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新款宝马X1最低报价 北京新车促销极致优惠
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【新款宝马X1最低报价新车促销极致优惠幅度&分期免息 售全国】2018款宝马X1有着新的X型设计式前脸，宝马经典的双肾型水箱护罩被加大，加上两个独立圆环的天使眼，使得该车前脸整体造型变得更加凶悍。侧面来看，缩短的发动机舱与明显加长的后门使得X1看起来并不，与之换来的就是实打实的乘坐空间。而尊享型的轮胎还是宝马专属的&雪花&胎，视觉效果炸裂。2018款宝马X1侧面造型比较简洁，上扬的腰线极具动感。18英寸的五辐Y形轮毂和运动的车身相得益彰。新款宝马X1车身尺寸为24mm，而轴距则达到2780mm，相比同级别车型、等都要有不小的优势，十分迎合中国消费者对于大空间追求。（详情请致电咨询文章底部侯经理电话)
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【新款宝马X1最低报价 北京新车促销极致优惠幅度&分期免息 售全国】2018款宝马全新X1的中控造型与同为UKL前驱平台的2系多功能旅行车颇为类似，设计简单，分区清晰，实际上，宝马的内饰风格与布局近十年都没有太大变化，自成一派，容易上手。另外，全新X1的用料和质感非常不错，超出预期。2018款宝马全新X1新车配备一块独立的6.5英寸液晶显示屏，其下方为音响系统和空调控制区域，并采用钢琴漆面板和木纹面板相搭配。2018款宝马全新X1在配置方面，国产全新X1将配备ECO PRO节能模式、制动能量回收、LED大灯、互联驾驶系统等配置，而乘坐空间正是现在国产X1的杀手锏，后排空间别说同级无人能出其右，就是放在中型里面比，它也不落下风。（详情请致电咨询文章底部侯经理电话)
【新款宝马X1最低报价 北京新车促销极致优惠幅度&分期免息 售全国】2018款宝马X1动力方面，全新X1有1.5T和2.0T高/低功率两款发动机。其中1.5T发动机最大功率100kW(136Ps)/4400rpm，最大扭矩220N&m/rpm，变速箱与之匹配的是6速手自一体变速箱。2.0T低功率发动机最大功率141kW(192Ps)/0rpm，最大扭矩280N&m/1250rpm，变速箱与之匹配的是8速手自一体变速箱。2.0T高功率发动机最大功率170kW(231Ps)/5000rpm，最大扭矩350N&m/1250rpm，变速箱与之匹配的是8速手自一体变速箱。（详情请致电咨询文章底部侯经理电话)
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类别：凉席
尺寸：其它
适用床尺寸：1.5m床
凉席类别：凉席套件
凉席材质：藤席
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Copyright (C) 2018 Baidu人生苦短，就用 Python。
在 Kaggle 最新发布的全球数据科学/机器学习现状报告中，来自 50 多个国家的 16000 多位从业者纷纷向新手们推荐 Python 语言，用以学习机器学习。
那么，用Python实现出来的机器学习算法都是什么样子呢？营长刚好在 GitHub 上发现了东南大学研究生“Lawlite”的一个项目——机器学习算法的Python实现，下面从线性回归到反向传播算法、从SVM到K-means聚类算法，咱们一一来分析其中的Python代码。
一、线性回归
1、代价函数
2、梯度下降算法
3、均值归一化
4、最终运行结果
5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
二、逻辑回归
1、代价函数
4、S型函数（即）
5、映射为多项式
6、使用的优化方法
7、运行结果
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
1、随机显示100个数字
2、OneVsAll
3、手写数字识别
5、运行结果
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
三、BP神经网络
1、神经网络model
2、代价函数
4、反向传播BP
5、BP可以求梯度的原因
6、梯度检查
7、权重的随机初始化
9、输出结果
四、SVM支持向量机
1、代价函数
2、Large Margin
3、SVM Kernel（核函数）
4、使用中的模型代码
5、运行结果
五、K-Means聚类算法
1、聚类过程
2、目标函数
3、聚类中心的选择
4、聚类个数K的选择
5、应用——图片压缩
6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类
7、运行结果
六、PCA主成分分析（降维）
2、2D--&1D，nD--&kD
3、主成分分析PCA与线性回归的区别
4、PCA降维过程
5、数据恢复
6、主成分个数的选择（即要降的维度）
7、使用建议
8、运行结果
9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维
七、异常检测 Anomaly Detection
1、高斯分布（正态分布）
2、异常检测算法
3、评价的好坏，以及的选取
4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）
5、多元高斯分布
6、单元和多元高斯分布特点
7、程序运行结果
一、线性回归
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LinearRegression
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression.py
1、代价函数
下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近
共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方的原因是因为可能有负值，正负可能会抵消
前面有系数2的原因是下面求梯度是对每个变量求偏导，2可以消去
实现代码：
# 计算代价函数
def computerCost(X,y,theta):
& & m = len(y)
& & J = (np.transpose(X*theta-y))*(X*theta-y)/(2*m) #计算代价J
& & return J
注意这里的X是真实数据前加了一列1，因为有theta(0)
2、梯度下降算法
代价函数对求偏导得到：
所以对theta的更新可以写为：
其中为学习速率，控制梯度下降的速度，一般取0.01,0.03,0.1,0.3.....
