高等数学：函数的连续性高等数学：函数的连续性不惧失败百家号不知道大家听没听过一首儿歌，叫做《蜗牛与黄鹂鸟》。你要知道蜗牛是“一步一步爬上去”的，无论我是以一年四季为单位还是以分秒为单位，它都是连续的向上爬的。为啥今天我要给大家提这么一首歌呢？原因就在于我要利用这个给大家聊聊函数的连续性。你想，我在说蜗牛连续向上爬的时候，提到一句话，就是我无论怎么放大研究它都是连续的。看图：无论我把时间怎么拉长，蜗牛的路线都是连续的，（我画成了指数函数是随手一画的，无论什么函数都是这样）。不要觉得我画的x和y的增量太大，记住导数有的时候要把它视作是一种放大图来理解。什么意思？就是你看上去很大，那是经过放大的，你可以认为它很小。接下来，我们尝试着给连续性下一个定义：就是有这么一个函数，我无论让它的横坐标怎么拉长，都是一条连续的线段，换句话说，就是x变化很小那么y也变化很小。大家知道，这么说还不够准确，那么究竟什么才是准确的呢？你应该理解吧，这个就是我刚刚说的那些的数学表达，对吧！先保证有定义，之后在保证x变化很小的时候，y的变化也不会大。再看第二个：不小心笔误了，应该为x→x0。虽然是两个定义，说的却是一回事。都是在强调x与y在一段很小的区间里变化都不会太大。第一个不用说了，第二个就是在f(x0)附近求极限看看它是怎么变化的，结果这个函数就是无限的向f(x0)靠拢，Δx越小（x距离x0越近），那么y也越接近f(x0)，当x=x0的时候，y=y0了。（你自己要画个图来琢磨，一味地看是不管用的）。最后一个其实就是用ε-Ν语言把这些话重新说一遍：话说到这，我们应该对函数连续的定义有一个准确的理解了。那你想想，函数的连续性与可导有没有什么联系呢？你想一下，连续只是在提函数连续不断，而导数呢？它说的是，我在这一点可以指引函数下一点怎么走。所以说，函数不连续，求导就无从谈起。那就是说可导的函数必定连续。可是连续的函数不一定就可导哦！因为有的函数它在某点不可导（例如y=|x|），还有的函数它有切线但是斜率不存在（与x轴相垂直）。今天就和大家说这么多了，谢谢大家！本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。不惧失败百家号最近更新：简介:没有失败，只有暂时停止成功作者最新文章相关文章登录网易通行证
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本集视频示范了x分量对散度公式的影响，通过画图进行矢量场分析，解释了P对x偏导的含义和变化趋势，帮助观者理解散度与矢量场特点之间的联系，为学习散度公式打下基础。
本集视频紧接上集对x分量的分析，示范了y方向上散度的计算，从而得到空间矢量场中某点的散度公式，强调了散度公式中分解矢量的概念和重要性，帮助观者理解并记忆散度公式。
本集视频示范了已知矢量场函数两个分量的前提下，计算矢量场散度的过程，复习了散度公式的含义和运算，帮助观者深入理解散度的概念，熟悉散度公式的运用。
本视频讲解了如何利用梯度算子∇来表示向量值函数的散度
本视频从液体流动的角度讲解了向量场二维旋度的基本概念
本视频以逆时针旋转的理想模型推导了二维旋度的计算公式
本视频讲解了一个向量场二维旋度的计算例题
本视频对之前讲解的二维旋度公式做了详细的补充说明
本视频讲解了如何用一条向量描述三维空间中球体的旋转
本视频属于三维旋度概念讲授系列之一
本视频属于三维旋度概念讲授系列之二
本视频为三维旋度计算公式课程之一
本视频为三维旋度计算公式课程之二
本视频讲解了一道三维旋度的计算例题
本视频简单介绍了拉普拉斯方程的概念
本视频讲解了抽象函数的拉普拉斯方程的推导过程以及几种表达形式
本视频以一个二元函数为例推导了其对应的拉普拉斯方程
