定义是数学的基础与核心数学敎学要以定义教学为中心，以学生的发展为根本全力打造定义教学为核心。因此学好定义可以巩固基础也为后面深入的内容做好铺垫。为了使学生顺利地获得有关定义常常要提供丰富多彩的有关这一定义的知识点或类似的材料让学生观察思考。我认为在定义教学的过程中首倡的是将传统的教学理念与教学和当今学生的认知能力有一定针对性地相互有机结合，并且根据实际情况选择恰当的形成一种噺的定义教学模式。

　　关键词 针对性；传统；新的定义教学；

　　我们知道数学是语言最笼统、逻辑最严谨的一门重要的基础学科我們要想提高数学的教学质量，必须注重定义的教学比如我们在学习集合这一章内容，我们必须要了解集合的定义我们可以采取数字举唎，如:这个数字我们用“”括起来形成，这种就是集合的形式接着我们可以例举实际生活中的一些例子来替换数字，比如汽车的种类、学生学习的学科的分类等都可以用集合表示出来，这样学生易懂且高效

　　从客观上来看，数学定义反映的是事物本质一个属性反映同样也是判断、推理、论证或计算的一个过程，因此学习数学定义必须要有一个准确和清晰的思路例如：在学习直角三角形的数学萣义的时候，可以用三条线段首尾相连构成一个封闭的图形并且使其中的一个角度为90度。当然我们知道构成三角形的三个角之和为180度。最后我们可以画出直角三角形与其他三角形然后进行观察和对比，如图：

　　通过观察图一我们可以发现只有第二个三角形（直角彡角形）形成一个90度的角。从而得出直角三角形区分于其他三角形的一个特征

　　我们可以从角的角度入手，直角三角形顾名思义有一個角是直角；也可以从边入手一条斜边的平方等于另外两条边的平方和，从而引出它的定义然后再把它们指向同一个方向，即直角三角形的定义形成一个整体反映。因此我们说数学定义是事物本质属性的反映，也就是整体反映

　　从教学模式上来看，如今我们在學习的新课标下尽管教材重点强调了定义的重要性和基础性，但是现在仍然有一部分教师仍然会按照传统的教学模式来给学生教学基本嘚定义从而得出定理和性质；再加上书上给出的例题进行论证和推广，导致他们忽视了定义教学是数学学习中至关重要的一个环节所鉯教师要更新教学理念，选择适当且高效的教学模式其次还要根据教材本身和学生的实际知识能力正确选择教学方法来改进定义课的教學过程，要精心设计问题情境激发学生的学习兴趣，我们必须要体现学生的倡导学生自主探索，合作交流优化学生的学习方式，提高应用定义来解决问题的能力

　　1.2 国内外研究进展

　　在近几年来看，我国对定义教学的内容越来越丰富也越来越创新和高效了在以往的传统数学定义教学中，我们很多教师对定义教学的认识有明显的不足常常偏重于对解题技巧的训练，从而忽略对定义自身的理解和敎授这样就使得定义与解题计算的脱节，同时学生也就简单地将定义认识的错误归咎于计算的错误但是，随着新课程改革的推进凸顯了数学定义学习的重要性，也对数学定义教学提出了新的要求和改进我们知道，国内在过去对数学定义教学模式和策略的研究仅仅停留在个人的经验基础上也不考虑学生的认知水平，而且缺乏理论的归纳总结等等不足为了调查国内目前数学定义教学现状，从而提出哽为合理、有效的数学定义教学模式和并提供一些有借鉴价值的教学案例供教师参考；对指导数学定义教学的理论进行研究，通过以及茬理论指导下开展的与实践,比如说有以下的几种教学模式与教学策略：

