关于极限思想及其解法的探讨引言在现实世界中，一切事物都发生变化，并遵循量变到质变的规律。凡是研究 量的大小，量的变化，量与量之间关系以及这些关系的变化，就少不了数学。同 样，一切实在的物皆有形，客观世界存在有各种不同的空间形式。因此，宇宙之 大，粒子之微，光速之快，世事之繁，??，无处不用数学。数学主要是研究现 实世界中数量关系与空间形式。 数学不但研究数量关系与空间形式，还研究现实世界中的任何关系和形式。 因此，数学的研究对象是抽象的关系和形式。也可以说，数学研究的是各种抽象 的“数”和“形”的模式结构。数学和几乎所有的人类活动都有关。 恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然，就必须掌握数学。” 培根说：“数学是打开科学大门的钥匙。” 德国大数学家高斯说：“数学是科学的皇后，??她常常屈尊去为天文和其 他自然科学效劳，但在所有关系中，她都堪称第一。” 当今世界没有哪一门领域能抵御得住数学的渗透， 数学的渗透力不仅具有广 度，而且具有深度。联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出：“目前科学 研究工作的特点之一是各门学科的数学化。”数学论著浩如烟海，“数学大树” 枝繁叶茂，荫及各个领域。 如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支 是树枝，而树干就是“高等分析、高等代数、高等几何”。这个粗浅的比喻，形 象地说明了这“三高”在数学中的地位和作用， 而微积分学在“三高”中又有更 特殊的地位。 微积分的创立，与其说是数学史是上，不如说是科学史上的一件大事。正如 当代著名数学家柯朗所说：“微积分学，或者数学分析，是人类思维的伟大成果 之一， 它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有 效的工具??。 这门学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶；这种奋斗已经历了 2500 多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己、 认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。”时至今日，微积分对许多 工程技术的重要性就像望远镜之天文学，显微镜之于生物学一样。一方面，微积 分是学好其他理工课程的基础，也是学好专业课的工具；另一方面，由于微积分第 1 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨是数学的基础，对于现代数学的重要性也是不言而喻的。 微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础，也是最主要的推 理方法。 正确理解极限思想的本质， 是学好微积分的基础， 才能真正学好微积分、 真正理解微积分的思想。 极限概念的起源可追朔到 2500 年前的古希腊,那时的希腊人在计算一些由 曲线围成的平面图形的面积时,实际上就采用了极限的办法，这种利用多边形的 面积来逼近曲边形面积的极限方法是人类文明的伟大创造； 将极限方法应用于计 算曲边形的面积,以及后来用于计算变速运动的路程等问题,导致产生了微积分 的一个重要分支:积分学。 作为数学中最基本的概念之一， 极限是用以描述变量在一定的变化过程中的 终极状态。高等数学中几乎所有其他概念，诸如：连续、导数、定积分、级数收 敛性、多元函数偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分等，都直接通过极限得以 严密化。没有极限的概念就没有高等数学的严密结构。极限理论、极限思想方法 是微积分学产生、建立、发展的基础；极限是沟通常量与变量、有限与无限，即 从初等数学过渡到高等数学的桥梁， 它是自始至终贯穿于微积分学之中的最重要 的推理工具。了解极限思想的形成过程，理解极限概念，掌握极限方法，对于学 好微积分及整个高等数学都起着极其关键的作用。 极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言，对极限的有关 概念与方法进行思考，有助于其他内容的学习。因此，本文在极限理论体系的基 础上，将会对极限的思想、方法、理论和公式进行较为系统的分析和论述，并且 对求极限的多种方法系统的进行归纳和总结，进而使我们对极限理解进一步加 深，以便形成良好的数学思维品味。极限思想早期萌芽极限思想可以追述到古代。公元263年刘微在《九章算术》方田章“圆田术” 注中， 提出割圆术的要旨——用圆内接正多边形逐步逼近圆。 他指出 “割之弥细， 所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失” 。在古希腊，诡辩 学派的代表人安提丰（约BC480—BC411）为解决“画圆为方”问题是首创了“穷 竭法” 。这些都是极限思想的生动描述，而且这些都是朴素的、典型的极限的原第 2 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨始概念。 但当时还没有建立起极限的概念，这只不过是人们不自觉地应用极限思 想罢了。最有代表性体现极限思想的还有我国庄周所著的《庄子》一书中“天下 篇”中，记有“一尺之椎,日取其半,万世不竭”。 自古希腊时期以后， 哲学家和数学家对极限思想都着意探讨，但它的看来是 矛盾的性质使得对它的理解进展十分缓慢。 伊利亚学派的芝诺注意到由于对无限 的理解而产生的矛盾，提出了四个著名的悖论，他揭示的矛盾是深刻而复杂的。 根据亚里士多德的《物理学》记载，这四个悖论如下： 两分法：运动不存在，因为位移事物到达目的地之前必先抵达一半处；在抵 达一半处之前必先抵达四分之一处??，依次类推可至无穷。 阿基里斯： 阿基里斯永远追不上一只乌龟，因为若乌龟的起跑点领先一段距 离， 阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过了一 段距离，如此直至无穷。 飞箭： 飞着的箭是静止的， 因为任何事物当它是在一个和自己大小相同的空 间里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程的每一“瞬间”都是如此。 运动场：空间和时间不能由不可分割的单元组成。假设不然，运动场跑道上 三个排队列 A、B、C，令 C 往右移动，A 往左移动，其速度相对于 B 而言是每瞬 间移动一个点。这样一来，A 上的点就在每瞬间离开 C 两个点的距离，因而必存 在一更小的时间单元。 芝诺悖论的前两个， 是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可 分无限小量。 前两个悖论以人们对无限理解的困难批驳直线的无限可分性，进而 巧妙地证明了运动的不可能这一明显不符合客观事实的结论。 这些悖论一方面使 极限概念遭遇了很大的困难， 因为要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等 抽象概念，当时的希腊数学家不可能给予清晰的解答。另一方面，芝诺悖论引起 了人们的兴趣和注意， 加深了人们对运动和无限概念的理解，并成为希腊数学追 求逻辑精确性的强力激素。 起源于安提丰的穷竭法， 在欧多克斯那里得到了补充和完善。它用于计算平 面图形的面积和物体的体积。 欧多克斯把涉及无穷小的问题转化为形式逻辑的问 题， 使得这个方法能被希腊人普遍接受。后来的阿基米德为求出一条曲线所包任 意图形的面积， 曾借助穷竭法。 他们由于熟练地应用了这个方法而获得许多正确第 3 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨的结果。但穷竭法缺陷仍然很大，主要是：一、解决每个问题都要煞费苦心地设 计一种巧妙的方法，这就带来了困难；二、所得的只是其面积或体积等于某一较 简单的图形的面积或体积，而后者的值仍需要解决。 穷竭法本身笨拙不便，使后来一直未被利用，直到 16 世纪才又重新引起重 视。 荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊的穷竭法，他借 助几何直观，大胆运用极限思想思考问题，放弃了归缪法步骤，如此，他在无意 中指出了“把极限方法发展成为一个实用概念的方向” 。酝酿时期极限思想的进一步发展与微积分的建立紧密联系。16 世纪的欧洲处于资本 主义萌芽时期，生产力得到了极大的发展。自然科学的一般形式和天文、力学等 领域在发展过程中产生大量的问题，这些问题只用初等数学的方法已无法解决， 要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供用于描述和研究运动、变化过程的 新的数学工具，这是促进极限发展、微积分建立的社会背景。归结起来，大约有 四种主要类型的问题： (1)如何确定非匀速运动物体的速度与加速度及瞬时变化率问题。 (2)求任意曲线的切线问题。 (3)确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极 大值、极小值问题。 (4)行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计 算等。 17世纪上半叶， 几乎所有的科学大师都致力于寻求解决上述问题的新的数学 工具,有代表性的成果有以下几个方面: 开普勒与旋转体体积 德国天文学家、数学家开普勒(1571 - 1630)在1615年发表的《测量酒桶的 新立体几何》一书中曾引入无穷大与无穷小的概念，来代替繁琐的穷竭法。他采 用 “用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积” 例如, 。 他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和,这些圆锥的顶点在球心,底面则是 球的一部分； 他又把圆锥面看作极薄的圆盘之和,并由此计算出它的体积,然后得1 出球体体积为:球的半径乘以球面面积的三分之一( V ? R ? 4? R 2 ? ) 。 开普勒的 3第 4 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨方法虽然可以求出球的体积， 但他的方法中缺少关于极限的明确的概念，也缺少 有效的求和方法。然而，尽管有这些缺点，开普勒的方法仍然开辟了一个广阔的 新思路。 卡瓦列里不可分量原理 意大利数学家卡瓦列里(1598 - 1647)在《用新方法促进的连续不可分量的 几何学》 中发展了系统的不可分量方法: “两个等高的立体,如果它们的平行于底 面且离开底面有相等距离的截面面积之比为定值,那么这两个立体的体积之间也 有同样的比” (当比为1:1时,就是祖原理,只不过相差1000多年),并于1639年利用 平面上不可分量原理建立了等价于积分 ? x n dx ?0 aa n?1 的基本结果,使早期积分突 n ?1破体积计算的现实原型而向一般算法过渡。 尽管卡瓦列里利用不可分量原理得出 了正确的结果，但它仍有缺点。虽然如此，这本论著的发表还是鼓舞了许多数学 家， 使他们能以比较客观的态度对待无穷小量的概念，并使数学家开始以更抽象 的方式来研究无穷小量问题。 沃利斯“无穷算术” 英国数学家沃利斯(1616 - 1703)是牛顿和莱布尼茨之前将分析方法引入微 积分贡献最大的数学家,他在《无穷算术》一书中采用了无穷小量学说并用“分 析” 的途径发展积分法,获得许多重要成果。 比如将幂函数积分公式 ? x n dx ?0? p? ? ? ?1aa n?1 n ?1a? q ? q ? a 推及到分数幂 ? x dx ? p?q ? p? 0 ? q ? ?1 ? ?ap q? p?q?q,不过沃利斯仅对 q ? 1 的特例给出了证明。 笛卡尔“圆法” 法国数学家笛卡尔(1596 - 1650)在《几何学》中提到了用代数方法求切线 的方法——“圆法”。