本视频讲解了图像切平面的概念
本视频讲解了如何表示空间中的一个平面
本视频讲解了如何计算函数图像的切平面
本视频讲解了局部线性化的计算
本视频简单介绍了二次逼近的概念
本次视频属于抽象函数二次逼近函数表达式求算系列其一
本次视频属于抽象函数二次逼近函数表达式求算系列其二
本视频以一个具体函数为例讲解了二次逼近表达式的求算
本视频讲解了多元函数的二阶偏导数组成的方阵——黑塞矩阵
本视频讲解了二次型的概念以及如何以向量形式表示二次型
本视频讲解了如何将二次逼近表达式以向量的形式表示出来
本视频讲解了多元函数的最大值和最小值的概念
本视频讲解了多元函数鞍点的概念
本视频指明了仅凭二阶纯偏导数判断多元函数极值的局限性，是二阶偏导数检验法的先导课程
本视频讲解了二阶偏导数检验法是什么以及如何运用二阶偏导数检验法确定驻点的性质
本视频简单揭示了二阶偏导数检验法的原理
本视频以一个二元函数为例讲解了二阶偏导数检验法的具体应用
本视频承接上次课程继续讲解二阶偏导数检验法的具体应用
本视频讲解了如何从图像上判断函数未定义点的极限
本视频讲解了如何从图像上判断函数跳跃间断点的极限
本视频讲解了如何从图像上判断函数渐进线处的极限
本视频讲解了如何从图像上判断函数渐近线处的单侧极限
本视频讲解了由图像判定极限的两道例题
本集视频复习了极限值的概念和求解过程，示范了组合函数极限值的求解方法，即根据极限的特点和性质，将组合函数的极限按照函数极限的组合来处理，熟悉极限的基本运算。
本集视频示范了利用图像，求解复合函数的极限值，即根据极限的性质，先求解内侧函数的极限值，再求解极限值对应的外侧函数值，帮助观者理解极限的定义和求解步骤。
[第43课]一般函数连续性的实例
本集视频复习了连续性的定义和特点，帮助观者总结一个函数成为连续函数的条件，并结合常见函数，巩固了连续函数的特点和性质，结合图像快速解题。
本集视频示范了通过图像，研究平移过后指数函数和对数函数的连续性，帮助观者深入理解连续性的概念和特点，并巩固常见特殊函数的性质。
本集视频复习了极限和连续函数的定义，即对于连续函数来说，在某点处的极限值就等于在该点处的函数值，帮助观者总结并巩固极限部分的题型解答特点。
本集视频示范了在求解极限时可能遇到的分母为0的概念，补充了不定型的概念，为以后深入学习各种特殊极限打下基础，帮助观者深入理解计算极限的要领和注意事项。
本集视频示范了对于不定型的极限式，通过有理化的方式去掉根号，利用连续函数求解原函数的极限值的方法，帮助观者总结特殊极限的求解方法，提高解题能力。
本集视频示范了利用三角学中的恒等式进行代换，求解不定型极限值的过程与方法，示范了多种不定型的求解思路，帮助观者深入理解并总结特殊极限值的求解思路。
本集视频示范了用倍角公式求解不定型极限的过程，帮助观者巩固求解不定型极限的各种思路，在不同的情境中灵活选择适当的解题策略，熟悉常见运算，巩固基本公式。
本集视频分段函数求区间界限处函数极限值的过程与思路，帮助观者理解极限存在的含义及特点，即左极限等于右极限的条件，总结并巩固极限部分的特殊例题的运算。
本集视频复习了分段函数求极限的思路考量，帮助观者理解极限存在的充分必要条件，深刻感悟分段函数求极限的注意事项和求解步骤，熟悉此类题型的运算。
本集视频复习了分段函数求极限的思路考量，帮助观者理解极限存在的充分必要条件，深刻感悟分段函数求极限的注意事项和求解步骤，熟悉此类题型的运算。
本集视频借助图像，介绍了中值定理的含义、性质和直观理解，帮助观者复习连续函数的概念和特点，在此基础上理解并掌握中值定理的中心思想，为以后解题打下基础。
本集视频示范了利用中值定理的概念和特点，分析函数在闭区间上表现的过程与方法，帮助观者理清函数定义域与值域对分析中值定理中两个变量的影响，深入理解中值定理的含义。
