《多项式插值法和拉格朗日插值》 www.wenku1.com
多项式插值法和拉格朗日插值日期：
教案一 多项式插值法和拉格朗日插值基本内容提要1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法 教学目的和要求1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程 教学重点1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想 教学难点1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计3 Aitken逐次线性插值法的计算过程 课程类型 新知识理论课 教学方法结合提问，以讲授法为主 教学过程问题引入实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。§2.1 多项式插值 2.1.1 基本概念假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。(2.1)把P(x)称为f(x)的插值多项式（函 通常把上述x0数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法。如果P(x)为m次多项式Pm(x)=a0xm+a1xm-1+Lam-1x+am,则称该插值法为多项式插值；如果P(x)为三角多项式，则称为三角插值；如果P(x)为分段多项式，则称为分段插值。画图说明插值法的几何意义。2.1.2 插值多项式的存在性与唯一性如果插值函数是如下m次的多项式：Pm(x)=a0xm+a1xm-1+Lam-1x+am,那么插值函数的构造就是要确定Pm(x)表达式中的m+1个系数a0,a1,L,am。由于插值条件包含n+1个独立等式，所以只要m=n，就可以证明这样的插值多项式是唯一存在的。实际上，由n+1个插值条件可得nn-1?a0x0+a1x0+Lan-1x0+an=y0?nn-1?a0x1+a1x1+Lan-1x1+an=y1? （2.2）M?nn-1??a0xn+a1xn+Lan-1xn+an=yn这是一个关于a0,a1,L,an的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应行列式是线性代数中著名的范德蒙（Vandermonde）行列式。该行列式的值 Vn(x0,x1,L,xn)=∏∏(xi-xj)i=1j=0ni因为i≠j时，xi≠xj，所以Vn(x0,x1,L,xn)≠0。从而满足插值条件的多项式唯一存在。§2.2 拉格朗日插值法 2.2.1 拉格朗日插值多项式的构造 利用节点直接构造如下多项式'πn(x)πn+1(x), = li(x)='+1'()πn+1(xi)(x-xi)πnxi+1其中， πn+1(x)=(x-x0)(x-x1)L(x-xn),π'n+1(x)=(x-x0)L(x-xi-1)(x-xi+1)L(x-xn). 容易验证该多项式具有性质：?0li(xj)=??1因此，n次多项式j≠ij=iLn(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+L+ln(x)yn=∑lk(x)ykk=0n一定具有性质Ln(xi)=∑lk(xi)yk=li(xi)yi=yi,i=0,1,L,n,k=0n即满足插值条件。根据插值多项式的惟一性知，Ln(x)即为所求。称Ln(x)为拉格朗日插值多项式，构成Ln(x)的li(x)(i=0,1,L,n)，称为拉格朗日插值基函数。实际上，拉格朗日插值多项式是n+1个基函数的线性组合，而组合系数是插值条件中的已知函数值。例 2.2.1 写出已知两个和三个插值节点条件的拉格朗日插值多项式。本例有两个目的，一是要说明拉格朗日插值多项式的构造过程，二是要从几何上说明拉格朗日插值基函数的基本性质。2.2.2 拉格朗日插值多项式的截断误差在区间[a,b]上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指 Rn(x)=f(x)-Ln(x) 通常称Rn(x)为拉格朗日插值余项。定理2.2.1 假设f(n)(x)在[a,b]上连续，f(n+1)(x)在(a,b)内存在。Ln(x)是满足插值条件（2.1）的拉格朗日插值多项式，则对任何x∈[a,b]，插值余项Rn(x)=f(x)-Ln(x)=1f(n+1)(ξ)πn+1(x) （2.3）(n+1)!其中ξ∈(a,b)依赖于x。 例2.2.3 写出线性插值和抛物线插值的余项。 解 根据定理2.2.1知，线性插值余项：1R(x)=f''(ξ)(x-x0)(x-x1) （2.4）2其中，ξ∈[x0,x1]。抛物线插值余项：1R2(x)f'''(ξ)(x-x0)(x-x1)(x-x2) （2.5）6其中，ξ∈[x0,x2]。 