笛卡尔的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的 影响,牛顿就是以笛卡尔的“圆法”为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 费马求极大值与极小值的方法 法国业余数学家费马(1601 - 1665)在给梅森的一封信中提出了求极大值与第 5 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨极小值的代数的方法。按费马的方法,设函数f(x) 在点a处取值,用a+ e代替原来 的未知量a ,并使f(a + e) 与f (a) 逼近,消去公共项后,用e 除两边再令e 消失,? f ? a ? e? ? f ? a ? ? 即? ? ? 0 ,此方程求得的a 就是f(x)的极值点。这种方法实质上 e ? ? e?0就相当于令函数的导数等于零。 巴罗微分三角 英国数学家巴罗(1630 - 1677)在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出 了求曲线切线的方法,这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。 17世纪上半叶一系列前驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近。 但是所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。 这些前驱者对 于求解各类微积分问题确实作出了宝贵贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般 性。求切线，求变化率，求极大极小值以及求面积、体积等基本问题，在当时都 是被作为不同类型处理的。 虽然也有人注意到了某些联系，如费马就是用同样的 方法求函数的极值和曲线的切线； 巴罗的求切线的方法实际就是求变化率的几何 版本，等等。然而并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出，而作为微积分 主要特征的微分与积分的互逆关系，虽然在特殊场合已被某些学者邂逅，但都没 有认识到这一事实的重要意义。 因此，就需要有人站在更高的高度将以往个别的 贡献和分散的努力综合为统一的理论。微积分的创立牛顿的“流数术” 牛顿的极限思想主要体现在他的几部著作中， 《流数简论》是历史上第一篇 系统的微积分文献，它反映了牛顿微积分的运动学背景。他把曲线 f ( x, y) ? 0 看 作动点的轨迹,动点的坐标 x , y 是时间的函数,而动点的水平速度分量和垂直速 度分量分别用 x 和 y 来表示,牛顿称之为流数,实际上就是 x 和 y 对 t 的导数。 《流 数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。从1667年至1693 年大约四分之一世纪的时间里， 牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学 说，先后完成了三篇微积分论文。 第一篇论文《分析学》利用无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此第 6 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨《分析学》 体现了牛顿的微积分与无穷级数紧密结合的特点。论文一开始就给了 计算曲线 f=f(x)下面积的法则。 设有曲线 y ? ax n ， 则所求面积为 z ?m? na mn n x 。 m?n牛顿在论证中取 x 而不是时间 t 的无限小增量“瞬”为 o，以 x+o 代 x，z+oy 代 z，则m? n na z ? oy ? ( x ? o) n m?n用二项式定理展开后以 o 除两边，略去 o 的项，即得 y ? ax n 。反过来就知曲线my ? ax n 下的面积是 z ?m? na mn n x 。牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本 m?n概念，但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小 量，有时直截了当令其为零。事实上，无穷小瞬“o”作为分母是不为零的，但 除完之后仍含“o”的项在在未除之前应为“o”的高阶无穷小，也就是牛顿直截 零的项。 第二篇论文《流数法》完成于 1671 年，但直到 1736 年才出版。牛顿在这篇 著作中改变了变量是由无穷小元素所构成的看法，而从运动学的观点来研究问 题。 “这里，流数术赖以建立的主要原理，乃是取自理论力学中的一个非常简单 的原理，这就是数学量，特别是外延量，它们都是可以看成是由连续轨迹运动产 生的，而且所有不管什么量，都可以认为是在同样方式之下产生的，至少经过类 比和调整之后可以如此。因此在产生这些具有固定的、可确定的关系的量时，其 相对速度一定有增减，因而也就可以作为一个问题提出如何去求它们。这里，本 人是靠另一个同样清楚的原理来解决这个问题的， 这就是假定一个量可以无限分 割，或者可以（至少在理论上说）使之连续减小，直到它终于完全消失，达到可 以把它们称之为零量的程度， 或者它们是无限小的，比任何一个指定的量都小。 ” 这里，牛顿认为数学量是由点、线和面的连续运动产生的。他写道： “线的画出 乃至产生不是由于许多部分的并列，而是由于点的连续运动。 ”他把一个生长中 的（即产生中的）量称为流量，其生长率叫做流量的流数；一个无限小的时间间 隔叫做一个瞬， 并用字母 o 来表示。在这无限短的时间内流量所增加的无限小部 分叫做流量的瞬。 流数语言的使用，使牛顿的微积分算法在应用方面获得了更大第 7 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨的成功。 牛顿在《曲线求积术》中改变了对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意 忽略无限小瞬 o 的做法： “在数学中，最微小的误差也不能忽略。??在这里， 我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的。 ”在 定义了流数的概念之后，牛顿写到： “流数之比非常接近于相等但却很小的时间 间隔内生成的流量的增量比。确切地说，它们构成增量的最初比” 。牛顿接着借 助几何解释把流数理解未增量消逝时获得的最终比。 他举例说明自己的新方法如 下： 为 了 确 定 x n 的 流 数 ， 设 x 变 为 x+o ， x n 则 变 为 ( x + no ＝ )x n ? nox n ?1 ? n ? n ? 1? 2 n ?2 o x ? ??，构成两变化的“最初比” ： 2? x ? o? ? x n ? x ? o ? ? xn然后“设增量 o 消逝，它们的最终比就是 之比。?1 n ? n ? 1? n ? 2 nx n ?1 ? x o ?? ? ? 21 ” ，这也是 x 的流数与 x n 的流数 nx n ?1这就是所谓“首末比方法” ，它相当于求函数自变量与因变量变化之比的极 限，因而成为极限方法的先导。 “首末比方法”引起很多争论。数学家吉伯特 ?克拉克反驳道： “因为你既然 说 sit earum ultima differentia D(这是它们最终的差 D)，这就已证明没有这 样的东西存在，实际上，迄今为止所有的数学家一直认为，像不可分割的量或最 终比这样的东西是不存在的，而你说这是趋近零的量的最终比。 ”牛顿预见到首 末比法可能遭到的批评，他写到： “有人反对说，趋近于零的量的最终比是不存 在的，因为在这些量还没有等于零的时候，比值（比）并不是最终的，而当它们 等于零的时候，又什么都没有了。但是，根据同样的论点，也可以认为一个物体 在运动终了到达某一地点时最终速度时不存在的， 因为当物体还没有到达这个地 点时其速度不是最终速度，而当它已经到达时，又什么都没有了。但回答是不难 的??这里有一个极限， 它是在运动终了时所能到达但不能超过的速度。 ”这里， 牛顿似乎已经在极限概念的周围徘徊，但是，我们很难看出它已经获得一个我们第 8 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨今天承认的极限概念。 他把极限值看作一个比值， 而不是一个确定的数。 《原 他在 理》一书的第一个引理中说道： “若在任一有限时间内诸量连续趋于相等，而且 在这段时间终了之前彼此间较任何给定差更接近，那么它们最后将变成相等，对 于诸量之比也是如此。 ”在最后的注释中，关于这点他又这样补充说： “因为在诸 量等于零时得到的这些最终比并不是真的就是诸量最终量的比， 而是无穷递减的 诸量之比所趋向的极限， 它们总是收敛的，而且可以比任何给定差都近地接近于 这些极限， 但决不会超过， 也不会实际上达到， 除非到这些量消失于无穷中。 ?? 所谓渐近于零的诸量之最终比， 不要理解成它们等于零以前的比，也不要理解成 它们等于零以后的比，而要理解成它们等于零的那个时候的比。 ” 牛顿的“首末比方法”还没有把令人迷惑的地方解释清楚。比如在“瞬”概 念上的矛盾性。实际上，在牛顿时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在 这样条件下， 牛顿在大胆创造新方法的同时，坚持对微积分的基础给出不同的解 释，说明了他对微积分基础所存在的困难的深入的洞察和谨慎态度。 莱布尼茨的微积分 在极限的创立上，莱布尼兹在也做出了很多的尝试。 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,）受帕斯卡论文《关于 四分之一圆的正弦》的启发切入到微积分的研究，他在研究“微分三角”时认识 到： 求曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值当这些差值变成无限小时 之比； 而求曲线小的面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（纵坐标之和在这 里是指纵坐标乘以无限小区间的长度再相加， 因而也相当于宽度为无限小的矩形 面积之和） 。莱布尼茨看出这两个问题的互逆关系。他后来在致洛必达的一封信 中总结说：这使他发现， “求切线不过是求差，求积不过是求和” ！莱布尼茨把微 分和积分说成“差”与“和” 。在这里，莱布尼茨承认这样一个模糊的原理：一 个量可以变小到忽略不计的程度。 他认为可以让一个量的数值缩小到比任何指定 的量都小， 而它们之比仍然保持和两个有限量的比相同，即和纵坐标与次切距的 比相同。 至于怎样可以跨过从有限到无穷小量之间的鸿沟， 则始终没有什么提示， 在缺乏极限概念的情况下，这个说法不能让人满意。 牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别是在无限小量的随意与混乱，这 使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。在这方面攻击最激烈的是英国哲学第 9 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨家、大主教伯克莱（G.Berkeley,）,他集中攻击牛顿的流数论中关于 无限小量的混乱假设，例如在首末比法中，为求幂 x n 的流数，牛顿假设 x 有一 个增量 o，并以他去除 x n 的增量得 x n ? nox n ?1 ?n ? n ? 1? 2 n ?2 o x ? ??，然后又让 o 2“消失” ，得到 x n 的流数 nx n ?1 ，伯克莱指出这里增量 o 的假设前后矛盾，是“分 明的诡辩” 。他讥讽地问： “这些消失的增量究竟是什么呢？它们即不是有限量， 也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的灵魂吗？”伯克莱主 要矛头是牛顿的流数术， 但对莱布尼茨的微积分也同样竭力非难，认为其中的正 确结论是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得。 