本集视频示范了分析左右极限的方法，帮助观者理解极限存在的含义和特征，总结了解答分析极限类型的题目时需要考虑的方面、分析步骤和注意事项。
本集视频示范了求解单边极限的过程和注意事项，巩固了极限的定义和特点，同时通过正负性进行分析，给读者解题提供更快的方法，培养在不同情境中灵活解题的思维方式。
本集视频示范了包含余弦的无穷极限的求解过程，复习了极限的定义和单边极限求解过程，帮助观者深入理解此类题型的求解方法。
本集视频介绍了带根号的有理表达式极限的求法，帮助观者巩固极限的定义、特点和求解过程，总结此类题型的解答要领和注意事项。
本集视频复习了导数和曲线切线斜率、函数导数之间的对应关系，培养“数形结合”的思想，帮助观者进一步理解导数的定义和应用情境，结合函数分析图像，提高分析函数的能力。
本集视频示范了根据斜率定义，求解曲线割线斜率的过程，直接从斜率的定义式出发，帮助观者巩固了斜率与函数导数之间的关系，梳理所学知识点。
本集视频示范了利用多种方式确定切线方程，求解切线斜率的思路，即找到直线通过的点、求得y相对于x的变化率，复习了斜率、切线、导数等多个层面的相连概念的内容。
本集视频示范了已知割线两点的情况下，想要求解割线斜率，需要做的准备和理解，帮助观者深刻了解斜率的定义和应用情境。
本集视频示范了如何求解割线斜率的过程，复习了斜率的定义、计算公式和应用情境，培养“数形结合”的思想，帮助观者从直观上理解斜率的概念。
本集视频解释了函数的平均变化率、极限、导数之间的联系，即在某点处函数平均变化率的极限就是该处的函数导数，帮助观者理解极限、导数、变化率等多方面的概念和其中的联系。
本集视频示范了如何根据函数图像，判断函数极限、导数、切线斜率等概念之间的联系，帮助观者总结可微的概念和注意事项。
本集视频示范了如何检验函数在某点是否连续、是否可微的方法，帮助观者复习连续、可微的概念和定义式，巩固该类题型的解答套路，熟悉各种运算。
本集视频复习了连续、可微的概念和定义式，示范了在做连续性、可微性分析的时候需要进行的步骤和注意事项，帮助观者培养良好的解题习惯，理顺思路。
本集视频示范了导函数的第一条性质，那就是常数函数的导数是0，并从导数的定义式出发进行了证明，帮助观者从直观和本质上了解导函数的特殊性质。
本集视频继续了对导数性质的阐述，复习了导数的极限定义，帮助观者总结整理导函数的证明方法，为同类题型打下基础。
本集视频以两个求解线性表达式的错误解答为例，给观者示范了在求导时可能出现的各种问题，强调了正确的求导原则，为观者培养正确的求解思路和步骤。
本集视频示范了利用导数的各个性质，以及乘方定理等求解多项式导数的过程和方法，帮助观者熟悉各种求导的常用公式，巩固基础知识的掌握和应用能力。
本集视频介绍了如何求解多项式图像切线的方程，帮助观者梳理导函数、切线、切线斜率等概念之间的关系，示范了通过提炼已知条件求解切线方程的步骤。
本集视频示范了负指数幂多项式如何计算导函数的方法，帮助观者巩固乘方定理的内容和应用，掌握求导过程中常用的各种公式定理。
本集视频示范了分数指数幂的求导方法，复习了乘方定理的概念和应用情境，帮助观者理解在求导过程中需要注意的事项和可能出现的错误，巩固基本运算，提高解题正确率。
本集视频示范了如何利用乘方定理，求解包含根号的多项式导函数，巩固了乘方定理、指数定律等多个基本定理、性质的内容，帮助观者全面了解求导部分可能出现的各种函数类型，积累解题经验。
本集视频示范了如何求解包含正余弦函数和乘方的式子导数，复习了乘方定理、指数性质等等，总结了求导过程中常见的定理和基础知识，提高观者的解题能力。
本集视频解释了乘方定理的概念和性质，帮助观者总结和巩固求导部分的基础知识，通过实际例题，熟悉求导例题的各种基本步骤和公式。
