√10＞π 是已知命题p:-10吗？

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第 1课时 “ 或 ”“ 且 ” 第 1章 §1.2 简单的逻辑联结词 学习目标 1.了解联结词 “ 且 ”“ 或 ” 的含义 . 2.会用联结词 “ 且 ”“ 或 ” 联结或改写某些数学命题，并判断 其真假 . 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 “ 或 ” 思考 观察三个命题： ① 32； ② 3＝ 2； ③ 3≥ 2，它们之间有什么关系？ 答案 命题 ③ 是命题 ① ， ② 用逻辑联结词 “ 或 ” 联结得到的新命题 . 梳理 (1)定义：一般地，用联结词 “ 或 ” 把命题 p和命题 q联结起来 ，就得到一个新命题，记作 p∨ q，读作 “ ”. (2)当 p， q两个命题有一个命题是真命题时， p∨ q是 命题；当 p， q两个命题都是假命题时， p∨ q是 命题 . p或 q 真 假 我们将命题 p和命题 q以及 p∨ q的真假情况绘制为命题 “ p∨ q” 的真值表如下 ： p q p∨ q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 命题 “ p∨ q” 的真值表可简单归纳为 “ 假假才假 ”. (3)对 “ 或 ” 的理解：我们可联系集合中 “ 并集 ” 的概念 A∪ B＝ {x|x∈ A或 x∈ B}中的 “ 或 ” ，它是指 “ x∈ A” ， “ x∈ B” 中至少有一个是成立的，即 可以是 x∈ A且 x?B，也可以是 x?A且 x∈ B，也可以是 x∈ A且 x∈ B. 知识点二 “ 且 ” 思考 观察三个命题： ① 5是 10的约数； ② 5是 15的约数； ③ 5是 10的约数 且是 15的约数，它们之间有什么关系？ 答案 命题 ③ 是将命题 ① ， ② 用 “ 且 ” 联结得到的新命题 . p q p∧ q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 梳理 (1)定义：一般地，用联结词 “ 且 ” 把命题 p和命题 q联结起来， 就得到一个新命题，记作 p∧ q，读作 “ ”. (2)当 p， q都是真命题时， p∧ q是 命题；当 p， q两个命题中有一个 命题是假命题时， p∧ q是 命题 .我们将命题 p和命题 q以及 p∧ q的真 假情况绘制为命题 “ p∧ q” 的真值表如下： p且 q 真 假 命题 “ p∧ q” 的真值表可简单归纳为 “ 同真则真 ”. 命题 “ p∧ q” 的真值表可简单归纳为 “ 同真则真 ”. (3)“ 且 ” 是具有 “ 兼有性 ” 的逻辑联结词，对 “ 且 ” 的理解，可联系集 合中 “ 交集 ” 的概念， A∩ B＝ {x|x∈ A且 x∈ B}中的 “ 且 ” 是指 “ x∈ A” 与 “ x∈ B” 这两个条件都要同时满足 . [思考辨析 判断正误 ] 1.逻辑联结词 “ 且 ”“ 或 ” 只能出现在命题的结论中 .( ) 2.“ p∨ q为假命题 ” 是 “ p为假命题 ” 的充要条件 .( ) 3.命题 “ 5＞ 6或 5＞ 2” 是真命题 .( ) × × √ 题型探究 类型一 含有 “ 且 ”“ 或 ” 命题的构成 解答 命题角度 1 简单命题与复合命题的区分 例 1 指出下列命题的形式及构成它的命题 . (1)向量既有大小又有方向； 解 是 p∧ q形式命题 . 其中 p：向量有大小， q：向量有方向 . (2)矩形有外接圆或有内切圆 . 解 是 p∨ q形式命题 . 其中 p：矩形有外接圆， q：矩形有内切圆 . 反思与感悟 1.不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与 逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ” 构成的命题是复合命题 . 2.判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否 含有 “ 或 ”“ 且 ” 等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻 辑联结词联结两个命题 .如 “ 四边相等且四角相等的四边形是正方形 ” 不是 “ 且 ” 联结的复合命题，它是真命题，而用 “ 且 ” 联结的命 题 “ 四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形 ” 是 假命题 . 