伯克莱对微积分的攻击主要出于宗教的动机，但他的批评是切中要害的，在 客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷， 刺激了数学家为建立微积分的严格基础而 努力。极限思想的完善极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。 在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未 能如愿以偿． 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学 特有的规律还不十分清楚； 对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对 有限和无限的对立统一关系还不明确．这样，人们使用习惯了的处理常量数学的 传统思想方法， 就不能适应变量数学的新需要， 仅用旧的概念说明不了这种 “零” 与“非零” ，相互转化的辩证关系。 到了 18 世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极 限作为微积分的基础概念， 并且都对极限作出过各自的定义．其中达朗贝尔的定 义是： “一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一 个量． ”它接近于极限的正确定义，然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观 的依赖．事情也只能如此，因为 19 世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立 在几何量的概念上面的． ?经过近一个世纪的尝试与酝酿， 数学家们在严格化基础上重建微积分的努力第 10 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨到 19 世纪初获得成效。首先用极限概念给出导数正确定义的人，是捷克数学家 波尔查诺（B.Bolzano,） ，他把函数 f ( x) 的导数，定义为差商?x 的 ?y极限 f ' ( x) ，他强调指出， f ' ( x) 不是两个零的商．波尔查诺的思想是有价值的， 但关于极限的本质他仍未说清楚． ?到了 19 世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极 限概念及其理论，他在《分析教程》中指出： “当一个变量逐次所取的值无限趋 于一个定值， 最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有 其他值的极限值． ”特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛 到极限 0，就说这个变量成为无穷小． ?柯西把无穷小视为以 0 为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模 糊认识， 这就是说， 在变化过程中， 它的值可以是非零， 但它变化的趋向是 “零” ， 可以无限地接近于零． ?柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱， 但他的 理论还只能说是“比较严格” ，人们不久便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。 例如，他用了许多“无限趋近” “想要多小就多小”等直接描述的语言。 ?为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义， 给微积分提供了严格的理论基础．所谓 ?an ? ＝Ａ，就是指： “如果对任何 ? ? 0 ， 总存在自然数 N ，使得当 n ? N 时，不等式 a n ? A ? ? 恒成立． ” ?这个定义，借助不等式，通过 ? 和 N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两 个“无限过程”之间的联系．因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的 基础，至今仍不显得陈旧．在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外 只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不求助于运动的直观． 经过半个多世纪的探索,19世纪的数学家终于消除了长久以来极限概念的不 明确性给人们带来的种种困惑,建立了严格的极限理论,极限的 ? ? N 定义一直延 续到今天。极限理论的严格化对微积分基础的建立更是有着十分重大的意义,它 使微积分的发展达到了一个全新的、广阔的境界。第 11 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨极限理论的推广极限概念被推广到多元函数和复变量函数后,极限的过程复杂化了,但大体 上保持了固有的性质。 后来,数学家们发现,有些变量的极限过程比较特殊。 例如: 给出定积分定义上的达布和极限,极限过程与区间的分割发生了联系,很难用? ? N 语言来描述。曲线弧长的定义也有类似的情景。关于极限的更一般的概念,是由美国数学家穆尔(Moore,E.H.1862——1932)和德国数学家史密(Smith,H.L.) 在有向集到拓扑空间的映射上给出的,称为广义序列X的收敛,也叫做广义极限。 把一个有向集 A 映入拓扑空间X 的映射,即一个对应关系,使得对于每个 ? ? A 都 有一个 xa ? X 与之对应。拓扑空间 X 中的广义序列 ?x? : ? ? A, ?? (或附上有向序 ≤)在 X 中收敛于点 x ? X ， 如果对 x 的每个邻域 Ox 存在 ? ? A ， 使得当 ? ? ? ? A 时 x? ? Ox 这就是穆尔—史密斯收敛的概念。通常的序列是广义序列的特殊情形, 这时 A 是自然数集。 广义序列可以用来刻画分离公理,各种紧性以及紧化的种种构造,在现代拓 扑学和分析数学中起到了重要的作用。 ?综上所述可见， 极限法的引入与完善是出于社会实践的需要，是许多人奋斗 的结果，不是哪一个数学家苦思冥想出来的。1 极限的基本概念1.1 数列极限的 ? ? N 定义 定义 1 设{ xn }是一给定数列，a 是一个实常数。如果对于任意给定的 ? &0, 可以找到自然数 N，使得当 n&N 时，成立xn ? a ? ? ，则称数列{ xn }收敛于 a（或 a 是数列{ xn }的极限） ，记为 lim xn ? a 。n ??1.2 x 趋于无穷大时函数的极限： lim f ? x ? ? An ??定义 2 设 f 为定义在 ?a, ??? 上的函数，A 是一个定数。若对任给的正数 ? ， 总存在正数 M，使得 x&M 时有 f ? x ? ? A ? ? ，则称函数 f 当 x ??? 时极限存在 并以 A 为极限，记为 lim f ? x ? ? A 。n ??第 12 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨在上述定义中，只须要把“ x ? M ”改为“ x ? ? M ”或“ x ? M ”就可以 得到函数 f 定义在 U ? ??? 或 U ? ?? 上的极限。 若 f 为 定 义 在 U ? ?? 上 的 函 数 ， 则 lim f ? x ? ? A 充 要 条 件 是n ?? x ???lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? A 。x ???1.3 x 趋于某一定数时函数的极限： lim f ? x ? ? Ax ? x0定义 3 （ ? ? N 定义）设函数 y ? f ( x) f 在点 x0 的某个去心邻域中有定义， 即存在 ? &0,使O ? x0 , ? ? \ ?x0 ? ? Df .如果存在实数 A，对于任意给定的 ? ? 0 ，可以找到 ? ? 0 ，使得当0 ? x ? x0 ? ? 时，成立f ? x? ? A ? ? ,则称 A 是函数 f ( x) 在点 x0 的极限，记为 lim f ? x ? ? A 。x ? x0当 f ( x) 在 x ? x0 时有意义，可定义左极限 lim f ( x) ? A 。 ?x ? x0当 f ( x) 在 x ? x0 时有意义，可定义右极限 lim f ( x) ? A 。 ?x ? x0极限 lim f ? x ? ? A 存在的充要条件是 lim f ( x) ? lim f ( x) ? A 。 ? ?x ? x0 x ? x0 x ? x02 极限理论与极限的计算方法极限的求法很多，主要包括有：①利用极限的定义；②利用极限的运算法则 求极限； ③利用极限存在的条件和准则求极限；④利用两个重要极限和幂指函数 公式求极限； ⑤利用等价无穷小量和泰勒展开求极限；⑥利用函数的连续性求极 限；⑦利用罗必塔法则求极限；⑧利用中值定理求极限；⑨利用导数或定积分的 定义求极限；⑩利用级数收敛的必要条件求极限。2.1 利用极限的定义前面已经给出了极限的基本定义， 现在我们利用极限的定义证明某数为一函 数或一数列的极限。第 13 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨（I）利用数列极限的定义验证某数为某数列的极限。 例 2.1.1 证明： lim 证明 13n ? 2 3 ? n ?? 2 n ? 3 2?5 3n ? 2 3 5 ， ? ? ? 2n ? 3 2 2 ? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 3?1 2? 3n ? 2 3 5 ? ， ? ? ? ? ，只要 2n ? 3 5 2n ? 3 2 2(2n ? 3)对于任意给定的正数 ? ，只要 即n ?5 3 ? 。 4? 2? 5 3? 取正整数 N ? ? ? ? （ ? x ? 表示不超过 x 的最大整数） ，则当 n ? N 时，有 ? 4? 2 ? 3n ? 2 3 ? ?? 2n ? 3 2成立，所以 lim 证明 2n ??3n ? 2 3 ? 。 2n ? 3 2解不等式5 ? ? ，可以先放大，然后解放大后最后一步所得 2(2n ? 3)不等式5 5 5 ? ? 。 2(2n ? 3) 4n n5 5 3n ? 2 3 ? ? ? ，只要 ? ? ，即 n ? 。于是取正 n ? 2n ? 3 2对任意给定的正数 ? ，要使?5? 数 N ? ? ? ，则当 n ? N 时，恒有 ?? ? 3n ? 2 3 ? ?? ， 2n ? 3 2故limn ??3n ? 2 3 ? 2n ? 3 2注意，?采用放大法时，应使放大结果仍会随着 n 的无限增大而单调减少趋 于零，否则就求不出适当的 N 。例如上例中如果这样放大：3n ? 2 3 5 5 5 ? ? ? ? 2n ? 3 2 2 ? 2n ? 3? 4n 4就不等式运算来说， 是完全正确的，但此时放大后的结果第 14 页 共 44 页5 不能小于任意正 4关于极限思想及其解法的探讨数 ? ，因而对求 N 来说，这种放大就毫无意义。 ?放大法书写格式中的关键词： “要使”“只要”“即”“取”“则”等不 ， ， ， ， 能省略。 例 2.1.2 用定义证明： limx ?3x ? 2 ?1 1 ? . x ?3 2x ? 2 ?1 1 ? ? ? 成立，只要 x ?3 2证明：对于任意给定的正数 ? ，要使??x ? 2 ?1? x ? 3? ?x ?3 4??x ? 2 ?1x ? 2 ?1???1 ?2? x ? 3? ?x ?3x ? 2 ?1??1 1? x ? 2 ? ? 2 2 x ? 2 ?1 2??x ?3?x ? 2 ?1?2? x?3 ? ?取 ? ? ? 即可。 任给 ? ? 0 ，存在 ? ? ? ? 0 ，当 0 ? x ? 3 ? ? 时，恒有x ? 2 ?1 1 ? x ?3 2x ? 2 ?1 1 ? ? ? 