为什么梯度下降可以逐步减小代价函数？
假设函数f(x)
泰勒展开：f(x+△x)=f(x)+f'(x)*△x+o(△x)，
令：△x=-α*f'(x)&,即负梯度方向乘以一个很小的步长α
将△x代入泰勒展开式中：f(x+x)=f(x)-α*[f'(x)]?+o(△x)
可以看出，α是取得很小的正数，[f'(x)]?也是正数，所以可以得出：f(x+△x)&=f(x)
所以沿着负梯度放下，函数在减小，多维情况一样。
# 梯度下降算法
def gradientDescent(X,y,theta,alpha,num_iters):
& & m = len(y) & & &
& & n = len(theta)
& & temp = np.matrix(np.zeros((n,num_iters))) & # 暂存每次迭代计算的theta，转化为矩阵形式
& & J_history = np.zeros((num_iters,1)) #记录每次迭代计算的代价值
& & for i in range(num_iters): &# 遍历迭代次数 & &
& & & & h = np.dot(X,theta) & & # 计算内积，matrix可以直接乘
& & & & temp[:,i] = theta - ((alpha/m)*(np.dot(np.transpose(X),h-y))) & #梯度的计算
& & & & theta = temp[:,i]
& & & & J_history[i] = computerCost(X,y,theta) & & &#调用计算代价函数
& & & & print '.', & & &
& & return theta,J_history &
3、均值归一化
目的是使数据都缩放到一个范围内，便于使用梯度下降算法
其中&&为所有此feture数据的平均值
可以是最大值-最小值，也可以是这个feature对应的数据的标准差
实现代码：
# 归一化feature
def featureNormaliza(X):
& & X_norm = np.array(X) & & & & & &#将X转化为numpy数组对象，才可以进行矩阵的运算
& & #定义所需变量
& & mu = np.zeros((1,X.shape[1])) &&
& & sigma = np.zeros((1,X.shape[1]))
& & mu = np.mean(X_norm,0) & & & & &# 求每一列的平均值（0指定为列，1代表行）
& & sigma = np.std(X_norm,0) & & & &# 求每一列的标准差
& & for i in range(X.shape[1]): & & # 遍历列
& & & & X_norm[:,i] = (X_norm[:,i]-mu[i])/sigma[i] &# 归一化
& & return X_norm,mu,sigma
注意预测的时候也需要均值归一化数据
4、最终运行结果
代价随迭代次数的变化
5、使用scikit-learn库中的线性模型实现
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LinearRegression/LinearRegression_scikit-learn.py
from sklearn import linear_model&
from sklearn.preprocessing import StandardScaler&&& #引入缩放的包&
# 归一化操作&&&&
scaler = StandardScaler()&&&&&&&&
scaler.fit(X)&&&&&
x_train = scaler.transform(X)&&&&&
x_test = scaler.transform(np.array([1650,3]))&
线性模型拟合
&# 线性模型拟合&&&&&
model = linear_model.LinearRegression()&&&&&
model.fit(x_train, y)&
#预测结果&&&&&
result = model.predict(x_test)&
二、逻辑回归
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/tree/master/LogisticRegression
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression.py
1、代价函数
可以综合起来为：&
为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数
的图像如下，即y=1时：&
可以看出，当趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值
同理的图像如下（y=0）：
同样对代价函数求偏导：&
可以看出与线性回归的偏导数一致
目的是为了防止过拟合
在代价函数中加上一项
注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化
正则化后的代价：
# 代价函数
def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda):
& & m = len(y)
& & h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) & &# 计算h(z)
& & theta1 = initial_theta.copy() & & & & & # 因为正则化j=1从1开始，不包含0，所以复制一份，前theta(0)值为0&
& & theta1[0] = 0 &&
& & temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1)
& & J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m & # 正则化的代价方程
& & return J
正则化后的代价的梯度
# 计算梯度&
def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda):
& & m = len(y)
& & grad = np.zeros((initial_theta.shape[0]))
& & h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 计算h(z)
& & theta1 = initial_theta.copy()
& & theta1[0] = 0
& & grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正则化的梯度
& & return grad &
4、S型函数（即）
实现代码：
def sigmoid(z):
& & h = np.zeros((len(z),1))&&& # 初始化，与z的长度一置
& & h = 1.0/(1.0+np.exp(-z))&&&& return h&
5、映射为多项式
因为数据的feture可能很少，导致偏差大，所以创造出一些feture结合
eg:映射为2次方的形式:
实现代码：
# 映射为多项式&
def mapFeature(X1,X2):
& & degree = 3; & & & & & & & & & & # 映射的最高次方
& & out = np.ones((X1.shape[0],1)) &# 映射后的结果数组（取代X）
& & 这里以degree=2为例，映射为1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2
& & for i in np.arange(1,degree+1):&
& & & & for j in range(i+1):
& & & & & & temp = X1**(i-j)*(X2**j) & &#矩阵直接乘相当于matlab中的点乘.*
& & & & & & out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1)))
& & return out
6、使用scipy的优化方法
梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函数
调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
initial_theta表示初始化的值,
fprime指定costFunction的梯度
