原标题：大学高等数学：第四章第四讲反常积分(广义积分)

在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了。因此我们对定积分作如下两种推广，从而形成反常积分的概念。

一、无穷限的反常积分设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，任取t>a,作定积分∫f(x)dx(上限t,下限a)，再求极限

这个对变上限定积分的算式(4-1)称为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记为∫f(x)dx(上限+∞,下限a),即

根据算式(4-1)的结果是否存在，可引入反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限a)收敛与发散的定义如下：

定义(1)设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，如果极限(4-1)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限a)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-1)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限a)发散。类似地，设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，任取t<b，算式

称为函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分，记为∫f(x)dx(上限b,下限-∞)，即

于是有(2)设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，如果极限(4-2)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b,下限-∞)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-2)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b,下限-∞)发散。设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，反常积分∫f(x)dx(上限0,下限-∞)与反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限0)之和称为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分，记为∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)，即

3)设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，如果反常积分∫f(x)dx(上限0,下限-∞)与反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限)均收敛，那么称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)收敛，并称反常积分∫f(x)dx(上限0,下限-∞)的值与反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限0)的值之和为反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)的值，否则就称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)发散。上述反常积分统称为无穷限的反常积分。

由上述定义及牛顿-莱布尼茨公式，可得如下结果：

上面的阐述对于一些小伙伴们还是有点凌乱，不过不要紧，接下来把无穷限反常积分的概念整理了一章表，请看、

分析：这个反常积分值得几何意义是：当a→-∞、b→+∞时，虽然图5-9中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π，简单地说，它是位于曲线y=1/(1+x^2)的下方，x轴上方的图形面积。

二、无界函数的反常积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点)。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

这个对变下限的定积分求极限的算式(4-4)称为函数f(x)在区间(a,b]上的反常积分，仍然记为∫f(x)dx(上限b下限a)，即

根据算式(4-4)的结果是否存在，可引入反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛与发散的定义如下:

定义(2)(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，如果极限(4-4)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-4)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)发散。(2)设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，如果极限(4-5)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-5)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)发散。(3)设函数f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点c为f(x)的瑕点。如果反常积分∫f(x)dx(上限c下限a)与反常积分∫f(x)dx(上限b下限c)均收敛，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛，并称反常积分∫f(x)dx(上限c下限a)的值与反常积分∫f(x)dx(上限b下限c)的值之和为反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)的值；否则，就称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)发散。三、几种常见的反常积分(广义积分)四、反常积分(广义积分)的计算下面看下列题：

注意：在(1)小题中原为无穷限的反常积分，而经引入新的积分变量t后就变成了定积分，这说明定积分与反常积分有时可以相互转换。四大广义积分的性质定义和计算到此就结束了，为什么反常积分要单独拿出来讲，想必大家也已经有所了解了，希望大家收藏并分享下。

下节课学习定积分的应用。(此类题目通常压轴出现