是 ( A.5; B.8 )

8．一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要______ 公斤的小麦． 9.满足

10．在下图所示的每个小方格中都填入一个整数：

并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则

9．因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A． 10．前三个数之和=15?3， 后两个数之和=10?2． 所以五个有理数的平均数为

提示： 1．前12个数，每四个一组，每组之和都是0．所以总和为14+15=29．

6．六个单项式的系数依次为：

7．小华写四个有理数之和为

分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3，-12，6，8．所以，这四个有理数 的乘积=3?(-12)?6?8=-1728． 8．设需要x公斤小麦，根据题意，得

解方程，得x=5000． 答：需要5000公斤小麦．

因为9+x+2=5，则x=-6，依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5，分别确定出每个 格子中所填之数如下：

希望杯第三届（1992 年）初中一年级第 2 试试题

A．0.．B．52.．C．823．D．0.23． 2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是 A．正数． B．负数．C．奇数． D．偶数． ) ( )

3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是 ( A．-b＞a＞-a＞b．

4．在1992个自然数：1，2，3，?，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或 “-”号，则其代数和一定是 A．奇数． ( ) D．非负整数．

B．偶数．C．负整数．

5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理 数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数 恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是 ( )

7.已知p为偶数,q为奇数,方程组 ?

9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数 式10x+y可以取到( A．1个． )不同的值． D．多于3个的．

10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯 数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837， 571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的(

二、填空题（每题1分，共10分） 1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且

5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的

2 ,又扔掉4个到大海中 5

去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的 ____个.

5 ,那么这堆核桃至少剩下 8

图17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格 子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是______． 10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列 成下表：

那么，购买每种教具各一件共需______元． 三、解答题（每题5分，共10分） 1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰 是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程． 2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我 们称a是一个“希望数”． (1)请你举例说明：“希望数”一定存在． (2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

所以将8.119823的小数点向前移三位得0.，即为0.80473 的值，选A． 2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a， ∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0， 因为a +1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B． 3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点 的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A． 4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这 个性质对n个整数也是正确的．因此， 1，2，3?，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的 奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-6的奇偶性相同，是偶数，所以选B． 5． 原来1991个数的平均数为m， 则这个1991个数总和为m?1991． 当m混入以后， 那1992 个数之和为m?1991+m,其平均数是1992， ∴m=1992，选C． 6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d， b＞d，c＞d．

所以a+b＞b+c，成立，选B． 7．由方程组

以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数． 由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B． 8．由x-y=2 ① 平方得x -2xy+y =4 又已知x +y =4

所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或 -2．无论哪种情况，都有 x=01992+(±2)，选C． 9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得

由于x，y取0―9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x 必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．

三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11， 34和57，选C． 二、填空题

下，只能是b=1．于是a=-1． 所以，a

5．设这堆核桃共x个．依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即

目标是求m的最小正整数值．

m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．

由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3， 即9≤a＜12．

可被第三个整除，应有b|a+c．

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等 于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3 个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y． 要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．

所以p取最大整数值应为28． 事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立． 所以p的最大值是28． 10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元． 则依题意列得关系式如下：

③?2-④式得 x1+x2+x3+x4+x5=2?00． 所以购买每种教具各一件共需1000元． 三、解答题 1．解①（逻辑推理解） 我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是．但这个数 不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数． 设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排

除，由此只能取x=28，y=17． 的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3， 偶位和减3才行。为此调整最后四位数码，排成即为所求． 解②（观察计算法） 被11除余5．因此，是被11整除而最接近的九位数．但 并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是我 们由开始，每次减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组 成的九位数为止．其过程是 →→→ →→→→ →→→→ →→??→→ →． 这其间要减去173次11， 最后得出一个恰由九个数码组成的九位数， 为所求， 其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解决本题的一种可行途 径，有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考． 2．(1)答：由于?142857，所以428571是一个“希望数”． 说明：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍， 我们称a是一个“希望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解 定义的能力，并能举例说明被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不到“希 望数”．而在四位数中很容易找到实例． 如：5，所以3105是个“希望数”； 或：5，所以7425是个“希望数”； 或：?285714，所以857142是个“希望数”； 以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如： ?=3?230769

341172都是希望数，事实上用3105是希望数，可知也是“希望数”，只要这样排 下去，可以排出无穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无穷多个． (2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自 然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和． 由a=3p和a为3的倍数．

希望杯第四届（1993 年）初中一年级第 1 试试题

1 ,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的 2

7．a是有理数，则在下列说法中正确的一个是 A．-a是负数． 8.-

9．在下列条件中，能使ab＜b成立的是(

11．有理数a、b小于零，并且使(a-b) ＜0，则 A.

14．图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图．图中填入的所有数的总和等于 ( ) A．126． B．127．C．128． D．129． )

15．在自然数：1，2，3，4，5，?中，前15个质数之和的负倒数等于( A.-

二、填空题（每题1分，共15分） 1．若a＞0，在-a与a之间恰有1993个整数，则a的取值范围是______． 2．如果相邻的两个正整数的平方差等于999，则这两个正整数的积等于______． 3.

4．一辆公共汽车由起点站到终点站（这两站在内）共途经8个车站。已知前6个车站 共上车100人，除终点站外前面各站共下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客共 有______．

10．甲、乙两个火车站相距189公里，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同 时出发，相向而行，经过1.5小时，两车相遇，又相距21公里，若快车比慢车每小时多行 12公里，则慢车每小时行______公里． 11．在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时,y=3,则

14．△ABC是等边三角形，表示其边长的代数式均已在 图23中标出,则 ?

15．有人问一位老师：他教的班有多少学生．老师说：“一半学生在学数学，四分之 一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则 这个“特长班”共有学生______人．

7．当a=0，显然A，B，C，均不正确，应排除，所以选D．事确上，对任意有理数a， 都有(a-1993)2≥0，所以(a-.001＞0是正数．

所有非负整数解的积=0．

15．设这个班共有学生x人．在操场踢足球的学生共a人，依条件，x，a都是自然数， 且1≤a＜6． 根据题意列方程如下： 合并同类项，移项得 因为a，x均为自然数，(3，28)=1所以3|a． 但a只能取1，2，3，4，5这五个数，所以a=3．因此x=28． 答：这个班共有28名学生．

希望杯第四届（1993 年）初中一年级第 2 试试题

A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909． 2．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出的 数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是( A．285． B．286．C．287．

4．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( ) A. ? a ?

