扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
垂心的证明 为什么三角形三条高交于一点!本人初三学生 以前老师讲过三角形三条高交于一点 但没有给出证明 再次 恳求能否用我初三 所学的知识 给出 垂心的证明 要看的懂的
作业帮用户
扫二维码下载作业帮
3亿+用户的选择
三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求证：它的三条高交于一点.证明：如图：作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可.因为CF⊥AB,BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形.四边形AFHE为圆内接四边形.所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC.点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质.
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码>>>（三角形垂...
（三角形垂心的基础公式）数学知识
中学生在学校里的主要任务是学习。学习是中学生的主要活动，除了学习之外，学生也要阅读一些，查字典数学网提供了最新数学知识，以备借鉴。三角形的重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。证明：根据燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，S(△AOC)=S(△BOC)，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/35.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线交于一点。如图，在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1AD、BE、CF交于一点即三角形的三条中线交于一点以上就是查字典数学网为大家提供的最新数学知识，大家仔细阅读了吗?加油哦!
相关趣味数学推荐垂心（三角形的三条高线的交点）_百度百科
清除历史记录关闭
声明：百科词条人人可编辑，词条创建和修改均免费，绝不存在官方及代理商付费代编，请勿上当受骗。
?三角形的三条高线的交点
[chuí xīn]
（三角形的三条高线的交点）
的三条的交点叫做三角形的垂心。的垂心在三角形内；的垂心在直角顶点上；的垂心在三角形外.
垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的。
锐角在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆。
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角有十二，构成九对相似形，
图中有，细心分析可找清。
设△ABC的三条为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、
C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2
1、的垂心在三角形内；的垂心在直角顶点上；的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它的内心；或者说，三角形的内心是它的垂心；
3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的上。
4、 △ABC中，有六组，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、 设O，H分别为△ABC的和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其与外接圆半径之和的2倍。
10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短（，最早在古希腊时期由海伦发现）。
11、（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
12、 设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
15、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）
推论（垂心余弦定理）：锐角三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推广到任意三角形）
16、等边三角形的垂心把三角形的高分成2:1两段，靠近顶点的那段长度为高的三分之二。(高中学习中常用知识）
作BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,且BE交CF于点H,连接AH并延长交BC于点D.现在我们只要证明AD⊥BC即可.
因为CF⊥AB,BE　　所以 四边形BFEC为圆内接四边形.　　四边形AFHE为圆内接四边形.　　所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB　　由∠FAH=∠FCB得　　四边形AFDC为圆内接四边形　　所以∠AFC=∠ADC=90°　　即AD⊥BC.
设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，
垂心坐标的解析解：
设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)、(a2，b2)、(a3，b3)，那么垂心坐标
垂心的向量特征：三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心
由OA·OB=OB·OC，得
OA·OB-OC·OB=0
∴(OA-OC)·OB=0
∴CA·OB=0，即OB垂直于AC边
同理由OB·OC=OC·OA，可得OC垂直于AB边
由OA·OB=OC·OA，得OA垂直于BC边
∴点O是三角形的垂心。
．中国知网[引用日期]
本词条认证专家为
副教授审核
哈尔滨工业大学
清除历史记录关闭关于三角形垂心性质的一个定理--《中学数学教学》1994年02期
关于三角形垂心性质的一个定理
【摘要】：正一个熟知的命题是:一个锐角三角形的垂心必为它的垂足三角形的内心。
如图,O为锐角三角形ABC的三条高AD、BE、CF的交点,则由 EODC、EFBC、FODB三个四点共圆,可以马上证得∠FDA=∠EDA。
下面给出这个命题的逆命题。先证一个引理。
