请举例，有关可逆线性映射可逆

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请举例，有关可逆线性映射可逆

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-19 13:44 标签：子集n的对称集合s

线性映射的逆映射
对于从 mm 维线性空间 UU 到 nn 维线性空间 VV 的任意一个线性映射 f,f,
若存在从 VV 到 UU 的一个映射 g,g,
使得 f?g=In,g?f=Im,f?g=In,g?f=Im, 则称 gg 为 ff 的逆映射，记为 f-1f-1 。
逆映射的唯一性
若存在从 UU 到 VV 的两个线性映射 g,g′g,g′ 使得 f?g=In,g?f=Im,f?g=In,g?f=Im, 且 f?g′=In,g′?f=Im,f?g′=In,g′?f=Im, 则 g=g′g=g′ 。
g=g?In=g?(f?g′)=(g?f)?g′=Im?g′=g′g=g?In=g?(f?g′)=(g?f)?g′=Im?g′=g′
可逆的必要条件
若 ff 可逆，则 ff 是满射，即 ff 的值域 ranf=Vranf=V 。
对于任意一个向量 α∈V,α∈V, 存在向量 β=f-1(α)∈U,β=f-1(α)∈U, 使得
f(β)=f(f-1(α))=(f?f-1)(α)=αf(β)=f(f-1(α))=(f?f-1)(α)=α
若 ff 可逆，则 ff 是单射。
对于任意两个向量 α,β∈U,α,β∈U,
f(α)=f(β)=>f-1(f(α))=f-1(f(β))f(α)=f(β)=>f-1(f(α))=f-1(f(β))
=>(f-1?f)(α)=(f-1?f)(β)=>α=β=>(f-1?f)(α)=(f-1?f)(β)=>α=β
由1，2得，若 ff 可逆，则
ff 是一一映射。
由3得，可逆的线性映射是同构映射。
可逆的充分条件
若线性映射 ff 是一一映射，则 ff 可逆。
定义线性空间 VV 上的关系 g={(α,β):α∈V,β∈U∧f(β)=α},g={(α,β):α∈V,β∈U∧f(β)=α},
1. gg 是一个函数。
?α∈V,β∈U,(α,β)∈g∧(α,β′)∈g?α∈V,β∈U,(α,β)∈g∧(α,β′)∈g
=>f(β)=α∧f(β′)=α=>β=β′=>f(β)=α∧f(β′)=α=>β=β′
2. gg 的定义域是 VV 。
ff 是一一映射，因此 ?α∈V,?β∈U,?α∈V,?β∈U, 使得 α=f(β),α=f(β),
则 (α,β)∈g,(α,β)∈g, 因此 gg 的定义域是 VV 。
f?g=g?f=If?g=g?f=I 。
?α∈V,?α∈V, 令 β=g(α),β=g(α), 则 f(β)=α,f(β)=α, 因此 (f?g)(α)=f(g(α))=f(β)=α(f?g)(α)=f(g(α))=f(β)=α
?β∈U?β∈U 令 α=f(β),α=f(β), 则 g(α)=β,g(α)=β, 因此 (g?f)(β)=g(f(β))=g(α)=β(g?f)(β)=g(f(β))=g(α)=β
可逆的充要条件
ff
可逆的充要条件是： ff
是一一映射。
若线性映射可逆，则线性映射的逆映射也是线性映射。
即：对于从 UU 到 VV 的任意一个线性映射 f,f, 若 ff 可逆，
则它的逆映射 f-1f-1 也是线性映射。
f-1f-1 是 ff 的逆映射，因此 f?f-1=In,f-1?f=Imf?f-1=In,f-1?f=Im 。则
对于任意两个向量 α,β∈V,α,β∈V, 以及任意的 k∈Pk∈P ：
f-1(α+β)=f-1((f?f-1)(α)+(f?f-1)(β))f-1(α+β)=f-1((f?f-1)(α)+(f?f-1)(β))
=f-1(f(f-1(α))+f(f-1(β)))=f-1(f(f-1(α))+f(f-1(β)))
=f-1(f(f-1(α)+f-1(β)))=f-1(f(f-1(α)+f-1(β)))
=(f-1?f)(f-1(α)+f-1(β))=(f-1?f)(f-1(α)+f-1(β))
=f-1(α)+f-1(β)=f-1(α)+f-1(β)
f-1(kα)=f-1(k((f?f-1)(α)))f-1(kα)=f-1(k((f?f-1)(α)))
=f-1(kf(f-1(α)))=f-1(kf(f-1(α)))
=f-1(f(kf-1(α)))=f-1(f(kf-1(α)))
=(f-1?f)(kf-1(α))=(f-1?f)(kf-1(α))
=kf-1(α)=kf-1(α)
因此 f-1f-1 也是线性映射。
若 ff 可逆，则它的逆映射 f-1f-1 也可逆，且 (f-1)-1=f(f-1)-1=f 。
由定义可得
f?f-1=In,f-1?f=Imf?f-1=In,f-1?f=Im 。
用可逆线性变换将二次型f(X1,X2,X3)=X2^2-2X1X2+X2X3化为标准形
简单 f=x2*(x2-2x1+x3)=2x*(2x-2x+3x)=6x=x6 够单纯！“。”得证
可逆线性变换
线性变换的逆变换
对于线性空间 V& role=&presentation& style=&position:&&VVV 上的任意一个线性变换 f,& role=&present...
