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高中数列知识大总结(绝对全完整版)
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高中数列知识大总结(绝对全完整版)
二、重难点击
本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
四、数列通项与前项和的关系
3．数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是(
A．第４项　　B．第５项　　C．第６项　　D．第７项
4．已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是
5．数列的前项和,，则
归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式
⑴7，77，777，7777，…
⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：⑴将数列变形为，
⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为
点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二 应用求数列通项
例2．已知数列的前项和，分别求其通项公式.
解析：⑴当，
又不适合上式，故
三、利用递推关系求数列的通项
【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式
解析：⑴因为，所以
以上个式相加得
点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。
3设，()，则的大小关系是(
A．　　B．
C．　　D．不能确定
所以，选Ｃ．
二、填空题
5．已知数列的前项和则
7．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是
解：构造函数
由函数性质可知，函数在上递减，且
函数在上递增且
三、解答题
6.2等差数列
2．递推关系与通项公式
是数列成等差数列的充要条件。
３．等差中项：
若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。
４．前项和公式
是数列成等差数列的充要条件。
5．等差数列的基本性质
⑴反之，不成立。
⑷仍成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
是等差数列
②中项法：
是等差数列
③通项公式法：
是等差数列
④前项和公式法：
是等差数列
2．等差数列中，
A．14　　B．15　　C．16　　D．17
3．等差数列中，，则前10或11项的和最大。
∴为递减等差数列∴为最大。
4．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110
　成等差数列，公差为D其首项为
，前10项的和为
６．设等差数列的前项和为，已知
①求出公差的范围，
②指出中哪一个值最大，并说明理由。
已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于(
已知等差数列中，等于（
二、填空题
设为等差数列的前项和，=54
已知等差数列的前项和为，若
设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点
组成公差为的等差数列，则的取值范围为
解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为，由题意得：
三、解答题
等差数列的前项和记为，已知
①求通项；②若=242，求
甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？
解：①设分钟后第一次相遇，依题意有：
故第一次相遇是在开始运动后7分钟。
②设分钟后第二次相遇，则：
故第二次相遇是在开始运动后15分钟
10．已知数列中，前和
①求证：数列是等差数列
②求数列的通项公式
③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。
∴数列为等差数列。
要使得对一切正整数恒成立，只要≥，所以存在实数使得对一切正整数
都成立，的最小值为。
6.3等比数列
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。
递推关系与通项公式
等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。
前项和公式
正在加载中，请稍后...简介：本文档为《高中数学数列经典题型总结doc》，可适用于高中教育领域，主题内容包含高中数学数列经典题型总结数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是抓通项找规律套方法。下面介绍数符等。
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高中数学复习系列---数列常见题型总结.pdf
1高中数学复习系列---数列（常见、常考题型总结） 题型一：求值类的计算题（多关于等差等比数列） A）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知 nS 为等差数列{ }na 的前n项和， 63,6,9 94 =-== nSaa ，求n； 2、等差数列{ }na 中， 4 10a = 且 3610aaa，， 成等比数列，求数列{ }na 前20项的和 20S ． 3、设{ }na 是公比为正数的等比数列，若 16,1 51 == aa ，求数列{ }na 前7项的和. 4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. B）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知 nS 为等差数列{ }na 的前n项和， 1006 =a ，则 =11S ； 2、设 nS 、 nT 分别是等差数列{ }na 、{ }na 的前n项和， 327 ++= nnTSnn ，则 =55ba . 3、设 nS 是等差数列{ }na 的前n项和，若 ==5935 ,95SSaa 则 （ ） 4、等差数列{}na ,{}nb 的前n项和分别为 nS , nT ,若 231nnS nTn= + ,则nnab =（ ） 5、已知 nS 为等差数列{ }na 的前n项和， )(, mnnSmS mn ≠== ，则 =+nmS . 6、在正项等比数列{ }na 中， a aaaa++=，则 35aa+=_______。 7、已知数列{ }na 是等差数列，若 4710 17aaa++=, aaaaaa++++++=L 且 13ka = ,则k =_________。 8、已知 nS 为等比数列{ }na 前n项和， 54=nS ， 602 =nS ，则 =nS3 . 9、在等差数列{ }na 中，若 4,1 84 == SS ，则
