数列专题复习(内附求解方法及类型题_高考数列典型题一份)免费

数列知识点及高考典型习题一、基本概念：数列的定义及表示方法数列的项与项数有穷数列与无穷数列常数列、递增（减）数列、摆动数列、循环数列通项公式前项和公式二、任意数列的通项与前项和的关系：若满足由推出的则需要统一“合写”若不满足则数列的通项应分段表示。三、等差数列、等差数列及等差中项定义注：根据定义当我们看到形如：、、、、、时应能从中得到相应的等差数列。、等差数列的通项公式：、(其中为首项、为已知的第项)当时是关于的一次式当时是一个常数。、等差数列的前项和公式：当时是关于的二次式且常数项为当时（）是关于的正比例式。、等差数列中若则、等差数列的公差为则任意连续项的和构成的数列、、、……仍为等差数列公差为。、等差数列的公差为前项和为则数列是等差数列公差为。特别地、、组成等差数列。、两个等差数列与的公差分别为和则数列为等差数列且公差为、等差数列的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等差数列。如、、、…、为等差数列公差为则数列()是等比数列公比为。、在等差数列中：若项数为则若项数为则、两个等差数列与的前项和分别为、则（略证：）、在等差数列中,有关的最值问题（）邻项变号法当 、时满足  的项数使得取最大值当 、时满足  的项数使得取最小值（）利用（时是关于的二次函数）进行配方（注意应取正整数）四、等比数列、等比数列及等比中项定义：注：根据定义当我们看到形如：、、、、应能从中得到相应的等差数列。、等比数列的通项公式：(其中为首项、为已知的第项)关于等比数列的单调性：当时为常数列当时为摆动数列当且时为递增数列当且时为递减数列当且时为递增数列当且时为递减数列、等比数列的前项和公式：当时(是关于的正比例式)当时、等比数列中若则、等比数列的公比为且,则任意连续项的和构成的数列、、、……仍为等比数列公比为。、两个等比数列与的公比分别为和则数列、、仍为等比数列公比分别为、、。、等比数列的任意等距离的项（项数组成等差数列）构成的数列仍为等比数列。如、、、…、等比数列的公比为且则(且)是等差数列公比为。、在等比数列中：若项数为则若数为则五、求数列的最大、最小项的方法：、比差法：例：已知数列的通项公式为：求数列的最大项。、比商法：()例：已知数列的通项公式为：求数列的最大项。、利用函数的单调性：研究函数的增减性例：已知数列的通项公式为：求数列的最大项。六、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式再分别用公式法求和。例：已知数列的通项为：求例：在等差数列中依次抽取这个数列的第……项组成数列求数列的通项和前项和、错位相减法：利用等比数列前项和公式的推导方法求解一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。例：已知数列的通项为：求说明：（）一般地如果数列是等差数列是等比数列且公比为求数列的前项和时可采用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数然后错位相减使其转化为等比数列问题求解。要善于识别题目类型特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。（）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“”的表达式、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时正负相消剩下首尾若干若。常见裂项有：、例：已知数列的通项为：求前和例：在等差数列中、若求数列的前和、倒序相加法：利用等差数列前项和公式的推导方法求解将数列正着写倒着写再相加。例：中已知求的值、有关绝对值的问题：例：在等差数列中、（）求数列前和（）求数列前和七、由数列递推关系式求通项公式。、利用等差等比定义求通项公式、用累加法求型通项、用累乘法求型通项、用构造等比数列求型数列通项、通过求、取倒数转化为等差数列高考真题（安徽）（）设常数展开式中的系数为则解由EMBEDEquationDSMT所以所以为。（）、（本大题满分分）数列的前项和为已知（Ⅰ）写出与的递推关系式并求关于的表达式（Ⅱ）设求数列的前项和。解由EMBEDEquationDSMT得：即所以对成立。由…相加得：又所以当时也成立。（Ⅱ）由得。而（北京）()在数列中是正整数且则称为“绝对差数列”。()举出一个前五项均不为的“绝对差数列”（只需写出其前十项）（）若“绝对差数列”中数列满足分别判断当时数列和的极限是否存在如果存在求出其极限值（）证明任意一个“绝对差数列”总存在无穷多个等于零的项。（Ⅰ）解：,（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列中,所以自第项开始该数列是,,EMBEDEquationDSMT即自第项开始。