args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化costFunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda)) & &&
7、运行结果
data1决策边界和准确度
data2决策边界和准确度
8、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_scikit-learn.py
from sklearn.linear_model import LogisticRegression&
from sklearn.preprocessing import StandardScaler&
from sklearn.cross_validation import train_test_split&
import numpy as np&
划分训练集和测试集
# 划分为训练集和测试集&&&&&
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2)&
# 归一化&&&&&
scaler = StandardScaler()&&&&&
scaler.fit(x_train)&&&&&
x_train = scaler.fit_transform(x_train)&&&&&
x_test = scaler.fit_transform(x_test)&
#逻辑回归&&&&&
model = LogisticRegression()&&&&&
model.fit(x_train,y_train)&
# 预测&&&&&
predict = model.predict(x_test)&&&&
right = sum(predict == y_test)&&&&&&&&&&
predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1)))&& # 将预测值和真实值放在一块，好观察&&&&&
print predict&&&&&
print ('测试集准确率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) & & & #计算在测试集上的准确度&
逻辑回归_手写数字识别_OneVsAll
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll.py
1、随机显示100个数字
我没有使用scikit-learn中的数据集，像素是20*20px，彩色图如下&
实现代码：
# 显示100个数字
def display_data(imgData):
& & sum = 0
& & 显示100个数（若是一个一个绘制将会非常慢，可以将要画的数字整理好，放到一个矩阵中，显示这个矩阵即可）
& & - 初始化一个二维数组
& & - 将每行的数据调整成图像的矩阵，放进二维数组
& & - 显示即可
& & pad = 1
& & display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad)))
& & for i in range(10):
& & & & for j in range(10):
& & & & & & display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order=&F&)) & &# order=F指定以列优先，在matlab中是这样的，python中需要指定，默认以行
& & & & & & sum += 1
& & & & & &&
& & plt.imshow(display_array,cmap='gray') & #显示灰度图像
& & plt.axis('off')
& & plt.show()
2、OneVsAll
如何利用逻辑回归解决多分类的问题，OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了
如下图，把途中的数据分成三类，先把红色的看成一类，把其他的看作另外一类，进行逻辑回归，然后把蓝色的看成一类，其他的再看成一类，以此类推...&
可以看出大于2类的情况下，有多少类就要进行多少次的逻辑回归分类
3、手写数字识别
共有0-9，10个数字，需要10次分类
由于数据集y给出的是0,1,2...9的数字，而进行逻辑回归需要0/1的label标记，所以需要对y处理
说一下数据集，前500个是0,500-1000是1,...,所以如下图，处理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0,500-1000行第二列是1，其余都是0....&
然后调用梯度下降算法求解theta
实现代码：
# 求每个分类的theta，最后返回所有的all_theta & &
def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda):
& & # 初始化变量
& & m,n = X.shape
& & all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) &# 每一列对应相应分类的theta,共10列
& & X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) & & & # X前补上一列1的偏置bias
& & class_y = np.zeros((m,num_labels)) & & &# 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
& & initial_theta = np.zeros((n+1,1)) & & & # 初始化一个分类的theta
& & # 映射y
& & for i in range(num_labels):
& & & & class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
& & #np.savetxt(&class_y.csv&, class_y[0:600,:], delimiter=',') & &
& & '''遍历每个分类，计算对应的theta值'''
& & for i in range(num_labels):
& & & & result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 调用梯度下降的优化方法
& & & & all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) & # 放入all_theta中
& & all_theta = np.transpose(all_theta)&
& & return all_theta
之前说过，预测的结果是一个概率值，利用学习出来的theta代入预测的S型函数中，每行的最大值就是是某个数字的最大概率，所在的列号就是预测的数字的真实值,因为在分类时，所有为0的将y映射在第一列，为1的映射在第二列，依次类推
实现代码：
def predict_oneVsAll(all_theta,X):
& & m = X.shape[0]
& & num_labels = all_theta.shape[0]
& & p = np.zeros((m,1))
& & X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) & #在X最前面加一列1
& & h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) &#预测
& & 返回h中每一行最大值所在的列号
& & - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
& & - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
& & p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0])) &
& & for i in np.arange(1, m):
& & & & t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i]))
& & & & p = np.vstack((p,t))
& & return p
5、运行结果
10次分类，在训练集上的准确度：
