一元初中二次函数压轴题中像图中15题这类根在某个区间分布问题的题解题思路是什么？用哪个知识点？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-08-18 15:48 标签： 二次函数压轴题
行测答疑：如何巧解一元二次函数最值问题_行测_中公教育网
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行测答疑：如何巧解一元二次函数最值问题
09:42:18 |
来源： 袁红霞
在行政职业能力测验的数学运算部分中，有一类题目的问法比较固定，题干会出现&最大&、&最小&、&至多&、&至少&等字眼。这类题目统称为&极值问题&或者&最值问题&。这类题目的整体思想就是&等&、&均&、&接近&。中公教育专家在此通过简单例题说明该思想。
例：若两个自然数的和是10，求这两个自然数的积的最大值。
利用枚举法观察：
这两个自然数分别是1、9，积为9;
这两个自然数分别是2、8，积为16;
这两个自然数分别是3、7，积为21;
这两个自然数分别是4、6，积为24;
这两个自然数分别是5、5，积为25;
显然，当这两个自然数均为5的时候，乘积取得最大值25，且观察发现这两个自然数越接近，则乘积越大。所以两数和一定，这两个数的差越小，则这两数的积越大。利用这个原理，可以巧妙地解决一元二次函数的最值问题。
一元二次函数的基本形式是 ，(当b&0时，y有最小值;当b&0时，y有最大值)，当 时，y取到最值，将x带入函数式求得具体的最值。该函数在数学运算中的常见考法如下：
例1：某期刊以每本2元的价格发行，可发行10万份。若该报刊单价每提高0.2元，发行量将减少5000份，则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?
A.24 B.23.5 C.23 D.22.5
分析：报刊销售收入=报刊单价&发行量，假设单价提高x次，报刊的销售总额收入为y，则y=(2+0.2x)&(10-0.5x)。将该函数化简成上述的一般形式后，再套用时，求得最值。显然化简过程复杂，计算量较大。建议采用&均&的思想。
【答案】D。中公解析：将y=(2+0.2x)&(10-0.5x)中x的系数化简成1，则原式变为y=0.2&0.5&(10+x)&(20-x)，观察发现10+x与20-x的和(10+x)+(20-x)=30为定值。题目求y的最大值，也就是求10+x与20-x乘积的最大值，根据上面结论，和一定时，要想乘积最大，则这两个数相等，即10+x=20-x=30/2=15时，此时x=5，y=0.1&15&15=22.5。选择D选项。
例2：一厂家生产销售某新型节能产品，产品生产成本是168元，销售定价为238元，一位买家向该厂家预定了120件产品，并提出如果产品售价每降低2元，就多订购8件。则该厂家在这笔交易中所获得的最大利润是( )元。
A.17920 B.13920 C.10000 D.8400
【答案】C。中公解析：总利润=单利润&销售量，原利润=238-168=70元，假设一共降低x次售价，总利润为y元，则y=(70-2x)&(120+8x)，化简成y=16(35-x)&(15+x)。观察发现35-x与15+x的和为定值50，所以当35-x=15+x=50/2=25时，y取到最大值，此时y=16&25&25=10000。选择C选项。
例3：某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的单价就降低10元。当旅行团的人数是多少时，旅行社可获得最大营业额?
A.55 B.25 C.34 D.60
【答案】A。中公解析：营业额=单价&人数，假设一共增加x人，营业额为y元，则y=(800-10x)&(30+x)，化简成y=10(80-x)&(30+x)。观察发现80-x与30+x的和为定值110，所以当80-x=30+x=110/2=55时，y取到最大值，此时旅行团人数为55人。选择A选项。
不难发现一元二次函数求最值的考查相对固定，解题方法简单灵活，希望各位考生能在考试的过程中辨别题型，快速列式，一举拿下该题型!