成立， x ?3 2于是 limx ?3注意， 若用定义来证明当 x ? x0 时某函数的极限，关键是一定要推导出含有x ? x0 的表达式，同时这里也运用了“放大”的方法，使含有 x ? x0 的不等式成为最简单的形式。 在极限的定义中，由于ε 是任意小的正数，所以 an ? a ? ? 与 an ? a ? ? ，f ( x) ? A ? ? 与 f ( x) ? A ? ? 在描述 an 与 a ， f ? x ? 与 A 的无限可接近性是的作用是相同的。既然 ? 是任意小的正数，那么 ? ， ? 2 ， k ? ? k ? 0? 等也都是任意小 ? 的正数，在极限的定义中均是可以起到 ? 的作用。 至于ε 与 N 的关系方面，由于 ε 的给出在先，具有与 N 无关的独立性。N 的存在一般是由 ε 而定的， 具有对ε 的依赖性。 对于同一个ε ， 总有无穷多个 N ， 但是对于同一个 N 却并不适用于所有的 ε. 极限的定义是非常重要的， 很好的掌握和理解极限的定义有利于形成良好的 解题思路， 同时牢固掌握极限的基本概念和定义也是继续学习其他极限理论和方第 15 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨法的基础。尽管运用极限的定义来解题的情况不多，但是作为最基本的概念，极 限的定义仍然是学习好其他数学知识的基础。2.2 利用极限的运算法则求极限极限的运算同一般的数运算一样具有四则运算法则，叙述如下： （以下的x ? ? 表示某一种趋向）当 lim f ( x) ? A ， lim g ( x ) ? B 时，则有：x ?? x ??? lim ?? ?f ( x) ? ? ?g ( x) ? ? ? A ? ? B （β α ,为常数） ；x ??? lim ? f ( x)?g ( x)? ? AB ；x ??? limx ??f ( x) A ? （ g ( x) ? 0 且 B ? 0 ）. g ( x) Bx ?? x ??需要注意的是，上述性质均应理解为是充分条件，即 lim f ( x ) 与 lim g ( x) 均不存 在时， 所述结论 （1） 2） 3） ， ， 未必没有。 （ （ 例如 lim x sinx ???2lim ? x ? 不存在，x?? x 2 sin ? x ? 2?亦不存在，但是有x sin limx ???2? x? ? x?x 2 sin?2? lim1 ?0 x ?? x类似地，数列的极限、函数在自变量的某一其他变化过程中的极限、以及多 元函数的极限，都保持有以上四则运算的性质。 例 2.2.1 解 求 lim ? x tan x ? 1? . ?x? 4由于 tan x 在 x ?? 时极限存在并且等于 1， 于是按四则运算法则立即有 4lim ? x tan x ?1? ? lim x ? lim tan x ? lim1 ?x??4?4x??4x??4x???1 ?1 .43 ? ? 1 例 2.2.2 求 lim ? ? 3 ?. x ??1 x ? 1 x ?1 ? ?解当 x ? 1 ? 0 时，有? x ? 1?? x ? 2 ? ? x ? 2 1 3 ? 3 ? x ? 1 x ? 1 ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? x 2 ? x ? 1第 16 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨所以? ? x ? 1?? x ? 2 ? ? 3 ? ?1 ? 2 ? 1 ? x?2 ? ? ? lim ? 2 lim ? ? 3 ? ? lim ? ? ?1 ?? 2 2 x ??1 x ? 1 x ? 1 ? x??1 ? ? x ? 1? ? x ? x ? 1? ? x??1 ? x ? x ? 1 ? ? ?1? ? ? ?1? ? 1 ? ? ?上例中，当 x ? ?1 时括号内的分式分母趋于 0，所以我们就不能直接用四则 运算法则进行求解，这里把两个分式进行了通分，并且消去了零因子，这样一来 就可以直接运用四则运算法则的第（3）条来进行求解了。 例 2.2.3 求 limx ?41 ? 2x ? 3 . x ?2解 本题和上例一样，当 x ? 4 时分母趋于 0，所以也不能直接用四则运算 法则来求解。因此，这里我们就必须想办法消除掉分母中零因式。这里不能采取 通分的方法， 可以想到使用一些基本的数学公式来变化函数，从而达到消去分母 中零因子的目的。 这里我们利用了平方差公式，有1? 2x ? 3 ? x ?2?1? 2x ? 3?x ?2????1? 2x ? 3x ?2????x ?21? 2x ? 3???2 x ?4 , 1? 2x ? 3所以，由四则运算方法，立即有limx ?4lim 2 x ? lim 4 1 ? 2x ? 3 2 x ?4 4?4 4 x ?4 ? lim ? x ?4 ? ? . x ?4 1 ? 2 x ? 3 x ?2 lim 1 ? 2 x ? lim3 3 ? 3 3x ?4 x ?4运用极限的四则运算法则进行求解函数的极限时， 应当注意运算法则成立的1 x 2 ? 3 错误出现在第一个等号处， ? lim 条件和前提，例如, lim 3 x ?? 3 2 2 x3 ? 1 x ?? 3 2 ? 1 3 x 3x 2 ? 1 3?x ?? 包括趋于 ?? 和 ?? 两个极限，两个极限相等时 x ?? 的极限才存在，这里x ??? 3lim3x 2 ? 1 2 x3 ? 1?3 ，而 lim 3 x ??? 23 x 2 ?132 x3 ? 1??3 ，所以原极限是不存在的；再如要 3 2求 lim cos x ? cos x ? 1 ，此极限是存在的并且等于 0，如果是通过运算法则由x ??x ?????lim cos x ? lim cos x ? 1 就得到了极限不存在的错误结论；特别是对于分式形x ???式的 函数求极限时，如以上的例 2.2.2 和例 2.2.3，可看出分母的极限必须要第 17 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨化成不为零的形式才能使用运算法则来解求。2.3 利用极限存在的条件和准则求极限2.3.1 函数极限存在的条件 归结原则（海涅（Heine）定理） lim f ( x) ? A 的充要条件是对于任意满足x ? x0条件 lim xn ? x0 且 xn ? x0 ? n ? 1,2,3?? 的数列 ?xn ? ，相应的函数值数列 ? f ( xn )? 成x ??立lim f ( xn ) ? A .n ??这一性质被经常用于证明某个函数极限的不存在。 柯西（Cauchy）准则 设函数 f ( x) 在 x0 的某空心邻域 U ? x0 , ?0 ? 内有定义，则 极限 lim f ? x ? 存在的充要条件是：对任给正数 ? ，总存在某一正数 ? ?? ? ?0 ? ，使x ? x0得对任何 x?1? , x? 2? ?U ? x0 , ? 0 ? ，都有f x? ? ? f x ?1x ? x0? ? ? ?? ?? .2按照柯西准则的形式， 可以从正面陈述极限 lim f ? x ? 不存在的充要条件：存 在 正 数 ? 0 ， 对 任 何 正 数 δ ， 总 可 以 在 U ? x0 , ? ? 内 找 到 两 点 x?1? , x? 2? ， 使 得), f x? ? ? f x?1? ? ? ? ? ? ? .因此，也可以用柯西准则来证明某些函数极限不存在。2 0下面我们就来看看运用归结原则和柯西准则来证明极限不存在的例子。 例 2.3.1 证明 sin 证明 取1 在 x ? 0 没有极限。 x 1 ? xn1? ? , n ? 1 , 2 ,? , 3 n? 1 ?2 xn ? ? , n ? 1 , 2 ,? , 3 ? 2n? ? 2x ???1 ?2 ? ? 则显然有 xn1? ? 0 ， lim xn ? ? 0 与 xn2? ? 0 ， lim xn ? ? 0 .但由于x ??lim sinx ??1 1 ? 0 ，而 lim sin ? 2? ? 1， ?1? x ?? xn xn根据 Heine 定理，可知 sin1 在 x ? 0 没有极限。 x 1 1 ?1 若要运用柯西准则，我们可以取 ? 0 ? ，对任何的 ? ? 0 ，令 xn ? ? ， 2 n?第 18 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨? xn ? ?21 n? ??2，只要 n ?1?，就有 x?1? , x? 2? ?U ? 0, ? ? ，而且有sin1 1 ? sin ? 2? ? 1 ? ? 0 ?1? xn xn1 1 从而也证明了极限 lim sin 不存在。事实上，函数 f ( x ) ? sin 在 x ? 0 时其函数 x ?? x x值不断在－1 与 1 之间振荡，而并不趋向于任何确定的数。 归结原则给出的不仅仅是函数极限存在的条件，更重要的是它给出了函数极 限与相应数列极限之间的关系， 根据这个定理我们可以把函数极限归结为以函数 值为项的数列极限问题讨论， 也可以把一些数列极限的问题转化为函数极限来加 以研究，这也是归结原则的意义所在。1 ? 1 ? lim n 2 ? a n ? a ? n ? 2 ? ， (a ? 0, a ? 1) . 例2.3.2 求 n ?? ? ?解因为1 ? 1 ? y? 1 a y ? a? y ? 2 n lim n2 ? a n ? a ? n ? 2 ? ??? lim ? n ?? y ?0 y2 ? ?? lim ? lima y ln a ? a ? y ln a y ?0 2ya y ln 2 a ? a ? y ln 2 a y ?0 2 2 ? ln a所以1 ? 1 ? lim n2 ? a n ? a ? n ? 2 ? ? ln 2 a . n ?? ? ?? n b ?1 ? 例2.3.3 求 lim ?1 ? ? ， ? a ? 0, b ? 0? . n ?? ? a ? ? ?n解当 b ? 1 时，原式＝1；n当 b ? 1 时，令 tn ?ln b b ?1 ，则当 n ?? 时，有 tn ? 0 ，且 n ? ，于 ln(1 ? atn ) an是得到ln b ? n b ?1 ? 1? ? ?1 ? tn ? ln(1? atn ) ? ? ? a ? ? ?第 19 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨这样一来，我们所求的数列的极限便可以化为函数的极限来求解了，tn ?0lim ?1 ? tn ?ln b ln(1? atn )1 ? ? ? lim ??1 ? tn ? tn ? tn ?0 ? ?atn ln b ? ln(1?atn ) a?eln b a?b1 a? n b ? 1 ? ? 1,(b ?1) 综上所述，有 lim ?1 ? . ? ?? 1 n ?? ? a ? ? b a ,(b ?1) ? ?n2.3.2 函数极限存在的两个准则 准则 I（夹逼准则）若三个数列 ?xn ? , ? yn ? , ?zn ? 从某项开始xn ? yn ? zn , n ? n0 ,且 lim xn ? lim zn ? a ,则 lim yn ? a .x ?? x ?? x ??对于函数同样具有夹逼准则，如下： 准则 I ' 若存在 ? ? 0 ，使当 0 ? x ? x0 ? ? 时成立g ( x) ? f ( x) ? h( x) ，且 lim g ( x) ? lim h( x) ? A ，则 lim f ( x) ? A .x ? x0 x ? x0 x ? x0准则 II（单调有界准则）单调有界数列（函数）必收敛。常用的极限准则有夹逼准则和单调有界准则。先用这两个准则判断极限的存 在，然后找出有关极限的递推公式或其他关系式（方程） ，再用此关系式解出极 限。应用这两个准则往往要证明不等关系，这时常用到一些不等式公式。例如t a n ? x? s i x x n当x?0 当x?0 当x ?0, y ?0x ? ln(1 ? x)xy ?? x ? y?2例 2.3.4 解n! . nn n! 1 2 3 n ? 1 n 1 1 ? ? ，且有 lim ? 