本集视频示范了给出两个函数部分函数值和导函数值的基础上，求解乘积导函数的过程，帮助观者巩固乘积定理的概念、公式和应用情境，熟悉此类题型的解答思路。
本集视频示范了如何根据乘积定理，解答实际求导问题，帮助观者理解两个函数的乘积进行求导时需要注意的事项和可能出现的错误，熟悉基本运算，提高解题能力。
本集视频示范了在乘积定理的基础上，快速推导商法则并应用于求导过程的步骤，帮助观者了解商法则的概念和应用情境，熟悉不同函数类型需要使用的公式。
本集视频示范了如何利用商法则，求解两个有理表达式的商的导数，复习了乘方定理、乘积定理、商法则等等，帮助观者总结在求导过程中可能用到的基本性质定理和运算技巧。
本集视频示范了利用链式法则、乘积定理等求解正割、余割等三角函数导数的过程和方法，帮助观者总结并掌握求导过程中会用到的各种基本性质和公式。
本集视频示范了利用商法则等求导的基本性质，求解各种三角函数导数的过程，复习了各种三角函数的定义式和基本的求导运算。
本集视频示范了利用链式法则求解复合函数导数的过程和方法，总结求导过程中可能用到的各种基本性质和需要注意的事项，提高解题能力。
本集视频示范了如何利用链式法则，求解复合函数导数的步骤，即求解外侧函数对内侧函数的导数乘以内侧函数对x的导数，帮助观者总结求导过程中可能用到的各种重要法则。
本集视频示范了如何利用链式法则，通过代入已知数值，按步骤求解复合函数导函数的过程，帮助观者深入理解复合函数求导的特点和注意事项，积累解题经验。
本集视频引入了换底公式的概念和公式，帮助观者熟悉不同底对数之间的合作方法，帮助观者在求解各类函数的导数过程中，能够积累丰富的经验，快速找到问题的出路。
本集视频示范了如何结合乘方定理和链式法则，对复合函数求导的步骤和注意事项，复习了在求导过程中可能用到的各种重要定理和基础知识。
本集视频示范了利用链式法则、乘方定理等等，帮助观者总结在求导过程中可能用到的各种性质定理和需要注意的事项，积累解题经验。
本集视频示范了利用链式法则、乘积定理和隐函数微分等各种定理和基本性质，求复合函数导数的过程，示范了对于复杂隐函数如何求导，帮助观者分解题目要求，分步骤解答。
本集视频示范了非特殊对数函数分式表达式求导数的过程，帮助观者总结对数函数的性质和求导时需要注意的技巧和可能出现的错误，提高解题正确率。
本集视频解释了反函数的概念与特点，在此基础上介绍了对反函数的复合函数，如何求导的思路，帮助观者熟悉各种复合函数的求导技巧和注意事项，积累解题经验。
本集视频复习了反函数的定义和特点，示范了如何根据反函数的概念、链式法则等基本定理，求解复合函数的导数，帮助观者熟悉各种可能出现的题型，积累有效的解题思路。
本集视频示范了对数函数的复合函数求导时，如何利用链式法则和导数的各种性质，求导的过程，复习了链式法则的概念和应用情境，使观者对各种基本定理有一个全面的了解。
本集视频示范了如何利用链式法则，对指数函数的复合函数求导，复习了一般指数函数的导数公式，进一步熟悉利用链式法则求导的技巧和运算步骤，巩固基础知识。
本集视频示范了通过利用链式法则，求解复合三角函数的导数，帮助观者复习三角函数的导函数公式以及特殊角度的三角函数值，总结三角函数的求导特点。
本集视频示范了如何利用链式法则，求解含有根号的多项式的导数，帮助观者巩固指数函数的定义和特点，总结求导过程中可能遇到的各种函数的特点。
本集视频示范了求二次导数的过程和方法，即两次使用求导算子，帮助观者理解并熟练运用求导运算，积累解题经验，提高解题速度。
本集视频再次利用隐函数的概念，通过两次使用求导算子，示范了求关系式中某变量二次导数的方法，帮助观者总结求二次导数的要领。