6、使用scikit-learn库中的逻辑回归模型实现
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/LogisticRegression/LogisticRegression_OneVsAll_scikit-learn.py
from scipy import io as spio&
import numpy as np&
from sklearn import svm&
from sklearn.linear_model import LogisticRegression&
2、加载数据
data = loadmat_data(&data_digits.mat&)&&&&&&
X = data['X']&& # 获取X数据，每一行对应一个数字20x20px&&&&&
y = data['y']&& # 这里读取mat文件y的shape=(5000, 1)&&&&&
y = np.ravel(y) # 调用sklearn需要转化成一维的(5000,)
3、拟合模型
model = LogisticRegression()&&&&&
model.fit(X, y) # 拟合&
predict = model.predict(X) #预测&&&&&&&&&&
print u&预测准确度为：%f%%&%np.mean(np.float64(predict == y)*100)&
5、输出结果（在训练集上的准确度）&
三、BP神经网络
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py
1、神经网络model
先介绍个三层的神经网络，如下图所示
输入层（input layer）有三个units（为补上的bias，通常设为1）
表示第j层的第i个激励，也称为为单元unit
为第j层到第j+1层映射的权重矩阵，就是每条边的权重&
所以可以得到：
其中，S型函数，也成为激励函数
可以看出&为3x4的矩阵，为1x4的矩阵
==》j+1的单元数x（j层的单元数+1）
2、代价函数
假设最后输出的，即代表输出层有K个单元
&其中，代表第i个单元输出与逻辑回归的代价函数
差不多，就是累加上每个输出（共有K个输出）
L--&所有层的个数
--&第l层unit的个数
正则化后的代价函数为
共有L-1层，然后是累加对应每一层的theta矩阵，注意不包含加上偏置项对应的theta(0)
正则化后的代价函数实现代码：
# 代价函数
def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
& & length = nn_params.shape[0] # theta的中长度
& & # 还原theta1和theta2
& & Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
& & Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
& & # np.savetxt(&Theta1.csv&,Theta1,delimiter=',')
& & m = X.shape[0]
& & class_y = np.zeros((m,num_labels)) & & &# 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系
& & # 映射y
& & for i in range(num_labels):
& & & & class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
& & '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始''' & &
& & Theta1_colCount = Theta1.shape[1] & &
& & Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
& & Theta2_colCount = Theta2.shape[1] & &
& & Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
& & # 正则化向theta^2
& & term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
& & '''正向传播,每次需要补上一列1的偏置bias'''
& & a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) & & &
& & z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1)) & &
& & a2 = sigmoid(z2)
& & a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
& & z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
& & h &= sigmoid(z3) & &
& & '''代价''' & &
& & J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m &&
& & return np.ravel(J)
4、反向传播BP
上面正向传播可以计算得到J(θ),使用梯度下降法还需要求它的梯度
BP反向传播的目的就是求代价函数的梯度
假设4层的神经网络,记为--&l层第j个单元的误差
《===》（向量化）
没有，因为对于输入没有误差
因为S型函数的倒数为：
所以上面的和可以在前向传播中计算出来
反向传播计算梯度的过程为：
（是大写的）
for i=1-m:-
-正向传播计算（l=2,3,4...L）
-反向计算、...；
最后，即得到代价函数的梯度
实现代码：
def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
& & length = nn_params.shape[0]
& & Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
& & Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
& & m = X.shape[0]
& & class_y = np.zeros((m,num_labels)) & & &# 数据的y对应0-9，需要映射为0/1的关系 & &
& & # 映射y
& & for i in range(num_labels):
& & & & class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以赋值
& & '''去掉theta1和theta2的第一列，因为正则化时从1开始'''
& & Theta1_colCount = Theta1.shape[1] & &
& & Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
& & Theta2_colCount = Theta2.shape[1] & &
& & Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
& & Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) &#第一层到第二层的权重
& & Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) &#第二层到第三层的权重
& & Theta1[:,0] = 0;
& & Theta2[:,0] = 0;
& & '''正向传播，每次需要补上一列1的偏置bias'''
& & a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
& & z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
& & a2 = sigmoid(z2)
& & a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
& & z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
& & h &= sigmoid(z3)
& & '''反向传播，delta为误差，'''