0 ，所以由夹逼准 因为 0 ? n ? ? ? ? n ?? n n n n n n n n n! 则知 l i m n ? .0 n ?? n求 limn ??? k ? k k 例 2.3.5 求 lim ? ? ?? ? ? ， (k ? 0) . 2 n ?? n2 ? 2 n2 ? n ? ? n ?1第 20 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨解令 un ?k n ?12?k n ?22??? nk n ?n2k n ?n2，则有k n2 ? 1? un ?而limn ??k k k ? lim ? k ， lim ? lim ?k n ?? n 2 ? n n?? 1 ? 1 n 2 ? 1 n?? 1 ? 1 n n2nk所以，由夹逼准则有? k ? k k lim ? ? ??? ??k. 2 n ?? n2 ? 2 n2 ? n ? ? n ?1例 2.3.6 已知 u ? 1 ， un ?1 ? 2 ?1 ， n ? 1, 2,3,? ，试求 lim un . n ?? 1 ? un3 ? u1 ? 1，若 un ? un?1 ，则 2解 首先用数学归纳法证明数列单调递增。易知 u2 ?un?1 ? un ?un ? un?1 1 1 ? ? ?0 1 ? un?1 1 ? un ?1 ? un?1 ??1 ? un ?1 ? 2 ，因此数列有界。 1 ? un从而证明数列单调递增。又由于 un ?1 ? 2 ?根据单调有界准则可知极限存在。设极限为 A，则? 1 ? 1 A ? lim un ?1 ? lim ? 2 ? ? ? 2? n ?? n ?? 1? A ? 1 ? un ?解分式方程 A ? 2 ?1 1? 5 ，舍去负根（因 A&0） ，解得 A ? 。从而有 1? A 2lim un ?n ??1? 5 . 22.4 利用两个重要极限及幂指数函数公式求极限2.4.1 两个重要极限 在极限的运算中，许多重要结果是可以直接引用的，其中，两个重要极限及 其变形技巧就是其中很重要的内容， 在解题的过程中灵活运用它们可以使求极限 变得简捷。第 21 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨（I） limsin x ? 1. x ?0 x与复合极限法则联合使用有： lim （II） lim ?1 ? x ? x ? e .x?0 1sin ? ? x ? ? 1， 其中 lim ? ? x ? ? 0 . x ?0 x ?0 ? ? x ?与复合极限法则联合使用有： lim(1 ? ? ? x ?)x ?0? ? x?1? e ，其中 lim ? ? x ? ? 0 .x ?01 ? 1? 重要极限 lim ?1? x ? x ? e .也可写为 lim ? 1 ? ? ? e ，需要注意的是此公式底趋 x?0 x ?? ? x?x于 1，而指数趋于 ? ，故通常把这种类型的极限问题叫做“ 1? ”型极限问题。 那么为什么说这两个极限形式是重要的极限呢？那是因为从导数的定义出 发求解基本初等函数中两个基本导数 ? sin x ? ? cos x 和 ? ln x ? ?''1 的过程中，上述 x两个极限起到了十分关键的作用。 而由这两个基本的导数式通过一系列的求导及 导数运算法则，便可得到幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数和对数函数 的导数公式。 因此， 这两个极限式对整个初等函数的求导乃至微积分的其他内容 都有着非常的意义。 但是上述两个重要极限在使用中常常不能够直接运用，通常需要变形技巧， 即把所要求的极限变换或凑成上述的标准形式来计算。 例2.4.1 计算 limx ?0解tan x ? sin x . x3 sin x 考虑到 tan x ? ，把 tan x 分解后便可以得到的因子，这样就可以把 cos x原 sin x 极限式变换到（I）式的形式，从而得解。tan x ? sin x sin x 1 ? cos x 1 sin x lim ? lim ? ? ? lim ? 3 2 x ?0 x ?0 x x x cos x x ?0 x x x 2sin 2 2sin 2 2 ? lim 1 ? 2?1 ? lim 2 2 x ?0 x ?0 4 x 2 ? x? ? ? ?2?2sin 2x 2? 1 2 x cos x本题中除变换了 tan x 外，也运用了凑的技巧，使得极限形式符合了标准的形式。第 22 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨例 2.4.2 求 lim ?1 ? cos x ?x?3sec x?.2解因为 sec ?1 ? ，且当 x ? 时，cos x ? 0 .于是立即就可以把原极限转 cos x 2换为标准的形式。 令 y ? cos x ，得lim ?1 ? cos x ?x?3sec x?? lim(1 ? y)y ?031 y211 ? ? ? lim ?(1 ? y) y ? ? e3 . y ?0 ? ? ? ?3例 2.4.3 求 lim(cos x)2 x ?0sin 2 x.解因为第二个重要极限中的底和指数中要求是同一个函数， 这里运用三角函数的变换。? 1 ? 原式 ? lim ? 2 ? x ?0 sec x ? ?如果令 y ?csc2 x1 ? ? ?1 1 1 ? ? tan2 x ? ? ? lim ? ? lim ? ? 1 ? x ?0 1 ? tan 2 x x ?0 ? ? ? (1 ? tan 2 x) tan2 x (1 ? tan 2 x) ? ? ?1 ，可见当 x ? 0 时， y ? ? ，于是有 tan 2 x原式 ? limx ?011? lim1 1 1 (1 ? ) y ?(1 ? ) y y(1 ? tan 2 x) tan x (1 ? tan 2 x)2y ??? e ?1 .2.4.2 利用幂指函数的公式 计算极限 lim f ( x) g ( x ) ? f ( x) ? 0 ? 是极限计算中一个重要部分，也是极限学习? x ?? ?x ? x0中的一个难点，为使读者能更好掌握这部分内容，将其归纳如下： 2.4.2.1 数，则x?x0命题 如果 lim f ( x) ? A( A ? 0) ， lim g ( x) ? B ，且 A、B 均为有限x ? x0 x ? x0lim f ( x) g ( x ) ? [lim f ( x)]x?x0x?x0 x?x0lim g ( x )? ABlim ? g ( x )ln f ( x )??证明：x?x0lim f ( x) g ( x ) ? lim eg ( x )ln f ( x ) ? ex?x0?ex?x0lim g ( x ) ? lim ln f ( x )x?x0?ex?x0? ? lim g ( x )ln ? lim f ( x ) ? ? x?x0 ?第 23 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨? e B ln A ? AB上述命题对 x ? x0 ? 0 ， x ? x0 ? 0 ， x ??? ， x ??? ， x ?? 的情况同样 成立且证明类似。为方便记，以下自变量的变化过程如 x ? x0（包括 x ? x0 ? 0 ， ， x ? x0 ? 0 ） x ?? （包括 x ??? 或 x ??? ）等简记为 lim ，当然在同一命题x?中考虑的是 x 的同一变化过程。 值得注意的是，当 A 或（和）B 不是有限常数，或者 A 不大于 0 时，上述命 题不成立。因而不能用通过计算底和指数的极限，求出幂指函数的极限。例如对 于 1? ， 00 ， ? 0 未定型式就是这样。可通过适当变形后，在使用?式求出其极限， 在求的过程中常用到下述极限的结果：1 ? sin x ? lim x x ? 1 ， lim ?1 ? x ? x ? e ， lim ? ? ? 1. x ??0 x ?0 x?0 ? x ?例 2.4.2.1 求 lim x sin x .x ??0解 注意sin x ? ? 原式 ? lim ?? x x ? x ? ? lim x x x ??0 ? ? x??0??x??0 ?? sin x ? lim ? ? x ?? 11 ? 1 .在?式中由于 f ( x) 与 g ( x) 是同一个自变量 x 的函数，求其极限时，是同步进行的。求幂指函数的极限不能理解为其底函数部分与指函数部分分别求极 限，而应是幂指函数整体求极限。 例 2.4.2.2? x ? 1 ? sin( 1 ) 求 lim ? ? x . x ?? ? x ?? 1 x 1 sin( ) x1解?? 1 ? ? x ? 原式 ? lim ??1 ? ? ? x ?? ?? x ? ? ? ??? 1 ? ? x ? ? lim ??1 ? ? ? x ?? ?? x ? ? ? ?1 ? ? ? ? lim ? ? x ? 1 x?? ? sin( ) ? ? x ? ? ?? e ?1 .2.4.2.2 换底法换成以 e 为底的指数函数的极限求之。?式的证明方法同时也给出幂指函数 f ( x) g ( x ) 极限的另一种方法， 即先换底， 换成以 e 为底的指数函数的形式，再求极限：lim f ( x) g ( x ) ? e x?x?lim? g ( x )ln f ( x )??为方便计，称这种求幂指数的极限的方法为换底法。第 24 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨4例 2.4.2.3求 lim cos x .x ?0 4ln cos x 4 lim ln(1? cos x ?1) x2x2解 原式 ? lim ex ?0x2?ex?0,而 故x2 ln(1 ? cos x ? 1) cos x ? 1 1 2 lim ? lim ? lim 2 ? ? , 2 2 x ?0 x ?0 x ?0 x x x 2 ?原式 ? e1 ?4 ? 2? e ?2 .例 2.4.2.4 求 limx ?1xx ?1 . x ln x0 0 解 此例属 型的极限，但不便直接析出使之呈 型的因子，其中问题产生 0 0于 x x ——它是幂指函数。用换底法把指函数化成底为常数的复合函数，即x x ? e x ln x ， 将 其 代 入 原 式 ， 幂 指 数 式 就 被 化 去 了 ， 再 利 用 等 价 代 换ex ln x ?1 ~ x ln x( x ? 1) ，即可求出所求极限：limx ?1xx ?1 e x ln x ? 1 x ln x ? lim ? lim ? 1. x ?1 x ln x x ln x x?1 x ln xx ?a2.4.2.3 命题 设 lim ? ( x) ? 1 ， lim? ( x) ? ? ，则x?alim? ( x)? ( x ) ? e x?ax ?alim[? ( x ) ?1]? ( x )证明 因为 ? ( x)? ( x)1 ? ? ? ( x ) ?1 ? ? ?1 ? ?? ( x) ? 1? ? ? ? ? ? ??? ( x ) ?1?? ( x ).由指数函数的连续性，所以?? ( x ) ?1?? ( x )lim[? ( x ) ?1]? ( x )lim ? ( x)x?a? ( x)1 ? ? ? lim ? ?1 ? ?? ( x) ? 1? ? ? ( x ) ?1 ? ? ? x ?a ? ?? e x ?a.注意到这个证明的题设和结论， 对于求“ 1? ”型的幂指函数的极限是经常用 到的。 尽管在上一部分重要极限的（II）式可以解出“ 1? ”型的极限式，但在很多 情况下是要拼凑成（II）式的标准形式才能进行解答，这里提供这个幂指函数的 公式， 意在对极限形式难于拼凑或较繁锁的情况下可以直接利用这个公式进行变第 25 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨换，从而方便了极限的求解。