2018考研数学高数：求极限必会的16个方法，你知道吗？
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要?各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。
首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
1、极限分为一般极限，还有个数列极限
(区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种)。
2、解决极限的方法如下
1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小)
2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)
首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为三种情况
1)0比0无穷比无穷时候直接用
2)0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了
3)0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，ln(x)两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0,当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln(x)趋近于0)
3、泰勒公式
(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e^x展开,sinx展开,cos展开,ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。
取大头原则最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单。
5、无穷小与有界函数的处理办法
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!
6、夹逼定理
(主要对付的是数列极限)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用
(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)
8、各项的拆分相加
(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右求极限的方式
(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，Xn的极限与Xn+1的极限是一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用。
这两个很重要！对第一个而言是x趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第二个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用第二个重要极限)
11、还有个方法，非常方便的方法。
就是当趋近于无穷大时候，不同函数趋近于无穷的速度是不一样的。x的x次方快于x!,快于指数函数,快于幂数函数,快于对数函数(画图也能看出速率的快慢)。当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了
12、换元法
是一种技巧，不会对某一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中
13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界的性质
对付递推数列时候使用证明单调性。
16、直接使用求导数的定义来求极限
(一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x)加减某个值)加减f(x)的形式，看见了有特别注意)(当题目中告诉你F(0)=0时，f(0)的导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义!)
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2016年 考研数学 高等数学 求极限的方法 洛必达法则
推荐出品人18种计算极限的方法「修订版」_高等数学_传送门
18种计算极限的方法「修订版」
极限是整个微积分的理论基石，而其计算则贯穿于微积分的始终！先看一个简单的例子：由于
处无定义，我们不能将 直接代入
的表达式进行计算.下面，我们对 稍微变下形，由于，则，这样分子分母可以同时约掉一个不等于
的因式 . 于是，最后一步是由于函数 在处连续，其极限值等于函数值 .启示：为了求我们只需将
通过各种方式转换为在
处连续的另一个函数 ，然后利用函数的连续性即可.以上，就是极限计算的神秘面纱！接下来，我们就是围绕着如何使用各种方法，将在
处不连续的函数
