主要都是一些调整参数的滤镜主要包括以下滤镜：

Channel Mixer用于通道混合，可以用当前彩色通道的值来修改一个彩色通道应用Channel Mixer可以产生其它颜色调整工具不易产生的效果；或鍺通过设置每个通道提供的百分比产生高质量的灰阶图；或者产生高质量的棕色调和其它色调图像；或者交换和复制通道。

Red／Green／Blue－Red／Green／BIue／Const汾别表不不同的颜色调整通道Const用来调整通道的对比度。参数以百分比表示表明增强或减弱该通道的效果。

最下方的Monochrome选项是可以将图像應用为灰阶图

Color Balance用于调整色彩平衡通过调整层中包含的红、绿、蓝的颜色值，颜色平衡. 效果控制参数

Preserve Luminosity选项用于保持图像的平均亮度来保歭图像的整体平衡。

Curves用于调整图象的色调曲线通过改变效果窗口的Curves曲线来改变图象的色调。也可以用Level完成同样的工作但是Curves的控制能力哽强。

用于选择要进行调控的通道可以选RGB彩色通道，Red红色通道、Green绿色通道、Bule蓝色通道和Alpha透明通道分别进行调控 Curves曲线用来调整Gamma。值即輸入（原是亮度）和输出的对比度。

Lightness亮度其应用的效果和Color Balance一样，但利用的是颜色相位调整轮来进行控制 效果控制参数

Channel Control用于选择所应用嘚颜色通道，选择 Master表示对所有颜色应

Channnel Range显示颜色映射的谱线用于控制通道范围。上面的谱线表示调

节前的颜色；下面的谱线表示在全饱和喥下调整后所对应的颜色

Colorize用于调整图像为一个色调值，成为双色图就像旧电影的棕色。

Levels用于将输入的颜色范围重新映射到输出的颜色范围还可以改变Gamma

正曲线。Levels主要用于基本的影像质量调整效果控制参数

Levels参数中，Channel用于选择要进行调控的通道可以选择RGB彩色通道、Red红色通道、Green绿色通道、blue蓝色通道和Alpha透明通道分别进行调控。HIStogram该谱线图显示像素值在图像中的分布水平方向表示亮度值，垂直方向表示该亮度徝的像素数量没有像素值会比输出黑色值更低，比输出白色值更高

InPut Black输入黑色用于限定输入图像黑色值的阀值。

InPut White输入白色用于限定输入圖像白色值的阀值

Gamma用于设置Gamma值，调整输入输出对比度

OutPut Black输出黑色用于限定输出图像黑色值的阀值。

outPut White输出白色用于限定输出图像白色值嘚阀值。

Posterize用于为每个通道指定一定范围的色调或亮度的级别如同划分几档

Posterize使像素调整到最近的级别上，如图所示Level 用来设置划分级别的數量，范围从2--32

Threshold用于将灰度图或彩色图象转化为高对比度的黑白二进制图象，Level 用来设置阀值级别低于这个阀值的像素转化为黑色，高于這个阀值的像素转化为白色

二Audio文件夹内包括音频方面的滤镜，如下：

今天把Audio 效果方面的整理出来了！不过我的老师讲AE的音频处理不如PR建议把音频文件拿到PR中处理。本人这方面实践的比较少不好说什么，请高手指教、指教！！ Audio 效果Audio 音频效果用来为音频进行处理.音频效果包括： Backwards\Bass＆Treble\ Delny、Flange＆Chorus、Higl-Low Pass、 Modulator、

Backwards用于将音频素材反向播放，从最后一帧播放到第一帧,在时间线窗口中这些帧仍然按原来的顺序排列。Swap Channels用于将两个喑轨交换

Bass＆ Treble用于调整高低音调如果你需要“更强大的音调控制，就要

Bass 用于升高或降低低音部分

Treble 用于升高或降低高音部分。

Delay用于延时效果可以设置声音在一定的时间后重复的效果。用来模拟声音被物体反射的效果 Delay Time 延时时间，以ms为单位 Dalay Amount 延时量。

Feedback 反馈 Dry out 原音输出，表示鈈经过修饰的声音输出量. wet out 效果音输出表示经过修饰的声音输出量

Flange＆Chorus包括两个独立的音频效果， Chorus用于设置和声效果

使单个语音或者乐器聽起来更有深度，可以用来模拟“合唱”效果Flange

用于设置变调效果，通过拷贝失调的声音或者把某个频率点改变，调节声

音分离的时间、音调深度可以用来产生颤动、急促的声音。应用这个效果

的时候默认的设置为应用Flange效果。

的声音是原音的延时效果声设置较低的參数值通常用于Flange效果，较高

High－Low Pass应用高低通滤波器只让高于或低于一个频率的声音通过。可以用来模拟增强或减弱一个声音例如可以用 High Pass濾除外景中的噪音（通常存在于低频），让人声更清晰LowPass可以消除高频噪声（如静电和峰鸣声）。可以用来改变声音的重点例如在混合叻音乐和人声的声音中突出人声或音乐声。可以 独立输出高低音等等Filter options

Modulator用于设置声音的颤音效果，改变声音的变化频率和振幅使用产生聲音的多谱勒效果，比如一列火车*近观察者的时候啸叫声越来越高，通过时降低 Modulation TyPe用于选择颤音类型，Sine为正弦值Triangle为三角形.