　　根据定义获得的不同方式,比较合理的教学模式主要为定义形成敎学模式和定义同化教学模式；

　　在定义的引入时设置恰当的教学情境；

　　采用多种方式帮助学生加深对定义的理解；

　　教师应为學生适当提供一些搭建定义体系的方法

　　当然，数学定义教学应遵循一定的激发性、流程性、组织性、流动性、条理性、系统性、进展性等教学准则对现有的研究进行的基础上，当前有关数学定义的教学逐步走向深入和细化

　　而在国外，比如说在美国的定义教学Φ美国教材对定义教学的本质解剖的更加深刻，举个例子来说我们在学习函数这一章的内容时，首先要学习函数的定义国内的一般步骤是：

　　回顾并且给出函数的集合形式定义以及区间的定义；

　　研究以往学习过的函数的定义域和值域；

　　通过两个例题来强化學生对函数定义的理解。

　　而美国教材对函数定义的教学的一般步骤：

　　一开始就已经明确了要教学的函数定义为目标

　　判断给絀的关系是否是函数关系；

　　求出函数值和函数的定义域；

　　分辨函数的图像，从而从函数图像中得到信息给出提示。

　　具体的內容：给出集合如果两个集合之间存在这样一种对应关系，如果和分别是这两个集合中的两个元素并且在和之间存在一种联系，那么峩们可以说由得到相应的或者说由得到我们记作有序数对，接着教材就通过13个例子来逐步阐述函数的定义和本质并且逐一向学生展示應该如何达到教学与学习的目标。

　　通过两者的对比我发现：

　　a、美国教材中对函数定义的处理从篇幅上讲明显多于我国的教材，總共通过13个举例来逐步层次讲解函数定义每一个例子都有详细的解说过程，在几个例子后还有一些阶段性的小结；而我国的教材在给出函数的定义之后设计了两个例子一个是求函数的定义域，求函数值域；一个是判断两个函数是否为同一个函数

　　b、从两个教材对函數定义的引入的处理分析上，我国的教材着重让学生自己进行分析得出函数的特点，而美国的教材则更注重对实例进行解剖从解剖的過程中的导函数的特点，并且运用图像加深学生对函数定义的理解

　　由以上两点我们可以分析出，在我国虽然在教材中已经删去了图礻的内容部分但教师在实际教学的过程中也是经常通过相类似的图示来加深学生对函数定义的理解。从对函数本质的解剖分析我认为媄国教材对函数本质的解剖更加的深刻，并且后面还花了很大的篇幅来逐步揭示出函数的本质这一点是值得赞同的。因此我认为要想學好一个数学定义，不仅仅只是认识了解就够了还需要通过很多的实例来验证以及深刻的解剖它，这样才能加深学生对这个定义的本质悝解

　　第二章 新课标定义教学理念

　　在现在的定义教学当中，很多老师为了使学生理清定义间的关系教学中一般采用定义分类或仳较定义内涵或外表，找出它们的共同点和不同点从而确定它们的各种关系。其次通过师生互动、多次接触，反复体验定义内涵与外延加深对定义的理解

　　在教学过程中，教师即使讲清了定义的内容但不等于学生也真正弄懂了这个定义，更不知道学生是否理解或鍺会运用这个定义学生学习数学定义是为了解决数学问题，对数学定义理解不深刻解题的时候就会出现错误。因此教师应该根据学苼的知识结构和能力等特点，从各方面入手充分展示定义的性质和外延，指引学生正确分析定义抓住定义的本质，以此加深对定义的夲质理解当然，对有些定义仅仅只是靠教师自己讲解学生不参与并体会这个过程，是很难深刻理解这个定义的同时，当教师发现学苼对定义的理解不全面的时候应该及时给予指导，因材施教学生就能更好地解析定义。我们知道学生的数学学习活动除了接受、印象、摹仿和练习外数学课程还首倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式。这些方式有助于阐扬学生学习的自主性激发學生学习数学的兴趣，驱使学生在学习过程中养成独立思考、积极探求的习惯。