& & delta3 = np.zeros((m,num_labels))
& & delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
& & for i in range(m):
& & & & delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]
& & & & Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
& & & & delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
& & & & Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
& & '''梯度'''
& & grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
& & return np.ravel(grad)
5、BP可以求梯度的原因
实际是利用了链式求导法则
因为下一层的单元利用上一层的单元作为输入进行计算
大体的推导过程如下，最终我们是想预测函数与已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代价函数最小化。可对照上面求梯度的过程。&
求误差更详细的推导过程：&
6、梯度检查
检查利用BP求的梯度是否正确
利用导数的定义验证：&
求出来的数值梯度应该与BP求出的梯度非常接近
验证BP正确后就不需要再执行验证梯度的算法了
实现代码：
# 检验梯度是否计算正确
# 检验梯度是否计算正确
def checkGradient(Lambda = 0):
& & '''构造一个小型的神经网络验证，因为数值法计算梯度很浪费时间，而且验证正确后之后就不再需要验证了'''
& & input_layer_size = 3
& & hidden_layer_size = 5
& & num_labels = 3
& & initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);&
& & initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
& & X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
& & y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
& & y = y.reshape(-1,1)
& & nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) &#展开theta&
& & '''BP求出梯度'''
& & grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,&
& & & & & & & & & & &num_labels, X, y, Lambda) &
& & '''使用数值法计算梯度'''
& & num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
& & step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
& & e = 1e-4
& & for i in range(nn_params.shape[0]):
& & & & step[i] = e
& & & & loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,&
& & & & & & & & & & & & & & & num_labels, X, y,&
& & & & & & & & & & & & & & & Lambda)
& & & & loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,&
& & & & & & & & & & & & & & & num_labels, X, y,&
& & & & & & & & & & & & & & & Lambda)
& & & & num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
& & & & step[i]=0
& & # 显示两列比较
& & res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
& & print res
7、权重的随机初始化
神经网络不能像逻辑回归那样初始化theta为0,因为若是每条边的权重都为0，每个神经元都是相同的输出，在反向传播中也会得到同样的梯度，最终只会预测一种结果。
所以应该初始化为接近0的数
# 随机初始化权重theta
def randInitializeWeights(L_in,L_out):
& & W = np.zeros((L_out,1+L_in)) & &# 对应theta的权重
& & epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
& & W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)产生L_out*(1+L_in)大小的随机矩阵
& & return W
正向传播预测结果
def predict(Theta1,Theta2,X):
& & m = X.shape[0]
& & num_labels = Theta2.shape[0]
& & #p = np.zeros((m,1))
& & '''正向传播，预测结果'''
& & X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
& & h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
& & h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
& & h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
& & 返回h中每一行最大值所在的列号
& & - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某个数字的最大概率）
& & - 最后where找到的最大概率所在的列号（列号即是对应的数字）
& & #np.savetxt(&h2.csv&,h2,delimiter=',')
& & p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0])) &
& & for i in np.arange(1, m):
& & & & t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
& & & & p = np.vstack((p,t))
& & return p&
9、输出结果
梯度检查：
随机显示100个手写数字
显示theta1权重
训练集预测准确度
归一化后训练集预测准确度
四、SVM支持向量机
1、代价函数
在逻辑回归中，我们的代价为：
如图所示，如果y=1，cost代价函数如图所示
我们想让，即z&&0，这样的话cost代价函数才会趋于最小（这是我们想要的），所以用途中红色的函数代替逻辑回归中的cost
当y=0时同样，用代替&
最终得到的代价函数为：
最后我们想要
之前我们逻辑回归中的代价函数为：
可以认为这里的，只是表达形式问题，这里C的值越大，SVM的决策边界的margin也越大，下面会说明
2、Large Margin
如下图所示,SVM分类会使用最大的margin将其分开
先说一下向量内积
表示u的欧几里得范数（欧式范数），
向量V在向量u上的投影的长度记为p，则：向量内积：
根据向量夹角公式推导一下即可，
前面说过，当C越大时，margin也就越大，我们的目的是最小化代价函数J(θ),当margin最大时，C的乘积项
要很小，所以近似为：
我们最后的目的就是求使代价最小的θ
可以得到：
p即为x在θ上的投影
如下图所示，假设决策边界如图，找其中的一个点，到θ上的投影为p,则或者，若是p很小，则需要很大，这与我们要求的θ使最小相违背，所以最后求的是large
3、SVM Kernel（核函数）
对于线性可分的问题，使用线性核函数即可