总结：公式（2.3）从理论上说明了运用插值法时必须注意下列问题： 1）如果f(x)本身是次数不超过n的多项式，那么满足n+1个插值条件的插值多项式就是它本身。这是因为f(n+1)(x)≡0,x∈[a,b],从而Rn(x)≡0。2）如果插值区间[a,b]很大，那么对给定的x,|πn+1(x)|的值一般会很大（因为这时许多因数都将大于1）。因此，误差Rn(x)可能很大。反过来，如果插值区间[a,b]很小，比如b-a一句话，小的区间上插值有利于减少误差。3）因为在很大的区间上插值，|πn+1(x)|的值可能会很大，所以，n→∞时，limRn(x)未必趋于零。换句话说，依靠增多插值节点不一定能减少误差。 4） 插值多项式一般仅用来估计插值区间内点的函数值（即内插）。用它来计算插值区间外点的函数值（即外插）时，误差可能会较大。2.2.3 截断误差的实用估计式提问：既然公式（2.3）估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？： 假设插值条件中包含n+2组数据（比一般实际情况下多一组） f(xi)=yi,i=0,1,L,n,n+1那么利用前n+1组数据我们可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。利用公式（2.3）知，它们各自的插值余项为1fn+1(ξ)(x-x0)(x-x1)L(x-xn),(n+1)! 1n+1*f(x)-L*x=fξ()()(x-x1)(x-x2)L(x-xn+1).n(n+1)!f(x)-Ln(x)=两式相减得：L*n(x)-Ln(x)≈并可写成1fn+1(ξ)(x-x1)L(x-xn)(xn+1-x0),(n+1)!L*(x)-Ln(x)1n+1（2.6） f(ξ)(x-x1)L(x-xn)≈n(n+1)!xn+1-x0注意到上式中利用了fn+1(ξ)≈fn+1(ξ*)。利用（2.6）可得：Ln(x)-L*n(x)Rn(x)=f(x)-Ln(x)≈(x-x0)x0-xn+1*Rn(x)=f(x)-L*n(x)≈L(x)-Ln(x)(x-xn+1).xn+1-x0*n（2.7）（2.7）式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式。它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。例2.2.5 已知f(0)=2,f(1)=3,f(2)=12.利用拉格朗日插值法计算未知函数y=f(x)在x=1.2078处的函数值f(1.2078)，并估计误差。课堂中利用本例说明：1）利用函数在某些点上的信息如何计算该函数在其他指定点上的值；2）利用截断误差的实用估计式估计插值误差的过程。§2.3 逐次线性插值法 2.3.1 逐次线性插值思想如果插值条件中包含n+2组数据：f(xi)=yi,i=0,1,L,n+1,那么利用前n+1组数据，可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x)；利用后n+1组数据，可以构造另一个拉格朗日插值多项式L*n(x)。它们的实用截断误差估计式为Ln(x)-L*n(x)Rn(x)=f(x)-Ln(x)≈(x-x0)x0-xn+1*Rn(x)=f(x)-L*n(x)≈L(x)-Ln(x)(x-xn+1).xn+1-x0*n（2.8）那么n+1次多项式L*(x)-Ln(x)Pn+1(x)=L(x)+n(x-xn+1)xn+1-x0*n应该是f(x)的更好的近似函数。上述的Pn+1(x)满足插值条件：Pn+1(xi)=yi,i=0,1,L,n,n+1.就是说，Pn+1(x)恰好是由已知n+2个插值节点确定的拉格朗日插值多项式Ln+1(x)。这意味着从任何n+1个插值节点构造n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，可以先选用合适的两个节点构造线性插值多项式，再利用线性插值多项式构造2次插值多项式，利用2次插值多项式又可以构造3次插值多项式，……，直到构造出n次插值多项式。当不关心最终插值多项式的表达式，而只需要利用插值方法计算未知函数或复杂函数的函数值时，这种思路方法特别有效，可以保证选用尽量少的节点，计算出满足给定精度要求的函数值。 2.3.2 艾特肯（Aitken）算法对未知函数或复杂函数f(x)，假设已知如下信息：f(xi)=yi,i=0,1,L,n.问题是利用以上信息计算f(x)在任何一点x=处的函数值f(，且误差不超过上限ε0。第一步：利用节点x0,x1构造线性插值多项式N0,1(x)，利用节点x0,x2构造另一个线性插值多项式N0,2(x)。计算N0,1()和N0,2(。利用实用误差估计式估计N0,1()的误差R0,1(=若R0,1(N0,1(-N0,2(x1-x2.f()≈N0,1()+R0,1( 否则记N0,1,2(=N0,1()+R0,1(), 转第二步。第二步：利用节点x0,x3构造线性插值多项式N0,3(x)，并计算N0,3()。