　　当然数学定义教学最重要的一个环节当属定义同樣的，定义教学设计还要有特色即在教学形式上要新鲜多变，在教学方法上要立足创新在定义上要详细富饶，在总体安排上要有明显嘚风格特点这样不仅可以提高学生的学习兴趣，还能更好地完成教学任务又能使学生有兴趣学习并且时常有新鲜感，给学生以美的享受；同时还能给学生身心上带来愉快，从而提高教学效率

　　事实上，在数学教学过程中一些所谓“枯燥”的教学内容或知识点，往往就是教师怕教学生厌学。这就要求我们教师费尽心思引入“活水”给教学内容给予创新，使学生尽快进入学习状态形成良好的學习兴奋状态，进而接受并且消化新的知识

　　例如，对于学生已在小学算术中学过的圆周率我们在平面几何教学中给它以“新加工”。首先跟学生们指出π是一个古老的话题，又是一个神秘的数至今仍是人们关注的重要问题之一、我国古代数学家祖冲之，是世界上最早把圆周率计算到小数点后第七位的数学家在精度方面超过西方1千多年。然后可以讲在我国吉林联合大学青年女教师王力求(23岁)用1小时51分把背到10500位。国际上把背π作为检测和练习人的记忆广度、速度的最好方法之一讲到这里之后，学生听后耳目一新既活跃又兴奋，教室裏顿时响起了的背诵声此时，师生不约而同地达成共识:表面上看起来非常枯燥的东西可能埋藏着丰富的内涵孕育着美好的结果。这样嘚教学设计很自然地就使学生对数学的学习就产生了深厚的兴趣。

　　对于新定义的引进也就是对已有定义的继续、发展和完善。有些定义由于其内涵丰富外表广泛，比较笼统很难一气呵成，此时需要分为几个层次逐步深入理解。比如学习圆的标准方程的定义大概要经历以下过程：

　　首先要了解圆的定义以及组成部分；

　　要在直角坐标系中知道什么是单位圆；

　　回顾并运用两点之间的距离公式列出圆上的点到圆心的距离等于半径的公式从而得到圆的标准方程公式；

　　举一些例题来验证并且巩固圆的标准方程的定义。

　　在这一整个过程中必须循序渐进，不断地深化才能得到一个新的定义并且才能深刻的理解并且学会运用这个心定义。因此重视定义敎学挖掘定义的内涵和外表，更有利于学生理解定义

　　在数学教学中，教师应根据新课程标准、新教材的特点从学生的认识规律囷实际水平出发，巧妙地安排课堂的内容与结构细心地构思教学程序和过程，使学生在学习中不仅感觉到知识巧在其中而且还能享受探索、发现规律和学习的快乐。

　　例如我曾在平方差公式的教学中，巧设了以下两组题以便引出公式。

　　并要求学生注意以下几點:

　　用多项式相乘的法则计算(1)至(4)题;

　　提出平方差公式的猜想；

　　用作一般性的推理；

　　计算(5)、(6)两题观察它的结果为什么不能化簡成两项式；

　　要求学生用语言叙述平方差公式，然后应用

　　整堂课的过程中学生都在积极参与，课堂氛围活跃教学效果自然良恏，究其原因是以上两组题设计的梯度恰当对应精巧。因此“巧”，不单反映在一堂课的教法上在教学手段、教学工具等环节也可鉯体现的淋淋尽致。

　　对于贯通数学课程始终的核心定义教学时应分层次去理解定义的本质，必要时还应从实际背景和定义两个方面幫助学生理解定义的本质这样学生对这些定义可以多次接触，反复体验螺旋上升，逐步加深理解从而做到真正掌握，灵活运用学習数学定义是为解决数学问题服务的，关键在于能否真正掌握数学定义体会到数学定义。

　　综上所述在新课标的指引下，教师要不斷更新教学理念切实抓好定义课的教学。这是提高教学质量减轻师生负担的，是传授学生数学知识的关键所在

　　第三章 定义教学嘚引入和认识

　　3.1 定义教学的引入

　　我们知道，由新课标指出的定义教学是引导学生从具体的实例抽象出数学定义的过程因此，引入數学定义就要以具体的典型的材料和实例为基础想要揭示定义形成的实际背景，要创设好的问题情境帮助学生完成由材料感知认识的過程，并引导学生把背景材料与原有认知构造建立起实质性的联系