抽象代数学习笔记（11）群上的可逆变换
之前写对称群的时候提到过，任意非空集合 AA 上的所有可逆映射在映射合成下构成群。现在，我们把这种构成群的方式从集合推广到群上，也就是群 GG 上所有可逆变换在映射合成下构成的群 I(G)I(G) 。...
没有更多推荐了，基于多线性映射的秘密共享研究
秘密共享是诸多密码系统的核心基础协议,在网络环境下的安全通信中有着广泛的应用,其目标是将一个秘密在多个参与者间共享。信息率是衡量秘密共享效率至关重要的因素之一,而已有的秘密共享方案为实现可验证性、可公开验证性等安全需求,致使其信息率较为低下,严重制约秘密共享协议的应用效率。因此,对秘密共享效率优化问题的研究显得尤为必要。论文主要以多线性映射为工具,对秘密共享的可验证性、可公开验证性及其效率优化问题进行了研究,研究内容主要涉及基于多线性映射的可验证秘密共享、公开验证秘密共享、通用可组合安全的秘密共享,以及可公开验证秘密共享在数据存储上的应用。具体工作如下:(1)基于多线性映射的可验证秘密共享方案。利用多线性映射设计承诺方案,并基于此方案设计可验证秘密共享方案,利用多线性映射的多线性对性质,实现了方案的可验证性功能;最后,对方案的效率进行优化,从而提出了信息率渐进最优的可验证秘密共享方案的设计方法,并对方案作安全性和性能分析。(2)&
(本文共63页)
权威出处：
1引言秘密共享是一种分发、保存以及恢复秘密密钥(或其他秘密信息)的方法.首次提出秘密共享方案的是著名密码学家Shamir[1]和Blakley[2]分别基于拉格朗日插值多项式和射影几何理论提出的门限秘密共享方案,但该秘密共享方案中存在如下两个问题:(1)秘密分发者的诚实性:若分发者将错误的子秘密分发给部分或全部参与者,各参与者如何验证发送来的子秘密的真伪?(2)参与者的诚实性:在恢复秘密阶段,若某些恶意的参与者提供的是假的子秘密,那其他参与者如何鉴别?对这两个问题的研究,就形成了可验证的秘密共享方案(简记为VSS).首次提出VSS来验证子秘密的真伪性这种思想的是文献[3],而Feldman[4]的工作则使VSS方案引起了众多密码研究者的重视.然而,无论在Shamir等人的一般秘密共享方案中,还是在可验证秘密共享方案中,都需要假设秘密分发者和各参与者之间有秘密信道(private channel),以便分发子秘密,但文献[4]的研...&
(本文共6页)
权威出处：
内积空间的正交性是泛函分析的重要内容之一,是研究内积空间的重要工具.一般赋范空间几何性质的研究,在20世纪初得到了很大的发展,各种正交性概念被相继引入.文献[1]给出了R-正交的定义,文献[2]提出了B-正交的概念,文献[3]引入了新的正交定义:I-正交和P-正交.近年来,保持各种正交和近似保持各种正交映射的性质成为泛函方向的一个研究热点.文献[4-5]在有限维内积空间中给出了保正交和近似保正交映射的定义和性质,文献[6]在赋范空间中得到了保正交映射的刻画,文献[7]在Hil-bert空间中推广了文献[6]得到的结果,文献[8]在赋范空间中给出了保正交映射的一些性质,文献[9]在Hilbert空间中给出了(ε,δ)-近似保正交映射的定义和性质,文献[10]将文献[7]的结果推广到了准Hil-bert C*-模上,文献[11]在Hilbert空间中给出了映射是ε-近似保正交映射的一些充分条件,并得到ε-近似保正交映射的扰动定理,文...&
(本文共6页)
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引言在量子相关性的分析中,正线性映射的可分解性质对于量子映射的分析至关重要.对于线性映射:φ:Mm(C)→Mn(C),St?rmer和Woronowicz证明了m=n=2或m=2,n=3时每个正线性映射都是可分解的[1,2];Choi及Woronowicz分别在m=n=3及m=2,n=4的情况下给出了不可分解映射的例子[2,3];对于高阶情况至今未得到解决.本文针对特殊的高阶情况讨论一类正线性映射的可分解性,并给出了co-全正映射的一个充分必要条件,拓展了正线性映射可分解性的研究范围.1预备知识若A为C*-代数,记A+为A中所有正元构成的集合.对?n∈N,记Mn(A)为由A中的元素构成的n×n阶矩阵代数.特别地,Mn(C)为复矩阵代数.对?m,n∈N,有如下同构:Mm(Mn(C))?Mm(C)?Mn(C)?Mmn(C)[4].对?A=[Aij]mi,j=1∈Mm(Mn(C))其中Aij∈Mn(C)(i,j=1,…,m),定义A的...&