跟踪训练 1 命题 “ 菱形对角线垂直且平分 ” 为 ______形式复合命题 .p∧ q 答案 解答 命题角度 2 用逻辑联结词构造新命题 例 2 分别写出下列命题的 “ p∧ q”“ p∨ q” 形式的命题 . (1)p：梯形有一组对边平行， q：梯形有一组对边相等； 解 p∨ q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等 . p∧ q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等 . (2)p：－ 1是方程 x2＋ 4x＋ 3＝ 0的解， q：－ 3是方程 x2＋ 4x＋ 3＝ 0的解 . 解 p∨ q：－ 1或－ 3是方程 x2＋ 4x＋ 3＝ 0的解 . p∧ q：－ 1与－ 3是方程 x2＋ 4x＋ 3＝ 0的解 . 反思与感悟 用逻辑联结词 “ 或 ”“ 且 ” 联结 p， q构成新命题时， 在不引起歧义的前提下，可以把 p， q中的条件或结论合并 . 解答 跟踪训练 2 指出下列命题的构成形式及构成它的命题 p， q. (1)0≤ 2； 解 此命题为 “ p∨ q” 形式的命题，其中 p： 02； q： 0＝ 2. (2)30是 5的倍数，也是 6的倍数 . 解 此命题为 “ p∧ q” 形式的命题，其中 p： 30是 5的倍数； q： 30是 6的倍数 . 解答 例 3 分别指出 “ p∨ q”“ p∧ q” 的真假 . (1)p：函数 y＝ sin 反思与感悟 形如 p∨ q， p∧ q命题的真假根据真值表判定，真值表为 p q p∧ q p∨ q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 解答 跟踪训练 3 分别指出由下列各组命题构成的 “ p∨ q”“ p∧ q” 形式的 命题的真假 . (1)p： 是 无理数， q： π不是无理数； 解 ∵ p真 q假， ∴“ p∨ q” 为真， “ p∧ q” 为假 . 0有两个不相等的负根， q：方程 4x2＋ 4(m － 2)x＋ 1＝ 0无实数根，若 p∨ q为真， p∧ q为假，求 m的取值范围 . 类型三 已知复合命题的真假求参数范围 解 因为 p：方程 x2＋ mx＋ 1＝ 0有两个不相等的负根， 因为 q：方程 4x2＋ 4(m－ 2)x＋ 1＝ 0无实数根， 所以 Δ＜ 0，即 16(m－ 2)2－ 16＜ 0， 所以 16(m2－ 4m＋ 3)＜ 0， 所以 1＜ m＜ 3. 因为 p∨ q为真， p∧ q为假， 所以 p为真， q为假或者 p为假， q为真 . 解得 m≥ 3或 1＜ m≤ 2. 所以 m的取值范围为 (1,2]∪ [3，＋ ∞ ). 引申探究 本例中若将 “ p∧ q为假 ” 改为 “ p∧ q为真 ” ，求实数 m的取值范围 . 解答 解 由本例得当 p为真命题时， m＞ 2，当 q为真命题时， 1＜ m＜ 3. 因为 p∨ q为真， p∧ q为真， 所以 p， q均为真命题， 所以 m的取值范围为 (2,3). 反思与感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤 (1)分别求出命题 p， q为真时对应的参数集合 A， B. (2)讨论 p， q的真假 . (3)由 p， q的真假转化为相应的集合的运算 . (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围 . 跟踪训练

分别作出函数y=2sinx和y=πlnx的图象，由图象可知两个函数在（0，π）内只有一个交点，即y=f（x）在其定义域上恰有一个零点，故（1）正确；

由y=πlnx=0，解得x=1，即当0＜x＜1时，2sinx＞πlnx，当1＜x＜π，2sinx＜πlnx，∴函数f（x）不是单调函数，故（3）错误；

分别作出函数y=2sinx和y=xlnx的图象（黑线部分），由图象可知两个函数在（0，π）内只有一个交点，即y=f（x）在其定义域上恰有一个零点，故（2）正确；由

0

，解得x=1，即当0＜x＜x

＜x＜π，2sinx＜xlnx，∴函数g（x）不是单调函数，故（4）错误；

故正确的是（1）（2）

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