A．2． B．4． C．6． D．8． 6．今天是4月18日，是星期日，从今天算起第1993 天之后的那一天是 A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一． 7．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值．则r的最大值与最小值的 和是 ( ) A．148． B．247．C．93． D．122． ( )

8．绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 A．0． B．-32．C．33． D．-33．

10．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形 对边上的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为( )

2．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，则(b÷ a)÷(c÷d)=______． 3．两个同样的大小的正方体形状的积木．每个正方形上相对的两个面上写的数之和 都v 等于-1，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见 的七个面上的数的和等于______．

10．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个采得蘑菇的个数约是一个十 位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的 蘑菇,则丁采蘑菇______ 个. 三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分） 1． 如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小 正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．

4 3 ,乙采的数量是丙的 倍,丁比甲多采了3个 5 2

2．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成 立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．

被7除的余数与125被7除的余数相同，125=7?7+6．所以1993 被7除余数为 6．从4月18日星期日数起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此1993 -6恰 是星期六，再往后数6天，1993 天是星期五．而1993 天之后的那一天应是星期六，选B． 7．n(n+1)为偶数．设302被n(n+1)除商q余r，则302=n(n+1)q+r知，r为偶数．显然B、 C均应排除．由除数n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182， 210，240，272这些值，计算得相应的余数中最小的正值为2，最大正值为146．所以r的正 的最小值与最大值的和是148．选A． 8．即求-100与100之间被3除余1的整数之和，在0到100之间被3除余1的整数是1，4，

) 均未改变．易见，未涂阴影部分面积为空白矩形的面积，是(a-c)(b-c)，选C． 二、填空题

3．由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1．所以每个正方体六个面上写的 数之和等于-3．两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6．而五个看得见的面上的数之 和是1+2+3+4+5=15．因此，看不见的七个面上所写数的和等于

个连续自然数中最大的那个数x+996=9，即当σ 为完全平方数时，1993个连 续自然数中最大的那个数的最小值是2989． 7．设六个人的成绩依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6．则65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．

一个近似为首位的是3的两位整数．因此，由近似数的表示有

因此只能有x=30，即丙采30个蘑菇． 此时，乙采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，因此丁采39个蘑菇． 舍五入，约为38是个十位数是3的两位 数． 三、解答题 1．如图30已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的 边长依次填在每个正方形中， 它们是x+y， x+2y， x+3y， 4y， x+7y， 2x+y， 2x+y+z， 4x+4y-z，

希望杯第五届（1994 年）初中一年级第 1 试试题

7．n是整数，那么被3整除并且商恰为n的那个数是( A.

6． 在自然数中， 从小到大地数， 第15个质数是N,N的数字和是a， 数字积是b,则 的值是__________.

7．一年定期储蓄存款，月利率是0.945%．现在存入100元，则明年的今日可取得本金 与利息共______元． 8．若方程19x-a=0的根为19-a，则a=______． 9.当丨x丨=x+2时,19x +3x+27的值是__________. 10．下面有一个加法竖式，其中每个□盖着一个数码，则被□盖住的七个数码之和等 于______． 三、B组填空题（每题4分，共40分）

按上表中的要求,填在空格中的十个数的乘积是_______．

4．在数码两两不等的所有的五位数中，最大的减去最小的，所得的差是______． 5．已知N=94+95+96+? 1997，则N的末位数字是______． 6．要将含盐15%的盐水20千克，变为含盐20%的盐水，需要加入纯盐______千克． 7．一次考试共需做20个小题,做对一个得8分，做错一个减5分， 不做的得0分．某学生共得13分．那么这个学生没有做的题目有______个． 8．如图2．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正 方形放在一起(a＞0,b＞0)．则三角形ABC的面积是_______．

9．在1到100这一百个自然数中任取其中的n个数．要使这几个数中至少有一个合数， 则n至少是______．

10．如图3，是某个公园ABCDEF，M为AB的中点，N为CD的中点， P为DE的中点，Q为FA的中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积和 是900平方米，中间的湖水面积为361平方米，其余的部分是草地， 则草地的总面积是______平方米．

二、A组填空题 提示： 1．绝对值比2大而比6小的整数共有?-5,-4,-3,3,4,5共6个．

所以按表中要求填入的十个数之积是五个-1相乘，其积为-1． 4．在五个数码两两彼此不等的五位数中，最大的一个是98765，最小的一个是10234， 它们的差是=88531． 5．94的末位数字与2?3?4的末位数字相同,等于4．容易看出其余三 个乘式中每一个都有因子2和因子5,所以95,96,?1997的末位数字都是0．所以N的末位数字是4． 6．20千克盐水中含纯盐20?15%千克,设加入x千克的纯盐后盐水浓度变为20%,则 20?15%+x=(20+x)?20%解得：x=1.25（千克）． 7．设该生做对x个题,做错y个题,没做的是z个题,则

9．在1?100这100个自然数中，容易数出来共有25个质数，不有1既不是质数也不是

合数，所以，在最坏的情况下，拿到这26个非合数之后，只要拿一个数，必然会出现一个 合数，因此要保证多少取出一个合数，必须至少取27个数，所以n至少是27． 10．连接AD、AE、DB（图5）． 根据一个三角形的中线平分这个三角形的面积,可知： △EQA面积=△EQF面积 △AEP面积=△ADP面积 △DBM面积=△DAM面积 △BND面积=△BNC面积 上述四个等式相加,可知:游览区APEQ与BNDM的面积之和恰等于△EQF、△BNC，四边形 APDM的面积之和．因此，草地和湖水的面积之和恰为900平方米，其中湖水面积为361平方 米，所以草地面积是900?361=539平方米．

希望杯第五届（1994 年）初中一年级第 2 试试题

3．a,b,c在数轴上的位置如图6．则在-

7．据报道目前用超级计算机找到的最大质数是,这个质数的末尾数字是 [ ] A．1 B．3. C．7 D．9 8．在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数码后,使所得的数最大,则替换的数字是 [ ] A．1 B．4. C．2 D．8 9．当-1＜a＜0时,则有[ ]

5．某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3．他用十 个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣．那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2 件上衣，共需______工时． 6．若p,q都是质数,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则p2-q=______． 7．n是自然数,我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”，如1的指标数是1，27的指 ?<6.7>-<10.1>>=______． 10． 电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位到k1,第二步由k1向右跳 2个单位到k2,第三步由k向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4,?,按 以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94．则电 子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是______． 三、解答题:（每题10分，满分20分） 1．在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图9所示．

试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)

2．(1)现有一个19°的“模板”（图10），请你设计一种办法，只用这个“模板”和 铅笔在纸上画出1°的角来． (2)现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？ (3)用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ 对(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由．

答案?提示 一、选择题 提示： 1．依有理数加法法则知,选(A)．

7． 百位是21个3之和21?3=63，再加上十位进上来的7，得70，所以百位数是0，向千位进 7．千位数是20?3=60，再加上百位进上来的7，得67，所以千位数字为7． 所得四位数是7029．

这个六位数是285713． 5．设缝纫师做一件衬衣的时间为x，则一条裤子的时间为2x，做一件上衣用时为3x．

2．解：(1)在平面上取一点O，过O点画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边 与OB射线重合，另一边落在射线OB1，仍以O为顶点，角一边重合于OB1，另一边落在射 线OB2，?，这样做出19个19°的角，其总和为361°，∠BOB19就是1°角． (2)利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17?m-180? n=1． 事实上17?53-180?5=901-900=1．所以做法如下： 在平面上任取一点O，过O点画直线AOB，以OB为始边、O为顶点，反时针方向依次画53 个17°的角， 设最后的终边为OB53， 而5?180°的终边在OA射线， 这时∠AOB53即为1° 的角． (3)若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21°?m-180°?n=1°