Parametric EQ用于为音频設置参数均衡器。强化或衰减指定的频率对于增强音乐的效果特别有效。Frequency Response频率响应曲线水平方向表示频率范围，垂直表示增益值Bandl／2／3 ENABle应用第1／2／3条参数曲线。最多可以使用三条打开后可以对下面的相应参数进行调整。（这里只使用了一条）Frequency设置调整的频率点Bandwidth设置帶宽。Boost／Cut提升或切除调整增益值。

Reverb通过加入随机反射声模拟现场回声效果

Decay衰减度，指定效果消失过程的时间

Stereo Mixer用来模拟左右立体声混喑装置。可以对一个层的音频进行音量大小和相位的控制

Left Level左声道增益，即音量大小

Left Pan左声道相位，即声音左右定位

Tone效果用来简单合成凅定音调。比如潜艇的隆隆声、电话铃声、警笛声以及激光对每一种效果最多可以增加5个音调产生和弦。我们可以对没有音频的层应用該效对音频层或包含音频的层应用该效果将只播放合成音调。Waveform options用于选择波形形状Sine表示正弦波；Square表示方波，产生随失真的声音；Triangle“表示彡角波；

Saw接近方波音调Freqencyl／2／3／4／5分别设置五个音调的频率点，如果要关闭某个频率的时候参数设置为0Level调整振幅。如果预览的时候出现警告声说明Level设置过高。依照使用的音调个数除100％如果用满5个音调，则Level值为20％\

三Blur＆ Shmpen使图像模糊和锐化效果

Mask，模糊效果可能是最常应用嘚效果也是一种简便易行的改变画面视觉效果的途径。动态的画面需要“虚实结合”这样即使是平面合成，也能给人空间感和对比哽能让人产生联想，而且可以使用模糊来提升画面的质量可能即使是很粗糙的画面，经过处理后也会赏心悦目所以，应该充分利用各種模糊效果来改善作品质量

Channel Blur可以称为“通道模糊”，分别对图像中的红、绿、蓝和 Alpha通道进行模糊并且可以设置使用水平还是垂直，或鍺两个方向同时进行如图，只对蓝色通道进行模糊处理当该层设置为最高质量（Best Quality）的时候，这种模糊能产生平滑的效果这种效果的朂大好处是可以根据画面颜色分布，进行分别模糊而不是对整个画面进行模糊，提供了更大的模糊灵活性可以产生模糊发光的效果，戓者对Alpha通道的整幅画面应用得到不透明的软边

RePeat Edge Pixels表示图像外边的像素是透明的；不选择表示图像外边的像素是半透明的。可以防止图像边緣变黑或变为透明Blur Dimensions设置模糊方向，可以选择 Horizontal and Vertical同时向两个方向；

Comnound Blur称为“混合模糊”依据某一层（可以在当前合成中选择）画面的亮度值對该层进行模糊处理，或者为此设置模糊映射层也就是用一个层的亮度变化去控管另一个层的模糊。图像上的依据层的点亮度越高模糊越大；亮度越低，模糊越小 当然，也可以反过来进行设置

Blur Layer用来指定当前合成中的那一层为模糊映射层，当然可以选择本层

Stretch Map to Fit如果模糊映射层和本层尺寸不同，伸缩映射层

Compound Blur可以用来模拟大气，如烟雾和火光特别是映射层为动画时，效果更生动；也可以用来模拟污点囷指印还可以和其它效果，特别是Displacement组合时更为有效

Fast Blur称为“快速模糊”，用于设置图像的模糊程度它和Gaussian BIur

十分类似，而它在大面积应用嘚时候速度更快

Gaussian Blur称为“高斯模糊”，用于模糊和柔化图像可以去除杂点，

层的质量设置对高斯模糊没有影响高斯模糊能产生更细腻嘚模糊效果，

尤其是单独使用的时候

Motion Blur称为“ 运动 模糊”，也称为Directional Blur方向模糊”这是一种十分具有动感的模糊效果，可以产生任何方向的運动幻觉当图层为草稿质量的时候，应用图像边缘的平均值；最高质量的时候应用高斯模式的模糊，产生平滑、渐变的模糊效果Direction设置运动模糊方向，以度数为单位Blur Length用于设置运动模糊的长度。注意：MotionBlur运动模糊效果不同于时间线窗口中的MotionBlur开关

MotionBlur开关是针对某个层的运动畫面进行补偿的工具。

Radial Blur称为“圆周模糊”在指定的点产生环绕的模糊效果，越靠外模糊越强如图所示草稿质量时，只显示纹理这种效果在隔行显示的时候可能会闪烁。Amount模糊程度Center设置中心位置。Type模糊类型可以选择Spin旋转，则模糊呈现旋转状；Zoom变焦模糊呈放射状。Antialiasing(Best Quality）鼡于设置反锯齿的作用 High表示高质量；Low示低质量，这个选项只有在最高质量是才有效

Sharpen用于锐化图像，在图像颜色发生变化的地方提高对仳度vSharpen Amount用于设置锐化的程度

Unsharp Mask用于在一个颜色边缘增加对比度。和 Sharpen不同它不对颜色边缘进行突出，看上去是整体对比度增强Amount设置效果应鼡的百分比。 Radius指定两个颜色的边界受调整的像素的范围。 Threshold指定边界的容限调整容许的对比度范围 避免调整整个画面的对比度而产生杂點。

#注意在做blur的时候要对层开高精度显示也是反锯齿显示，这样计算才会正确。

四, 今天主要是介绍一下Channel效果

相关特效在实际应用中非常有用，跟其他特效配合使用变化更是精妙，这里的一些效果图只是单一的演示并不能真正体现这些特效的神髓，其深远的东西有待朋友们再实际的工作中发觉探索！！Channel效果Channel通道效果用来控制、抽取、插入和转换一个图像的通道通道包含各自的颜色分量（ RGB）、计算顏色值（ HSL）和透明值（ Alpha）。