与N0,1,2()的计算方式相同，利用N0,1()和N0,3()可计算N0,1,3(。利用N0,1,2()和N0,1,3(可计算N0,1,2,3(=N0,1,2()+N0,1,2(-N0,1,3()x2-x3.如果R0,1,2(=N0,1,2(-N0,1,3(x2-x3算法终止，且f(≈N0,1,2,3(). 否则转第三步。第三步：利用节点x0,x4构造线性插值多项式N0,4(x)，并计算N0,4(。与N0,1,2()的计算方式相同，利用N0,1(和N0,4(可计算N0,1,4(。与N0,1,2,3(的计算方式相同，利用N0,1,2(和N0,1,4()可计算N0,1,2,4()。最后利用N0,1,2,3(和N0,1,2,4()可计算N0,1,2,3,4(=N0,1,2,3(+如果N0,1,2,3(-N0,1,2,4()x3-x4 R0,1,2,3()=算法终止，且N0,1,2,3()-N0,1,2,4(x3-x4f()≈N0,1,2,3,4( 否则将上述步骤重复下去。课堂演示 例2.3.1，说明Aitken法的计算过程。课堂小结布置作业参考文献1. Burden R L, Faires J D.Numerical Ananlysis(Fourth Edition). Prindle, Boston, Weder and Schmidt,1989.2. Stoer J.,Bulirsch R.,Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, Springer- Verlag, NewYork, 1992.3. A. Ralston and P.Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis, Dover Publication, 2001.4. 邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001. 5. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003. 本文由(www.wenku1.com)首发，转载请保留网址和出处！
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中国科学院博士
主要从事遥感机理、定量反演、数据处理以及GIS应用研究。ArcGIS、Envi 、ERDAS、Ecognition软件、IDL语言、6S、SAIL
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历史上的今天
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blogTitle:'拉格朗日多项式逼近及其导数求解 或者拉格朗日插值多项式 IDL算法',
blogAbstract:'1.线性插值
也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式
P1(x) = ax + b
使它满足条件
P1 (x0) = y0 ，P1 (x1) = y1 （6.3）
其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。
由解析几何，过两点A、B的直线方程可写为：
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问题描述：
基本拉格朗日插值多项式 证明题Li（x）是基本拉格朗日插值多项式,节点x0,x1,...,xn 互异,证明：∑i=0到n[ Li（x）*（xi）^k]=x^k (k=0,1,2.n)
问题解答：
记f(x)=∑(i=0到n)[Li(x) * (xi)^k] - x^k, 则f(x)的次数至多为n次,同时f(xi)=0, i=0,1,...n, 即f(x)有n+1个不同的零点,由代数基本定理可得f(x)≡0,所以∑(i=0到n)[Li(x) * (xi)^k] = x^k.
我来回答：
剩余:2000字
构造函数 g(x)=f(x)-(f(1)-f(0))*x^2 ,对g(x)应用中值定理即可 实际上用柯西中值定理最快了,取g(x)=x^2
设F(x)=xf(x),则F（0）=0=F(1),且F'（x）=f'(x)x+f(x),故在（0,1）上必存在一点ξ使F'(ξ)=0,则F'(ξ)=f'(ξ)ξ+f(ξ)=0,则有f'(ξ)=-f(ξ)/ξ.
再问： 谢谢，我还找到了另一种简便的解法。设f(y)=y-x,则左侧是f(y)=y-x,的n阶拉格朗日多项式，令y=x，得证。 再答： 你这个证明是有问题的. 设f(y)=y-x是没有道理的. f(y)是可以求得出来的:
因为[ln(1加x)-ln(1加0)]/(x-0)等于[ln(1加x)]'/x'等于1/(1加x),所以ln(1加x)等于x/(1加x),所以要证明原不等式只须x/(1加x)0,x>-1,所以得证!