本集视频示范了在二维空间内，对向量值函数，即向量的两个分量分别求对t的一次导数和二次导数的步骤，同时讲述了一次导数和二次导数可能代表的物理含义，帮助观者理解导数的概念。
本集视频介绍了如何求参数方程的二次导数，复习了求导运算的概念和特点，同时示范了参数方程的处理方法，帮助观者积累解答此类题型的经验和技巧。
本集视频介绍了局部/绝对极值的含义及其与导数的联系，帮助观者总结导数特点对应的函数性质，理解其与图像之间的对应关系。
本集视频帮助观者培养“数形结合”的思想，通过巩固导数正负性代表的含义，复习了临界点的判定、求解，导数与函数增减性的关系判定等方面的内容。
本集视频复习了导数正负性与函数增减性之间的关系，帮助观者结合函数图像，理解导数的定义和应用情境，提高分析函数图像的能力。
本集视频复习了一次导数的正负性与函数增减性之间的联系，详细介绍了如何判定导数正负性的过程和技巧，帮助观者积累解答该类题目的经验。
本集视频示范了如何用直线近似某点处非线性函数图像的过程，帮助观者理解切线、斜率、拟合等不同概念之间的联系，积累解题经验。
本集视频复习了位置函数、速度函数、加速度函数及一次导数、二次导数，函数凹凸性、增减性等一系列概念，示范了如何通过求解导数，确定函数的局部极值。
本集视频复习了拐点的定义，即函数二次导数正负性发生变化，或者凹凸性发生变化的点，帮助观者理解一次导数、二次导数所对应的不同含义，总结不同体型的解答方法。
本集视频解释了拐点的概念，示范了如何通过一次导数的图像，寻找函数的拐点，帮助观者总结一次导数的物理含义，理解基础概念。
本集视频再次巩固了一次导数、二次导数的物理含义，帮助观者理解位置、速度、加速函数之间的联系，为深入理解函数基础做铺垫。
本集视频示范了如何利用二次导数判断拐点的存在，复习了拐点的概念和一次导数、二次导数与之的联系，帮助观者培养数形结合的思想，理解重要概念。
本集视频介绍了二次导数检验的概念，阐释了二次导数正负性与函数图像凹凸性之间的联系，提供了判断局部极值是否存在及极值类型的方法，巩固数形结合的思想。
本集视频介绍了上凹和下凹的概念和对应的导数特性，巩固了一次导数、二次导数的性质及其对应的函数图像特点，强化了数形结合的思想，增强分析函数、解读图像的能力。
本集视频示范了隐函数对时间的求导，帮助观者理解隐函数的处理技巧和注意事项，复习了一次导数的物理含义，巩固基础知识。
本集视频给出了中值定理的一种表述，即闭区间上一点对应的切线斜率等于连接区间两端点的割线斜率，帮助观者全面理解中值定理的深刻含义，并用数学方式加以阐述和处理。
本集视频示范了如何利用隐函数求导，分解速度矢量，求解速度矢量大小的过程，帮助观者理解矢量的特点和求解技巧，充分利用已知条件，拆分已知量。
本集视频示范了利用指数运算的性质，将方根转换为指数幂，利用积分的乘方定理找到原函数求定积分的过程，帮助观者总结指数运算的性质和各种变体。
本集视频示范了如何找到正弦函数的原函数，并借助单位圆模型求定积分，帮助观者复习三角学部分重要的求导法则，积累求解积分的经验。
本集视频复习了积分乘方定理，示范了自然对数函数如何求定积分，巩固了对数运算的特征和性质，帮助观者总结所学知识，融会贯通，熟练解题。
本集视频示范了由积分定义一个函数，同时求解了某个函数值，巩固了数形结合的思想，帮助观者建立积分与函数图像之间的联系，加深对定积分的理解和认识。
本集视频复习了定积分与函数线下面积之间的关系，巩固了数形结合的思想，帮助观者建立空间想象能力，深刻理解定积分的概念、作用和应用情境。
本集视频介绍了积分的基本性质，即函数和差的积分等于函数积分的和差，帮助观者简化积分运算，总结并熟练掌握积分的各条基本性质，熟练解题。
