学生们在高中的数学学习过程中如果能够充分掌握高中数学数列试题的解题方法和技巧，这对于在大学期间学习数学会有很大的帮助。在最近几年的数学高考中，数列知识点的考查已经成为高考出题人比较看重的一项考点，甚至有一部分拔高题也都和数列有着直接的关系。可是在高中数学的学习阶段，很多的学生对于高中数学数列试题的解题方法和技巧还非常欠缺，对有一些问题和内容并没有得到充分的理解和吸收，往往在解题过程中，出现这样那样的问题。所以，探索和研究不同类型数列的解题方法和技巧，能够帮助学生更好地学好高中的数学。

　　高中数学数列试题教学中的解题思路与技巧

　　1.对数列概念的考查

　　在高中数列试题中，有一些试题可以直接通过带入已学的通项公式或求和公式，就可以得到答案，面对这一种类型的试题，没有什么技巧而言，我们只需熟练掌握相关的数列公式即可。

　　例如：在各项都为正数的等比数列{b}中，首项b1=3，b1+b2+b3=21，那么b3+b4+b5等于多少？

　　解析：（1）本道试题主要是对正项数列的概念以及等比数列的通项公式和求和公式知识点的考查，考查学生对数列基础知识和基本运算的掌握能力。

　　（2）本试题要求学生要熟练掌握老师在课堂上所教的通项公式和求和公式。

　　（3）首先让我们来求公比，很明显q不等1，那么我们可以根据我们所学过的等比数列前项和公式，列出关于公比的方程，即3（1-q3）/（1-q）=21。

　　对于这个方程，我们首先要选择其运算的方式，要求学生平时的练习过程中，要让学生能够熟练地将高次方程转化为低次方程进行运算。

　　2.对数列性质的考察

　　有些数列的试题中，经常会变换一些说法来考查学生对数列的基本性质的理解和掌握能力。

　　解析：我们在课堂上学习过这样的公式：等差数列和等比数列中m+n=p+q，我们可以充分利用这一特性来解此题，即：

　　这种类型的数列试题要求教师在课堂教学中，对数列的性质竟详细讲解，仔细推导。使得学生能够真正的理解数列性质的来源。

　　3.对求通项公式的考察

　　①利用等差、等比数列的通项公式，求通项公式

　　③利用叠加、叠乘法求通项公式

　　④利用数学归纳法求通项公式

　　⑤利用构造法求通项公式.

　　4.求前n项和的一些方法

　　在最近几年的数学高考试题中，数列通项公式和数列求和这两个知识点是每年必考的，因此，在高中数学数列的课堂教学中，教师要对数列求和通项公式这方面的知识点进行细致重点的讲解。数列求和的主要解题方法有错位相减法、分组求和法与合并求和法，下面对三种数列求和的解题方法进行详细说明。

　　错位相减法主要应用于等比数列的求和中，在最近几年的高考试题当中，以此方法来求解数列求和的试题经常会有所体现。这一类型的试题解题方法主要是运用于诸如{等差数列?等比数列}数列前n项和的求和中。

　　错位相减法主要应用于形如an=bncn，即等差数列?等比数列，这样的数列求和试题运算中，解此类题的技巧是：首先分别列出等差数列和等比数列的前n的和，即Sn，然后再分别将Sn的两侧同时乘以等比数列的公比q，得出qSn；最后错一位，再将两边的式子进行相减就可以了。

　　在高中数列的试题当中，往往会遇到一部分没有规律的数列试题，它们初看上去既不属于等差数列也不属于等比数列，但是如果将此类型的数列进行拆分，就可以得到我们所了解的等差数列和等比数列，遇到此类型的数列试题，我们就可以通过分组法求和的方法进行解题，首先将数列进行拆分，通过得到的等差数列和等比数列进行运算，最后将其结合在一起得出试题的答案。

　　在高考数列的试题中，往往会遇到一些非常特殊的题型，它们初看上去没有规律可循，但是通过合并和拆分，就可以找出它们的特殊性质。这就要求我们教师平时要锻炼学生对数列的合并能力，通过合并找出规律，最终成功地解决这类特殊数列的求和问题。

　　数列知识是各种数学知识的连接点，在数学考试中，往往是基于数列知识为基础，对学生的综合数学知识进行考查。在高中数列学习过程中，首先要做好数列基本概念和基本性质的掌握，否则任何解题技巧都无济于事。

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（2） 通项公式（等比数列通项公式通过定义式叠乘而来）：

求和公式用文字来描述就是：

Sn=首项（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）

如果公比q=1，则等比数列中每项都相等，其通项公式为任意两项，的关系为；在运用等比数列的前n项和时，一定要注意 讨 论公比 q

（4）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

另外，一个各项均为 正数的等比数列各项取同 底数后构成一个 等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做 指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

等比中项定义：从第二项起，每一项（ 有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。

（6）无穷递缩等比数列各项和公式：

无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的 无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。

(7)由等比数列组成的新的等比数列的公比：

{an}是公比为q的等比数列

则，A、B、C构成新的等比数列，公比 Q=q^n

则，A、B、C构成新的等比数列，公比 Q=q

(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

(3)若“G是a、b的 等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。

(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则

(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。

(6)若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的 对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。

在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。

注意：上述公式中A^n表示A的n 次方。

(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的 指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

等比数列 （1）待定 系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an？

（2）定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式？

等比数列 等比数列在生活中也是常常运用的。

如：银行有一种支付利息的方式—— 复利。

即把前一期的利息和 本金加在一起算作本金，

在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。

按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。

证明：设等比数列的首项为a1，公比为q，则：

说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：

对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：

注：也可用 二次函数求最值

将正奇数 集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：

(第一组) (第二组) (第三组)

【1991年全国高中数学联赛第3题】

解：依题意，前n组中共有奇数

而6-1，它是第996个正奇数。

注：数列x，x2，x3，…，x2001；以及

【1994年全国高中数学联赛试题】

当n=7时满足要求，故选C

【注】：数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，…，1和等比数列：8,-24,72,-216,… 的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可 转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。

∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2^(n-1) ④

(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列

(C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列

【1999年全国高中数学竞赛题】

2．等差 数列的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )

【1996年全国高考题】

3．等差数列中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列的 公比的值等于。

【2002年北京高考理工数学第14题】

(I)求数列的 通项公式

【2003年北京夏季高考数学第16题】

【《数学》教科书第一册(上)P137复习参考题三B组题第6题】

6．已知 正整数n不超过2000，且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是 【1999年全国高中数学竞赛试题】

7．各项为实数的 等差数列的公差为4，其首项的 平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有项。【1998年全国 高中数学竞赛试题】

等比数列 根据历史传说记载，国际象棋起源于 古印度，至今见诸于文献最早的记录是在 萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．

国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。

这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！

如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。

国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。

正当国王一筹莫展之际， 王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用 计算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。

西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多的赏赐。