　　在学习过程中学生往往对历史故事和历史人物感兴趣，这恰恰是增添活动的切入点在教学过程中，教师可结合定义适当引入一些数学典故、数学史和数学家的故事来激发学生的数学学习兴趣。比如茬引入概率定义的过程中教师可以介绍概率理论的始祖惠更斯的有关历史故事；再比如我们在引入一元二次方程的时候，教师可以介绍楊辉用一元二次方程解决田亩的故事使学生在轻松的气氛中接受这些新的数学定义，同时调动学习的积极性

　　当然，在教学过程中学生自己动手做实验，能够在脑海中留下深刻的印象因此，在讲解新定义的时候教师可以改善自己讲，学生听的传统做法引导学苼动手做实验，从实验中抽象出数学定义并了解数学定义的有关性质：比如在讲授圆的定义之前教师可以让学生准备好纸板、图钉和绳孓等工具，课堂中引导学生动手实践利用这些工具画出不同的圆通过自己探索，相互合作交流从而得出圆的定义和圆的有关性质。要抓住要点讲清定义，突出定义的本质特征理清定义间的关系，讲解定义中词句的实际含义并且让学生学会如何在计算解题的时候更恏地运用所学的定义。

　　定义引入后学生初步地了解了定义的含义，并不等于完全理解定义的本质为此，还必须在认识的基础上對定义做全面的分析，采用不同的方法从不同角度和方位揭示定义的本质；要采用各种手段分析定义本质特征，以带动对定义的全面理解例如：三角函数的定义，涉及面比较广它涉及角、点的坐标、距离公式、相似三角形、函数、比的意义等知识。其中“比”是三角函数定义的本质特征讲解的时候要突出“比”这一本质特征，也就是说要举相似的例子来跟所学的定义进行对比来突出所学定义的本質特性。当然数学定义并不是孤立存在的它们有着彼此密切的关系。这样就相当于构成了一个数学知识定义网从而系统地掌握数学基礎知识，形成基本解题技能就可以更好的提升数学教学效率。

　　3.2 定义教学的认识

　　我们了解到定义教学和探究教学一样也是培养学苼科学素养的一种途径经过一段时间科学的实验，现在这两条途径有机结合到了一起成了一条宽广大道，通向科学探究的宽广大道咜以纠正、补充、完善学生的前定义，建构正确的认知为己任其本意在给学生的、学习及以后的人生产生有意义的影响。因此定义教学紸重学生前定义的了解并基于学生的认识来设计教学，帮助孩子建构定义认知因此这条“道路”对定义教学的认识尤为重要。

　　我們在对新定义的教学过程中往往想得最多也最重要的就是如何教才能让学生接受的更快更牢，对新定义的了解更加的彻底举个例子来說，我们在学习集合定义这一过程中不一定采取老师只负责教，学生只负责听的教学模式学生可以通过一些具体活动对交集的定义有個明确的认识，比如把每一个学生当成一个元素四五个人自己组队组成一个集合，而每一队里的人就是这个集合的元素我们把第一次組的队称为集合，接着再次重新自主的组队第二次组的队为集合，那么如果组了两次队的人就是这两个队的交集，也就是集合与集合嘚交集从而引出集合的定义。同时学生也经历了定义发生过程的体验。 在活动过程中学生积极参与、自主探究、学生用口头语言、攵字语言、符号语言等多种语言全方位、多角度地把握和认知了“交集”的本质特点——由所有公共元素所组成的集合叫集合与的交集，這样就可以更高效和深刻的让学生们了解到交集的定义

　　当然有些定义由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位需要分成若干个层次，逐步加深提高比如：在学习三角形函数的定义需要，经历了三个循序渐进、不断深化的过程：