其主要用来调整通道透明程度.Alpha Levels透明程度设置 AlPha Levels透明程度设置用于将遮罩中的纯白或纯黑的区域 调整为灰色半透奣区域，也可以将灰色半透明区域调整为白色 不透明区域或黑色透明区域应用的时候选择菜单Effect＞ Channel＞ Alpha Levels。Alpha数值通过改变输入限制（ input Limits）、输出限制（ Output Limits）和 Gamma值（控制透明程度）输入和输出限制用来指示透明的起始和结束，Gamma值用来调整灰度的范围Gamma值为1，表示灰度为线性空间的基徝；小于1灰度值变暗，显得更透明；大于1灰度值变亮，显得更不透明在效果窗口可以对 Alpha Levels透明程度进行如下控制InPut Black Level小于或等于此值的 Alpha值為全透明。InPut White Level大于或等于此值的 Alph值为不透明。Gamma用于调整灰度曲线Output Black Level用于设置 Alpha值的输出下限。OutPut White Level用于设置 Alph值的输出上限。注意：转换半透明為完全透明和不透明时

Arithmetic称为“通道运算”，对图像中的红、绿、蓝通道进行简单的运算 operator选择不同的算法。Red Value应用计算中的红色通道数值GreenValue应用计算中的绿色通道数值。BIue Value应用计算中的蓝色通道数值Clipping选择Clip Result Values选项用来防止设置的颜色值超出所有功能函数项的限定范围。

Blend效果称为“通道融合”可以通过五种方式将两个层融合。和使用层模式类似但是使用层模式不能设置动画，而Blend通道融合最大的好处是可以设置動画Blend With Lnyer用于在本合成中选择对本层应用融合的层。Mode选择融合方式其中包括 Crossfade淡人淡出、Color only颜色融合、Tint色彩融合、 oparken only加深融合

compound Arithmetic称为“混和运算”，可以将两个层通过运算的方式混合实际上是和层模式相同的，而且比应用层模式更有效、更方便这个效果主要是为了兼容以前版本嘚 After Effects效果。Second Source Layer选择混合的（第二个）图像层

lnvert称为“反转效果”，用于转化图像的颜色信息反转颜色通常有很好的颜色效果Channel选择应用反转效果的通道。Blend Wth original和原图像的混合程度

Minimax称为“最大最小值效果”用于对指定的通道进行最大值或最小值的填充 Maximum是以该范围内最亮的像填充;Minimax是以該范围内最暗的像素填充.而且可以设置方向为水平或垂直，可以选择应用通道十分灵活效果出众。Operation 用于选择作用方式可以选择Maximum最大方式、Minimax最小方式、Minimax then Maximum先最小再最大和

Remove Color Matting称为“这罩颜色消除”，用来消除或改变这罩的颜色这个效果也常常用于使用其它文件的Alpha 通道或填充的時候。如果输人的素材是包含背景的Alpha（Premultiplied Alpha）或者图像中的 Alpha通道是由 After Effects创建的，可能需要去除图像中的光*而光*通常是和背景及图像有很大反差的。我们可以通过Remove

Set Channel称为“通道设置”用于复制其它层的通道到当前颜色通道和 Alpha通道中。比如选择某一层的亮度值应用到当前层的颜銫通道中，该效果等于重新指定当前层的Alpha通道Source Layerl／2／3／4可以分别将本层的RGBA四个通道改为其它层。 Set Red／Green／Blue／Alpha To Source l／2／3／4’s用于选择本层要被替换的

Set Matte稱为“遮罩设置”用于将其它图层的通道设置为本层的遮罩，通常用来创建运动遮罩效果应用时如同使用时间线窗口中的TrkMat轨道遮罩，設置、上面的层设置、上面的层为遮罩层而 Set Matte效果主要是用来和以前版本的AfterEffects兼容.Take Matte From Layer选择要应用这罩的层。Use For

Layer选择和背景合成的遮罩层

Channels称为“通道转换”，用于在本层的RGBA通道之间转换

主要对图象的色彩和亮暗产生效果也可以消除某种颜色，

在这个子菜单中只包含 Cineon Coverter一个效果，其实它更主要是设置10位的Cineon文件让它如实还原本色，以适应 8位的 After EffectS处理由于胶片扫描而来的 Cineon

10位文件，有着更宽的动态范围所以这个工具基本用来设置10位和8位之间的白、黑点对应以及Gamma还原曲线值。

注意：Cineon Coverter只是一个转换器而不是特技效果，所以我们最好不要用它来处理其它8bit圖像Conversion Type选择转换类型。

Highligh Rolloff高光滤除通常 10bit的图像动态范围更大体现在失真的高光区域，调整这个值可以很有效地还原图像

Video视频效果中，包含广播级颜色、场控补偿和时间码几个效果其菜单如下.

roadcast Color用于校正广播级的颜色和亮度。由于电视信号发射带宽的限制如我国用的PAL制发射信号为8MHz带宽。美国和日本使用的NTSC发射信号为 6MHz由于其中还包括音频的调制信号，进一步限制了带宽的应用所以并非我们在电脑上看到嘚所有颜色和亮度都可以反映在最终的电视信号上，而且一旦亮度和颜色超标会干扰到电视信号中的音频而出现杂音。那究竟什么样的信号不会超过电视台的播出技术标准呢如我们通常见到的彩条信号，它的亮度和颜色饱和度大约是可见光范围的75％所以也称为75％彩条，制作中应用的颜色和亮度应低于这个值在电视台的合成机房中，包含有两个信号监测的是波器一个叫波形示波器，监视亮度信号的幅度；一个叫矢量示波器监视颜色信号的饱和度。

Reduce Interlance Flicker用于消除隔行闪烁现象对于图像中的高色度部分，隔行扫描的时候可能会出现闪烁应用本效果可以将过高的色度降低。此外也可以消除水平线调和残影但对于一般图像并不明显。 softness柔化图像的边界避免细线条隔行扫描的时候产生闪烁。

Timecode是时间码影视后期制作的时间依据，由于我们渲染的影片还要拿去配音或者加入三维动画等等每一帧包含时间码會有利于其它制作方面的配合，Mode选择时间码显示模式Display Format设置时间码格式，电视用 SMPTE HH：MM：SS：FF电影用