事实上，我们从上述公式的证明过程中可以看到， 公式的证明就是运用了重要极限（II）来求证的，因此，这个公式就是重要极限 的延续和推广。 必须注意运用此公式的前提条件，即 lim ? ( x) ? 1 和 lim? ( x) ? ? ，这一点也x x是和重要极限（II）十分相似的，下面我们就来看看直接运用幂指函数的公式来 解题的例子。 例 2.4.5 求 lim(2 ? x)x ?1 tan? ?x2.解 因为 ? ( x) ? 2 ? x ，? ( x) ? tan? ?x2，满足运用公式的条件，所以? ?x2原式 ? e x?0lim (2 ? x ?1) ?tan? e x?1lim(1? x ) ?tan? ?x2令 y ? 1 ? x ，则当 x ? 1 时， y ? 0 ，代入上式，得y?0lim原式 ? etan? ?y2y? e? .2作为重要极限（II）的推广应用，上述用幂函数公式来进行求解的运算在实 质上都是可以通过拼凑函数的形式来构成（II）式的标准形式的，如若在学习过 程中觉得拼凑较难时，不妨换个角度，运用幂函数的公式来求解。这种方法本质 上虽和拼凑重要极限的方法相同，但较为直观，不易出错；若对较难或较繁锁的 函数进行拼凑， 有时就容易遗漏因子。大家可以根据自己的实际情况来选择适合 自己思维的求解方法，以便有更好的学习效果。2.5 利用等价无穷小量和泰勒展开求极限2.5.1 等价无穷小量 首先来了解一下无穷小量的概念。 定义 2.5.1 若 lim f ( x) ? 0 ，则称当 x ? x0 时 f ( x) 是无穷小量。x ? x0不过函数的极限值是要根据变量的趋向而定的。因此，叙述无穷小量时还必 须指出变量的趋向。 （1） 等价无穷小量及相关概念 设 f ( x) 与 g ( x) 均为某种趋向下的等价无穷小量，即 lim f ( x) ? lim g ( x) ? 0 ，x ? x0 x ? x0第 26 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨若 limx ? x0f ( x) ? A， g ( x)则当 A ? 1 时，称 f ( x) 与 g ( x) 为等价无穷小量，记作： f ( x) ~ g ( x) ? x ? x0 ? ；当A ? 0 ，且为有限数时，称 f ( x) 与 g ( x) 为同阶无穷小量；当 A ? 0 时，称 f ( x) 是比 g ( x) 高阶的无穷小量，记作： f ( x) ? o ? g ( x) ? ( x ? x0 ) ；当 A ? ? 时，则称 f ( x) 是比 g ( x) 低阶的无穷小量。1 在此顺便指出，并非任何两个无穷小量都是可以进行比较的。例如 x sin 与 x 1 x sin x ? 1 sin 1 在 x ? 0 x 2 当 x ? 0 时， 既非同阶， 又无高低阶可比较， 它们的比 2 x x x不是有界量，因此，这两个无穷小量无法进行比较。 此外，无穷小量有如下一些运算性质： ①有限个（相同类型）无穷小量之和仍为无穷小量； ②无穷小量的乘积仍为无穷小量； ③无穷小量乘有界量仍为无穷小量. （2） 等价无穷小量的替换问题 下述定理表明了等价无穷小量在求极限问题中的作用。 定理 设 f ( x) ~ g ( x) ? x ? x0 ? . （i）若 lim f ( x)h( x) ? A ，则 lim g ( x)h( x) ? A ；x ? x0 x ? x0（ii）若 limx ? x0h( x ) h( x ) ? A ，则 lim ? A. x ? x0 g ( x ) f ( x)g ( x) f ( x)h( x) ，所以 f ( x) g ( x) lim f ( x)h( x) ? 1?A ? A . f ( x) x? x0证明因为 g ( x)h( x) ?x ? x0lim g ( x)h( x) ? limx ? x0（ii）的证明类似。 从上述定理的描述中， 可知等价无穷小量是由两个无穷小量比值或因子相乘 引出的概念，因此，在使用等价无穷小量进行替换时，就只能在整体极限表达的第 27 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨因子部分替换，其余（不是因子位置）场合不可以替换，这一点必须严格遵守。 下面给出一些常用的等价无穷小量（ x ? 0 ） ： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.sin x ~ t a n x~ x1? c ox sx2 ~ 2l n (? x ) x~ 1 ex ?1 ~ xa x ?1 ~ x l na ( a ? ( 1? x a) ? 1 ~ x aar cs i n x~ xa r c t a n x~ x0)x3 x ?s i n ~ x 6以上这些等价无穷小量都是可以从两个重要极限导出的，这里就不赘述了。 下面举几个运用等价无穷小量代换的具体例子。 例 2.5.1 求 lim x cot 2 x .x ?0解 原式 ? limx ?0x x 1 ? lim ? . x ?0 2 x tan 2 x 21 3sin x ? x 2 cos( ) x . 例 2.5.2 求 lim x ? 0 (1 ? cos x ) ln(1 ? x )解 当 x ? 0 时， 1 ? cos x ? 2 , ln(1 ? x) ~ x 。于是1 1 3sin x ? x 2 cos( ) 3sin x ? x 2 cos( ) 1 1 x ? lim x 原式 ? lim 2 x ?0 (1 ? cos x) ln(1 ? x) 2 x ?0 x1 1? ? 3sin x ? lim ? ? x cos ? . 2 x ?0 ? x x?由于有界变量乘无穷小量，故 lim x cosx ?01 3 ? 0 ，因而原式 ? 。 x 2第 28 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨注意x ?a一 般 当 所 求 极 限 为 x ? a （ 或 x ?? ） 时 的 两 函 数 乘 积 的 极 限x?al i m? f ( g x ?) x ) ( ，如果有 lim f ( x ) ? 0 ，应注意考察 g ( x) 是否有界。如果有界，应利用 lim ? f ( x) g ( x)? ? 0 求出有关极限。这时有界函数在所给的 x 变化过程中，其x ?a1 极限常不存在（如上例有界函数 cos( ) 在 x ? 0 时，其极限就不存在） ，因而就 x不能使用极限运算的乘法法则求得 lim ? f ( x) g ( x)? ? 0 。x ?a(1 ? x) a ? (1 ? x)b (a, b ? 0) . 例 2.5.3 求 lim x ?0 x解 原式 ? limx ?0(1 ? x)a ? 1 ? ?(1 ? x)b ? 1? ? ? xax bx ? lim ? a ? b x ?0 x x(1 ? x)a ? 1 (1 ? x)b ? 1 ? lim ? lim x ?0 x ?0 x x? limx ?0(3 ? 2sin x) x ? 3x 例 2.5.4 求极限 lim . x ?0 tan 2 x2 2 2 x ln(1? sin x ) (1 ? sin x) x ? 1 x ln(1 ? sin x) 3 e ?1 3 3 解 原式 ? lim3x ? ? lim ? lim x ?0 x ?0 x ?0 x2 x2 x2 2 sin x 2 3 ? lim ? . x ?0 x 3注意 上例为利用 (1 ? x)a ? 1 ~ ax 式等价代换，用提公因式的方法产生加项“－1” 。有时也用加减“－1”的方法（见例 2.5.3） 。 2.5.2 利用泰勒展开式求极限 由于泰勒公式求极限不常用，这里只举一例作简单说明。 泰勒定理 若函数 f ( x) 满足如下条件：（i）在闭区间 ? a, b? 上函数 f ( x) 存在 n 阶连续导数； （ii）在开区间 ( a, b) 内存在 f ( x) 的 n ? 1 阶导数， 则对任何 x ? (a, b) ，至少存在一点 ? ? (a, b) ，使得f ( x) ? f (a) ? f ' (a)( x ? a) ? f & ( x) f ( n?1) (? ) ( x ? a) 2 ? ? ? ( x ? a) n?1 . 2! n!第 29 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨上述展开式就称为函数 f ( x) 在 x ? a 处的泰勒展开式。 在运用泰勒展开式展开函数的时候， 要注意的是应当按照实际需要来展开到 适当的项数，适当的展开能使运算过程的计算量大大减少。 例 2.5.5 求 lime x sin x ? x(1 ? x) . x ?0 x3解 由泰勒展开知，当 x ? 0 时，1 1 1 x ? x 2 ? x 3 ? o( x 3 ) ， 1! 2! 3! 1 3 sin x ? x ? x ? o( x 3 ) ， 3! ex ? 1 ?于是1 1 e x sin x ? x(1 ? x) ? x ? x 2 ? x 3 ? o( x 3 ) ? x ? x 2 ? x 3 ? o( x 3 ) ， 3 3 1 3 x ? o( x3 ) 1 故，原式 ? lim 3 ? . 3 x ?0 x 32．6 利用函数的连续性求极限函数的连续性描述函数的一种连绵不断变化的状态， 即自变量的微小变化只 会引起函数值的微小变动的情况。确切的说，函数在某点连续是指：当自变量趋 于该点时，函数值的极限与函数在该点所取的值一致。 下面把一元函数 f ( x) 在某点连续的概念准确描述如下： 定义 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义。并成立x ? x0lim f ( x) ? f ( x0 ) ，亦即，对任给 ? ? 0 ，必有 ? ? 0 存在，使当 x ? x0 ? ? 时，恒有 f ( x) ? f ( x0 ) ? ? ， 则称 f ( x) 在点 x0 处连续，或称 x0 为函数 f ( x) 的连续点。f ( x) 在 x ? x0 处单侧连续是指：x ? x0?lim f ( x) ? f ( x0 ) （左连续） lim? f ( x) ? f ( x0 ) （右连续）. ，x ? x0显然 y ? f ( x) 在 x0 处连续的充要条件是. 可以证明，所有初等函数在其定义的区间上都是连续的。第 30 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨因此，利用初等函数连续性的结论，得到求极限的一个方法，这就是：如 果 f ( x) 是初等函数，且 x0 是 f ( x) 的有定义的区间内的点，则 lim f ( x) ? f ( x0 ) .x ? x0若要求复合函数的极限，则可以用下述结论： 定理 设函数 u ? ? ( x) 当 x ? x0 时的极限存在且等于 a ，即x ? x0lim ? ( x) ? a ，而函数 y ? f (u ) 在点 u ? a 处连续，则复合函数 y ? f ?? ( x)? 当 x ? x0 时的极限也 存在且等于 f (a ) ，即x ? x0lim f ?? ( x)? ? f (a) .x ? x0依据此定理，注意到 lim ? ( x) ? a 及 lim f (u ) ? f (a) ，就有求极限的方法：x ? x0x ? x0lim f ?? ( x) ? ? f ? lim ? ( x) ? 或 lim f ?? ( x)? ? lim f (u ) . ? x ? x0 ? x? x0 x ? x0 ? ?前式表示，在定理的条件下，求复合函数 f ?? ( x)? 的极限时，函数符号 f 与 极限号可以交换次序。后式表示，在定理的条件下，如果作代换 u ? ? ( x) ，那么 求 lim f ?? ( x) ? 就化为求 lim f (u ) .x ? x0x ? x0类似地，由函数在某点左、右连续的定义，以及多元函数在某点连续定义， 就可以得到有关的求极限的结论。 例 2.6.1 求 lim sin 2 (? n2 ? n ) . 解n ??? 