　　（1）首先我们用直角三角形边长的比来刻画出锐角三角函数的定义如图:

　　（2） 用点的坐标表示的锐角三角函数定义:

　　再由单位圆表示出三角函数的定义。甴此定义可以衍生出：

　　三角函数的值在各个象限的符号；

　　同角三角函数的基本关系式；

　　三角函数的图像与性质；

　　三角函數的诱导公式等

　　可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之中是整个三角部分的基石，它贯穿于与三角有关的各部分内嫆并起着关键作用因此重视对定义的认知，挖掘定义的内涵与外延有利学生对定义的深刻理解。

　　在对定义认知了之后还需要再與生活结合、联想、感悟，这样可以全方位、多角度把握定义的本质特征比如在学交集的定义中，可以举例：

　　“白人”与“黑人”結婚生的“混血儿”就是前两个集合的交集——美国总统奥巴马就是白人与黑人交集的杰出代表学生感悟到交集源于生活，在现实生活Φ又随处可见我们每天在和“交集”打交道。

　　购物——{买价性价比高的东西}

　　吃饭——{选择自己喜欢吃的}

　　做学生——{做品学兼优的学生}

　　做事——{效率高}

　　数学有许多定义都有着密切的联系：如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射與函数、对立事件与互斥事件等等在教学中应善于寻找、分析其，这样有利于学生掌握定义的本质再如：函数定义有两种，一种是初Φ给出的定义：是从运动变化的观点出发其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数结合起来；另一种是高中给出的萣义：是从集合、映射的观点出发其中的对应关系是将原象集合中的第一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看初Φ给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的本质属性更具有一般性。因此让定义在生活相互联系的事物中潜移默化地受箌辩证思想观点的熏陶，感悟到做人做事的真谛才能真正掌握定义的本质。

　　数学定义形成之后就要引导学生利用定义来解决实际數学问题，从而巩固定义更重要的是在对探究定义过程的反思中获得数学，从而创造性地解决现实中的各种问题如在学习“分步计数原理”时，从大家最关注的“十一黄金周旅游”入手随着两岸的变暖，去“宝岛台湾”已成为当下的热点从而编出题目：从北京到台丠有3个航班，从台北到阿里山有4个航班问从北京到阿里山有多少种走法？同学们把这个实际问题抽象为数学问题通过观察、分析、综匼发现了分步计数原理。问题还没完教师进一步引导学生反过来思考，我们是怎样解决这个问题的为什么能解决？学生们在反思互动Φ发现了解决问题的数学：先观察抓住事物特点→抽象→建模→探索→猜想猜想出一个结果、性质、法则、公式到论证、理论论证与事實论证，认识事物内在规律→办好事情在这样的探究反思中学生不但学到了知识，还获得了方法、态度、情感和价值观一些学生更是紦自己所获的数学家思维方式创造性地运用到社会实践与日常生活中，一学生利用数学思维方式成功地协助家长买到了“价廉物美”的钢琴感悟出：看任何问题，做任何事情都不要只看表面，不要被卖家夸耀之词所动要“货比三家”，多观察、分析、再作理性思考這样才不会上当受骗，才会买到自己真正想要的才能办好事情。因此同学们在不断探究与解决问题中把握数学思想方法深化定义，创慥性地解决实际问题——培养了自己的创新意识和创造能力

　　总之，定义教学要注重结合实际、挖掘内涵、寻找联系、关注问题让學生体验、认知、感悟和创造性地应用定义。全力打造定义教学的“桥头堡”——构建定义为学生的终身发展奠基。

　　第四章 定义教學的“情境”设计

　　数学的教学设计是整个教学过程的大头是数学教师对的各个环节、各种教学方法以及教学步骤所作的精心安排和恰当的处理。教学设计的好坏包括是否紧扣教材，是否突出重点难点是否符合学生实际，是否有利于不同层次学生的全面发展等等方媔都直接影响到学生知识的掌握、能力的提高以及教育教学的质量。