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(责任编辑：张珅)
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一元二次函数根的分布万能解题套路_罗荷玉
ID:1927442
资源大小：138KB
一元二次函数f (x) = ax 2 +bx +c(a ≠ 0)根的分布问题是高考和竞赛经常考的内容，一
般的参考书将这种问题归结为10 种类型，其中“0 分布”4 种，“k 分布”6 种。对于学生
来说，要熟练掌握这10 种情况，并能在考试中做到对号入座，短时间的训练是做不到的。
事实上，对绝大多数学生来说，一元二次函数根的分布问题普遍掌握得很不理想——因为，
按10 种类型去学习该问题，考的似乎不是学生的数学能力，而是学生的机械记忆能力。
本材料将10种情况划归为一种模式求解,大大降低了学习难度。
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一元二次方程实根分布问题的探究
　　[摘要]把一元二次方程实根的取值范围问题叫做一元二次方程实根分布问题。这类问题是高中学生必须掌握的问题,但这也是学生觉得比较难的问题。本文结合二次函数图象的特点,利用数形结合思想探究一元二次方程实根分布问题的处理方法,供大家参考。 中国论文网 /9/view-.htm　　关键词:一元二次方程实根分布 数形结合 　　 　　对于我们熟知的一元二次方程,是方程问题中的基础中之基础,很多其他方程问题都可以“化归”为一元二次方程来解决。而对于一元二次方程中的一些问题,如:有没有实数根的问题;有实数根时,两根相等还是不等的问题。这些问题我们利用根的判别式就可以解决。但还有一些问题,如:实根的取值范围问题,则需要综合应用到判别式、韦达定理、求根公式及不等式的相关知识来加以解决。我们把实根的取值范围问题叫做一元二次方程实根分布问题。本文结合二次函数图象的特点,利用数形结合思想探究一元二次方程实根分布问题的处理方法。 　　探究Ⅰ:根据以下条件,求K的取值范围: 　　(1)关于x的方程x2+kx+k2-1=0有一正实根,有一负实根; 　　(2)关于x的方程x2+kx+k2-1=0有一实根大于1,一实根小于1; 　　(3)关于x的方程x2+kx+k2-1=0有两个实根且都大于1; 　　(4)关于x的方程x2+kx+k2-1=0有两个实根且都小于1。 　　分析:设x1,x2是方程x2+kx+k2-1=0的两个实根,且x1≤x2, 　　令f(x)=x2+kx+k2-1,则以上四个问题分别等价于: 　　四个问题分别结合对应图形得: 　　问题(1)f(0)<0,即k2-1<0-1<k<1; 　　问题(2)f(1)<0,即1+k+k2-1<0-1<k<1; 　　探究Ⅱ:若关于x的方程x2+2ax+2+a=0有两个不同的实数根,且只有一根在[1,2]内,求a的取值范围. 　　分析:令y=x2+2ax+2+a, 　　①若f(1)?f(2)<0,此时2　　②若f(1)=0,此时a=3,方程两根为x1=1,x2=5,适合题意; 　　③若f(2)=0,此时a=2,方程两根为x1=x2=2,不适合题意. 　　综合①、②、③,a的取值范围是2　　方法总结: 　　⒈借助函数图像的直观性寻求等价条件是解决这类根的分布问题的基本策略; 　　⒉对于一元二次方程实根分布在开区间内的问题,分析其充要条件时,结合对应的二次函数图像,有以下结论:(开口方向已定) 　　①若方程两实数根分布在不同区间,则只需考虑区间端点(分界点)函数值的符号,如探究Ⅰ中的问题(1)和(2); 　　②若方程两实数根分布在同个区间,则必须同时考虑 　　,如探究Ⅰ中的问题(3)和(4). 　　3.讨论一元二次方程f(x=0)在某区间上有且只有一实根时,应考虑两种情况: 　　1)f(a)?f(b)<0 　　2)令f(a)=0或f(b)=0,解出变量,进而解出方程的根,看是否符合题意即可。 　　结论应用:已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)对应的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a>0),并设ax2+bx+c=0(a>0)的两根分别为x1,x2且x1≤x2,求: 　　(1)使x1≤x2<m的充要条件; 　　(2)使m<x1≤x2的充要条件; 　　(3)使x1<n<x2的充要条件; 　　(4)使m<x1≤x2<n的充要条件; 　　(5)使x1<m<n<x2的充要条件; 　　(6)使m<x1<n≤x2,x1≤m<x2<n的充要条件。 　　结合上面方法总结并由题意得: 　　(1)(两根同区间);(2)(两根同区间);(3)f(n)<0(两根不同区间); 　　(4)(两根同区间);(5)(两根不同区间); 　　(6) (区间内有且只有一根) 　　通过上面几个问题的分析,可以看出,解决二次方程ax2+bx+c=0(a>0)实根的分布问题时,可利用函数图象寻找问题的充要条件,即考查相应的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的草图,运用数形结合思想,根据根的范围,挖掘隐含条件,从判别式,对称轴,端点(分界点)的函数值等三个方面考虑,列出式子加以限定,从而得出问题的充要条件。 　　(对于解决二次方程ax2+bx+c=0(a0)的形式来做,或也可以直接讨论a<0的函数图象,寻找问题的充要条件来解决。) 　　 　　参考文献 　　1、王正林编写的《高中数学解题思想方法》 　　2、高一数学《教学与测试》苏州大学出版社出版
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