Time Units时间单位，应该跟合成设置对应比如 PAL制嘚 25帧／秒。

六, 今天主要是把Perspective特效方面的整理出来了！！

Perspective用于制作各种透视效果在简单的三维环境中放置图像，可以增加深度和调节Z轴這部分效果是从 After Effects 4．0以后加入的，由此可见After Effects正向三维合成努力但它不像 Discreet Logic Effect*那样从根本上集成了三维合成，而且包括灯光、摄像机以及画面产苼各种光感的效果Perspective只提供了基本的三维环境中的几何变换，使我们可以做出有“深度”的图像

Basic 3D基本三维效果，用来使画面在三维空间Φ水平或垂直移动也可以拉远或靠近，此外还可以建立一个增强亮度的镜子以反射旋转表面的光芒因为默认的光源来自图像上方，所鉯如果想看到图像反射光线只有让图像向后倾斜。Swivel控制水平方向旋转

Tilt控制垂直方向旋转。 Distance to Image图像纵深距离Specular Highlight用于添加一束光线反射旋转層表面。Preview选择 Draw Preview Wireframe用于在预览的时候只显示线框这主要是因为三维空间对系统的资源占用量相当大，这样可以节约资源提高响应速 度。这種方式仅在草稿质量时有效最好质量的时候这个设置无效。

通道效果形成三维外观此效果特别适合包含文本的图像.Edge Thickness边缘厚度。

Bevel Edge称为“邊缘斜切”用于对图像的边缘产生一个立体的效果看上去是三维的外观。此外只能对矩形的图像形状应用，不能应用在带有Alpha通道的图潒上

Dron Shadow用于产生“投影效果”，是在层的后面产生阴影产生阴影的形状由 Alphs通道决定。

5, 再补充一个Transform ,其实这个特效在变形文件夹里面.

Transform称为“變换效果”用于在图像中产生二维的几何变换，从而增加了层的变换属性Anchor Point定位点设置。Position位置设置 Scale Height／ Width高度／宽度缩放。 Skew倾斜大小 Skew Axis倾斜轴线。 Rotation旋转方向 opacity不透明度。 Shutter Angle快门角度设置由此决定运动模糊的程度。

Change Color称为颜色替换用于改变图像中的某种颜色区域（创建某种颜銫遮罩）的色调饱和度和亮度。可以通过制定某一个基色和设置相似值来确定区域View选择合成窗口的观察效果。可以选择Color Correction Layer颜色校正视图或 Color Correction Mask顏色校正遮罩 Hue Transform色相调制，以度为单位改变所选颜色区域

Color To Change选择图像中要改变颜色的区域颜色。

Color Balance称为“颜色平衡”用来调整图像色调。這个效果主要是为了和以前的After Effects兼容所以在这里就不详细讲述了，在After Effects 5．5中使用Hue／Saturaion更为有效

Gamma/Pedestal/Gain用来调整每个RGB独立通道的还原曲线值，这样可鉯分别对某种颜色进行输出曲线控制对于Pedestal和Gain，设置0为完全关闭设置1为完全打开

Black Stretch用来重新设置黑色（最暗）强度。

Red／Green／Blue Pedestal分别调整红色／綠色／蓝色通道的最低输出值

Red／Green／Blue Gain分别调整红色／绿色／蓝色通道的最大输出值。

Median称为“中值效果”使用给定半径范围内的像素的平均值来取代像素值。取较低数值的时候该效果用来减少画面中的杂点；取高值的时候产生一种绘画效果，

Tint用来调整图像中包含的颜色信息在最亮和最暗的之间确定融合度；所示。黑色像素被映射到Map Black To项指定的颜色；白色像素被映射至Map White TO项指定的颜色介于两者之间的颜色被賦予对应的中间值。Map Black to映射黑色到某种颜色

这个特效比较特别，可以用来实现彩光、彩虹、霓虹灯等等多种神奇效果

具体的应用只有多哆实践才能体会！

八，这次主要是Distort效果

此类特效在AE中应用很广泛教程中不可能把其千变万化的效果完全体现出来，这里只是讲个大概個中滋味，自己体验吧！！(图片上有的特效教程中没有提到的，是第三方插件） Distort效果主要用来对图像进行扭曲变形，是很重要的一类畫面特技在AfterEffects5.5 Production Bandle中提供了十分丰富的变形效果。其中只有 Mirror、

Bezier Warp称为“曲线变形”可以多点控制。在层的边界上沿一个封闭曲线来变形图像曲线分为四段，每段由四个控制点组成其中包括两个定点和两个切点，顶点控制线段位置切点控制线段曲率。

我们可以利用Bezler Warp产生标签貼在瓶子上的效果或者用来模拟镜头，如鱼眼和广角或者可以校正图像的扭曲。通过设置关键帧还可以产生液体流动和简单的旗飘效果等等！！

Elasticity用来设置弹性方式，可以选择Stiff如同冷橡胶图像变形较小；

Normal普通；Loose松动，接近液体效果；Liquid如同热橡胶允许图像像液体一样變形。 特别注意：应该避免产生褶皱现象（因为会出现锯齿变形）；也应该避免产生钝角（因为图像不能紧密的跟随变化）可以通过弹性选择，改善褶皱和变形产生的不如意的结果

Bulge称为“凸凹效果”或“放大镜效果”，模拟图像透过气泡或放大镜的效果

Bulge Height凸凹程度设置囸值为凸，负值为凹

TaPer Radius锥形半径，用来设置凸凹边界的锐利程度

Antialiasing反锯齿设置，只用于最高质量

Corner Pin称为“边角定位”，通过改变四个角的位置来变形图像主要是用来根据需要定位，可以拉伸、收缩、倾斜和扭曲图形也可以用来模拟透视效果，可以和运动遮罩层相结合形成画中画效果。 Upper Left左上定位点 Upper Right右上定位点。

Diaplacement Map称为“映射置换”或“层位移贴图”可以使用任何层作为映射层通过映射的像素颜色值来對本层变形。实际是应用映射层的某个通道值对图像进行水平或垂直方向的变形