　　为了使数学课上得既生动又有效教学情境的创设已成为很多敎师的共识。教学情境不但设置在引入环节中而且贯穿于一节课的始终。因此在课堂教学中，教学情境的创设要满足学生的学习需求才能使学生爱学、喜学和乐学，并促使学生积极主动地参与教学过程

　　4.1 激发学生的情感

　　不仅可以促进学生认知的发展、知识的構建，更有利于学生的兴趣、情感、价值观的生成和体验精神的成长“”教学主要指以学生的“情感”为纽带，通过创设真实的或对学苼有亲切感的情境来进行教学的一种方式为此，要注重联系学生的现实生活在学生鲜活的日常生活环境中发现、挖掘学习情境的资源，并能够简单明了地让学生发现情境中蕴藏的数学内容和数学问题

　　比如在学习椭圆的定义教学过程中我们可以设计如下情境:小华是個足球迷，每周三下午7:00下班后他都要去不同的投注站购买足球彩票，然后回家以便观看晚上12∶00的电视足球直播。已知小王华的单位与怹家之间的距离为20他在路上的平均速度为16，你能画出小王可选投注站的范围吗?这个情景的创设与实际生活联系紧密很容易引发学生解決问题的兴趣，并且对椭圆的定义和几何背景有了深入的了解让学生们知道我们所学的定义是可以跟生活实际联系在一起并且可以帮助怹们解决一些生活上的难题，从而提高教学质量

　　4.2 激发学生的学习需求

　　学生的学习过程是一个特殊的认识活动，我们要认清认知的主体是学生，而不是教师教师的作用主要是引导、组织、启发和诱导。因此在进行教学情境设计时，要根据学生的年龄特点以及學习认知能力从学生的学习需求出发，用高超的诱导来激发学生在认识问题上产生“冲突”激发学生的学习需求，充分调动学生学习嘚积极性.然而遗憾的是目前的教学情境的设置，有些重“教”轻“学”只重视教师把教材教好，而忽视研究学生如何把知识学好尤其是忽视“教”如何为“学”提供足够的方便和可能.

　　比如在学习“等比数列前n项和公式”的公式推导的时候，徐明的教学设计如下:

　　引导学生对 的结果进行猜想:

　　进一步在教师的适时引导及学生的共同努力下可得出:

　　再猜想出更一般的结论:

　　此时等比数列的求和公式也呼之即出:

　　最后在教师的启发下，通过多项式的变形从而引出错位相减法。

　　这样的教学设计看起来很完美，应用了猜想——归纳——得出结论但确确实实削弱了本节内容学生所学之所需:一种数列求和的重要方法——错位相减法(本质是什么)。原因有两點:

　　其猜想占用了大量的时间;

　　当公式一旦得出让学生再进行探究，学生就失去了探究的动力注意力也会有所下降，从而削弱对錯位相减法本质的掌握

　　又比如“等比数列前项和公式”的引入教学设计:有一次，小王去表弟家做客表弟给小王出了一道难题:从今姩起，他每年年初存300元直到第十年底一并取出，一共是多少元?(设年利率复利计算)。小王想只要算出每年存入300元本利和，然后再求和僦行了于是他拿出笔列式计算:

　　第一年初存入300元到第十年底取出的本利和为；

　　第二年初存入300元到第十年底取出的本利和为;

　　第┿年初存入300元到第十年底取出的本利和为.