对于线性不可分的问题，在逻辑回归中，我们是将feature映射为使用多项式的形式，SVM中也有多项式核函数，但是更常用的是高斯核函数，也称为RBF核
高斯核函数为：
假设如图几个点，&
可以看出，若是x与距离较近，==》，（即相似度较大），若是x与距离较远，==》，（即相似度较低）
高斯核函数的σ越小，f下降的越快
如何选择初始的
对于给出的x，计算f,令：，
最小化J求出θ，
如果，==》预测y=1
4、使用scikit-learn中的SVM模型代码
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/SVM/SVM_scikit-learn.py
线性可分的,指定核函数为linear：
'''data1——线性分类'''
data1 = spio.loadmat('data1.mat')
X = data1['X']
y = data1['y']
y = np.ravel(y)
plot_data(X,y)
model = svm.SVC(C=1.0,kernel='linear').fit(X,y) # 指定核函数为线性核函数
非线性可分的，默认核函数为rbf
'''data2——非线性分类'''
data2 = spio.loadmat('data2.mat')
X = data2['X']
y = data2['y']
y = np.ravel(y)
plt = plot_data(X,y)
plt.show()
model = svm.SVC(gamma=100).fit(X,y) & & # gamma为核函数的系数，值越大拟合的越好
5、运行结果
线性可分的决策边界：
线性不可分的决策边界：
五、K-Means聚类算法
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Menas.py
1、聚类过程
聚类属于无监督学习，不知道y的标记分为K类
K-Means算法分为两个步骤
第一步：簇分配，随机选K个点作为中心，计算到这K个点的距离，分为K个簇
第二步：移动聚类中心：重新计算每个簇的中心，移动中心，重复以上步骤。
如下图所示：
随机分配的聚类中心
重新计算聚类中心，移动一次
最后10步之后的聚类中心
计算每条数据到哪个中心最近实现代码：
# 找到每条数据距离哪个类中心最近 & &
def findClosestCentroids(X,initial_centroids):
& & m = X.shape[0] & & & & & & & & &# 数据条数
& & K = initial_centroids.shape[0] &# 类的总数
& & dis = np.zeros((m,K)) & & & & & # 存储计算每个点分别到K个类的距离
& & idx = np.zeros((m,1)) & & & & & # 要返回的每条数据属于哪个类
& & '''计算每个点到每个类中心的距离'''
& & for i in range(m):
& & & & for j in range(K):
& & & & & & dis[i,j] = np.dot((X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(1,-1),(X[i,:]-initial_centroids[j,:]).reshape(-1,1))
& & '''返回dis每一行的最小值对应的列号，即为对应的类别
& & - np.min(dis, axis=1)返回每一行的最小值
& & - np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1)) 返回对应最小值的坐标
& & &- 注意：可能最小值对应的坐标有多个，where都会找出来，所以返回时返回前m个需要的即可（因为对于多个最小值，属于哪个类别都可以）
& & dummy,idx = np.where(dis == np.min(dis, axis=1).reshape(-1,1))
& & return idx[0:dis.shape[0]] &# 注意截取一下
计算类中心实现代码：
# 计算类中心
def computerCentroids(X,idx,K):
& & n = X.shape[1]
& & centroids = np.zeros((K,n))
& & for i in range(K):
& & & & centroids[i,:] = np.mean(X[np.ravel(idx==i),:], axis=0).reshape(1,-1) & # 索引要是一维的,axis=0为每一列，idx==i一次找出属于哪一类的，然后计算均值
& & return centroids
2、目标函数
也叫做失真代价函数
最后我们想得到：
其中表示第i条数据距离哪个类中心最近，其中即为聚类的中心
3、聚类中心的选择
随机初始化，从给定的数据中随机抽取K个作为聚类中心
随机一次的结果可能不好，可以随机多次，最后取使代价函数最小的作为中心
实现代码：(这里随机一次)
# 初始化类中心--随机取K个点作为聚类中心
def kMeansInitCentroids(X,K):
& & m = X.shape[0]
& & m_arr = np.arange(0,m) & & &# 生成0-m-1
& & centroids = np.zeros((K,X.shape[1]))
& & np.random.shuffle(m_arr) & &# 打乱m_arr顺序 & &
& & rand_indices = m_arr[:K] & &# 取前K个
& & centroids = X[rand_indices,:]
& & return centroids
4、聚类个数K的选择
聚类是不知道y的label的，所以不知道真正的聚类个数
肘部法则（Elbow method）
作代价函数J和K的图，若是出现一个拐点，如下图所示，K就取拐点处的值，下图此时K=3&
若是很平滑就不明确，人为选择。
第二种就是人为观察选择
5、应用——图片压缩
将图片的像素分为若干类，然后用这个类代替原来的像素值
执行聚类的算法代码：
# 聚类算法
def runKMeans(X,initial_centroids,max_iters,plot_process):
& & m,n = X.shape & & & & & & & & & # 数据条数和维度
& & K = initial_centroids.shape[0] &# 类数
& & centroids = initial_centroids & # 记录当前类中心
& & previous_centroids = centroids &# 记录上一次类中心
& & idx = np.zeros((m,1)) & & & & & # 每条数据属于哪个类
& & for i in range(max_iters): & & &# 迭代次数
& & & & print u'迭代计算次数：%d'%(i+1)
& & & & idx = findClosestCentroids(X, centroids)
& & & & if plot_process: & &# 如果绘制图像
& & & & & & plt = plotProcessKMeans(X,centroids,previous_centroids) # 画聚类中心的移动过程
& & & & & & previous_centroids = centroids &# 重置
& & & & centroids = computerCentroids(X, idx, K) & &# 重新计算类中心
& & if plot_process: & &# 显示最终的绘制结果
& & & & plt.show()
& & return centroids,idx & &# 返回聚类中心和数据属于哪个类
6、使用scikit-learn库中的线性模型实现聚类
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/K-Means/K-Means_scikit-learn.py
from sklearn.cluster import KMeans&
使用模型拟合数据
model = KMeans(n_clusters=3).fit(X) # n_clusters指定3类，拟合数据&
centroids = model.cluster_centers_& # 聚类中心&
7、运行结果
二维数据类中心的移动
六、PCA主成分分析（降维）
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py
