典型习题：二阶常系数非齐次线性微分方程求解_腾讯视频
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副标题要不要【图文】二阶常系数线性微分方程的解法_百度文库
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二阶常系数非齐次线性微分方程
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&&&二阶常系数线性非齐次微分方程的一些解法
二阶常系数线性非齐次微分方程的一些解法
Some Solutions to the Second Order Constant Coefficient Linear Nonhomogeneous Differential Equation
我们探讨了如何求二阶常系数线性齐次微分方程的解,利用通解的结构和自由项的形式来求解;利用通解公式来求解.
摘要： 我们探讨了如何求二阶常系数线性齐次微分方程的解,利用通解的结构和自由项的形式来求解;利用通解公式来求解.&&
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下载须知 | 常见问题汇总
二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
一、 fx?Pmxe?x型,二、fxelx[PlxcoswxPnxsinwx]型,12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,,首页,方程y???py??qy?fx称为二阶常系数非齐次线性微分方程? 其中p、q是常数? 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y?Yx与非齐次方程本身的一个特解y?y*x之和? y?Yx?y*x?,提示?,[Q??x?2??pQ?x??2?p??qQx]e?x?,?[Q??x2?Q?x?2Qx]e?xp[Q?x?Qx]e?xqQxe?x,一、 fx?Pmxe?x 型,y*?Qxe?x?,设方程y???py??qy?Pmxe?x 特解形式为,下页,Q??x?2??pQ?x??2?p??qQx?Pmx? ＊,则得,?[Qxe?x]???[Qxe?x]??q[Qxe?x],y*???py*??qy*,提示?,此时?2?p??q?0? 要使＊式成立? Qx应设为m次多项式? Qmx?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm?,1如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根? 则,y*?Qmxe?x?,下页,一、 fx?Pmxe?x 型,y*?Qxe?x?,设方程y???py??qy?Pmxe?x 特解形式为,Q??x?2??pQ?x??2?p??qQx?Pmx? ＊,则得,提示?,此时?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使＊式成立? Qx应设为m?1次多项式? Qx?xQmx? 其中Qmx?b0xm ?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm?,2如果?是特征方程r2?pr?q?0的单根, 则,y*?xQmxe?x?,下页,1如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根? 则,y*?Qmxe?x?,一、 fx?Pmxe?x 型,y*?Qxe?x?,设方程y???py??qy?Pmxe?x 特解形式为,Q??x?2??pQ?x??2?p??qQx?Pmx? ＊,则得,提示,此时?2?p??q?0? 2??p?0? 要使＊式成立? Qx应设为m?2次多项式? Qx?x2Qmx? 其中Qmx?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm?,3如果?是特征方程r2?pr?q?0的重根, 则,y*?x2Qmxe?x?,下页,2如果?是特征方程r2?pr?q?0的单根, 则,y*?xQmxe?x?,1如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根? 则,y*?Qmxe?x?,一、 fx?Pmxe?x 型,y*?Qxe?x?,设方程y???py??qy?Pmxe?x 特解形式为,Q??x?2??pQ?x??2?p??qQx?Pmx? ＊,则得,结论,二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?Pmxe?x 有形如 y*?xkQmxe?x 的特解? 其中Qmx是与Pmx同次的多项式? 而k按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2?,下页,提示?,因为fx?Pmxe?x?3x?1? ??0不是特征方程的根? 所以非齐次方程的特解应设为 y*?b0x?b1? 把它代入所给方程? 得,例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解?,解,齐次方程y???2y??3y?0的特征方程为r2?2r?3?0?,,[b0x?b1]???2[b0x?b1]??3[b0x?b1],??3b0x?2b0?3b1?,??2b0?3b0x?3b1,?3b0x?2b0?3b1?3x?1?,提示?,?3b0?3? ?2b0?3b1?1?,特解形式,例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?,解,齐次方程y???5y??6y?0的特征方程为r2?5r ?6?0?,其根为r1?2? r2?3?,提示?,齐次方程y???5y??6y?0的通解为Y?C1e2x?C2e3x ?,因为fx?Pmxe?x?xe2x? ??2是特征方程的单根? 所以非齐次方程的特解应设为 y*?xb0x?b1e2x? 把它代入所给方程? 得,?2b0x?2b0?b1?x?,提示?,?2b0?1? 2b0?b1?0?,,特解形式,首页,例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?,解,齐次方程y???5y??6y?0的特征方程为r2?5r ?6?0?,其根为r1?2? r2?3?,?2b0x?2b0?b1?x?,因此所给方程的通解为,因为fx?Pmxe?x?xe2x? ??2是特征方程的单根? 所以非齐次方程的特解应设为 y*?xb0x?b1e2x? 把它代入所给方程? 得,特解形式,二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?e?x[Plxcos?x?Pnxsin?x] 有形如 y*?xke?x[R1mxcos?x?R2mxsin?x] 的特解? 其中R1mx、R2mx是m次多项式? m?max{l? n}? 而k按??i?或??i?不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1?,二、fxelx[PlxcoswxPnxsinwx]型,下页,,结论,解,结束,特解形式,例3 求微分方程y???y?xcos2x的一个特解?,因为fx?e?x[Plxcos?x?Pnxsin?x]?xcos2x? ??i??2i不是特征方程的根? 所以所给方程的特解应设为,齐次方程y???y?0的特征方程为r2?1?0?,把它代入所给方程? 得,y*?ax?bcos2x?cx?dsin2x?,?3ax?3b?4ccos2x?3cx?4a?3dsin2x?xcos2x?,,,
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