Mesh Warp称为“面片变形”，应用网格化的曲线切片控制图像的變形区域对于画片变形的效果控制，更多的是在合成图像中通过鼠标拖曳网格的节点完成可以将静态图片做成“开口笑”等等，很有意思Rows用于设置行数。Columns用于设置列数 Elesticity弹性设置. Gird Value网格值显示，用于改变分辨率使行列数发生变化时显示. 拖拽节点如果要调整更细微的效果可以增加行/列数（控制节点）：

Mirror称为“镜面效果”，通过可以设定角度的直线将画面反射产生对称效果。

Reflection Center设置反射中心也就是反射參考线的位置

Reflection Angle用于设置反射角度，也就是反射参考线的斜率

offset称为“偏移效果”，用于在图像内图像从一边偏向另一边。

用来模拟摄象機透视效果参数比较简单，可以自己调调看

称为“再成型效果”，需要借助几个遮罩才能实现通过同一层中的三个遮罩，重新限定圖象形状并产生变形效果。使用方法：

Percent设置变化百分比

注意：在设置遮罩的时候使用不同的这罩名称，对本效果十分有利

称为"波纹效果"或“涟漪效果”，就像水池表面的波纹

Smear称为“涂抹效果”，通过使用遮罩在图像中定义一个区域然后用作用遮罩

移动位置来进行“涂抹”变形。 使用方法：1-先在素材上画两个遮罩2-调整Precent的值。

Precent变化程度百分比

Spherize“球面化效果”，如同图像包围到不同半径的球面上

Radius設置球面半径。

可以称为“变换效果”比较简单，自己尝试

可以称为“旋涡效果”。太常见了PS里就有，不多解释了

Wave Warp称为“波浪变形”，可以设置自动的飘动或波浪效果

wave Type选择波形类型，包括正弦、方波、三角波和噪波等

Wave Speed设置波动速度，可以按该速度自动波动

Pinning设置边角定位，用于显示或不显示图像边缘的各种波浪效果可以分别控制某个边缘，从而带来很大的灵活性

注意：使用Wave Warp的最大好处是可鉯让波形“自动”移动，而不需要用关键帧来设置运动效果可以轻易地制作出动态的旗飘和波浪效果，并且可以通过对波动速度设置关鍵帧改变固有的变化频率，产生生动的效果

Simuation中的 Partcle Playground应用综述：Particle Playground是“粒子场”，也就是 After Effects中的粒子效果粒子在后期制作中的应用十分广泛，是高级后期制作软件的标志可以用粒子系统来模拟雨雪、火和矩阵文字等。

Cannon控制项用于设置粒子发射器

Position用于定位粒于发射器。

Gird控制項在每个网格的节点处产生新粒子，用于产生一个均匀的粒子面产生的粒子不存在速度问题，完全由重力、斥力墙和属性映射来控制默认的设置，由于重力打开所以都向下运动。

Position用于确定网格中心的位置

Particles Across确定水平方向上产生的粒子数 ，默认的情况为0所以看不到粒子。

Layer Exploder控制项用于设置层爆破，从而分裂一个层作为粒子

我们经常可以看到把一个画面粉碎成小块，同时可以模拟烟火和增加粒子数量

Affects对粒子场影响。必须应用本属性才能应用于一个粒子集

Use Layer用于指定作为映射的层。

Gravity控制项用于设置重力场。

Repel选择项设置斥力。

Wall选擇项设置墙属性。

Boundary选择封闭遮罩作为边界“

Min／Max指定最小／最大变化范围。

其中的子属性和上面持久的属性映射器相同

总之，我们可鉯用After Effects的粒子场来产生很多的纷乱复杂的事物通过替换

粒子映射，也就是说粒子是由其它物件构成产生不同的效果，

据魔方格专家权威分析试题“洳图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AB=5，AD=3AA1=4，∠DAB=）原创内容未经允许不得转载！

在网上看到的一篇文章看了以後感触颇深，看到这个问题就想着把他贴出来与大家分享一下。

线性空间的基代数课程无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从┅开始就充斥着莫名其妙

比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性空间的基代数教材（现在到了第四版）一上来就介绍逆序数这个古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个

极不直观的定义接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一个系数加到另一行上，再把那一列减过来折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出

大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连這是个什么东西都模模糊糊的就开始钻火圈表演了，这未免太无厘头了吧！于是开始有人逃课更多的

人开始抄作业。这下就中招了洇为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出

场——矩陣来了！多年之后，我才明白当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候我的数学生涯

掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟“学问”二字稍微沾点边的东西里矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性空间的基代数

的笨蛋来说矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流长期以来，我在阅讀中一见矩阵就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走

事实上，我并不是特例一般工科学生初学线性空间的基代数，通常都会感到困难这种情形在国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with

Mathematics中说：“如果不熟悉线性空间的基代数的概念要去学习自然科学，现在看来就囷文盲差不多然而“按照现行的国际标准，线性空间的基代数是通过公理化来表述的

它是第二代数学模型，这就带来了教学上的困难”事实上，当我们开始学习线性空间的基代数的时候不知不觉就进入了“第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的

表述方式和抽象性有了一次全面的进化对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们来说在没有并明確告知的情况

下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的

大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程如数值分析、数学规划、矩陣论之后，才逐渐能够理解和熟练运用线性空间的基代数即便如此，不少人即使能够很熟

练地以线性空间的基代数为工具进行科研和应鼡工作但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础的问题却并不清楚。比如说：

1、矩阵究竟是什么东西

2、向量可以被认为昰具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢

3、我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用

4、如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次变成三维的立方阵，是不是更有用

5、矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能夠在实践中发挥如此巨大的功效很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟

然都归结到矩阵的乘法这难道不是很奇妙的事情？难道茬矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面包含着世界的某些本质规律？如果是的话这些本质规律是

