可降阶的高价微分方程微分方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-28 07:45 标签： 可降阶的高价微分方程

原标题：考研数学 | 可降阶的高价微分方程微分方程及高阶线性微分方程的种类

常微分方程这部分内容每年试题一般是一个小题，也会和其它知识点结合在一起出一个大題分数一般在4分左右，难度不是很大

除了各种微分方程的求解，对常系数线性微分方程解的结构和性质的考查也是考试的一个重要方媔

从上述总结的可降阶的高价微分方程微分方程及高阶线性微分方程的种类及其解法可以看出，这类题目不同种类对应不同的解法同學们需要强化记忆理解相关概念，注意区分对不同类型的题目采取相对应的解法。

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5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程1小结 思考题 作业 型的方程型的方程型的方程5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程第5章 微分方程应 用 5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程2一、 型的方程特点是未知函数 y 的n 阶导数, 且不含未知函数 y 及其两边积分……接连积分n次,右端是 自变量x的一个已知函数,导数左端再积分得到含有n个任意常数的通解.5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程3例 求解方程解 将方程积分三次, 得最后得到的就是方程的通解.5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程4二、 型的方程特点 方程缺y.解法将p作为新的则方程变为这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程.如果其通解为则由再积分一次, 可求出原方程的通解设未知函数,5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程5例 解方程 因方程中不含未知函数y,解令代入原方程, 得p的可分离变量的一阶方程由初始条件知C1= 4,所以y的分离变量方程5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程6再由初始条件知C2 = 1故所求解为5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程7令求出通解后,只须作变换,再积分k次, 即可求得原方程的通解.方程就可化为阶方程5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程8例 解方程 解 令则方程變为由分离变量法解得于是所以原方程的通解为积分4次可分离变量方程5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程9求微分方程 满足初始条件的特解.考研数学二, 10分解令代入原方程, 得一阶线性方程因方程中不含未知函数y,即于是故5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程10求微分方程 满足初始條件 的特解.考研数学二, 10分应取即解得故例5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程11特点解法方程缺自变量x 三、 型的方程则方程变成这是关于变量y, p 的一阶方程.设它的通解为分离变量并积分,得通解为设5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程12解代入原方程例可分离变量方程即可分离变量方程5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程13微分方程满足条件的特解是或解可分离变量方程即注有些高阶方程也可用类似于“凑全微分” 的方法求解.考研数学一, 3分5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程14例解 该几何问题可归结为如下的微分方程的故所得曲线为相切的积分曲线.初值問题:两边积分, 得两边再积分一次, 得四、应 用5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程15上述两直线与 x 轴围成的三角形例 过曲线y = y(x)上任一点 P(x, y)作该曲线嘚切线及 x 轴的垂线, 区间[0, x]上以 y(x)为曲边的曲边梯形面解于是设曲线y = y(x)在点 P(x, y)处的切线倾角为? ,求y = y(x)满足的方程 .面积记为S1,积记为S2,5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程16再利用 y(0) = 1 得利用得两边对x求导, 得初始条件方程化为利用初始条件得故所求曲线方程为初始条件5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程17求微分方程的积分曲线, 使该积分曲线过点且在该点的切线斜率为2.解方程代入方程, 得所求积分曲线为5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程18五、小结解法: 通过代换将其化成较低阶的方程来求解.三种类型的可降阶的高价微分方程高阶微分方程5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程19思考题解积分方程过曲线 y = f (x)上点( x, f (x))处的切线考研数学一, 8分方程为得切线在y轴上的截距求 f (x)的一般表达式.5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程20积汾方程两边对x求导, 即代入上式, 得可分离变量方程微分方程5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程21可分离变量方程分离变量并积分得再积分, 得即为所求.5.5 可降阶的高价微分方程高阶微分方程22作 业习题5.5(168页)

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