每三个相邻的项周期地取值所以当时的极限不存在当时,,所以（Ⅲ）证明：根据定义数列必在有限项后出现零项证明如下假设中没有零项由于,所以对于任意的n都有,从而当时,当时,即的值要么比至少小要么比至少小令EMBEDEquationDSMT则由于是确定的正整数这样减少下去必然存在某项这与()矛盾从而必有零项若第一次出现的零项为第项记则自第项开始每三个相邻的项周期地取值,,即所以绝对差数列中有无穷多个为零的项（福建）()在等差数列中已知a=,aa=则aaa等于ABCD解在等差数列中已知d=a==a=选B（）（本小题满分分）已知数列｛a｝满足a=,a=a(nN)（Ⅰ）求数列｛a｝的通项公式（Ⅱ）若数列{bn}满足(nN*),证明:{bn}是等差数列（Ⅲ）证明:(nN*)（I）解：EMBEDEquationDSMT是以为首项为公比的等比数列。即　（II）证法一：－得即EMBEDEquationDSMT相减得　即　是等差数列。证法二：同证法一得令得设下面用数学归纳法证明　（）当时等式成立。（）假设当时那么这就是说当时等式也成立。根据（）和（）可知对任何都成立。是等差数列。（III）证明：EMBEDEquationDSMT（广东）、已知某等差数列共有项其奇数项之和为偶数项之和为则其公差为ABCD解故选C、在德国不来梅举行的第届世乒赛期间某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品其中第堆只有层就一个球第堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放从第二层开始每层的小球自然垒放在下一层之上第堆第层就放一个乒乓球以表示第堆的乒乓球总数则（答案用表示）解故选C、(本题分)已知公比为的无穷等比数列各项的和为无穷等比数列各项的和为(I)求数列的首项和公比(II)对给定的设是首项为公差为的等差数列求的前项之和(III)设为数列的第项求并求正整数使得存在且不等于零解:(Ⅰ)依题意可知,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,,即数列的前项之和为(Ⅲ)====EMBEDEquation当m=时=－当m>时=所以m=（湖北）若互不相等的实数成等差数列成等比数列且则A．B．C．－D．－解互不相等的实数、、成等差数列又、、成等比数列且得解得(舍去)或a=－选D．将杨辉三角中的每一个数都换成就得到一个如右图所示的分数三角形成为莱布尼茨三角形从莱布尼茨三角形可看出其中。令则。分析第一问通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和故此时第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和即根据第一问所推出的结论在原式基础上增加一项则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和结合给出的数表可逐次向上求和为故从而。．（本小题满分分）已知二次函数的图像经过坐标原点其导函数为数列的前n项和为点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式（Ⅱ）、设是数列的前n项和求使得对所有都成立的最小正整数m解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝axbx(a),则f’(x)=axb,由于f’(x)=x－,得a=,b=－,所以f(x)＝x－x又因为点均在函数的图像上所以＝n－n当n时an＝Sn－Sn－＝（n－n）－＝n－当n＝时a＝S＝－＝－所以an＝n－（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝故Tn＝＝EMBEDEquation＝（－）因此要使（－）<（）成立的m,必须且仅须满足即m所以满足要求的最小正整数m为（湖南）数列{}满足:,且对于任意的正整数m,n都有,则()ABCD解满足:,且对任意正整数都有数列是首项为公比为的等比数列。选A（本小题满分分）已知函数,数列{}满足:证明:()()证明（Ⅰ）先用数学归纳法证明……（i）、当时由已知结论成立。（ii）假设当时结论成立即因时所以在（）上是增函数又在上连续从而即故当时结论成立由（i）、（ii）可知对一切正整数都成立又因时所以综上所述（Ⅱ）设函数由（Ⅰ）知当时从而所以在（）上是增函数又在上连续且所以当时成立。于是即故(江苏)（）（本小题满分分）设数列、、满足：（n=,,,…）证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=,,,…）证明必要性：设数列是公差为的等差数列则：EMBEDEquation=EMBEDEquation=－=又EMBEDEquationEMBEDEquation=（常数）（n=,,,…）数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列且（n=,,,…）…………－得：EMBEDEquationEMBEDEquation=EMBEDEquationEMBEDEquation……从而有EMBEDEquation……－得：……由得：（n=,,,…）由此不妨设（n=,,,…）则EMBEDEquation（常数）故……从而EMBEDEquation……－得：故EMBEDEquation（常数）（n=,,,…）数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=,,,…）。