(本文共4页)
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1引言与结论1940年,Ulam在文献[1]中首先提出方程的稳定性问题,Hyers在文献[2]中给出了泛函方程稳定性问题的第一个结论,Rassias在文献[3]中推广了Hyers的定理。后来,人们把Rassias在文献[3]中给出的结论称为Hyers-Ulam-Rassias稳定性。近年来,关于泛函方程的稳定性得到了进一步的研究[4-6]。2005年,文献[7]中提出稳定性问题:设H和K是Hilbert空间,T:H→K是ε-保正交线性映射,是否存在保正交线性映射,Q:H→K,使得‖T-Q‖≤δ(ε)min{‖T‖,‖Q‖},且当ε→0时,有δ(ε)→0?文献[8]证明了,当H是有限维时结论成立,且问当H是无限维时,结论是否也成立?文献[9]给出了肯定的回答。文献[10]给出了映射T:H→K是保等腰正交线性映射的刻画,证明了T:H→K是保等腰正交线性映射圳T=‖T‖U,其中U是等距。对于ε-保等腰正交线性映射,提出同样的稳定性问题...&
(本文共3页)
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具有重点的分式线性映射杨福民（基础部）１９９７０４０４收到．作者：男，１９４７年９月生，上海市人，副教授，从事基础数学教学摘要本文讨论分式线性映射的重点（不变点），并给出了具有重点的分式线性映射的表示式及其应用．关键词分式线性映射重点分类号Ｏ１７４．５１分式线性映射ｗ＝ａｚ＋ｂｃｚ＋ｄ（ａｄ－ｂｃ≠０）在扩充的复平面上是一一对应的，且具有保园性和保对称的保角映射．在处理边界为园周，园弧、直线、直线段所围成的区域的映射时起着十分重要的作用．我们已经有了将上半平面Ｉｍ（Ｚ）＞０变为单位园｜ｗ｜＜１，及将单位园｜Ｚ｜＜１变为单位园｜ｗ｜＜１的分式线性映射的表示式．以下讨论具有重点的分式线性映射的表示式．１分式线性映射的重点定义设映射ｗ＝ｆ（ｚ），若ｚ＝α时，有ｆ（α）＝α称α为映射ｗ＝ｆ（ｚ）的重点（或称不变点）．分式线性映射的重点可以是扩充的复平面上的任意点（包括无穷远点）．一般分式线性映射至多具有两个重点，若重点个数大于两个时，映...&
(本文共4页)
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关于保零点的线性映射的可逆性袁桂芳（哈尔滨师专数学系）摘要本文给出了代数封闭域上保零点线性映射有非可逆的充分必要条件，进而论述了保零点线性映射非可逆与可逆之间的关系。关键词Ｚａｒｉｓｋｉ，拓朴，素多项式，保零点，线性映射保不变量问题的研究中，所涉及的映射不少是单射”””。非单射或非可逆的情形也有出现ｌ‘１１’ｌ。因此，何时出现非可逆‘情形，以及非可逆映射与可逆映射之间的关系（可逆性问题）的探讨很为必要．Ｗ．Ｃ．Ｗａｔｅｒｈｏｕｓｅｌ’ｌ研究了域上向量空间的保函数的线性映射的可逆性问题。而且不难发现这一结果可推广到保一般的映射不变量‘清形。但一般的不变量未必是映射（如保幂等矩阵），不过有时我们可以根据某些条件把问题转化为方程组的形式，从而把问题（如保幂等问题）归结为“保”方程组零点的问题。设Ｋ为城，ｖ为Ｋ上有限维向量空间，且人大，…，人为Ｖ的函数，即ｆ：＊－。匕卜１，２，…，ｍ。设Ｒ；为Ｊ的根，即Ｒ。叫ｘ。Ｖｌｆ（十人ｘ）一人川，...&
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