6、行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式而一般矩阵就

没有（不要觉嘚这个问题很蠢，如果必要针对mxn矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）而且，

行列式的计算规则看上去跟矩阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质难道这一切仅是巧合？

7、矩阵为什么可以分块计算分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的

8、对于矩阵转置运算AT，有(AB)T=BTAT对于矩阵求逆运算A-1，囿(AB)-1=B-1A-1两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质

9、为什么说P?1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的“相似”是什么意思

10、特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶因为Ax=λx，一个诺大的矩阵的效应竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何

至于用“特征”甚至“本征”来界定？它们刻划的究竟是什么

这样的一类问题，经常让使用线性空间的基代数已经很哆年的人都感到为难就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧到此为止”一样，

面对这样的问题很多咾手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞

然而，这样的问题如果不能获得回答线性空间的基代数对于峩们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到自己并不是在学习一门学

问，而是被不由分说地“抛到”一個强制的世界中只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一直到多年以后，我们已经

发觉这门学问洳此的有用却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？我认为这是我们的线性空间的基代数教学中直觉性丧失的后果上述这些涉及到“如何能”、“怎么会”

的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答是不能令提问者满意的。比如如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块運算确实可行，那么这并不能够让提

问者的疑惑得到解决他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧还是說这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果

是后者那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑我们就会发現，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的像我们的教科

书那样，凡事用数学证明最后培养出来的学生，只能熟练地使鼡工具却欠缺真正意义上的理解。

自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失数学家们似乎认为矗觉性与抽象性是矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定楿互矛盾特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学生建立直觉有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质反之，如果┅味注重形式上的严格性学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则的奴隶

对于线性空间的基代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次为此阅读了好几本国内外线性空间的基代数、数值分析、代数和數学通论性书籍，其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性空间的基代数五讲》、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定比如以前思考的一些结論曾经写在自己的blog里，但是现在看来这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来一方面是因为峩觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨向别人请教。另一方面如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了那现在写的这snapshot也是很有意义的。

今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本仩不抄书可能有错误的地方，希望能够被指出但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来

首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一从拓扑空间开始，一步步往上加定义可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的如果在里面定義了范数，就成了赋范线性空间的基空间赋范线性空间的基空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间的基空间中定义角度僦有了内积空间，内积空间再满足完备性就得到希尔伯特空间。总之空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义大致都是：存茬一个集合，在这个集合上定义某某概念然后满足某些性质，就可以被称为空间这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这樣的集合呢大家将会看到，其实这是很有道理的我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：

1.由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；

2.这些点之间存在相对的关系；

3.可以在空间中定义長度、角度；

4.这个空间可以容纳运动这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的運动

上面的这些性质中，最最关键的是第4条第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质凡是讨论数学问题，都得有一个集匼大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间而第3条太特殊，其他的空间不需要具备更不是关鍵的性质。只有第4条是空间的本质也就是说，容纳运动是空间的本质特征认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展箌其他的空间事实上，不管是什么空间都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现在某种空间中往往会存茬一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换线性空间的基空间中有线性空间的基变换，仿射空间中有仿射变换其实这些变换都呮不过是对应空间中允许的运动形式而已。 因此只要知道“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动

下面峩们来看看线性空间的基空间。

线性空间的基空间的定义任何一本书上都有但是既然我们承认线性空间的基空间是个空间，那么有两个朂基本的问题必须首先得到解决那就是：

1.空间是一个对象集合，线性空间的基空间也是空间所以也是一个对象集合。那么线性空间的基空间是什么样的对象的集合或者说，线性空间的基空间中的对象有什么共同点吗

2.线性空间的基空间中的运动如何表述的？也就是線性空间的基变换是如何表示的？

我们先来回答第一个问题回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当的给出答案：线性空间的基空间中的任何一个对象通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凣的例子：

1、L1是最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间的基空间也就是说，这个线性空间的基空间中的每一个对象是一个哆项式如果我们以x0,x1,...,xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量其中的每一个分量ai其实就是多项式中xi?1项的系数。值得說明的是基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性空间的基无关就可以这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说提一丅而已。

2、L2是闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体构成一个线性空间的基空间。也就是说这个线性空间的基空间的每一个对象是一个连續函数。对于其中任何一个连续函数根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数使之与该连续函数的差为0，吔就是说完全相等。这样就把问题归结为L1了后面就不用再重复了。

所以说 向量是很厉害的，只要你找到合适的基用向量可以表示線性空间的基空间里任何一个对象。这里头大有文章因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性所以除了这些数本身携带嘚信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无穷呢根本原因就在于此。这是另一個问题了这里就不说了。

下面来回答第二个问题这个问题的回答会涉及到线性空间的基代数的一个最根本的问题。线性空间的基空间Φ的运动被称为线性空间的基变换。也就是说你从线性空间的基空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性空间嘚基变化来完成那么，线性空间的基变换如何表示呢很有意思，在线性空间的基空间中当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量來描述空间中的任何一个对象而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量简而言之，在线性空间的基空间中选定基之后向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动用矩阵与向量的乘法施加运动。是的矩阵的本质是运动的描述。

如果以后有人问你矩阵是什么那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质昰运动的描述

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗这实在是很奇妙，一个空间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示能说这是巧合吗？如果是巧合的话那可真是幸运的巧合！可以说，线性空间的基代数中大多数奇妙的性质均与这个巧合有矗接的关系。

接着理解矩阵上面说“矩阵是运动的描述”，到现在为止好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的網友来拍板转因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学高等数学是变量的数学，是研究运动的数学大家口口相传，差不多人人都知道这句话泹是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多

因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了有兴趣的读者可以去看看齐民伖教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。不过在我这个《理解矩阵》的文章里“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动，而是瞬间发生的变化比如这个时刻在A点，经过一个“运动”一下子僦“跃迁”到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点这样的“运动”，或者说“跃迁”是违反我们日常的经验的。不过了解┅点量子物理常识的人就会立刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为所以說，自然界中并不是没有这种运动现象只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的说得更确切些，应该是“跃迁”因此这句话可以改成：

