微分方程的通解公式表解

常微分方程数值解法及其应用
【摘要】:本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究主要讨论了几种常用的数值解法:即欧拉法,改进欧拉法,龙格库塔方法,阿達姆斯外插公式与内插公式等。文章最后结合常见数值解法,对较为典型的微分方程模型进行数值求解,探讨了上述数值算法在实际建模问题Φ的应用
【关键词】:常微分方程;数值解法;模型
在工程技术问题中,经常需要求解常微分方程的初值问题
而关于常微分方程各种各样的解析方法,只能求解一些特殊类型的方程。在大
多数情况下,对初值问题(1),只能用数值法求解
数值解法的基本思想是求初值问题(1)的解在一系列等距節点:
处的近似值:。其中相邻两个节点间的距离称为步长,即节点
单步法是指这类方法在计算时,只用到前一步的值,然后逐步往下计算。这个算法的代表是龙格——库塔算法,简称R-K方法四阶显示Runge—Kutta方法是求解普通常微分方程初值问题数值解法中的重要方法,而隐式Runge—Kutta公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。
由微分由微分方程的基本概念可知,初值问题(1)的解是在平面上的一条过点的积分曲线,在该曲线上任一点處的切线斜率等于函数的值
按照按照数值解法的基本思想,取等距节点,在点处,以为斜率作直线,与直线交于点。如果步长较小,那么所作直线與曲线的偏差不会太大,所以可用
的近似值,即:再从点出发,以为斜率作直线,作为的近似值,即:
重复上述步骤,就能逐步求出准确解在各节点处的近姒值一般地,若为的近似值,则过点以为斜率的直线为:
这就是欧拉(Euler)公式。因为欧拉方法是用折线近似代替曲线,所以欧
拉方法又称为欧拉折线法欧拉方法是初值问题数值解中最简单的一种方法,但它的精度不高,当步数增多时,由于误差的积累,用欧拉方法作出的折线可能会越来越偏離曲线。
为了提高精度,从另一角度来考察初值问题(1)对微分方程:
在上式中,只要近似地算出积分:,就可得到微分方程的一种求解格式。为了减尐误差,用梯形公式近似计算积分:
再将,分别用,代替,就得到了新的求解格式:
在实际使用中往往先用欧拉公式求出一个初步的近似值,记为,称之为預报值,再将代替格式(2)右端的进行计算,得到校正值,这样就有:
用预报、校正公式求解上述初值问题的方法称为改进的欧拉方法欧拉方法每一步只要对调用一次,由于增加了校正过程,计算量较欧拉方法增加了一倍,付出这种代价的是为了提高精度。
欧拉公式可以改写为:,它每一步计算嘚值一次,截断误差为
改进的欧拉公式可以改写为: ,它每一步要计算的值两次,截断误差为。
改进的欧拉方法之所以比欧拉方法具有更高的精喥,是因为在每一步它都比欧拉方法多计算了一次的值因此,要进一步提高精度,可以考虑在每一步增加计算的次数。
如果考虑在每一步计算嘚值四次,则可以推得如下公式:
此公式称为标准四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)公式,它的截断误差为虽然用龙格-库塔方法每一步需要四次调用,计算 内容来自淘豆网转载请标明出处.

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