因为n2 ? n ? n??n2 ? n ? nn2 ? n ? n??n n2 ? n ? nn?2，所以? sin 2sin 2 (? n 2 ? n ? n? ) ? sin 2?1 1? ?1 nn ?n ?n.则lim sin 2 (? n2 ? n ) ? lim sin 2n ?? n ??? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? lim 2 ? n?? ? 1 1 1? ?1 1? ?1 ? ? n n ? ?第 31 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨? ax ? b x ? x 例 2.6.2 求 lim ? ? ， ? a ? 0, b ? 0? . x ?0 ? 2 ?解 这里可以先运用幂指函数的公式，有lim ? ? ax ? b x ? x x?0? lim ? ?e ? ? x ?0 ? 2 ? 3 ? ax ?1 bx ?1 ? 3 ? ?? x x ?2 ?3又因，令 a x ? 1 ? t ，则 x ? loga (1 ? t ) ， x ? 0 时 t ? 0 ，于是a x ?1 t lim ? lim ? x ?0 t ?0 log (1 ? t ) x a 1 lim log a (1 ? t )t ?0 1 t?1 ? ln a ， log a e同理， limbx ?1 ? ln b ，所以 x ?0 xlim ? ? ax ? b x ? x x?0? lim ? ?e ? ? x ?0 ? 2 ? 3 ? ax ?1 bx ?1 ? 3 ? ?? x x ?2 ?? (ab) 2 .32．7 利用罗必塔法则求极限在前面部分讲述无穷小（大）量阶的比较时，已经提到两个无穷小（大）量 之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。因此，0 ? 称两个无穷小 或两个无穷大量之比的极限为型 或 型未定式极限。这两种情 0 ? 0 况都不能直接用商的极限运算法则计算。实际上，导数本身就是讨论 型未定式 0极限，因此，我们就能够以导数为工具来研究一般未定式的极限。这个方法通常 称为罗必塔（L’Hospital）法则。 定理（I） 若 （i） lim f ( x) ? 0 ， lim g ( x) ? 0 ；x ? x0 x ? x0（ii） f ( x) 与 g ( x) 在点 x0 的某空心邻域内可导，且 g ' ( x) ? 0 ； （iii） limx ? x0f ' ( x) ? A， g ' ( x)则 limx ? x0f ( x) f ' ( x) ? lim ' ? A. g ( x) x?x0 g ( x)第 32 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨定理（II） 若 （i） lim f ( x) ? ? , lim g ( x) ? ? ；x ? x0 x ? x0（ii） f ( x) 与 g ( x) 在 x0 点的某一邻域内可导，且 g ' ( x) ? 0 ；f ' ( x) （iii） lim ' ? A， x ? x0 g ( x )则 limx ? x0f ( x) f ' ( x) ? lim ' ? A. g ( x) x?x0 g ( x)定理（I）和（II）可以接连应用几次，只要 f ' ( x) , g ' ( x) , f & ( x) , g& ( x) 等满 足定理的条件即可。? 0 除了 型和 型未定式，还有 0?? ， ??? ， 1? , 00 , ?0 ，等几种类型的未定 0 ? ? 0 式，这些未定式均可以化为 型或 型未定式来计算。 0 ?1） 0?? 型未定式当 x ? x0 或 ? 时，若 f ( x) ? 0 , g ( x) ? ? ，则f ( x)?g ( x) ? f ( x) g ( x) 或 f ( x)?g ( x) ? ， 1 1 g ( x) f ( x)? 0 这样， 0?? 型未定式就变为 型或 型未定式。 0 ?2） ??? 型未定式 当 x ? x0 或 ? 时，若 f ( x) ? ? , g ( x) ? ? ，则1 1 ? f ( x) g ( x) f ( x) ? g ( x) ? 1 1 ? f ( x) g ( x)0 这样， ??? 型未定式就变为 型未定式。 03） 1? , 00 , ?0 型未定式 当 x ? x0 或 ? 时，若 f ( x) ? 1 (或 f ( x) ? 0 ，或 f ( x) ? ? )， g ( x) ? ? （或g ( x) ? 0 ） 。则第 33 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨ln f ( x) g ( x) ? g ( x)ln f ( x) 或 f ( x) g ( x ) ? eg ( x )ln f ( x ) ，? 0 这样 1? , 00 , ?0 型未定式变为 0?? 型未定式， 再用 1)的方法即可变为 型或 0 ?型未定式，就可利用罗必塔法则进行求解。 例 2.7.1 求 lim?x ?0解 此极限为? 型，满足洛必达法则条件。 ?ln(arcsin x) . cot x注意到 sin x ~ x ， arcsin x ~ x ，则1x ?0lim ?2 ln(arcsin x) ? sin 2 x ?x ? lim arcsin x 1 ? x ? lim ? lim ?0. ? x ?0? 1 x ?0? cot x arcsin x 1 ? x 2 x?0 1 ? x 2 ? sin 2 x例 2.7.2 求 lim x ln x . ?x ?0解这是 0 ? ? 型，由洛必达法则，1 ln x lim x ln x ? lim ? lim x ? lim (? x) ? 0 x ?0? x ?0? 1 x ?0 ? 1 x ?0 ? ? 2 x x1 ? ? 1 例 2.7.3 求 lim ? 2 ? ?. x ?0 x x tan x ? ?0 解 明显，本题为 ??? 型未定式，那么首先将它化为 型未定式，而后再利 0用罗必塔法则。1 ? tan x ? x tan x ? x x sec2 x ? 1 ? 1 lim ? 2 ? ? lim 2 ? lim ? ? x ? lim cos ? x ?0 x x ?0 x tan x ? x?0 x tan x x?0 x3 sin x 3x 2 ?? lim 2sec2 x tan x 1 tan x 1 ? lim ? ? . x ?0 x ?0 3 6x x 31?? ? ln x 例 2.7.4 求 lim ? ? arctan x ? . x ??? 2 ? ?? 0 解 本题为 00 型，可以将其转化为 型或 型。 0 ??? ? 令 y ? ? ? arctan x ? ?2 ?1 ln x?? ? ln ? ? arctan x ? 2 ? ，此时 lim ln y 已是 ? 型， ，则 ln y ? ? x ??? ln x ?第 34 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨即有，??? ? x ? ln ? ? arctan x ? ? ? arctan x 2 ? ? lim 2 1 ? x2 lim ln y ? lim ? ? lim x ??? x ??? x ??? x ??? ? 1 ln x ? arctan x x 2? ? limx ???1 1 ? x21 ? x2 ? 2x2?1 ? x ?1 1 ? x22 2?1 ? x2 ? lim ? ?1 。 x ??? 1 ? x 2所以， lim y ? e?1 ，因此x ????? ? ln x lim ? ? arctan x ? ? e ?1 . x ??? 2 ? ?1罗必塔法则是求未定式的一种有效的方法， 但是最好是能与其他求极限的方 法结合使用。如能化简时尽可能化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时， 应尽可能应用，这样可使运算简捷。 最后，指出使用 L’Hospital 法则时要注意的两个问题。 第一，当 limx ? x00 ? g ( x) 不是 型或 型以及它们的变形时，不能使用法则，否则 0 ? f ( x)可能会造成错误。 例 2.7.5 求 limx??21 ? sin x . 1 ? cos x解0 ? 这不是 型，也不是 型，它的极限为 0 ?1 ? sin 1 ? sin x 2 ?2 lim ? lim ? ? ? x ? 1 ? cos x x? 2 2 1 ? cos 2若不问情况地贸然使用 L’Hospital 法则，?limx??21 ? sin x cos x ? lim ?0 ? sin x 1 ? cos x x?2就会得出不正确的结果。 因此， 每次使用 L’Hospital 法则之前都必须对极限的 类型加以检验。第 35 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨0 ? g ' ( x) 第二，L’Hospital 法则只告诉我们，对于 型或 型，当 lim ' 存在 x ? x0 f ( x) 0 ?时，它的值等于 limx ? x0g ( x) g ( x) g ' ( x) 。当 lim ' 不存在时， lim 仍可能存在。如 x ? x0 f ( x) x ? x0 f ( x) f ( x)'x ? cos x ? ? x ? cos x ? ? 1 ? sin x 的 lim ， 虽然是 型， 但我们并不能根据当 x ?? 时 x ?? x ? x'极限不存在，就错误地得出 limx ? cos x 也不存在的结论——事实上，显然有 x ?? x x ? cos x lim ? 1. x ?? x因此， limx ? x0g ( x) g ' ( x) 不存在并不表示 lim 本身存在或不存在，它仅意味 ' x ? x0 f ( x) f ( x) g ( x) 。 f ( x)着，此时不能使用 L’Hospital 法则，而改用其他方法来讨论 limx ? x02．8 利用中值定理求极限费马引理 设 x0 是 f ( x) 的一个极值点， f ( x) 在 x0 处导数存在， f ' ( x) ? 0 . 且 则 罗尔(Rolle)中值定理 若函数满足下列条件： （i）在闭区间 ? a, b? 上连续， （ii）在开区间 ? a, b ? 内可导， （iii） f (a) ? f (b) ， 则至少存在一点 ? ? ? a, b? ，使得 f ' (? ) ? 0 . 拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数满足下列条件： （i）在闭区间 ? a, b? 上连续， （ii）在开区间 ? a, b ? 内可导 则至少存在一点 ? ? ? a, b? ，使得 f ' (? ) ?f (b) ? f (a) . b?a从这个定理的条件与结论可以看出，若 f ( x) 在闭区间 ? a, b? 两端点的函数值 相等，即 f (a) ? f (b) ，拉格朗日中值定理就是罗尔定理。也就是说，罗尔定理第 36 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨是拉格朗日定理的一个特殊情况。 柯西中值定理 若 （i）函数 f ( x) 与 g ( x) 都在闭区间 ? a, b? 上连续； （ii） f ( x) 与 g ( x) 都在开区间 ? a, b ? 内可导； （iii） g (a) ? g (b) ； 则至少存在一点 ? ? ? a, b? ，使得 f ' (? ) ?f (b) ? f (a) . b?a当 g ( x) ? x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 上述的几个中值定理是微分学理论中最重要的内容， 只有对它们有了深刻的 理解之后才能很好地运用。 不仅仅是微分学，积分学也有中值定理。 