引理:D、E、F分别为锐角三角形BC、AC、AB上的点,AD、BE、CF交于一点O,若DO平分角FDE,则AD⊥BC。
【作者单位】：
【分类号】：G633.6
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【相似文献】
中国期刊全文数据库
赵振威;[J];江苏教育;1980年05期
;[J];云南教育(基础教育版);1980年05期
钱熙;;[J];数学教学;1980年03期
费得意;;[J];湖南教育;1980年05期
熙贤;;[J];中学数学教学;1980年04期
王万祥;[J];数学通报;1981年08期
;[J];数学教学通讯;1981年04期
;[J];数学教学通讯;1981年05期
王抒;;[J];数学教学;1981年05期
李根水;;[J];中学数学;1981年06期
中国重要会议论文全文数据库
李建中;施捷;郭震;;[A];全国第七届农村基层中西医结合学术暨工作交流会论文汇编集[C];2002年
徐志友;信珂;郭长友;;[A];山东电机工程学会第九届优秀学术论文集[C];2002年
叶小飞;;[A];江苏省教育学会2005年小学数学优秀论文集[C];2005年
蒋公羽;罗婵;姜丹;周鸣飞;丁传凡;;[A];2006年世界华人质谱学术研讨会暨中国质谱学会第八届全国学术交流会论文集[C];2006年
麦秀雅;;[A];全国教育科研“十五”成果论文集（第五卷）[C];2005年
赖昌贵;王秉锋;;[A];中国心理学会第三次会员代表大会及建会60周年学术会议（全国第四届心理学学术会议）文摘选集（上）[C];1981年
彭瑛;艾晓映;;[A];中国当代教育理论文献——第四届中国教育家大会成果汇编（下）[C];2007年
张兵;严跃东;;[A];首届“健康杯”全国中小学心理健康教育研讨暨颁奖大会论文集[C];2002年
吴杰;;[A];全国高师会数学教育研究会2006年学术年会论文集[C];2006年
李秀明;;[A];2008中国仪器仪表与测控技术进展大会论文集（Ⅰ）[C];2008年
中国重要报纸全文数据库
刘同信;[N];中国成人教育信息报;2001年
刘悝;[N];中国教师报;2004年
广东河源市源城区下城小学 刘维花;[N];中国教育报;2005年
张僧;[N];廊坊日报;2005年
旬阳县赵湾镇塘兴小学
刘桂和;[N];安康日报;2007年
江苏省徐州市新沂市新店镇郑沟学校
王光辉;[N];中国教育报;2007年
陕西省宝鸡市陈仓区桑果工作站
王惠侠;[N];河北科技报;2007年
杨红蕾;[N];陕西科技报;2007年
张珂;[N];云南经济日报;2007年
杜京;[N];经济日报;2008年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993快捷登陆：
你好,欢迎来到新东方
您好，欢迎来到新东方
&&&&&&正文
数学公式：初中数学三角形垂心的基础公式
来源：新东方整理
作者：中学栏目编辑
　　【上海新东方中学频道-初中数学三角形垂心的基础公式】三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心，基本上全部的锐角三角形垂心都在在三角形内部。
　　三角形垂心
　　设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、
　　C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2.
　　1、锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外.
　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;
　　3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
　　4、 △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
　　5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一-垂心组)。
　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
　　7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
　　8、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
　　9、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
　　10、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短(施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现)。
　　11、西姆松定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
　　12、 设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
　　13、设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
　　14、三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
　　其实直角三角形垂心在三角形直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外部。
中考三角形知识点总结
上海新东方优能中学教育——权威专业的中高考学科培训
雄厚师资，优化方法，专注提分，提供最实用的学科解析及试卷干货。
版权及免责声明
①凡本网注明"稿件来源：新东方"的所有文字、图片和音视频稿件，版权均属新东方教育科技集团（含本网和新东方网）
所有，任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他任何方式复制、发表。已经本网协议授权的媒体、网站，在下载使用时必须注明"稿件来源：新东方"，违者本网将依法追究法律责任。
② 本网未注明"稿件来源：新东方"的文/图等稿件均为转载稿，本网转载仅基于传递更多信息之目的，并不意味着赞同转载稿的观点或证实其内容的真实性。如其他媒体、网站或个人从本网下载使用，必须保留本网注明的"稿件来源"，并自负版权等法律责任。如擅自篡改为"稿件来源：新东方"，本网将依法追究法律责任。
③ 如本网转载稿涉及版权等问题，请作者见稿后在两周内速来电与新东方网联系，电话：010-。
中考热门搜索
热门重点高中
2017中考最新动态
网络合作QQ： 陈老师&& 招生渠道 QQ： 蔡老师&&高校合作 QQ： 吴老师
友情链接 &&