希望杯第六届（1995 年）初中一年级第 1 试试题

3．若a＜0，则下列结论中不成立的是

4．下面的数轴上(图1)，表示(-5)÷│-2│的值的点是 A．P． B．Q． C．M． D．N．

5．如果由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是真值的数是[ A．34.49． B．34.51．C．34.99． D．35.01． [ ]

6．如果a、b均为有理数，且b＜0，则a，a-b，a+b的大小关系是

8．在绝对值小于1000的整数中，完全平方数的个数是[ A．62． 9.计算: B．63． C．32． D．31．

3．由0.03096四舍五入精确到万分位得近似数的有效数字是_____． 4．a、b为有理数．则表中空格内应填的数是_____． 5．在下表所填的16个数中，最大的一个数是_____．

在数轴上，点A、B分别表示有理数a、 b,原点O恰是AB的中点,则1995a?

2．某次测验共20道选择题、答对一题记5分，答错一题记-2分，不答记0分，某同学得 48分，那么他答对的题目最多是_____个． 3.计算: (2 ? 3 ? 4 ? 5) ? ?

4．ABCD和EBFG都是正方形，尺寸如图5所示，则阴影部分的面积是_____(cm2)． 5．a与b是相邻的两个自然数，则a、b的最大公约数与最小公倍数之和等于_____． 6.若丨x-y+3丨与丨x+y-1995丨互为相反数,则

7．120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于_____． 8．如图6给出的乘法竖式中，四个方块盖住的四个数字之和的最大值是_____.

答案?提示 一、选择题 提示：

这999个负整数都不能写成整数的平方。因此可以写成整数的平方的数只能在0，1， 2，?，998，999这一千个整数中去找。0=02，1=12，4=22，?，961=312。共计32个， 选(C)．

5．表中所填的数都是负数，应该以绝对值最小的其值最大，可按行比较． 第一行最大者为-1.1，第二行最大者为-1.001， 第三行最大都为-1.01，第四行最大都为-1.0101． 在-1.1、 -1.001、 -1.01、 -1.0101中最大者为-1.001， 所以全表16个数中最大者为-1.001

所以a=-2时，所给五个单项式的值最大的是6． 三、B组填空题 提示： 1．在数轴上，有理数a与b对应的点A与B满足原点O是线段AB的中点。则a+b=0

4．从图5中观察易知，阴影的面积是正方形ABCD面积的一半，

5．a、b为两个相邻的自然数，它们的最大公约数为1，所以a、b的最小公倍数为ab． 因此，a、b这两个相邻自然数的最大公约数与最小公倍数之和等于ab+1．

又由于乘数为5，所以d=0或5，即d的最大值是5，又b≤9，c≤d ∴a+b+c+d≤1+9+9+5=24 而事实上1+9+9+5=24，表明24是可达到的． 所以四个方块盖住的四个数字之和的最大值是24． 9．设步行所用时间为t小时，则乘汽车用1-t小时，依题意列方程如下： 36?(1-t)+4?t=28 答 解得 t=0.25

步行所用时间为0.25小时。

希望杯第六届（1995 年）初中一年级第 2 试试题

4．用一副学生用的三角板的内角(其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一 个是30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同角度的角共有_____种． [ A．8． ]． B．9．C．10． D．11．

5．数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随 意画出一条长为1995厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是[ A．1994或1995． ]个．

7．某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱 都买了每公斤2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤_____元． [ ] C．2.4． D．2.3． ,

8．a、b、c的大小关系如图7所示

10．某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相 同，都是25道选择题，第题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有 80分的试题就是模拟考试中的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考 试中仍能答对， 某人欲在正式考试中确保及格， 则他在模拟考试中， 至少要得 [ A．80分． 二、填空题 1．计算：12+2-3?4÷5+62+7-8?9÷10=_____． 2．若a+b＜0，则化简│a+b-1│-│3-a-b│的结果是_____． 3．某市举行环城自行车比赛，跑的路线一圈 是6千米,甲车速是乙车速的,在出发后1小时10分钟时,甲,乙二人恰在行进中第二次 相遇,则乙车比甲车每分钟多走_____千米． 4．如图8，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S1面积是8，S2的面积 是6，S3的面积是5．则阴影三角形的面积是_____． 5.若n= 1 ? B．76分．C．75分． D．64分． ]

6．一次数学小测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小 测验的成绩至多有_____种可能的分数． 7． 已知p、 q均为质数， 并且存在两个正整数m,n,使得p=m+n,q=mn, 则

10． 用分别写有数字的四张卡片， ， ， 可以排出不同的四位数， 如1234， 1342， 4231， ?

等等共24个，则其中可被22整除的四位数的和等于_____． 三、解答题 1．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号，这些运动员随意地站成 一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请 你说明理由． 2． 已知ax+by=7， ax2+by2=49， ax3+by3=133， ax4+by4=406， 试求1995(x+y)+6xy的值.

一、选择题 提示： 1．∵y＞0，若x≥0则x+y≥0，与x+y＜0矛盾．所以由y＞0，x+y＜0必有x＜0． 因此，x3＜0，x3y＜0，即(A)是错误的． 事实上，y＞0，x+y＜0，即x+│y│＜0，(B)成立．│x│+y＞0，(C)成立．x＜0，y2 ＞0，x-y2＜0，(D)成立．因此，选(A)． 2．∵│a│=-a，∴a≤0．

4．由于15°=45°-30°，所以15°可以画出．因为30°，45°，60°，90°都是15° 的倍数．0°~176°之间度数为15°的倍数的角都可画出．这些不同度数的角共计11 种，它们是：15°，30°,45°,60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°， 165°．选(D)． 5．若所画的长为1995厘米的线段的两个端点A与B均为整点时，此时线段AB盖住的整点 个数是6个．若A点不是整点，则B点也不是整点，此时线段AB盖住的整点个 数为1995个，所以长为1995厘米的线段盖住的整点是1995个，所以长为1995厘米的线 段盖住的整点是1995或1996个．选(C)． 6．设x，y均为整数，且满足0000． 则5│1995x，5│420000，所以5│6y． 但(5，6)=1，因此5│y．所以排除(A)，(C)．对(B)，若(62，48725)满足方程，则 事实上，?成立．选(D)． 7．设该同学买了3元一公斤的苹果x公斤，2