积分第一中值定理 若 f ( x) 在 ? a, b? 是连续，则在 ? a, b? 上至少存在一点 ? ， 使得? f ( x) ? f (? )(b ? a) .ab了解这么多的中值定理， 下面用实例来说明怎么运用中值定理来解决极限问 题的。 例 2.8.1 求 lime x ? etan x . x ?0 x ? tan x0 解 此题是 型未定式， 但不适用于直接用罗必塔法则求解， 注意到本题的特 0点，若令 f ( x) ? ex ，则原式相当于求 limx1 ?0, x2 ?0f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2因为 f ( x) ? ex 在以 x , tan x 为端点的区间上满足拉格朗日中值定理的条件， 所以ex ? etan x ? etan x?? ( x?tan x) ? ( x ? tan x) ，于是，原式 ? lim e tan x ?? ( x ? tan x ) ? e0 ? 1 .x ?0例 2.8.2 已知 f ( x) 在 (??, ??) 内可导，且 lim f ' ( x) ? e ，x ??第 37 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨? x?c? lim ? ? ? lim ? f ( x) ? f ( x ? 1)? x ?? x ? c ? ? x??x求 C 的值。 解 由已知条件易见 c ? 0 .? 2c x2?cc ? x ?c ? x?c? lim ? ? lim ?(1 ? ) ? ? e2 c . ? x?? x ?? x ? c x?c ? ? ? ?x2 cx由拉格朗日中值定理，有f ( x) ? f ( x ?1) ? f ' (? ) ?1其中ξ 介于 x ? 1 与 x 之间，那么 lim ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? ? lim f ' (? ) ? e ，x ?? x ??于是 e2c ? e ，故 c ?1 . 21例 2.8.3 求证 lim ?n??? 0xn 1 ? x2dx ? 0 .证明 利用积分第一中值定理，得到limn ????01xn 1? x2dx ?1 1? ?2 n ???lim ? x n dx ?011 1? ?2?1 ,0 ? ? ?1 1? n当 0 ? ? ? 1 时，1 1? ? 2有界，而1 ? 0 ， (n ? ?) ，由有界量与无穷小量 1? n的乘积仍是无穷小量，知n???lim ?01xn 1 ? x2dx ? 0 .2．9 利用导数或定积分的定义求极限由于定积分是和式的极限， 因此求某些和式的极限就可以转化为定积分的计 算，有时也可利用导数的定义来计算极限。 首先还是回顾它们的概念和定义。 定义 若函数 y ? f ( x) 在其定义域中的一点 x 处极限?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x lim存在， 则称 f ( x) 在 x 处是可导的， 这个极限值称为 f ( x) 在 x 处的导数， 记为 f ' ( x) 。第 38 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨定义设有界函数 f ( x) 在 ? a, b? 有定义，若在 ? a, b? 中任意取分 ?ai ?i ? 0 点，n作成一种分法P : a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? xn ?? b记小区间 ? xi ?1, xi ? 的长度为?xi ? xi ? xi ?1并记 ? ? max(?xi ) 。若 ??i ?? xi ?1 , xi ? ，极限1? i ? nlim ? f (?i )?xi? ?0i ?1n存在， 且极限的值既与分法 P 无关， 又与 ? i 的取法无关， 则称 f ( x) 在 ? a, b? 上 可积，其极限值称为在 ? a, b? 上的定积分，记为I ? ? f ( x)dx .ab1 ? ? ? f (a ? n ) ? 例 2.9.1 设 f ( x) 在 x ? a 处可导，求 lim ? ? ，其中 n 为正整数， n ?? f (a ) ? ? ? ?f (a ) ? 0.1 解 本题中看到有 f ( a ? ) 和 f (a ) 等项，只要变换为指数形式就能够运用导 nn数的定义了。 所以，原式 ? e1 ln f ( a ? )?ln f ( a ) n 1 n?? nlim?e?ln f ( x )?' x?a?ef ' (a) f (a).? 2? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 例 2.9.2 求 lim ? . ? ?? ? n ??? 1 1? ? n ?1 n ? n? ? 2 n? ? i? i? i? sin sin sin n ? n ? n ，得 解 由于 i n ?1 n n? n第 39 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨i? n sin n 1 n i? n ? 1 sin i? ， sin ? ? ? n i?1 i n ? n n ? 1 i ?1 i ?1 n? n由定积分定义，知1 n i? 2 lim ? sin ? ? sin ? ? xdx ? ， n??? n n 0 ? i ?11 n 1 n i? n 1 i? 2 sin ? lim ( ? ? sin ) ? 1? ? sin ? ? xdx ? . ? n n??? n ? 1 i?1 n n n??? n ? 1 ? i ?1 0 1lim故由夹逼准则知原式 ?2?.1n (n ? 1)(n ? 2)? (n ? n) . n ?? n 1 解 令 an ? n (n ? 1)(n ? 2)? (n ? n) ，并在其两边取对数，得到： n 1 1 ln an ? ln ? ? ln(n ? 1) ? ln(n ? 2) ? ? ? ln(n ? n) ? n n 1 ? ? ln(n ? 1) ? ln(n ? 2) ? ? ? ln(n ? n) ? n ln n ? n 1 ? ?? ln(n ? 1) ? ln n ? ? ? ln(n ? 2) ? ln n ? ? ? ? ? ln(n ? n) ? ln n ?? n例 2.9.3 求 lim?1 n n?i n 1 ? i ? ? ln n ? ? n ln ?1 ? n ? n i ?1 ? ? i ?1故lim ln an ? ? ln(1 ? x)dx ? 2ln 2 ?1 ? lnn?? 014 e或lim ln an ? ? ln xdx ? 2ln 2 ? 1 ? lnn ?? 124 e于是所求极限为lim an ?n ??4 . e2．10 利用级数收敛的必要条件求极限设序列 ?uk | k ? 1, 2,?? ，由其一般项 uk 构造的级数为 ? u k ，记级数的前 k 项k ?1 ?和（部分和）为 S k ? ? uk ，则有k ?1?uk ? Sk ? Sk ?1 , (k ? 1, 2,?) ，――（1）第 40 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨当 lim S n 存在时，记为 lim S k ? S ，则 ? uk ? S ，这时，称级数 ? u k 收敛。k ?? k ????k ?1k ?1由（1）式，若级数收敛，则lim uk ? 0 .k ??上式就称为级数收敛的必要条件。 如果数列极限问题不易直接求证，则利用上述必要条件，我们就可以将数列 极限问题转化成级数问题。只要证出级数收敛，那么根据级数收敛的必要条件， 就可以求证原题了。 若要熟练运用此方法，还应熟练掌握级数的判敛方法，如比值收敛法、根式 法等，这里不再一一叙述。 例 2.10.1 求 lim 解 设 un ?n ??n! . nnn! ，则 nn? n ? 1?! n ?1 ? n ? 1? n! lim ? limn ??nnn ??n! nn1 ? n ? ? lim ? ? e?1 ? 1 ? ? lim n n ?? n ? 1 n ?? ? ? ? 1? ?1 ? ? ? n?n由比值判别法可知，级数 ? u n 收敛。根据级数收敛的必要条件有 un ? 0 ，从而n ?1?limn ??n! ?0. nnnn 例 2.10.2 求 lim n . n ?? 3 n !解 考虑级数 ?nn ，由根式判别法及斯特林公式，有 n n ?1 3 n !? n ? n e lim ? n ? ? lim ? ? 1, 1 ? n ?? 3 n ! n ?? 3 n ? ? 3 ? (2? ? n) 2 n ? ? e12 n en 1 n?所以级数收敛 ?nn nn ，故有 lim n ? 0 . n n ?? 3 n ! n ?1 3 n !?第 41 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨4 结论从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长 河， 人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类 科学发展以强大的动力。我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结。 不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间。 学习包括“学”与“习”两个方面。“学”是为了获取知识，“习”是为了 消化和掌握知识。学而不习，知识不易消化和掌握；习而不学，知识不易丰富。 孔子说： “学而时习之”， 就是这个道理。 上面介绍了多种求解极限问题的方法， 要想能够灵活、 熟练地掌握这些方法， 能在遇到问题的时候能够迎刃而解， “学” 是基础，“习”更是关键，这要求我们不仅要懂得这些方法和原理，更要求勤加 练习，多做题目，这样才能把理论知识运用到具体的实例中去。 本文首先介绍了极限史，接着归纳总结了十种求解极限的方法，把分散的公 式、理论和方法聚集到了一起。但是解决极限问题的方法是众多的，有甚者也并 不归属于上述总结的方法之中， 数学的各方面内容是可以融会贯通的，运用初等 的数学公式或是三角恒等变换等方法都可以用于到求极限问题上面来的。 对于同 一个问题， 也可以有不同的求解方法。本文所举的实例也并不限于只能用我们所 给定的方法去求解， 如例2.5.5，虽然在这里我们是用到了泰勒公式展开的方法， 但运用罗必塔方法也是同样可以解决问题的。数学的解题过程是没有固定思维 的， 若遇到用某种方法不易或难于解决的问题， 不妨换个角度， 试用其他的方法。 固然，这就要求我们对极限概念和基本理论能正确理解和熟练运用。第 42 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨参考文献[1] 候德润、张兰译．数学史［M］ ．桂林：广西师范大学出版社，12004.4． [2] 李文林．数学史概论（第二版） ．北京：高等教育出版社，04 重印） ［M］ ．第 43 页 共 44 页关于极限思想及其解法的探讨[3] 郭文秀.极限思想的建立.郑州铁路职业技术学院学报，（2）. [4] 刘和义、刘旭浩．微积分发展简史．衡水学院学报，） ． [5] 王晓硕.极限概念发展的几个历史阶段.高等数学研究，）. [6] 宋国栋、鞠洪尧编等．考研数学详解［M］ ．北京：电子工业出版社，7． [7] 毛纲源．高等数学解题方法技巧归纳（上） ．武汉：华中科技大学出版社，2001.8． ［M］ [8] 陈纪修等．数学分析，上册［M］ ．北京：高等教育出版社， 重印） ． [9] 吴忠怀．求极限的主要方法［M］ ．岳阳职业技术学院学报，2004.12． [10] 李明、鲍勇.极限思想及其计算方法.淮北职业技术学院学报,(3).第 44 页 共 44 页