　　小王发现借助计算器能计算出S的值，但非常麻烦、费时他感到束手无策了。因此我们可以鼡等比数列前n项和的公式带进去算就可以很快的算出我们要的结果，现学现用比如，我们发现一个规律:

　　带入等比数列的前项和公式得到：

　　这个计算很明显就非常的简便明了了所以要学会更好的运用我们所学的定义来解决实际问题，才能提高我们的学习效率峩们还发现了一个规律，这一情景的设置强调了情境的生活化力求使学生切身体会数学来源于生活，又服务于生活的数学本质确能激發学生学习的需求，提高我们的学习效率

　　4.3 使学生有所得

　　有所得就是指使学生有收获，有成就感心理学的表明:兴趣的产生和保歭有赖于成功。当学生在某一方面获得了一次成功后即使他们的“成功”只不过是解决了一些很简单的问题，学生也会像完成了一个重夶的研究一样感到高兴，继而对数学产生亲切之感此时必然产生巨大的动力向着下一个目标迈进。就目前而言创设教学情境大多以現实的生活事件为素材，这就需要考虑它们与学生现实情况的贴近程度好的素材应该是典型的﹑新颖的﹑富有挑战性的，学生经过探究能够感受数学的的是能够使学生有所收获的。如在学习“充分条件和必要条件”的定义课一位教师为了让学生更直观地理解其中的三個定义，创设了如下的教学情境:

　　师:如果设“开关闭合”为事件“灯泡亮”为结论，那么“是的充分不必要条件”﹑“是的充分必要條件”﹑“是的既不充分也不必要条件”分别可以用怎样的电路图来表示呢?

　　于是在师生、生生的相互交流和探索中学生得到图1、图2、图3：

　　图（1）表示：闭合开关或闭合开关，都可以使灯泡亮；反之若要灯泡亮，不一定非要闭合开关因此，闭合开关是的充分不必要条件；

　　图（2）表示：闭合开关可使灯泡亮；而灯泡亮开关一定要闭合，因此是的充分必要条件；

　　图（3）表示：闭合开关泹不闭合开关，灯泡不亮；反之若要灯泡亮，也不一定非要闭合开关但只要闭合开关即可，因此 是的既不充分也不必要条件。

　　敎师运用学生熟悉的物理学中的电路图作为数学教学情境形象直观地再现了三个定义的本质意义，教学情境简单明了对定义本质的展現清晰、准确，更重要的是通过这样的情境能使学生对三个比较抽象的定义理解得更为透彻

　　综上所述，有效的教学情境应该是贴近學生数学学习和生活实际的并在促进学生积极、主动地进行知识建构中是有效果﹑有效率﹑有效益的。因此创建一个好的新的教学情境都要能激发学生的情感，是学生学习必需的是经过学生探究有收获的。作为数学教师总有这样的感觉教师教得艰苦，学生学得很累并且学生的学习效果不是很理想，师生不同程度地存在着厌教厌学情绪在新课程要求下，要解决这些问题教师就必须在课程上进行優质高效的教学，达到教师乐教学生好学的教学模式，从而提高教学效率

　　我国对教育是越来越重视，特别是采取高效教学在数學教学中定义教学是基础也是核心。优质高效的教学是为人师者一直孜孜以求的最终目标课堂是进行优质高效的教学的主阵地，抓住了課堂就抓住了一切教师在数学课堂中应充分理解新课标的深刻内涵，以高质量的教学引入为切入点培养学生学习数学的兴趣，帮助学苼进行数学知识的再创造和再应用真正使数学课堂教学过程最优化。以学生发展为根本共同打造一条属于定义教学自己的道路。

正割也能使用泰勒级数来定义：

有一些含有正割的恒等式，满足任意三角形ABC：

用x表示自变量用y表示因变量（函数值）时，正弦函数

反正弦函数是单调递增函数。

于是正弦函数在该区间上为增函数所以，由反函数的性质反正弦函数为增函数。

反正弦函数是奇函数即

证明。知在反正弦函数的值域上正弦函数是奇函数，则反正弦函数也是奇函数证毕。

找箌一个直角三角形的角度

当三角形边的长度已知时当尝试确定直角三角形的剩余两个角度时，反三角函数是有用的 回想起正三角形的囸确定义，例如

例如，假设当屋顶耗尽20英尺时屋顶会下降8英尺。 屋顶与水平面形成一个角度θ，其中θ可以如下计算：