高中数学圆锥曲线――抛物线(基础)_百度文库
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高中数学圆锥曲线――抛物线(基础)
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圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程是轨迹的方程，也是的一种；圆锥曲线标准方程的和性质是把握圆锥曲线标准方程的两把。
圆锥曲线标准方程圆锥曲线类型
圆锥曲线标准方程标准方程
圆锥曲线标准方程圆
标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心(a,b),半径=r&0
：e=0(注意：圆的方程的离心率为0，离心率等于0的轨迹不是圆,而是一个点(c,0)
一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,圆心(-D/2,-E/2),半径r=(1/2)√(D^2+E^2-4F)
圆锥曲线标准方程椭圆
标准方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1(焦点在x轴上，a&b&0,在y轴上,b&a&0)
焦点：F1(-c,0),F2(c,0)(c^2=a^2-b^2)
：e=c/a,0&e&1
：x=±a^2/c
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0
两条焦半径与焦距所围三角形的面积:S=b^2*tan(α/2)(α为两焦半径夹角)
圆锥曲线标准方程双曲线
标准方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1(焦点在x轴上) -x^2/a^2+y^2/b^2=1(焦点在y轴上)
焦点：F1(-c,0),F2(c,0)(a,b&0,b^2=c^2-a^2)
：e=c/a,e&1
：x=±a^2/c
|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0
渐近线:x^2/a^2-y^2/b^2=0(焦点在x轴上) -x^2/a^2+y^2/b^2=0(焦点在y轴上)
或焦点在x轴：y=±(b/a)x.焦点在y轴：y=±(a/b)x.
两条焦半径与焦距所围成的三角形面积：S=b^2cot(α/2)(α为两焦半径夹角)
圆锥曲线标准方程抛物线
标准方程：y^2=2px ,x^2=2
焦点：F(p/2,0)
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
圆锥曲线标准方程定义
圆锥曲线标准方程第二定义
1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离）（这两个定点也称为椭圆的焦点，焦点之间的距离叫做焦距）； 2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点，该直线称为椭圆的准线）。 这两个定义是等价的准线和焦点的作用和意义是一样的，都是用来确定椭圆、、抛物线的形状以及位置的．
圆锥曲线标准方程统一定义
是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比 椭圆扁平程度的一种量度，定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值。离心率=(ra-rp)/(ra+rp)，ra指远点距离，rp指近点距离。圆的离心率=0椭圆的离心率：e=∈c/a(0,1)（c,；a,长半轴(椭圆)/实半轴() ）抛物线的离心率：=1双曲线的离心率：e=∈c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,长半轴(椭圆)/实半轴(双曲线) ）
圆锥曲线标准方程性质
一条直线x=a方/c
圆 ：x=X+rcosθ y=Y+rsinθ 圆心坐标（X,Y)
椭圆 参数方程：x=acosθ y=bsinθ a&b时焦点在x轴上，反之在 y轴上
参数方程：x=asecθ y=btanθ 焦点在平行x轴的直线上（就是x2∕a2-y2∕b2=1）
焦点在平行y轴的直线上（即y2∕a2-x2∕b2=1），把和交换
．人民教育出版社
．人民教育出版社
．人民教育出版社
．人民教育出版社
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抛物线线、：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。&：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。&：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。&：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。&：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。&：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。&：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的。&主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。&即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线。
发展历程/抛物线
Apollonius&所著的八册《圆锥曲线》(Conics)集其大成，可以说是古希腊解析几何学一个登峰造极的精擘之作。今日大家熟知的&ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是&Apollonius&所发明的。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。
解析几何/抛物线
抛物线的标准方程抛物线y2 =2px（p&0）（开口向右）；&&&y2 =-2px（p&0）（开口向左）；&&&x2 =2py（p&0）（开口向上）；&&&x2 =-2py（p&0）（开口向下）；&在抛物线y2 =4cx（c&0）中，&是F（c，0），准线l的方程是x&=&-&c；&在抛物线y2 =-4cx（c&0）&中，焦点是F（-c，0），准线l的方程是x&=&c；&在抛物线x2 =4cy（c&0）&中，&焦点是F（0，c），准线l的方程是y&=&-&c；&在抛物线x2 =-4cy（c&0）中，焦点是F（0，-c），准线l的方程是y&=&c； （c=焦点至顶点之距离的）依据基础定义的公式上任意点P(x,y)至准线ax&+&by&+&c之距离与P至焦点C(C1,C2)的距离恒等，故得：抛物线公式
解析式求法/抛物线
以焦点在X轴上为例知道P（x0，y0)令所求为y2=2px则有y02=2px0∴2p=y02/x0
∴抛物线为y2=(y02/x0)x
光学性质/抛物线
经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。
证明：设P（x0，y0），PT是抛物线在P处的切线，PH⊥PT，抛物线的方程为(a&0)，焦点F坐标为（0，）根据抛物线的定义知PF=y0+又抛物线导数为所以切线PN的斜率为2ax0，方程为y-y0=2ax0(x-x0)令x=0,得则FT=y0+所以PF=FT，∠FTP=∠FPT又∠FPT=∠MPN所以∠FTP=∠MPNMP平行于y轴
准线式方程/抛物线
焦点准线式（标准方程）焦点：F(m,n)准线：L：ax+by+c=0方程为：b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x-2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=0面积和弧长公式面积&Area=2ab/3弧长&Arc&length&ABC
=√(b^2+16a^2&)/2+b^2/8a&ln((4a+√(b^2+16a^2&))/b)若O(0,0),M(x,y)是抛物线y^2=2px上两点，抛物线的弧OM的弧长&弧长&L=(p/2)*{√[(2x/p)*(1+2x/p)]+ln[√(2x/p)+√(1+2x/p)]}
扩展公式/抛物线
抛物线抛物线：y&=&ax2&+&bx&+&c&（a≠0)就是y等于ax&的平方加上&bx再加上&ca&&&0时开口向上a&&&0时开口向下c&=&0时抛物线经过原点b&=&0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y&=&a（x-h）2&+&kh是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程：y2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)&准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y2=2px，y2=-2px，x2=2py，x2=-2py二次函数图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。&如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由平移得到的。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。a,b同号，对称轴在y轴左侧a,b异号，对称轴在y轴右侧二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）。二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图象向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；&因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-&b/2a&0,所以&b/2a要大于0，所以a、b要同号。当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-&b/2a&0,&所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0&），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。相关结论A（x1,y1)，B(x2,y2),A,B在抛物线y2=2px上，则有：①&x1x2&=&p?/4&,&y1y2&=&-p?&(要在直线过焦点时才能成立)；(当A,B在抛物线x?=2py上时，则有x1x2&=&-p?&,&y1y2&=&p?/4&,&要在直线过焦点时才能成立)②&焦点弦长：|AB|&=&x1+x2+P&=&2P/[(sinθ)2]；③&（1/|FA|）+（1/|FB|）=&2/P；④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；⑤焦半径：|FP|=x+p/2&（抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；⑥弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；⑦△=b2-4ac；⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项；⑨标准形式的抛物线在(x0，y0&)点的切线是：yy0=p(x+x0)（注:圆锥曲线切线方程中x?=x*x0&,&y?&=y*y0&,&x=(x+x0)/2&,&y=(y+y0)/2&)⑴△=b2-4ac&0有两个实数根；⑵△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；⑶△=b2-4ac&0没实数根。
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拓扑学分类树
或意译位相几何学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语“Τοπολογ?α”的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
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