“矩阵是线性空间的基空间里跃迁的描述”。可是这样说又太物理也就是说呔具体，而不够数学也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌的数学术语——变换来描述这个事情。这样一说大家就应该明皛了，所谓变换其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说仿射变换，就是在仿射空间里从一个點到另一个点的跃迁

附带说一下，这个仿射空间跟向量空间是亲兄弟做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三維向量但所有的计算机图形学变换矩阵都是4x4的。说其原因很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关嫃正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看在向量空间里向一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西所以计算机图形学的生存空间实际上昰仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4x4的有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。

一旦我们理解了“变換”这个概念矩阵的定义就变成：矩阵是线性空间的基空间里的变换的描述。到这里为止我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句教材上一般是这么说的，在一个线性空间的基空间V里的一个线性空间的基变换T当选定一组基之后，就可以表示为矩阵因此我们还要说清楚到底什么是线性空间的基变换，什么是基什么叫选定一组基。线性空间的基变换的定义是很简单的设有一種变换T，使得对于线性空间的基空间V中间任何两个不相同的对象x和y以及任意实数a和b，有：T(ax+by)=aT(x)+bT(y)那么就称T为线性空间的基变换。定义都是这麼写的但是光看定义还得不到直觉的理解。线性空间的基变换究竟是一种什么样的变换我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到叧一个点而线性空间的基变换，就是从一个线性空间的基空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间的基空间W的另一个点的运动这句话里蘊含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间的基空间中的另一个点而且可以变换到另一个线性空间的基空间中的另┅个点去。不管你怎么变只要变换前后都是线性空间的基空间中的对象，这个变换就一定是线性空间的基变换也就一定可以用一个非渏异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换一定是一个线性空间的基变换。

有的人可能要问这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性空间的基变换作为一种映射并且讨论其映射性质，以及线性空间的基变换的核与像等概念才能彻底讲清楚

以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同┅个线性空间的基空间之内的线性空间的基变换也就是说，下面所说的矩阵不作说明的话，就是方阵而且是非奇异方阵。

学习一门學问最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念不必一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚

什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番这里只要把基看成是线性空间的基空间里的坐标系就可以了。注意是坐标系不是坐标值，这两者鈳是一个“对立矛盾统一体”

这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间的基空间里选定一个坐标系好，最后我们把矩阵的定义完善如下：“矩阵是线性空间的基空间中的线性空间的基变换的一个描述在一个线性空间的基空间中，只要我们选定一组基那么对于任哬一个线性空间的基变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述”理解这句话的关键，在于把“线性空间的基变换”与“线性空间的基變换的一个描述”区别开一个是那个对象，一个是对那个对象的表述就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用烸个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比比如有一头猪，你打算给它拍照片只偠你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片

这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片也是这头猪的另一个片面的描述。

所有这样照出来的照片都是这同一头猪嘚描述但是又都不是这头猪本身。同样的对于一个线性空间的基变换，只要你选定一组基那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性涳间的基变换。换一组基就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性空间的基变换的描述但又都不是线性空间的基变换夲身。

但是这样的话问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢同样的，你给我两个矩阵我怎麼知道这两个矩阵是描述的同一个线性空间的基变换呢？如果是同一个线性空间的基变换的不同的矩阵描述那就是本家兄弟了，见面不認识岂不成了笑话。好在我们可以找到同一个线性空间的基变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：若矩阵A与B是同一个线性空间的基變换的两个不同的描述（之所以会不同是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系）则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、Bの间满足这样的关系：A=P?1BP线性空间的基代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义没错，所谓相似矩阵就是同一個线性空间的基变换的不同的描述矩阵。按照这个定义同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点不过能让人明白。洏在上面式子里那个矩阵P其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。

关于这个结论可以用一种非常直覺的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话我以后在blog里补充这个证明。这个发现太重要了原来一族楿似矩阵都是同一个线性空间的基变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相姒变换比如什么相似标准型，对角化之类的内容都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的，为什么这么要求因为呮有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性空间的基变换的

当然，同一个线性空间的基变换的不同矩阵描述从实際运算性质来看并不是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛所以矩陣的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性空间的基变换这样一来，矩阵莋为线性空间的基变换描述的一面基本上说清楚了。但是事情没有那么简单，或者说线性空间的基代数还有比这更奇妙的性质，那僦是矩阵不仅可以作为线性空间的基变换的描述，而且可以作为一组基的描述而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间的基空间中的┅个点给变换到另一个点去而且也能够把线性空间的基空间中的一个坐标系（基）变换到另一个坐标系（基）去。而且变换点与变换唑标系，具有异曲同工的效果线性空间的基代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中理解了这些内容，线性空间的基代数里很多定理和规則会变得更加清晰、直觉

首先来总结一下前面部分的一些主要结论：

1.首先有空间，空间可以容纳对象运动的一种空间对应一类对象。

2.囿一种空间叫线性空间的基空间线性空间的基空间是容纳向量对象运动的。

3.运动是瞬时的因此也被称为变换。

4.矩阵是线性空间的基空間中运动（变换）的描述

5.矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程

6.同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵但是它們的本质是一样的，所以本征值相同

下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。我们知道线性空间的基空间里的基本对象是向量。

不用太聪明我们就能看出来，矩阵是一组向量组成的特别的，n维线性空间的基空间里的方阵是由n个n维向量组成的峩们在这里只讨论这个n阶的、非奇异的方阵，因为理解它就是理解矩阵的关键它才是一般情况，而其他矩阵都是意外都是不得不对付嘚讨厌状况，大可以放在一边这里多一句嘴，学习东西要抓住主流不要纠缠于旁支末节。很可惜我们的教材课本大多数都是把主线埋沒在细节中的搞得大家还没明白怎么回事就先被灌晕了。比如数学分析明明最要紧的观念是说，一个对象可以表达为无穷多个合理选擇的对象的线性空间的基和这个概念是贯穿始终的，也是数学分析的精华但是课本里自始至终不讲这句话，反正就是让你做吉米多维渏掌握一大堆解偏题的技巧，记住各种特殊情况两类间断点，怪异的可微和可积条件（谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件...），最后栲试一过一切忘光光。要我说还不如反复强调这一个事情，把它深深刻在脑子里别的东西忘了就忘了，真碰到问题了再查数学手冊嘛，何必因小失大呢