aaaa +++ 的值为（ ） 10、在等比数列中，已知 910 (0)aaaa+=≠， 1920aab+=，则 9 100aa+= . 11、已知{ }na 为等差数列， 20,8 6015 == aa ，则 =75a . 12、等差数列{ }na 中，已知 848161 ,.3SSSS= 求 = . 题型二：求数列通项公式： A） 给出前几项，求通项公式 1,0,1,0,……,,21,15,10,6,3,1 L3，-33,333，-…… B）给出前n项和求通项公式 21、⑴ nnSn 32 2 += ； ⑵ 13 += nnS . 2、设数列{ }na 满足 2*1233 ()3n naaaanN+++=∈n-1…+3 ，求数列{ }na 的通项公式 C）给出递推公式求通项公式 a、⑴已知关系式 )(1 nfaa nn +=+ ，可利用迭加法或迭代法； )()()()( aaaaaaaaaa nnnnnnn +-++-+-+-= ----- L 例：已知数列{ }na 中， )2(12,2 11 ≥-+== - nnaaa nn ，求数列{ }na 的通项公式； b、已知关系式 )(1 nfaa nn ?=+ ，可利用迭乘法. aaaaaaaaaaaannnnnnn ??????=-----L例、已知数列{ }na 满足： 111(2),21nna n naan--=≥=+ ，求求数列{ }na 的通项公式； c、构造新数列 1°递推关系形如“ qpaa nn +=+1 ”，利用待定系数法求解 例、已知数列{ }na 中， 32,1 11 +== + nn aaa ，求数列{ }na 的通项公式. 2°递推关系形如“，两边同除 1np + 或待定系数法求解 例、nnn aaa 32,1 11 +== + ，求数列{ }na 的通项公式. 3°递推已知数列{ }na 中，关系形如“ nnn aqapa ?+?= ++ 12 ”，利用待定系数法求解 例、已知数列{ }na 中， nnn aaaaa 23,2,1 1221 -=== ++ ，求数列{ }na 的通项公式. 4°递推关系形如“ 11nnnnapaqaa---=≠（p,q0),两边同除以 1nnaa- 例1、已知数列{ }na 中， 1122nnnnaaaa---=≥=1（n2),a ，求数列{ }na 的通项公式. 例2、数列{ }na 中， )(42,2 11 ++ ∈+== Nnaaaannn ，求数列{ }na 的通项公式. d、给出关于 nS 和 ma 的关系 例1、设数列{ }na 的前n项和为 nS ，已知 )(3, 11 ++ ∈+== NnSaaa nnn ，设 nnn Sb 3-= ， 求数列{ }nb 的通项公式． 例2、设 nS 是数列{ }na 的前n项和， 11 =a ， )2(212 ≥?????? -= nSaSnnn . ⑴求{ }na 的通项； ⑵设 12 += nSb nn ，求数列{ }nb 的前n项和 nT . 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差 3例1、已知 nS 为等差数列{ }na 的前n项和， )( +∈= NnnSb nn .求证：数列{ }nb 是等差数列. 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2）， a 1 = 21 .求证：{nS1 }是等差数列； B）证明数列等比 例1、设{an}是等差数列，bn＝na?????? 21 ，求证：数列{bn}是等比数列； 例2、设 nS 为数列{ }na 的前n项和，已知 ( )21nnnbabS-=- ⑴证明：当 2b = 时，{ }12nnan--? 是等比数列；⑵求{ }na 的通项公式 例3、已知数列{ }na 满足 *().nnnaaaaanN++===-∈ ⑴证明：数列{ }1nnaa+ - 是等比数列；⑵求数列{ }na 的通项公式； ⑶若数列{ }nb 满足 12 111 *44.4(1)(),nnbbbb nanN--- =+∈证明{ }nb 是等差数列. 题型四：求数列的前n项和 基本方法： A）公式法， B）拆解求和法. 例1、求数列 n{223}n+-的前n项和 nS . 例2、求数列 LL ，，，，， )21( nn + 的前n项和 nS . 例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3） C）裂项相消法，数列的常见拆项有： 1111()()nnkknnk=-++； nnnn -+=++ 111 ； 例1、求和：S=1+ n++++++++++ LL 321
例2、求和： nn +++++++++ 1 L . D）倒序相加法， 例、设 221)( xxxf+= ，求： ⑴ )4()3()2()()()( 213141 ffffff +++++ ； ⑵ ).()2()()()()( 01 fffffff ++++++++ LL E）错位相减法， 例、若数列{ }na 的通项 nn na 3)12( ?-= ，求此数列的前n项和 nS . 4F）对于数列等差和等比混合数列分组求和 例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn. 题型五：数列单调性最值问题 例1、数列{ }na 中， 492 -= nan ，当数列{ }na 的前n项和 nS 取得最小值时， =n . 例2、已知 nS 为等差数列{ }na 的前n项和， .16,25 41 == aa 当n为何值时， nS 取得最大值； 例3、数列{ }na 中， 1283 2 +-= nnan ，求 na 取最小值时n的值. 例4、数列{ }na 中， 22 +-= nnan ，求数列{ }na 的最大项和最小项. 例5、设数列{ }na 的前n项和为 nS ．已知 1aa= ， 1 3nnnaS+=+， *n ∈ N ． （Ⅰ）设 3nnnbS=-，求数列{ }nb 的通项公式；（ Ⅱ）若 1nnaa+ ≥ ， *n ∈ N ，求a的取值范围． 例6、已知 nS 为数列{ }na 的前n项和， 31 =a ， )2(21 ≥=- naSS nnn . ⑴求数列{ }na 的通项公式； ⑵数列{ }na 中是否存在正整数k，使得不等式 1+> kk aa 对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列{}na 中，前n项和 21 (1)4nnSa=--， （1）求数列{}na 的通项公式； （2）设 1(3)nnb na= - (*)nN∈ ， 12nnTbbb=+++L ，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有 32n mT > 总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。
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