用拉格朗日我证明不出,但可以用其他方法设根号（y/x）=t要证(lny-lnx）/（y-x)
拉格朗日中值定理是微分相关的定理,本题中不牵涉到微分,只提到连续,并不明确是否可导.因此不能用拉格朗日中值定理看到连续,一般考虑介值定理（或其特殊情况：零值定理）证明：令g(x)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x)则g(x)亦在闭区间[a,b]上连续g(x1)=c1·f(x1)+c2·f(x2
看到f(ξ)+ ξf’(ξ)就应该想到这是xf(x)的导数形式啊[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)所以,构造F（x）=xf（x）F(b)-F(a)=bf(b)-af(a)验证左式,符合拉格朗日中值定理：[F(b)-F(a)]/(b-a)=F'(ξ)
设F(x)=(x-b)*f(x)因为f(x)在[a,b]上可导,所以F(x)在[a,b]上亦可导则F'(x)=f(x)+(x-b)*f'(x)F(a)=(a-b)*f(a)F(b)=0对F(x)在[a,b]上运用拉格朗日定理：存在ξ∈[a,b],使得F'(ξ)=[F(b)-F(a)]/(b-a)代入F(a),F(b)的
设f(x)=sinx,g(x)=x;[f(x)-f(y)]/[g(x)-g(y)]=f(ξ)的导数/g(ξ)的导数即：丨sinx-siny丨/丨x-y丨=丨cosξ丨≤1 即：丨sinx-siny丨≤丨x-y丨,x与y为任意实数
捞经验、走人
对第一个问题进行解答反证法n+1个点（设为(X1,Y1)(X2,Y2)……(Xn+1,Yn+1)）确定一个最高次为n的多项式假设可以确定两个多项式为P(X),Q(X)且P(X)不等于Q(X)令F(X)=P(X)-Q(X)有P(Xi)=Yi Q(Xi)=Yi 所以有F(Xi)=P(Xi)-Q(Xi)=0 即F(X)为多项
证：设这个n次多项式为p(x),他的n次拉格朗日差值多项式为q(x),令r(x)=p(x)-q(x)假设r(x)是不等于0的,因为p(x)和q(x)都是n次多项式,那么r(x)的次数也一定小于等于n次,所以r(x)最多只有n个零点.但是我们知道q(x)是p(x)的n次拉格朗日差值多项式,那么q(x)和p(x)在n+1个
大哥,我没看到你贴的题目.不过你要相信阅卷老师,只要证明逻辑严密,推理通顺,都是会得分的.拉格朗日中值定理和罗尔定理本身就是一脉相承的（拉格朗日中值定理的证明,靠的就是罗尔定理）.即便标准答案真的是靠罗尔定理证的,用拉格朗日中值定理证明也绝不是什么偏方.
（3）构造函数,利用拉格朗日定理证明&过程如下图：&
为什么一定用拉格朗日定理 这里可以用导数不就可以求解了么?而且拉格朗日中值定理只是说了ξ的存在性 并未对其数值做定量分析 这里不一定适用
根据拉格朗日中值定理,在区间[x,x+1]内存在一点x0,使得(lnx0)' = ln(x+1) - lnx即1/x0 = ln(1+1/x)0
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matlab中拉格朗日插值的多项式和系数怎么求？
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新手, 积分 5, 距离下一级还需 45 积分
看很多帖子都给出来用matlab实现拉格朗日插值的功能，但是只能求出对应插值点的值。
不是说拉格朗日多项式插值吗？那么这个多项式或者表达式怎么求啊？？？还有这个多项式对应的系数怎么求出来？？？谢谢各位了，很急很急，感谢大神们的回答！！！
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为了他人能尽快帮助你，我已经简单修改了你的帖子，希望你以后发帖时注意查看发帖帮助：
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math (博士、教授）Email: & &&&QQ:
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X = [1 2 3 4 5 6 7 8];
Y = [0 1 0 1 0 1 0 1];
[P,R,S] = lagrangepoly(X,Y);
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我现在也这个疑问，希望大家帮帮解决一下吧，楼上，说的不清楚啊！
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总过各种搜索各种学习，谷哥，度娘等等等等，我终于解决了。。。
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qiaoyet 发表于
总过各种搜索各种学习，谷哥，度娘等等等等，我终于解决了。。。
你好 能不能告诉我怎么解决的 我也找了好长时间，想得到函数关系而不是某个值
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