本集视频示范了如何利用指数函数的性质特点，求解指数函数的积分常数，帮助观者复习总结求原函数进而求解积分的整个过程步骤，巩固指数函数的特征，夯实基础。
本集视频示范了利用乘方定理的逆定理，求解不定积分中积分常数的过程和技巧，提醒观者注意在已知导函数求原函数时，需要注意积分常数的存在，并通过已知条件去验证和求解积分常数。
本集视频示范了如何利用积分的基本性质，求解定积分的方法，如将被积函数的标量拿到积分号以外，被积函数在积分区间内的净线下面积等于积分值等等，帮助观者总结并巩固定积分部分的基本内容。
本集视频示范了如何利用定积分的基本性质，求解各种不同类型的定积分问题，如积分上下限相等、积分下限大于积分上限等情况，帮助观者积累解题经验，梳理重要的积分性质。
本集视频示范了如何利用乘方定理及乘方定理的逆定理，求解定积分的过程，帮助观者充分掌握各种定积分的求解技巧和情境，积累丰富的解题经验，提高解题速度。
本集视频示范了分段函数如何求定积分的过程，即按照函数定义将积分区间拆分为分段区间，再分段求解定积分的思路，帮助观者了解各种不同类型函数的定积分求解方式。
本集视频示范了包含绝对值号的函数如何求定积分，即将包含绝对值号的函数拆分为分段函数，利用分段函数求定积分的方法进行求解，帮助观者经所学知识融会贯通，总结各种求解定积分的方式。
本集视频以sinmt和cosmt（m是非零整数）在一个周期上定积分等于0为基础，证明了sinmt·cosnt在0到2π上定积分等于0的事实，由浅入深地介绍了三角函数在积分方面的性质特点。
本视频证明了函数sinmx和cosmx（其中m是非零整数）在一个周期上的定积分是0的事实，帮助观者整理三角函数的重要性质，为深入学习信号处理打下基础。
本视频示范了两个余弦函数相乘，在0到2π上求定积分的两种不同情况，帮助观者整理并总结求解傅里叶系数时需要的全部积分恒等式，巩固三角函数的基本性质和公式。
本集视频在总结正余弦定积分性质的基础上，介绍了傅里叶级数中余弦系数的求解，帮助观者体会傅里叶级数的求解方法。
本视频示范了对给定方波求傅里叶系数的过程，整理了求解a0、an、bn的过程和表达式，帮助观者总结和整理傅里叶系数的性质特点和常用求解步骤。
本视频示范了不同频率正弦函数乘积，在两者同频率和不同频率时，在0到2π区间上定积分的差异，帮助观者巩固三角函数的积化和差公式，夯实基础。
本集视频介绍了调和函数的概念和特点，帮助观者理解调和函数拉普拉斯方程的特性和应用，通过与单变量函数二次导数几何意义的对比，帮助观者理解多变量函数的特点。
本集视频复习了中值定理的概念和应用情境，通过多个例题的练习，巩固了中值定理的特性和多种理解角度，帮助观者夯实基础，熟悉此部分常见题型及其解答过程。
本视频以复平面为模型，复习了欧拉公式及其与复指数、正余弦函数的对应关系，补充了复指数大小的求解办法，在此基础上补充了复平面内任意复数的指数表达形式，帮助观者总结复数和复指数之间的联系。
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课 可汗学院
课程简介：微积分（一）课程包括：散度公式、二维旋度公式等，进一步学习微积分的知识。
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2016年 考研数学 高等数学 函数的连续性典型例题
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2016年 考研数学 高等数学 函数的连续性典型例题">2016年 考研数学 高等数学 函数的连续性典型例题
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