（江西）若等差数列的前n项和为,且又A、B、C三点共线（O不在AB上）则等于（）（A）（B）（C）（D）解已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn若EMBEDEquationDSMT且A、B、C三点共线（该直线不过原点O）=选A．数列的前n项和为则解Sn＝=．已知数列满足：且。（）求数列的通项公式（）证明：对一切的不等式恒成立。解：（）将条件变为：－＝因此｛－｝为一个等比数列其首项为－＝公比从而－＝据此得an＝（n(）（）证：据(得a(a(…an＝为证a(a(……an((n！只要证n(N(时有(显然左端每个因式都是正数先证明对每个n(N(有(－（））n＝时上式显然成立）设n＝k时上式成立即(－（）则当n＝k＋时(〔－（）〕(（）＝－（）－＋（）(－（＋）即当n＝k＋时(式也成立。故对一切n(N((式都成立。(－（）＝－＝－(从而结论成立。（辽宁）．在等比数列中,,前项和为,若也是等比数列,则等于(A)(B)(C)(D)解因为等比则因数列也是等比数列则即所以故选择答案C。．解．（本小题满分分）已知EMBEDEquation,其中,设,(I)写出(II)证明:对任意的,恒有解(I)由已知推得,从而有(II)证法:当时,当x>时,,故在,上为增函数因为偶函数故在,上为减函数所以对任意的EMBEDEquationDSMT因此结论成立证法:当时,当x>时,,所以在,上为增函数因函数为偶函数所以在,上为减函数所以对任意的EMBEDEquationDSMT又因所以因此结论成立证法:当时,当x>时,,所以在,上为增函数因函数为偶函数所以在,上为减函数所以对任意的EMBEDEquationDSMT由对上式两边求导得EMBEDEquationDSMT因此结论成立（全国）。设是公差为正数的等差数列若则A．B．C．D．解．是公差为正数的等差数列若则d=EMBEDEquationDSMT选B（）、（本小题满分分）设数列的前项的和（Ⅰ）求首项与通项（Ⅱ）设证明：解:(Ⅰ)由Sn=eqf(,)an－eqf(,)neqf(,),n=,,…,得a=S=eqf(,)a－eqf(,)eqf(,)所以a=再由有Sn－=eqf(,)an－－eqf(,)neqf(,),n=,,…将和相减得:an=Sn－Sn－=eqf(,)(an－an－)－eqf(,)(n－n),n=,,…整理得:ann=(an－n－),n=,,…,因而数列{ann}是首项为a=,公比为的等比数列,即:ann=n－=n,n=,,,…,因而an=n－n,n=,,,…,(Ⅱ)将an=n－n代入得Sn=eqf(,)(n－n)－eqf(,)neqf(,)=eqf(,)(n－)(n－)=eqf(,)(n－)(n－)Tn=eqf(n,Sn)=eqf(,)eqf(n,(n－)(n－))=eqf(,)(eqf(,n－)－eqf(,n－))所以,=eqf(,i－)－eqf(,i－))=eqf(,)(eqf(,－)－eqf(,i－))<eqf(,)(全国)（）设是等差数列的前项和若则（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）解设是等差数列的前项和若则EMBEDEquationDSMT选A（）函数的最小值为（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）解当x=时取得最小值为(……)=选C（）（本小题满分１２分）设数列的前项和为且方程有一根为（I）求（II）求的通项公式解：(Ⅰ)当n＝时x－ax－a＝有一根为S－＝a－于是(a－)－a(a－)－a＝解得a＝EQf(,)．当n＝时x－ax－a＝有一根为S－＝a－EQf(,)于是(a－EQf(,))－a(a－EQf(,))－a＝解得a＝EQf(,)．(Ⅱ)由题设(Sn－)－an(Sn－)－an＝即　　Sn－Sn＋－anSn＝．当n时an＝Sn－Sn－代入上式得Sn－Sn－Sn＋＝　　　由(Ⅰ)知S＝a＝EQf(,)S＝a＋a＝EQf(,)＋EQf(,)＝EQf(,)．由可得S＝EQf(,)．由此猜想Sn＝EQf(n,n＋)n＝…．　　　　　　……分下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立即Sk＝EQf(k,k＋)当n＝k＋时由得Sk＋＝EQf(,－SSdo(k))即Sk＋＝EQf(k＋,k＋)故n＝k＋时结论也成立．综上由(i)、(ii)可知Sn＝EQf(n,n＋)对所有正整数n都成立．　　……分于是当n时an＝Sn－Sn－＝EQf(n,n＋)－EQf(n－,n)＝EQf(,n(n＋))又n＝时a＝EQf(,)＝EQf(,)所以｛an｝的通项公式an＝EQf(n,n＋)n＝…．