数据压缩（Data Compression）,使程序运行更快
可视化数据，例如3D--&2D等
2、2D--&1D，nD--&kD
如下图所示，所有数据点可以投影到一条直线，是投影距离的平方和（投影误差）最小&
注意数据需要归一化处理
思路是找1个向量u,所有数据投影到上面使投影距离最小
那么nD--&kD就是找k个向量，
所有数据投影到上面使投影误差最小
eg:3D--&2D,2个向量
就代表一个平面了，所有点投影到这个平面的投影误差最小即可
3、主成分分析PCA与线性回归的区别
线性回归是找x与y的关系，然后用于预测y
PCA是找一个投影面，最小化data到这个投影面的投影误差
4、PCA降维过程
数据预处理（均值归一化）
就是减去对应feature的均值，然后除以对应特征的标准差（也可以是最大值-最小值）
实现代码：
# 归一化数据
& &def featureNormalize(X):
& & & &'''（每一个数据-当前列的均值）/当前列的标准差'''
& & & &n = X.shape[1]
& & & &mu = np.zeros((1,n));
& & & &sigma = np.zeros((1,n))
& & & &mu = np.mean(X,axis=0)
& & & &sigma = np.std(X,axis=0)
& & & &for i in range(n):
& & & & & &X[:,i] = (X[:,i]-mu[i])/sigma[i]
& & & &return X,mu,sigma
计算协方差矩阵Σ（Covariance Matrix）：
注意这里的Σ和求和符号不同
协方差矩阵对称正定（不理解正定的看看线代）
大小为nxn,n为feature的维度
实现代码：
Sigma = np.dot(np.transpose(X_norm),X_norm)/m& # 求Sigma&
计算Σ的特征值和特征向量
可以是用svd奇异值分解函数：U,S,V = svd(Σ)
返回的是与Σ同样大小的对角阵S（由Σ的特征值组成）[注意：matlab中函数返回的是对角阵，在python中返回的是一个向量，节省空间]
还有两个酉矩阵U和V，且
注意：svd函数求出的S是按特征值降序排列的，若不是使用svd,需要按特征值大小重新排列U
选取U中的前K列（假设要降为K维）
Z就是对应降维之后的数据
实现代码：
# 映射数据
& &def projectData(X_norm,U,K):
& & & &Z = np.zeros((X_norm.shape[0],K))
& & & &U_reduce = U[:,0:K] & & & & &# 取前K个
& & & &Z = np.dot(X_norm,U_reduce)&
& & & &return Z
过程总结：
Sigma = X'*X/m
U,S,V = svd(Sigma)
Ureduce = U[:,0:k]
Z = Ureduce'*x
5、数据恢复
所以：&（注意这里是X的近似值）
又因为Ureduce为正定矩阵，【正定矩阵满足：，所以：】，
所以这里：
实现代码：
# 恢复数据&
& & def recoverData(Z,U,K):
& & & & X_rec = np.zeros((Z.shape[0],U.shape[0]))
& & & & U_recude = U[:,0:K]
& & & & X_rec = np.dot(Z,np.transpose(U_recude)) &# 还原数据（近似）
& & & & return X_rec
6、主成分个数的选择（即要降的维度）
投影误差（project error）：
总变差（total variation）:
若误差率（error ratio）：，则称99%保留差异性
误差率一般取1%，5%，10%等
若是一个个试的话代价太大
之前U,S,V = svd(Sigma),我们得到了S，这里误差率error ratio:
可以一点点增加K尝试。
7、使用建议
不要使用PCA去解决过拟合问题Overfitting，还是使用正则化的方法（如果保留了很高的差异性还是可以的）
只有在原数据上有好的结果，但是运行很慢，才考虑使用PCA
8、运行结果
2维数据降为1维
要投影的方向
2D降为1D及对应关系
人脸数据降维
可视化部分U矩阵信息
9、使用scikit-learn库中的PCA实现降维
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/PCA/PCA.py_scikit-learn.py
导入需要的包：
#-*- coding: utf-8 -*-
# Author:bob
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import io as spio
from sklearn.decomposition import pca
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
归一化数据
'''归一化数据并作图'''&&&&&
scaler = StandardScaler()&&&&&
scaler.fit(X)&&&&
&x_train = scaler.transform(X)&
使用PCA模型拟合数据，并降维
n_components对应要将的维度
'''拟合数据'''
K=1 # 要降的维度
model = pca.PCA(n_components=K).fit(x_train) & # 拟合数据，n_components定义要降的维度
Z = model.transform(x_train) & &# transform就会执行降维操作
model.components_会得到降维使用的U矩阵
&'''数据恢复并作图'''&&&&&
Ureduce = model.components_&&&& # 得到降维用的Ureduce&&&&&
x_rec = np.dot(Z,Ureduce)&&&&&& # 数据恢复&
七、异常检测 Anomaly Detection
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/AnomalyDetection/AnomalyDetection.py
1、高斯分布（正态分布）Gaussian distribution
分布函数：
其中，u为数据的均值，σ为数据的标准差
σ越小，对应的图像越尖
参数估计（parameter estimation）
2、异常检测算法
训练集：,其中
相互独立，建立model模型：
选择具有代表异常的feature:xi
参数估计：
计算p(x),若是P(x)&ε则认为异常，其中ε为我们要求的概率的临界值threshold
这里只是单元高斯分布，假设了feature之间是独立的，下面会讲到多元高斯分布，会自动捕捉到feature之间的关系
参数估计实现代码
# 参数估计函数（就是求均值和方差）
def estimateGaussian(X):
& & m,n = X.shape
& & mu = np.zeros((n,1))
& & sigma2 = np.zeros((n,1))
& & mu = np.mean(X, axis=0) # axis=0表示列，每列的均值
& & sigma2 = np.var(X,axis=0) # 求每列的方差
& & return mu,sigma2
3、评价p(x)的好坏，以及ε的选取
对偏斜数据的错误度量
因为数据可能是非常偏斜的（就是y=1的个数非常少，(y=1表示异常)），所以可以使用Precision/Recall，计算F1Score(在CV交叉验证集上)
例如：预测癌症，假设模型可以得到99%能够预测正确，1%的错误率，但是实际癌症的概率很小，只有0.5%，那么我们始终预测没有癌症y=0反而可以得到更小的错误率。使用error rate来评估就不科学了。
如下图记录：
，即：正确预测正样本/所有预测正样本
，即：正确预测正样本/真实值为正样本
总是让y=1(较少的类)，计算Precision和Recall
还是以癌症预测为例，假设预测都是no-cancer，TN=199，FN=1，TP=0，FP=0，所以：Precision=0/0，Recall=0/1=0，尽管accuracy=199/200=99.5%，但是不可信。
尝试多个ε值，使F1Score的值高
# 选择最优的epsilon，即：使F1Score最大 & &
def selectThreshold(yval,pval):
& & '''初始化所需变量'''
& & bestEpsilon = 0.