了x+y公斤苹果，花去了3x+2y=6x元．所以所买的

即R＜Q＜P．选(A)． 10．设在模拟考试中至少要得x分，则在模拟

甲、乙二人在行进中第二次相遇，乙要追过甲两圈，所以

解得 x=36(千米／小时)，即乙车速36千米／

因此，乙车比甲车每分钟多走

4．如图8，设AB、CD交于O，阴影三角形面积为S，则矩形

6．设这次小测验答对x道题，则有10-x道题答错或没答，应得分数 w=3x-(10-x)=4x-10 因此， 可能得到的分数为偶数， 且不被4整除， 又最高得分为满分30分， 最低得分为-10 分，在-10~30之间被2整除但不被4整除的数有-10，-6，-2，2，6，10，14，18，22， 26，30共11种可能，容易验证，这11种分数值都是可以取到的． 7．∵q是质数，q=m?n， 所以m，n只能一个为1，另一个为q． 此时p=m+n=1+q，而p又是质数，只能p=3，q=2． 即m，n一个是1，另一个是2．

即△BCD为等腰直角三角形(图10)，四个等腰

由奇位数字和减去偶位数字和之差是11倍数者，原数为11的倍数，可知其中被11整除 的只有1342，2134，3124，4312．即这四个数被22整除，它们的和是 24+ 三、解答题 1．证：在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，?，a18， 一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．

与(*)式矛盾．所以A1，A2，?，A18，A19中至少有一个不小于30．为确定起见，不妨 设A1≥30，即a1+a2+a3≥30，即一定有顺相邻的3个数，其和不小于30． 但在写数排圈试验中不难发现，总会找到相邻3个数之和大于30，这表明30这个限不是 最好的，我们可以改进到32．要达到这个结果，其一，找三数组的个数减小，平均值 可能增大，原来找出19个数三数组，现在我们找出6个，且互不重复，这样，其用到19 个中的18个数，显然有一个数没用在三数组中，这个数只有取a1=1时，才能使其余18 个数之和尽可能大．以上这些想法已经包含着非智力因素在内的对问题灵活处理的综 合能力．克报困难意识强，遇事思维开阔的学生，处理本题的能力会表现突出一些．

试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以 致最后陷入死胡同． 事实上，ax+by平方后必出现a2x2与b2y2，而ax2+by2中，a，b都不是平方，这一特点 已经表明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往 一起凑这个最基本的方式去做． 解：显然 ax2=49-by2， by2=49-ax2

=-178.5=4800 说明：本题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力 与观察综合能力，并且计算也要很细心，因此本题属于对学生数学素质综合检查的题 目．本题改编自下面的问题“已知ax+by=8，ax2+by2=22，ax3+by3=62，ax4+by4=178， 试求1995(x+y)+6xy之值”．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想， 满足题设条件的a与b两数之和a+b等于多少？你能独立地求出a+b之值吗？(答a+b=3)

希望杯第七届（1996 年）初中一年级第 1 试试题

3．如果a＜0，则a与它的相反数的差的绝对值是( A．0 B．a. C．－2a D．2a

4．如果一个方程的解都能满足另一个方程，那么，这两个方程 (

A．是同解方程.B．不是同解方程.C．是同一个方程.D．可能不是同解方程 5．a、b为有理数，在数轴上如图1所示，则( A. )

8. ? , ? 都是钝角,甲,乙,丙,丁计算 有正确的结果,那么算得结果正确者是( A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

1．（－1）2＋（－2）3＋（－3）4＋（－4）5=______． 2．多项式3x2＋5x－2与另一个多项式的和是x2－2x＋4，那么，这“另一个多项式” 是______． 3．若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，则（a＋b）

4．如图2△ABC的面积是1平方厘米，DC=2BD，AE=3ED， 则△ACE的面积是______平方厘米． 5．设自然数中两两不等的三个合数之和的最小值是m， 则m的负倒数等于______． 6.一个角 ? 与50 角之和的

10．用一队卡车运一批货物，若每辆卡车装7吨货物，则尚余10吨货物装不完；若每 辆卡车装8吨货物，则最后一辆卡车只装3吨货物就装完了这批货物，那么，这批货物共有 ______吨． 二、 B组填空题

3．一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，则这样的四

位数中最大的一个的末位数字是______． 4．在－44，－43，－42，?，1995，1996这一串连续的整数中，前100个连续整数的 和 等于______． 5．如图3，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、 BD分为四个部分，△AOB的面积是1平方千米，△BOC的面 积是2平方千米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地的 总面积是6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．

答案?提示 一、选择题 提示： 1．（－1）－（－9）－（－9）－（－6）=23，选D． 2．解，移项得19x＋19x=96＋96,合并，得2?19x=2?96, 3．a的相反数为－a，所以a与它的相反数的差的绝对值是 |a－（－a）|=|－2a|=－2a（其中a＜0），选C． 4．当另一个方程的解也都满足第一个方程时，这两个方程才是同解方程，因此排除 B．但另一个方程的解不都满足第一个方程时，它们不是同解方程，所以排除A、C，因此 选D．

9．已知a＞b，c＜0，a＋c＞b＋c，显然成立．

由2+c＞2知c＞0，所以-c＜c，两边加a 得a－c＜a＋c，所以排除A． 由a＜0，c＞0知ac＜0，－ac＞0，

3．因为a、b互为相反数，所以a＋b=0，c、d互为负倒数，所以cd=－1． 因此 (a＋b)

5．三个两两不等的合数之和的最小值应是三

7x＋10=8（x－1）＋3,解得 三、B组填空题 提示：

x=15（辆）所以，这批货物共有7?15＋10=115（吨）

4．这前100个连续整数是 －44，－43，?，－1，0，1，2，?43，44，45，46，?54，55，其中前89个整数之 和 （－44）＋（－43）＋?＋0＋?＋43＋44=0 后11个数之和是45＋46＋47＋48＋49＋50＋51＋52＋53＋54＋55=550 所以，所给一串连续整数中，前100个连续整数的和等于550． 5．由△AOB，△BOC的底边AO、OC共线，由B到AC的距离是这两个三角形的共同的高线．

因此 S四边形ABCD=1＋2＋3＋1.5=7.5（平方千米） 由于公园陆地面积是6.92平方千米，所以人工湖面积是 7.5－6.92=0.58（平方千米）

希望杯第七届（1996 年）初中一年级第 2 试试题

A．－（－a）2 2.如果

3．五个有理数a，b，c，d，e在数轴上的位置如图5所示：则a＋b－d?c÷e等于(

5．A、B两地相距s千米．甲、乙的速度分别是a千米/小时，b千米/小时（a＞b）．甲、 乙都从A到B去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是 ( A. )

么删去的两个加数是( A.

10.在某浓度的盐水中加入一杯水后,得到新盐水,它的浓度为20%,又在新盐水中加入 与前述一杯水的重量相等的纯盐合 , 盐水浓度变为 33 A.23%; B.25%; C.30%; D.32%.