……分（山东）（）（本小题满分分）已知a=点(an,an)在函数f(x)=xx的图象上其中=…（）证明数列｛lg(an)｝是等比数列（）设Tn=(a)(a)(an)求Tn及数列｛an｝的通项（）记bn=求｛bn｝数列的前项和Sn并证明Sn=解：（Ⅰ）由已知EMBEDEquationDSMT两边取对数得即是公比为的等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT=由（*）式得（Ⅲ）EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT又EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT又EMBEDEquationDSMT(陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文ab,bc,cd,d,例如,明文,,,对应密文,,,当接收方收到密文,,,时,则解密得到的明文为()A,,,B,,,C,,,D,,,解明文abcd对应密文abbccdd当接收方收到密文时则解得解密得到的明文为C．(本小题满分分)已知正项数列{an}其前n项和Sn满足Sn=anan且a,a,a成等比数列求数列{an}的通项an解:Sn=anana=aa解之得a=或a=．又Sn－=an－an－(n)由－得an=(an－an－)(an－an－)即(anan－)(an－an－－)=anan－>an－an－=(n)．当a=时a=a=．aaa不成等比数列a当a=时a=a=有a=aaa=an=n－．(四川)（）已知数列其中记数列的前n项和为数列的前n项和为．（I）求（II）设（其中为的导函数）计算．解：（Ⅰ）是首项为公差为的等差数列,前项和（Ⅱ）(天津)、已知数列、都是公差为的等差数列其首项分别为、且．设（）则数列的前项和等于（　　）A．　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．解已知、都是公差为的等差数列其首项分别为、且．设（）则数列的前项和等于==选C、设函数点表示坐标原点点若向量是与的夹角（其中）设则=．解设函数点表示坐标原点点若向量=是与的夹角（其中）设则=．、（本题满分分）已知数列满足并且（为非零参数）．（）若成等比数列求参数的值（）当时证明当时证明（浙江）（）设S为等差数列a,的前n项和若S,S=,则公差为　　　解设Sn为等差数列{an}的前n项和若S=S=－,解得d=－()已知函数f(x)=xx数列｜x｜(x＞)的第一项x＝以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（）和（x,f(x)）两点的直线平行（如图）求证：当n时(Ⅰ)x（Ⅱ）证明：（I）因为所以曲线在处的切线斜率因为过和两点的直线斜率是所以（II）因为函数当时单调递增而EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT所以即因此又因为令则因为所以因此故（重庆）()EMBEDEquation解EMBEDEquationDSMT。()在数列｛an｝中若a=,an=an(n),则该数列的通项an=在数列中若即{}是以为首项为公比的等比数列所以该数列的通项EMBEDEquationDSMTEMBEDEquationDSMT()(本小题满分分)已知一列椭圆Cn:x?=＜bn＜,n=,若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点（Ⅰ）试证：bn(n)（Ⅱ）取bn＝并用SA表示PnFnGn的面积试证：S＜S且Sn＜Sn(n)证：（I）由题设及椭圆的几何性质有EMBEDEquationDSMT故。设则右准线方程为因此由题意应满足即解之得：。即从而对任意（II）设点的坐标为则由及椭圆方程易知因EMBEDEquationDSMT故的面积为从而。令。由得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。现在由题设取则是增数列。又易知。故由前已证知且（上海）已知有穷数列共有k项（整数）首项设该数列的前n项和为,且其中常数。（）求证：数列为等比数列。（）若数列满足求的通项公式。（）若（）中的数列满足不等式：求k的值证明()当n=时,a=a,则=ank－时,an=(a－)Sn,an=(a－)Sn－,an－an=(a－)an,=a,数列{an}是等比数列解()由()得an=a,aa…an=a=a=a,bn=(n=,,…,k)（）设bn,解得nk,又n是正整数,于是当nk时,bn<当nk时,bn>原式=(－b)(－b)…(－bk)(bk－)…(bk－)=(bk…bk)－(b…bk)==当,得k－k,－k,又k,当k=,,,,,时,原不等式成立图…EMBEDEquationunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown