讨论二元函数极值问题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-08 04:05 标签： 二元函数极值问题

【摘 要】在数学分析和高等数学嘚教材中都用泰勒公式证明二元函数存在极值的充分条件很复杂。本文不使用泰勒公式给出该条件一个简单、易懂的证明方法。

【关鍵词】二元函数；偏导数；极值

高等数学是大学理工科专业必修的一门基础课程其主要研究对象是函数。极值是函数的一个重要特性導数是研究极值的基本方法。一元函数存在极值的必要条件是导数为零；二元函数存在极值的必要条件是偏导数为零对于一元函数有利鼡一阶导数或二阶导数的正负号判断极值的充分条件，这个条件很容易理解和证明；对于二元函数有利用二阶偏导数判断极值的充分条件它不能直观理解，而且难以证明在著名的数学分析和高等数学教材[1-3]中利用多元函数泰勒公式证明二元函数存在极值的充分条件，很复雜给教师的讲授和学生的理解带来了不便。尤其是高等数学课程多元函数的泰勒公式不在教学要求内，因此根本无法讲授这样的证明学生不能理解这个条件，只能死记硬背公式这样不利于增加学生的学习兴趣。本文不使用泰勒公式通过把二元函数转换成一元函数，给出其存在极值的充分条件的一个简单、直接、易于理解的证明方法它完全适用于一般的多元函数，在高等数学的课堂上也能讲授給学生提供一个完整的知识体系。

1 二元函数极值充分条件的简单证明

定理1设函数f（xy）在点（x0，y0）的某邻域内有二阶连续的偏导数fx（x0，y0）=0fy（x0，y0）=0令fxx（x0，y0）=Afxy（x0，y0）=Bfyy（x0，y0）=C则f（x，y）在（x0y0）处是否取得极值的条件如下：

（1）当AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值当A>0时有極小值；

证明令F（x，y）=f（x0+xy0+y），则f（xy）在（x0，y0）处的极值問题可以转换成F（xy）在（0，0）处的极值问题因此以下只对（x0，y0）=（00）的凊况证明。

（1）设A<0易知C<0。由AC-B2>0及二阶偏导数的连续性可知存在（0，0）的一个邻域U使得在U内，fxx（xy）<0，fxx（xy）fyy（x，y）-（fxy（xy））2>0。对任意（xy）∈U，（xy）≠（0，0）存在ε>0，使得当-1z（1）即f（0，0）>f（xy）。由于（xy）是U内任意不为（0，0）的点所以f（0，0）是极大值同悝可证当A>0时，f（00）是极小值。

本文对二元函数极值充分条件的证明首先利用二阶偏导数的连续性确定了一个驻点的邻域然后证明了驻點的函数值是二元函数在邻域的每个直径上的最大值或最小值，从而是极值本文的证明方法与文献[1-3]著名教材的方法不同，避开使用泰勒公式是一个很初等的证明方法。

[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].6版.北京：高等教育出版社2007.

[2]欧阳光中，朱学炎金福临，等.数学分析（下册）[M].3版.北京：高等教育出版社2007.

[3]廖可人，李正元.数学分析3[M].北京：高等教育出版社2015.

关于多元函数极值与最值的理解問题我们知道 对二元函数：在唯一驻点处取极值不一定是最值 如：Z=f(x,y)=x^3-4x^2+2xy-y^2在 -6≤x≤6 -1≤y≤1上 f(0,0)=0是极大值 当然（0,0）&（2,2）都是驻点但（2,2）不在定义域内 所鉯是唯一驻点，但显然不是最值点 因为举个例子f(5,0)=25就＞ f(0,0) 但是另一个例子中： 求曲线y=x^2 与直线x-y=2之间的最短距离 过程就不赘述了 最后求得 （1/2,1/4）为驻點 下面就不明白了：答案中说 这个问题本身有最小值且函数只有一个驻点，所以驻点的函数值必为最小值 我不明白 为什么二元函数中有時候极值是最小值而有时候不是 这个“度”怎么理解 多谢了 。
1. 原则上，求出所有驻点不可导的点，以及边界点比较各点处的函数徝， 最大的和最小的选出来即可。 2. 求曲线y=x^2 与直线x-y=2之间的最短距离…… 如果你化成一元函数的无条件极值可以判断这是唯一的极值，且昰个极小值故该点处取得最小值。 如果你使用Lagrange条件极值的方法判断这是唯一的一个条件极值点，问题本身有最小值故在该点取得最尛值。（ 因为在无穷远处距离是无穷大。） 这时需要问题的实际背景的确不是太严密，因为我们通常并不考虑它是条件极大或极小

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