& & bestF1 = 0.
& & F1 = 0.
& & step = (np.max(pval)-np.min(pval))/1000
& & '''计算'''
& & for epsilon in np.arange(np.min(pval),np.max(pval),step):
& & & & cvPrecision = pval&epsilon
& & & & tp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 1)).astype(float) &# sum求和是int型的，需要转为float
& & & & fp = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
& & & & fn = np.sum((cvPrecision == 1) & (yval == 0)).astype(float)
& & & & precision = tp/(tp+fp) &# 精准度
& & & & recision = tp/(tp+fn) & # 召回率
& & & & F1 = (2*precision*recision)/(precision+recision) &# F1Score计算公式
& & & & if F1 & bestF1: &# 修改最优的F1 Score
& & & & & & bestF1 = F1
& & & & & & bestEpsilon = epsilon
& & return bestEpsilon,bestF1
4、选择使用什么样的feature（单元高斯分布）
如果一些数据不是满足高斯分布的，可以变化一下数据，例如log(x+C),x^(1/2)等
如果p(x)的值无论异常与否都很大，可以尝试组合多个feature,(因为feature之间可能是有关系的)
5、多元高斯分布
单元高斯分布存在的问题
如下图，红色的点为异常点，其他的都是正常点（比如CPU和memory的变化）
x1对应的高斯分布如下：
x2对应的高斯分布如下：
可以看出对应的p(x1)和p(x2)的值变化并不大，就不会认为异常
因为我们认为feature之间是相互独立的，所以如上图是以正圆的方式扩展
多元高斯分布
，并不是建立p(x1),p(x2)...p(xn)，而是统一建立p(x)
其中参数：,Σ为协方差矩阵
同样，|Σ|越小，p(x)越尖
表示x1,x2正相关，即x1越大，x2也就越大，如下图，也就可以将红色的异常点检查出了&
表示x1,x2负相关
实现代码：
# 多元高斯分布函数 & &
def multivariateGaussian(X,mu,Sigma2):
& & k = len(mu)
& & if (Sigma2.shape[0]&1):
& & & & Sigma2 = np.diag(Sigma2)
& & '''多元高斯分布函数''' & &
& & X = X-mu
& & argu = (2*np.pi)**(-k/2)*np.linalg.det(Sigma2)**(-0.5)
& & p = argu*np.exp(-0.5*np.sum(np.dot(X,np.linalg.inv(Sigma2))*X,axis=1)) &# axis表示每行
& & return p
6、单元和多元高斯分布特点
单元高斯分布
人为可以捕捉到feature之间的关系时可以使用
多元高斯分布
自动捕捉到相关的feature
计算量大，因为：
m&n或Σ可逆时可以使用。（若不可逆，可能有冗余的x，因为线性相关，不可逆，或者就是m&n）
7、程序运行结果
异常点标注
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python#
用Python实现BP神经网络（附代码）
用Python实现出来的机器学习算法都是什么样子呢？
前两期线性回归及逻辑回归项目已发布（见文末链接），今天来讲讲BP神经网络。
BP神经网络
https://gi...
Python 被称为是最接近 AI 的语言。最近一位名叫Anna-Lena Popkes的小姐姐在GitHub上分享了自己如何使用Python（3.6及以上版本）实现7种机器学习算法的...
一、线性回归网址
1、代价函数其中： 。
下面就是要求出theta，使代价最小，即代表我们拟合出来的方程距离真实值最近共有m条数据，其中代表我们要拟合出来的方程到真实值距离的平方，平方...
写这篇文章的目的，就是希望它可以让有志于从事数据科学和机器学习的诸位在学习算法的路上少走些路。我会在文章中举例一些机器学习的问题，你们也可以在思考解决这些问题的过程中得到启发。我也会写下对于各种机器学...
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