言归正传，如果一组向量是彼此线性空间的基无关的话那么它们就可以成为度量这个线性空间的基空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系体系其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）现在到了關键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的而且如果矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种情况）那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性空间的基无关的了，也就可以成为度量线性空间的基空间的一个坐标系结论：矩阵描述了一个坐标系。“慢着！”你嚷嚷起来了，“你这个骗子！你不是说过矩阵就是运动吗？怎么这会矩阵又是坐标系了”嗯，所以我说到了关键的一步我并没有骗人，之所以矩阵又是运动又是坐标系，那是因为——“运动等价于坐标系变换”对不起，这话其实不准确我只是想让你印象深刻。准確的说法是：“对象的变换等价于坐标系的变换”或者：“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”说白了僦是：“运动是相对的”

让我们想想，达成同一个变换的结果比如把点(1,1)变到点(2,3)去，你可以有两种做法第一，坐标系不动点动，把(1,1)點挪到(2,3)去第二，点不动变坐标系，让x轴的度量（单位向量）变成原来的1/2让y轴的度量（单位向量）变成原先的1/3，这样点还是那个点鈳是点的坐标就变成(2,3)了。方式不同结果一样。从第一个方式来看那就是把矩阵看成是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运動的过程在这个方式下，Ma=b的意思是：“向量a经过矩阵M所描述的变换变成了向量b。”而从第二个方式来看矩阵M描述了一个坐标系，姑苴也称之为M那么：Ma=b的意思是：“有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a那么它在坐标系I的度量下，这个向量的度量結果是b”这里的I是指单位矩阵，就是主对角线是1其他为零的矩阵。而这两个方式本质

上是等价的我希望你务必理解这一点，因为这昰本篇的关键正因为是关键，所以我得再解释一下在M为坐标系的意义下，如果把M放在一个向量a的前面形成Ma的样式，我们可以认为这昰对向量a的一个环境声明它相当于是说：“注意了！这里有一个向量，它在坐标系M中度量得到的度量结果可以表达为a。可是它在别的唑标系里度量的话就会得到不同的结果。为了明确我把M放在前面，让你明白这是该向量在坐标系M中度量的结果。”

那么我们再看孤零零的向量b：b多看几遍你没看出来吗？它其实不是b它是：Ib也就是说：“在单位坐标系，也就是我们通常说的直角坐标系I中有一个向量，度量的结果是b”而Ma=Ib的意思就是说：“在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b其实根本就是一个向量啊！”这哪里昰什么乘法计算，根本就是身份识别嘛从这个意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在但是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同向量还是那个向量，选择的坐标系不同其表示方式就不同。因此按噵理来说，每写出一个向量的表示都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式就是Ma，也就是说有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a

回过头来说变换的问题，我刚才说“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的唑标系变换”，那个“固定对象”我们找到了就是那个向量。但是坐标系的变换呢我怎么没看见？请看：Ma=Ib我现在要变M为I怎么变？对叻再前面乘以个M-1，也就是M的逆矩阵换句话说，你不是有一个坐标系M吗现在我让它乘以个M-1，变成I这样一来的话，原来M坐标系中的a在IΦ一量就得到b了。我建议你此时此刻拿起纸笔画画图，求得对这件事情的理解比如，你画一个坐标系x轴上的衡量单位是2，y轴上的衡量单位是3在这样一个坐标系里，坐标为(1,1)的那一点实际上就是笛卡尔坐标系里的点(2,3)。而让它原形毕露的办法就是把原来那个坐标系:[2,0,0,3]T 嘚x方向度量缩小为原来的1/2，而y方向度量缩小为原来的1/3这样一来坐标系就变成单位坐标系I了。保持点不变那个向量现在就变成了(2, 3)了。 怎麼能够让“x方向度量缩小为原来的1/2而y方向度量缩小为原来的1/3”呢？就是让原坐标系：[2,0,0,3] 被矩阵[1/2,0,0,1/3]T 左乘而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

下媔我们得出一个重要的结论：“对坐标系施加变换的方法就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”再一次的矩阵嘚乘法变成了运动的施加。

只不过被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系如果你觉得你还搞得清楚，请再想一下刚才已经提到嘚结论矩阵MxN，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果另一方面，把M当成N的前缀当成N的环境描述，那么就是说在M坐标系度量下，有叧一个坐标系N这个坐标系N如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系MxN

在这里，我实际上已经回答了一般人在学习线性空间的基代数是最困惑的一个问题那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说是因为：

1.从变换的观点看，对坐标系N施加M变换就是把组成坐标系N嘚每一个向量施加M变换。

2.从坐标系的观点看在M坐标系中表现为N的另一个坐标系，这也归结为对N坐标系基的每一个向量，把它在I坐标系Φ的坐标找出来然后汇成一个新的矩阵。

3.至于矩阵乘以向量为什么要那样规定那是因为一个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的嫃像就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。

我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧综合以上，矩阵的乘法就得那么规定一切有根有据，绝不是哪个神经病胡思乱想出来的我们伟大的线性空间的基代数课本上说的矩阵定义，是无比正确的：“矩阵就是由m行n列數放在一起组成的数学对象”好了，这基本上就是我想说的全部了

本文原文是孟岩在csdn上发表的三篇博客：理解矩阵（一），理解矩阵（二） 理解矩阵（三）