全微分方程的解法步骤程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-10 03:04 标签： 全微分方程的解法步骤

内容提示：一阶常微分方程解法总结

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一阶常微分方程的“分组凑全微分”解法
[摘要] 《高等数学》 （本科）教材在讲解用积分因子法求解一阶常微分方程时都提到一般用观 察法求积分因子。 本文介绍一种方法： “分组凑全微分” ， 这种方法的优点在于它所采用的积 分因子是通过计算的方法而不是观察的方法得到的，在求解我们常见的一阶线性微分方程、 齐次方程、伯努利方程等都非常有效。 [关键词] 常微分方程，积分因子，全微分，通解，一阶线性微分方程，齐次方程，伯努利方程

积分因子法是求解一阶常微分方程的一种解法， 这种方法就是寻找一个函数 μ(x,y)（称为积分因子）使得微分方程μ(x,y) M(x,y)dx+μ(x,y)N(x,y)dy=0 刚好 是某函数 u(x,y)的全微分 du(x,y)=0，从而即得微分方程的通解：u(x,y)=c（c 为任 意常数） 。 但是积分因子的寻找是很困难的， 没有一个一般的结果。 在一般的 《高 等数学》教材中都采用观察法来寻找一个特定的微分方程的积分因子。这就给教 学带来很大困难。在长期的教学实践中，我寻找到了一种行之有效的方法： “分 组凑全微分”法。下面以举例的形式来说明这种方法的使用。 例 1：2xydx-(x2+y2)dy=0 解：这是齐次方程，采用分组凑全微分方法非常简单。 2xydx-x2dy=y2dy （分组） x2y(

(把每项中不能放到微分中的因子全部提到前面)

(把括号中项合并写成全微分形式)

x2 的函数的形式） y

这和教材中采用常数变易法得出的通解是一致的。 此外我们还可以用分组凑全微分方法求出伯努利方程 y’+P(x)y=Q(x)yn (n≠1)的 通解：

从以上各例我们看到， 分组凑全微分方法的适用范围很广， 它对于我们在 《高 等数学》教材中碰到的各种类型的一阶微分方程都是非常简单而且有效的。在教 学中向学生介绍也收到了很好的效果，特向各位推荐。 [参考文献] [1] 同济大学数学教研室主编： “高等数学” 高等教育出版社 （1998） [2] 叶彦谦： “常微分方程讲义” 高等教育出版社 （1985）

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