1 %, 那么原来盐水的浓度是 ( 3

时,全班得23.5 ,24.5 ,25.5 这样三个不同结果,其中确有正确答案,那么

16．快慢两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上．若坐在慢车上 的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是 ______秒． 17．若一个三角形的底边a增加3厘米，该底边上的高ha减少3厘米后面积保持不变，那 么ha－a=______厘米．

18．一次数学测验满分是100分，全班38名学生平均分是67分．如果去掉A、B、C、D、 E五人的成绩，其余人的平均分是62分，那么在这次测验中，C的成绩是______分． 19．从3点15分开始到时针与分针第一次成30°角，需要的时间是______分钟． 20．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇， 已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短 是______米． 三、解答题 21．（1）请你写出不超过30的自然数中的质数之和． （2）请回答，千位数是1的四位偶自然数共有多少个？ （3）一个四位偶自然数的千位数字是1，当它分别被四个不同的质数去除时，余数也 都是1，试求出满足这些条件的所有自然数，其中最大的一个是多少？ 22．（1）用1?1，2?2，3?3三种型号的正方形地板砖铺设23?23的正方形地面， 请你设计一种辅设方案，使得1?1的地板砖只用一块． （2）请你证明：只用2?2，3?3两种型号的地板砖，无论如何铺设都不能铺满23? 23的正方形地面而不留空隙． 距离

答案?提示 一、选择题 提示： 1．当＜0时，（－a） ＞0，|－a|＞0，a ＞0 所以－（－a） ＜0，－|－a|＜0，－a ＜0，因此排除A、B、C，选D． 事实上，a＜0时，a ＞0，－（－a ）＞0．当然a=－0.01时更是如此．

所以当a＋b=0时,原方程有无穷多个解，选A．

9．关于x的方程3（x＋4）=2a＋5的解为

10．设原盐水溶液为a克，其中含纯盐m克，后加入“一杯水”为x克，依题意得

13．由α 、β 、γ 中有两个锐角一个钝角,易知 90°＜α ＋β ＋γ ＜360°

16．设快车速为x米/秒，慢车速为y米/秒，

18．设A、B、C、D、E分别得分为a、b、c、d、e．

作为追及问题，由于3点15分时分钟与时针成角小于30°，所以分针必须追上时针并 超出

20．解法1（方程法）：设乙每秒行x米，则甲每秒行（x＋0.1）米，依题意有 8?60（x＋x＋0.1）=400?3,解得x=1.2 则在8分钟内，乙共行1.2?60?8=576（米） 去掉乙走过了一整圈400米，还余176米，由于不足200米，故是相遇地点沿跑道距A点 的最短距离． 解法2（算述法）：在8分钟内，甲比乙共多行0.1?60?8=48米，这时一共有了三圈， 每圈甲比乙多行16米，即相遇地是越过此出发地始终端的400米跑道的中点16÷2=8 （米）．三圈累计，越过8?3=24（米）．所以第三次相遇点距A沿跑道的距离是176米或 224米，较小值176米是所求的最短距离． 三、解答题 21． （1）不超过30的质数和为 2＋3＋5＋7＋11＋13＋17＋19＋23＋29=129． （2）千位数是1的四位自然数中最小为1000最大为1999．共连续1000个自然数．其中 有500个是偶数．所以千位数是1的四位偶自然数共有500个． （3）设满足题设性质的自然数为x，则x的千位数字是1，个位数字是偶数码． 又设质数p1＜p2＜p3＜p4，则依题意有x=kp1p2p3p4＋1 ①,其中k为自然数．

所以，满足题设条件的自然数共四个，它们是1156，1366，1786，1996． 其中最大的一个是1996． 22．（1）如图8，用12块3?3地板砖与6块2?2地板砖能铺成12?11的长方形地面． 如图9的铺设方案．用4个12?11的图8所示的板块，恰用1块1?1地板砖，可以铺满23 ?23的正方形地面． （2）我们将23?23的大正方形分成23行23列共计529个1?1的小方格，再将第1行， 第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行这八行染红色，其余的15行都 染白色，如图10所示． 任意2?2或3?3的小正方块无论怎样放置（边线与大正方形格线重合），每块2?2或 3?3的正方块都将盖住偶数块1?1的白色小方格． 假设用2?2及3?3的正方形地板砖可以铺满23?23后正方形地面，则它们盖住的白色 1?1的小方格总数为偶数个．然而23?23地面染色后共有23?15（奇数）个1?1的白色小 方格，矛盾． 所以，只用2?2，3?3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满23?23的正方形地 面而不留空隙．

希望杯第八届（1997 年）初中一年级第 1 试试题

2．下面说法中，不正确的是

A．小于－1的有理数比它的倒数小.B．非负数的相反数不一定比它本身小 C．小于0的有理数的二次幂大于原数.D．小于0的有理数的立方小于原数 3.

4．在图1的数轴上，标出了有理数a、b、c的位置，则［ A．a－c＜b－a＜b－c. C．b－c＜a－c＜a－b. 5．下面判断中正确的是

A．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x同解 B．方程2x－3＝1与方程x（2x－3）＝x没有相同的解 C．方程x（2x－3）＝x的解都是方程2x－3＝1的解 D．方程2x－3＝1的解都是方程x（2x－3）＝x的解 6．（3x＋9）（2x－5）等于 ［ ］ C．5x2＋33x＋45. ) D．6x2＋3x－45

C．a≥｜b｜ D．｜a｜≥｜b｜ ］

9．有理数a、b满足｜a＋b｜＜｜a－b｜，则［ A．a＋b≥0 B．a＋b＜0. C．ab＜0

10． 有理数b满足｜b｜＜3， 并且有理数a使得a＜b恒能成立， 则a的取值范围是 ［ A．小于或等于3的有理数.B．小于3的有理数 C．小于或等于－3的有理数.D．小于－3的有理数 二、 11. ? ?1 A组填空题:

12．图2中，三角形的个数是______． 13.已知

15．数学晚会上，小明抽到一个题签如下：若ab＜0，（a－b） 与（a＋b） 的大小关 系是（ ）

A．（a－b）2＜（a＋b）2. B．（a－b）2＝（a＋b）2 C．（a－b）2＞（a＋b）2. D．不能确定的 小明答对了，获了奖，那么小明选择答案的英文字母代号是______． 16．如图3，OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部， ON是∠BOC的平分线，已知∠AOC＝80°，那么∠MON的大小等于______． 17．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则（a－c）（b－d）÷（a－d）＝______． 18．10位评委为某体操运动员打分如下： 10，9.7，9.85，9.93，9.6，9.8，9.9，9.95，9.87，9.6去掉一个最高分和一个最 低分，其余8个分数的平均数记为该运动员的得分，则这个运动员的得分是______． 19．如图4，长方形ABCD中，△ABP的面积为20平方厘米，△CDQ的面积为35平方厘米， 则阴影四边形的面积等于______平方厘米．

? 在左边的算式中乘数不是1,且每个小方纸片都盖

21．初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面．男同学的盾牌前面写的 是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示．

则盾牌后面的同学中有女同学______人；男同学______人． 22．甲、乙两商店共有练习本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲乙两店 所剩的练习本数相等，由甲店原有练习本______本；乙店原有练习本______本． 23．一个有理数恰等于它的相反数，则这个有理数是______；一个有理数恰等于它的 倒数，那么这个有理数是______． 24.一个有理数的n倍是8,这个有理数的

25． 关于x的方程｜a｜x＝｜a＋1｜－x的解是1， 那么， 有理数a的取值范围是______； 若关于x的方程｜a｜x＝｜a＋1｜－x的解是0，则a的值是______．

答案?提示 一、选择题 提示：

2．设a为有理数，当－1＜a＜0时，a3＞a，∴（D）的说法不正确．

4．由图1可知，a＜b，所以a－c＜b－c；又知c＞a，所以c－b＞a－b， 不等式两边都乘以－1，则有b－c＜b－a． 综上所述，有a－c＜b－c＜b－a，选（D）． 5．方程2x－3＝1的解是x＝2；方程x（2x－3）＝x的解是x＝0和x＝2．因此，（A）、 （B）、（C）的判断都是错误的，只有（D）判断正确． 6．原式＝6x －15x＋18x－45＝6x ＋3x－45．所以，选（D）．

由于B、C均为正数，不等式两边同时除以B?C，得到

8．∵1997＞0，可以确定有理数a、b同是正数，或同是负数，或同是0．又∵1997＞1， 所以必须｜a｜≥｜b｜，选（D）． 9．由｜a＋b｜＜｜a－b｜有（a＋b） ＜（a－b） 即 a2＋2ab＋b2＜a2－2ab＋b2．

不等式两边都减去a2＋b2，然后除以2，则有ab＜－ab， 只有ab＜0时才能成立，选（C）． 10．｜b｜＜3就是－3＜b＜3，只有当a≤－3时，a＜b恒成立，选（C）． 三、 提示： A组填空题

12．图中的三角形有：△BPC、△AQD、 △BEP、△EAQ、△CPF、△FQD、△BEC、△BFC、△EAD、△FAD、△CED和△BFA，共12 个． 13．由题意有2n－1＝n＋7．解此方程得到n＝8，代入（n－17）3＝（8－17）3＝（－ 9）3＝－729．

①和②等式两边相加，则有 2∠2＋2∠3＋∠1＝80°＋∠1． 两边减∠1,有2（∠2＋∠3）＝80°． ∵ ∠2＋∠3＝40°．

17．a－c＝（a－b）＋（b－c）＝2＋（－3）＝－1． b－d＝（b－c）＋（c－d）＝（－3）＋5＝2． a－d＝（a－b）＋（b－c）＋（c－d） ＝2＋（－3）＋5＝4．

18．由题意去掉10和一个9.6，其余8个分数的整数部分都是9，所以只需对小数部分 求平均数，为了计算简便可将各数的次序调整：

所以该运动员得分是9.825分． 19．由于△BEC的高与矩形ABCD的AB边相等，所以

等式左边＝S△BPF＋S△QFC＋S阴影部分 等式右边＝S△ABP＋S△BPF＋S△CDQ＋S△FQC． 等式两边都减去（S△BPF＋S△QFC），则有 S阴影部分＝S△ABP＋S△CDQ＝20＋35＝55（平方厘米）． 20．两数相乘所得积的个位数为1，这两个数只可能是1、1或3、7或9、9．按题意排 除1、1。又由于5991不能被9和7整除，所以又排除9、9，且乘数只能是3． 因为5991÷3＝1997，所以被乘数是1997，这5个数的和是：1＋9＋9＋7＋3＝29． 三、B组填空题 提示：

有女同学4人，男同学6人．

22．设甲店有x本，则乙店有（200－x）本． 由题意列方程：x－19＝（200－x）－97 解方程得到x＝61，200－x＝200－61=139． ∴ 甲店有61本；乙店有139本．

23．0的相反数－0＝0．

24．设这个有理数为x，由题意有：

25．将解x＝1代入原方程，则有：｜a｜＝｜a＋1｜－1．｜a｜＋1＝｜a＋1｜， ∴ a≥0．将解x＝0代入原方程，则有：0＝｜a＋1｜，∴ a＝－1．

希望杯第八届（1997 年）初中一年级第 2 试试题

2．｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立的条件是 A．ab＞0

3．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20 米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－ 60米，此时小明的位置在［ A．文具店 B．玩具店. ］ C．文具店西边40米 D．玩具店东－60米

6．1997个不全相等的有理数之和为零，则这1997个有理数中［ A．至少有一个是零. B．至少有998个正数 C．至少有一个是负数.D．至多有1995个是负数 7．a、b、c在数轴上的位置如图1所示，则 ［ ］

8．平面上三条直线相互间的交点个数是［ C．1或2或3

9．如果a个同学在b小时内共搬运c块砖，那么c个同学以同样速度搬运a块砖所需要的 小时数是 A. ［ ］

10．将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各面上的某些小方 格涂上黑色，如图2所示，而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同， 这时，至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是 ［ A．18 B．20. C．22 D．24 ］

14．《数理天地》（初中版）月刊，全年共出12期，每期定价2.50元，某中学初一年 级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元，若订全年的同 学都改订半年，而订半年的同学均改订全年时，共需订费1245元，则该中学初一年级订阅 《数理天地》（初中版）的学生共有______人．

Δ PQR的面积是19平方厘米,那么△ABC的面积是______平方厘米． 18．容器A中盛有浓度为a％的农药溶液m升，容器B中盛有浓度为b%的同类农药溶液m 升(a>b),现将A中药液的

1 倒入B中,混合均匀后再由B倒溶液回A， 使A中的药液恢复为m升， 4

则互掺后A、B两容器中的药量差比互掺前A、B两溶器中的药量差减少了______升． 19．计算:

答案?提示 一、选择题 提示：

2．当a、b异号或a、b均为0时，｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜成立，∴ 选（C）． 3．由题意画图6： 因为，向东走了－60米就是向西走了60米．所以，小明从书店向东走了40米，再向西 走60米，结果是小明的位置在书店西边20米，也就是文具店的位置，∴ 选（A）． 4．方程①的解x＝1，将x＝1代入方程②，方程②成立，∴ x＝1也是方程②的解．方 程①和②是同解方程，而①与③显然不同解；①的解代入④，④无意义．∴ （B）、 （C）、 （D）都不正确，只有（A）正确，∴ 选（A）．

原式＝－a－（－b）＋［－（a＋b）］＋ab ＝－a＋b－a－b＋ab＝－2a＋ab，∴ 选（D）． 6．由题意，这1997个有理数可以有零，也可以没有零，则排除（A）．这1997个有理 数中，必须有正数和负数．例如，1996个－1和一个1996相加为零，则否定了（B）和（D）， ∴ 选（C）． 7．由图有a－b＜a＋cb＜a－cb＜a＋b．

8．当平面上三条直线互相平行时，没有交点， ∴ 排除（A）、（B）、（C），选（D）．

10．由图2可见，大正方体正面中心的一个小正方体，以及它后面的两个小正方体（共 3个）没有涂黑，顶面中间一排左右两个小正方体，及其底面相对应的两个小正方体没有 涂黑， 所以， 总共有7个小正方体没有涂黑， 其余20个小正方体至少有一面涂黑了， 选 （ B） ． 二、填空题 提示： 11．原式＝－3x2y＋4x2y＋5x2y－7x2y2＋8x2y2＝6x2y＋x2y2

14．设订半年的学生x人，订全年的学生y人，按照题意列方程：

由②得到 y＝83－2x， 代入①后求得 x＝26，y＝83－2x＝31． ∴ 订阅的学生人数＝x＋y＝26＋31＝57．

15．由题意有∠COD＝∠DOE＝∠EOB＝30°,这三个角都与∠AOE互补． ∵ ∴ ∠COE＝∠DOB＝60°， 这两个角与∠AOD互补．

另外，∠AOC和∠COB都是直角，二者互补．因此，共有6对互补角． 16．原式＝m ＋m －m＋m ＋m－1＋1998 ＝m（m ＋m－1）＋（m ＋m－1）＋1998 ＝（m2＋m－1）（m＋1）＋1998 由于m ＋m－1＝0，∴ 原式＝1998． 17．连AQ，则有△ABQ．

18．先计算互掺后A、B两容器药液浓度：

掺前A、B药量差＝am％－bm％＝（a－b）m％

20．设每部抽水机每天抽水量为x，泉水每天的涌流量为y，由题意列方程：

因此，至多只能用12部抽水机抽水． 三、解答题

x＋y＋3＝9m（m是自然数） 0≤x≤9，0≤y≤9，

950x＋24y＋1＝950?2＋24?4＋1＝1997． 22．（1）有12个不同的“希望形”． （2）不可能，理由如下： 假设经过m次操作后，24个单位正三角形的数均变为a，则总和为24a． 另一方面，设第i次操作中每个“希望形”的4个单位正三角形中的数都增加自然数ni， 则 第i次操作共增加：12?4ni m次操作后共增加：12?4（n1＋n2＋?＋nm） 这24个单位正三角形最初填入的24个数之和为1＋2＋3＋?＋24＝25?12所以m次操 作后24个单位正三角形中填数的总和为 25?12＋12?4（n1＋n2＋?＋nm） 于是有 25?12＋12?4（n1＋n2＋?＋nm）＝24?a进而推出 24｜25?12，即2｜25 但这是不成立的．

希望杯第九届（1998 年）初中一年级第 1 试试题

B．最小的非负数. C．最小的正整数 )

3．“a与b的和的立方”的代数式表示是 ( A．a ＋b

4．有下面4个命题：①两个数的差一定是正数.②两个整式的和一定是整式. ③两个同类项的数字系数相同.④若两个角的和等于180°，则这两个角互为邻补角. 其中真命题的个数是 ( A．1 B．2. C．3 ) D．4 ( ) D．非负数

6.有理数a,b,c在数轴上的表示如图1,则在

8．a、b都是有理数，现有4个判断： ①如果a＋b＜a，则b＜0.②如果ab＜a，那么b＜0 ③如果a－b＜a，则b＞0 A．①② B．②③. 9.若 C．①④ D．①③ ) ,其中正确的判断是 ( )

10．数a、b、c如图2所示，有以下4个判断: ①

二、A组填空题（每小题6分，共60分） 11. 1 ?

12．若m＝－1998，则│m ＋11m－999│－│m ＋22m＋999│＋20＝______. 13．两个三位自然数之和减去1999所得之差的最大值是______. 14.一个有理数的倒数的相反数的3倍是

15．17个连续整数的和是306，那么紧接在这17个数后面的那17个连续整数的和等于 ________. 16．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是______ 岁. 17．图3中，B、C、D依次是线段AE上的三点， 已知AE＝8.9厘米，BD＝3厘米，则图中以A、 B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度之和等于_______厘米. 18.五位数 abcde 是9的倍数,其中 abcd 是4的倍数,那么 abcde 的最小值为_______. 19．梯形ABCD如图4所示，AB、CD分别为梯形上下底，已知阴影部分总面积为5平方厘 米，△AOB的面积是0.625平方厘米.则梯形ABCD的面积是________平方厘米. 20.三个有理数a,b,c两两不等,那么

三、B组填空题（每小题6分，共30分） 21．三个质数之和是86.那么这三个质数是________. 22．线段AB上有P、Q两点，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝________. 23．篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍， 那么其中排球的个数是________.

24． 一个有理数的二次幂大于这个有理数， 那么这样的有理数的取值范围是________. 25.将 1, ?

从表中可以看到,第4行中自左向右第3个数是

＝＋1．排除A.由于最小的非负数是0，排除B.绝对值最小的整数也是0，

排除D.显然应选C.事实上＋1是最小的正整数.

3．a3＋b3的意义是a立方与b立方之和； a＋b3的意义是a与b立方之和； a3＋b的意义是a立方与b之和； （a＋b）3的意义是a与b的和的立方.选D. 4．由3－4＝－1，知命题①不真；3ab 与5ab 是同类项，但数字系数不同，③不真； 由于两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为180°，但它们并不互为邻补角.命题 ④不真.易知，两个整式的和仍是整式是真命题.所以只有1个真命题，选A.

7．加入0.7千克纯盐后，这杯盐水的浓度是

13．两个三位数之和的最大值为999＋999＝1998，所以两个三位自然数之和减去1999 所得之差的最大值是1998－1999＝－1.

15．设17个连续整数为 m，m＋1，m＋2，?，m＋16 ①

有m＋(m＋1)＋?＋(m＋16)＝306. 它后面紧接的17个连续自然数应为 m＋17，m＋18，m＋19，?，m＋33② ②的每一项比①中对应项多17，所以②中17个数总和比①中17个数总和多17?17，所 以②中17个数总和为306＋17?17＝595.

提示： 21．86是个偶数，那么3个质数加数中至少有一个偶数，这个偶数又是质数，故只能 是2.其余两个加数是奇质数，其和为84.易知，只能是（5，79）， （11，73）， （13，71）， （17，67），（23，61），（31，53），（37，47），（41，43）这八组，所以，84表示 为3个质数和可以有八组，它们是 (2，5，79)，(2，11，73)，(2，13，71)，

2，3个.这时篮球数对应取7，14，21个.从而排球数可能取的值是17，或9，或1个. 24．画出数轴如图7. 大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1； 大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身；0的二次幂是0； 负有理数的二次幂是正数，大于它自身. 综上可知，二次幂大于其自身的有理数的范围，是大于1的有理数和负有理数. 25．这个数串中奇号项为正，偶号项为负.第n

所以第198行第198个数是数串中的第19701项. 因此，第199行的第8个数是数串中的第19701＋8＝19709项. 同理，这个表中第1997行结束时，共排了

希望杯第九届（1998 年）初中一年级第 2 试试题

3．下面的四个判断中，不正确的是 (

4．已知关于x的一次方程（3a＋8b）x＋7＝0无解，则ab是 ( A．正数 B．非正数. C．负数 D．非负数 5．如果a－b＞a＋b，那么 ( )

A．（3，－2）. B．（2，1）.C．（4，－5）. D．（0，7） 7．一条直线上距离相等地立有10根标杆，一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走，当 他走到第6杆时用了6.6秒，则当他走到第10杆时所用时间是 A．11秒. B．13.2秒. C．11.88秒. D．9.9秒 ( )

10．若关于x的方程｜2x－3｜＋m＝0无解，｜3x－4｜＋n＝0只有一个解，｜4x－5｜

＋k＝0有两个解，则m，n，k的大小关系是 A．m＞n＞k B．n＞k＞m.

二、填空题（每题6分，共60分） 11.计算:

12．若a＋19＝b＋9＝c＋8，则（a－b） ＋（b－c） ＋（c－a） ＝________. 13．图9中三角形的个数是_______. 14．甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在平行的轨道上，已知 甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗 口外经过的时间是_________秒. 15．某人以4千米／时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米／时的速度从乙地返 回甲地，那么某人往返一次的平均速度是______千米／时. 16．对于不小于3的自然数n，规定如下一种操作：＜n＞表示不是n的约数的最小自然 数，如＜7＞＝2，＜12＞＝5等等，则＜＜19＞?＜98＞＞＝_______.（式中的?表示乘 法） 17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄 球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等 于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_________. 18.图10,中,两个半径为1的

在一起,POQO 是正方形,则整个阴影图形的面积是__________. 19．（3a＋2b）x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，且x有 唯一解，则x＝__________. 20．某校运动会在400米球形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两运动员同时起跑后， 乙速超过甲速，在第15分时甲加快速度，在第18分时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分 时，甲再次追上乙，而在第23分50秒时，甲到达终点，那么乙匀速跑完全程所用的时间是 ________分. 二、解答题（每题15分，共30分，解答本题时，请写出推算过程） 21．23个不同的正整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能达到的最大值是 多少？写出你的结论，并说明理由.

22．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰 与另三条直线相交，并简单说明画法. （b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰 与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.

答案?提示 一、选择题 1、D 10、A 提示： 1．a在数轴上原点右方，a＞0；b在原点左方，b＜0. 当a＝1，ab＝b，显然应排除A、B. 当a＝1，b＝－2时，a＋b＝－1＜0，排除C. 所以应选D，事实上，当a＞0，b＜0时，a－b＞0总成立. 2、 B 3、 C 4、 B 5、 C 6、 A 7、 C 8、 B 9、 B

3．①34x y 与34a b ，因字母不同，不是同类项，所以A是正确的，排除A. ②若3x与－3x＋1互为相反数，则－（3x）＝－3x＋1得出0＝1的矛盾.所以“3x和－ 3x＋1不能互为相反数”这句话正确，排除B.

因为这两个方程的解集相同，因此，它们是同解方程.即C“4（x－7）＝6（5－27x） 和6（5－27y）＝4（y－7）不是同解方程”这句话是不正确的.

4．关于x的一次方程（3a＋8b）x＋7＝0无解. 当且仅当

5．由a－b＞a＋b可知－b＞b，即b＜0.

6．以（3，－2），（2，1），（4，－5），（0，7）代入方程组检验，只有（3，－ 2）满足方程组，选A. 7．从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔.因而，每个间隔行进6.6÷5＝1.32（秒）.而 从第1根标杆到第10根标杆共有9个间隔.所以行进9个间隔共用1.32?9＝11.88（秒），选 择C. 8．第一个数串是1～1999的整数中被2除余1的数，共有1000个. 第二个数串是1～1999的整数中被3除余1的数，共有667个. 同时出现在这两个数串中的数是1～1999的整数中被6除余1的数.它们是：1，7，13， 19，25，?，1993，1999.共计334个，选择B.

10．｜2x－3｜＋m＝0无解，则m＞0. ｜3x－4｜＋n＝0有一个解，则n＝0. ｜4x－5｜＋k＝0有两个解，则k＜0. 所以，m＞n＞k成立，选择A. 二、填空题 题号 11、100 17、4 提示：

＝（－10）2＋（－1）2＋112＝100＋1＋121＝222. 13．如图11所示，标上字母A、B、C、D.当不考虑AD时，△ABC被从顶点B引出的五条 线分成的三角形个数是6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个. 当考虑AD时，在AD上方也可以数出21个三角形，而在AD下方只可以数出6个三角形. 总计，共有21＋21＋6＝48个三角形. 14．甲、乙两车相向在平行轨道上行驶，当从甲车某个窗口看乙车时，从看到车头到 车尾通过，要经过200米的距离，而这200米的距离是以两车速度之和来通过的，是个相遇 问题. 设甲、乙两车速度和为u米/秒.甲车上某乘客从

15．设甲、乙两地距离为S千米.某人由甲地

所以某人从甲→乙→甲往返一次的平均速度

16．根据定义，＜n＞表示不是n的约数的最小自然数.我们可以求得： ＜19＞＝2，＜98＞＝3 ∴ ＜19＞?＜98＞＝2?3＝6

＜＜19＞?＜98＞＞＝＜6＞＝4. 17．设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球. 依题意列得方程组：

①?3－②得2x＋y＝9,即 y＝9－2x. 由于y是非负整数，x也是非负整数. 易知 x的最大值是4.即小明摸出的10个球中至多有4个红球. 所以阴影的总面积为

19．方程（3a＋2b）x2＋ax＋b＝0是关于x的一元一次方程，且有唯一解，则

20．设出发时甲速度为a米／分，乙速度为b米／分.第15分甲提高的速度为x米／分， 所以第15分后甲的速度是（a＋x）米／分.依题意，到第15分时，乙比甲多跑15（b－a） 米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，所以 （a＋x－b）?3＝15（b－a） ① 接着甲又跑了5分（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以 （a＋x－b）?5＝400 ②

解①，②得b－a＝16米/分，x＝96米／分.

代入③a＝384米／分，所以b＝400米／分. 乙是一直以400米／分的速度跑完10000米的，所以乙跑完全程所用的时间是25分. 三、解答题 21．设这23个彼此不同的正整数为a1，a2，?，a23. 不妨设 a1＜a2＜a3＜?a23.它们的最大公约数是d. 则 a1＝d?b1，a2＝d?b2，?，a23＝d?b23

而（a1，a2，?，a22，a23）＝17. 所以符合题设条件的23个正整数的最大公约数的最大值是17. 22． （a）在平面上任取一点A.过A作二直线m1与n1.在n1上取两点B，C，在m1上取两点D， G.过B作m2∥m1，过C作m3∥m1，过D作n2∥n1，过G作n3∥n1，这时，m2、m3、n2、n3交得E、F、 H、I四点，如图14所示.由于彼此平行的直线不相交，所以图14中每条直线都恰与另3条直 线相交. （b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直 线相交. 理由如下： 假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交只有一 个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.

我们按直线去计数这些交点，共有3?7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重 复计数一次，所以这7条直线交点总数为

所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的.

希望杯第十届（1999 年）初中一年级第 1 试试题

（A）19.99；（B）－1999；（C）1999；（D）0。 2、下面四个命题中正确的是( )。

（A）1 是最小的正有理数；（B）－1 是最大的负有