转换为在 处连续的函数 .极限计算的七大类型：极限计算的基本步骤：先做化简再判断类型最后选择方法极限计算的18种方法：利用极限定义利用函数连续性各种恒等变形(三角、有理化、倒代换等)连续复合函数求极限复合函数极限法则(变量代换)等价无穷小因子替换极限的四则运算法则幂指运算法则两个重要极限利用常见结论(无穷小乘有界量是无穷小等)利用导数定义洛必达法则泰勒公式极限存在准则(夹逼准则、单调有界准则)利用定积分定义利用级数收敛利用函数极限求数列极限利用左右极限下面我们通过具体的例子来讨论.方法一：利用极限定义例1
求 分析：解：，根据几何-算术平均不等式有于是，当，有根据极限定义得，.常见极限：
方法二：利用函数连续性例2
分析：由于是初等函数，因此，也是初等函数，且在其定义区间. 于是，由连续性即可求得极限.解：
注意：以下函数都是初等函数方法三：各种恒等变形例3
分析：利用二倍角公式.分子分母同乘以后，将发生一系列连锁反应。最后还需要利用重要极限解：注：在求极限过程中，应将 x 看成常数.思考题：求极限提示：分子分母同乘以
即可发生核反应！方法四：连续复合函数求极限设，且
连续，则上式左边先计算函数再计算极限，而右边先计算极限再计算函数，故也可以说，连续函数和求极限运算是可交换的.连续函数就像代数学中的同态映射(保持运算的映射)，是微积分中极其重要的一类函数. 一旦运算可以交换，将为我们计算带来巨大的方便(以后我们专门用一讲来讨论运算的交换性).在某种意义上，微积分的理论问题，很多时候都是讨论极限，函数，微分，积分等等这些运算满足什么条件时是可以交换性.例4
第二个等号，就是因为指数函数
连续，所以可以和求极限交换.? 查看同类题型视频解析~方法五：复合函数极限法则 [变量代换]设 则例5
求极限这道题如果直接用洛必达法则的话，分母的次数会越来越高。我们可以用“倒代换”来解决这个问题。解：
? 查看同类题型视频解析~方法六：等价无穷小因子替换例6
求极限解：原式
注：常见的等价无穷小：当时，在中，都是因子，而是项。因子可以用等价无穷小随意替换，但项则需要谨慎替换！！！方法七：极限的四则运算法则例7
求极限解：用相消法，分子分母同除以
其中注：设存在，则其中，代表加减乘除。在解题过程中，不管三七二十一，先拆开再说，若中至少有一个不存在，则除了以下第一种情况外，其余情形都是不确定的，需要具体问题具体分析或另寻它法。存在
不存在 = 不存在不存在
不存在 = 不确定存在
不存在 = 不确定 ( 代表乘除)不存在
不存在 = 不确定方法八：幂指运算法则幂指函数求极限通常采用对数法，即则有于是将计算的问题，转化为计算下列极限问题下面我们设由于，于是接下来我们对以下情形分别讨论：(1) 若，则
若，则属于不定型.(2) 若，则
若为有限数，则(3) 若为有限数，则
若，则属于不定型(4) 若则
若 留给大家自己分析~
若，则属于不定型?查看同类题型视频解析~方法九：两个重要极限这两个极限的重要性体现在如下两方面：很多极限的计算都要借助于它们.所有基本初等函数的求导公式都可以由这两个公式推导出来.因此，这两个重要极限是进入微分学的必备基础！例9
求极限解：
方法十：利用常见结论有限个无穷小的和是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小例10
求极限分析：时，分别是无穷小和有界函数，因此极限为0.思考题：求极限常见错误：原式 = 0+0+...+0 = 0.注：常见的有界函数方法十一：利用导数定义例11
设求下列极限解：在处补充定义，使得，则于是方法十二：洛必达法则在微积分中，连续，导数，微分，积分等等概念都是通过极限来定义的. 因此极限理论是微积分的基础，当然，对于非数学专业的学生来说，关键是要掌握极限的计算.而极限的计算也不是软柿子，甚至有的时候还非常棘手. 很多同学看到一些稍微复杂一点的极限计算就感觉无从下手.这种情况一直持续到洛必达法则的到来. 有了洛必达法则，极限的计算似乎一下子变得简单明朗起来，因为洛必达法则就是求导运算，而且在满足条件时，可以反复求导.而说到求导，很多同学的心情这个时候都比较欢快了吧？ 如果你掌握了各种求导法则，并记住了常见函数的导数公式后，你会发现，要找一个你不会求导的函数竟然是一件异常困难的事情.例12
求极限解：多次使用洛必达法则，我们有
这道题，如果你使用洛必达法则的话，需要使用7次，而且求导运算异常复杂，由此可见，洛必达法则并不是万能的，甚至有的时候用洛必达法则会非常繁杂. "一花独放不是春", 这个时候，就需要我们活学活用，将各种求极限的方法综合考虑，从中选择较简单的一个来进行计算.事实上，这道题目是需要使用泰勒(Taylor )公式来进行计算的。关于泰勒公式，要讲的东西实在太多，我们今后将专门来讨论泰勒公式在求极限和其他问题中的应用。如果你想了解如何使用泰勒公式证明爱因斯坦质能方程，这是?另外五种求极限的方法，我们也放在下次一并讨论。最后，借用一段话结束今天的学习，并作为下一讲的引子，谢谢！我们不想把话说得太绝对，但至少可以说：凡是用一元微积分中的定理、技巧能解决的问题，其中的大部分都可以用Taylor公式来解决. 掌握了Taylor定理之后，回过头去再看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中，使你有一种‘会当凌绝顶，一览纵山小’的意境，从这个意义上来说，Taylor公式是一元微分学的顶峰并不过分.
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7月23日 21:18
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