excel如何计算相对平均偏差？excel如何计算相对平均偏差？百度知道知科技百家号1.极差不匀（又名相对极差）极差是指一组数据的最大值与一组数据的最小值之差相对极差一般是指极差（绝对极差）/数值平均值可以使用公式&=ROUND((MAX(A2:A4)-MIN(A2:A4))/AVERAGE(A2:A4)*100,2)&"%"如下图所示2.平均差不匀（又名相对平均偏差）：可以使用公式=ROUND(AVEDEV(A1:A13)/AVERAGE(A1:A13)*100,2)&"%"如下图所示3.均方差不匀（又名相对标准偏差）：可以使用公式=ROUND(STDEV(A1:A13)/AVERAGE(A1:A13)*100,2)&"%"如下图所示（本文内容由百度知道网友茗童贡献）本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。百度知道知科技百家号最近更新：简介:科技不神秘，知道君告诉你。作者最新文章相关文章24小时热门版块排行榜&&&&
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请问如果真实值为0是，相对误差如何计算？已有3人参与
相对误差 = （真实值 - 实验值）/真实值
如果实验值为10，真实值为0，则相对误差如何处理？
如果实验值为0，真实值为0，则相对误差如何处理？
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如果实验值为10，真实值为0，则相对误差如何处理？
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相对误差计算公式?根据计算值和测量值计算相对误差
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如果测量值是正确的,求计算值的相对误差,则相对误差=（计算值-测量值）/测量值,然后取绝对值.如果要百分比再乘上100%如果计算值是正确的,求测量值的相对误差,则相对误差=（测量值-计算值）/计算值,然后取绝对值.如果要百分比再乘上100%
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相对误差E是指绝对误差的绝对值与被测量真值的比值解释：绝对误差测量结果与被测量真实值的差被测量真实值也就是计算值
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计量学原理
第3章 计量误差与数据处理
第3章 计量误差与数据处理3.1 计量误差 3.2 数据处理 习 题? ? ?常用计量术语? 1、量：现象、物体或物质的可以定性区别和 定量确定的一种属性。? 计量学中的“量”，都是指可测量的(measurable)量。量，可以是广义的量，如长度、质量、温度、 电阻、时间；也可以是特定的量，如某根杆的长 度、某条导线的电阻。 ? 可相互比较的量(可比量)称为同种量；某些同种 量可以组合在一起成为同类量，例如功、热、能 (皆可用同一单位焦耳表示)，厚度、周长、波长 (皆可用同一单位米表示)等。? 2．被测量(measured quantity，quantity to be measured)? 被测量的量。它可以是待测量的量，也可以是已测量的量。? 3．影响量(influence quantity)? 不是被测量，但却影响被测量的量值或计量器具示值的量。例如环境温度、被测的交流电压的频 率。? 4．计量单位(unit of measurement)? 约定选取的特定量(通常其数值为1)，用以定量表示同种量的值。同种量的量纲必然相同，但相同 量纲的量未必同种。例如，在国际单位制中，功 和力矩的量纲相同，皆为L2MT-2，而量却不同。? 5．量值(value of a quantity)? 由数值与计量单位的乘积所表示的量的大小，如5m、12kg。? 6．量的数值(numerical value of a quantity)? 量值中的数字部分。? 7．量的真值(true value of a quantity)? 某量在所处的条件下被完善地确定或严格定义的量值。或者，可以理解为没有误差的量值。?一个理想的概念。? 8．量的约定真值(conventional true value of a quantity)? 为给定目的而取的可以代替真值的量值。一般来说，约定真值与真值的差值可以忽略不计。故而 在实际应用中，约定真值可以代替真值。? 9．实际值(actual value)? 满足规定精确度的用来代替真值的量值。实际值可理解为由实验获得的，在一定程度上接近真值 的量值。在计量检定中，通常将上级计量标准所 复现的量值称为下级计量器具的实际值。? 10．测量(measurement)? 为确定量值而进行的操作。操作可能是相当复杂的，也可能是极其简单的。? 11．测得值(measured value)? 由测量得出的量值。它可能是从计量器具直接得出的量值，也可能是通过必要的换算、查表等(如系数换 算、借助于相应的图表或曲线等)所得出的量值。? 12．测量结果(result of a measurement)? 由测量得到的被测量的量值(测得值)及其不确定度(或误差范围)。更严格地说，测量结果还应包括测量条 件或主要影响量的值或范围的说明。? 13．计量器具的基本误差(intrinsic error of a measuring instrument)? 计量器具在标准条件下所具有的误差。? 14．计量器具的附加误差(complementary error of measuring instrument)? 计量器具在非标准条件下所增加的误差。? 15．计量器具的允(容)许误差(permissible errors of a measuring instrument)? 技术标准、检定规程等对计量器具所规定的允许的误差极限值。? 16．测量重复性(repeatability of measurements)? 在相同的地点和使用条件下、用相同的测量方法和器具、由相同的观测者在短时间内对同一量进行连续多 次重复测量所得结果之间的符合程度(一致性)。它一 般可用结果之间的差值(离散)来定量表示。? 17．测量复现性(reproducibility of measurements)? 在不同的测量条件下，对相同被测量进行测量时，其测量结果之间的符合程度(一致性)。它一般可用结果 之间的差值(离散)来定量表示。 这里“不同的测量 条件”系指：不同的测量原理、不同的测方法、不同 的计量器具、不同的使用条件、不同的观测者、不同 的时间、不同的地点等。? 18．测量正确度(correctness of measurement)? 测量结果与真值的接近程度。它反映的是测量结果的系统误差的大小 (参见图3-1(a))。? 19．测量精密度(precision measurement)? 在相同条件下对同一量进行多次重复测量时，所得结果之间符合程度。它反映的是测量结果的随机误 差的大小(参见图3-1(b)) 。? 20．测量精确度(准确度，accuracy of measurement)? 测量结果之间的符合程度以及与真值的接近程度的综合。它是精密度和正确度的综合反映(参见图 3.1.11(c)).射击误差示意图(a) (a) ―正确度较高，精密度较差； (b)―精密度较高，正确度较差；(b)(c)图3―1正确度、精密度、精确度示意图(c)―精密度和正确度都较高，即精确度(准确度)较高。? 误差理论是计量科学的重要组成部分，在计量 误差研究中主要解决（即误差理论研究的意 义）：? 合理评价计量结果的误差。 ? 正确处理计量数据，以便得到接近于真值的最佳结果。 ? 指导实验设计，合理选择计量器具、计量方法和规 定计量条件，以便得到最佳的结果。3.1 计量误差?3.1.1 计量误差的定义 计量误差是计量结果与被计量的量的真值之 间的差异。? 量的真值是指某量在所处的条件下被完善地确定或严格定义的量值。因此量的真值是一个理想的 概念,一般是未知的。虽然基本单位量的真值可以 按定义给出,但是复现起来还是含有误差。实际上, 真值常用实际值――用高一等级的计量标准器具所 计量的量值或一列计量结果的平均值来代替。当 测量结果仅含有随机误差时,测量结果算术平均值 （数学期望）是被测量真值的最佳估计值。? 3.1.2 计量误差的表示方法计量误差有四种表示方法。?? 1. 绝对误差对某一量进行计量以后,用被计量的量的计量结果x 减去其真值x0而得到的差值,称为绝对误差（也简称 误差）Δx，即??Δx=x-x0（3.1.1）? 【例3.1.1】真值为6.42μA的电流,在微安表上的示值为6.34μA,则微安表的示值6.34μA的绝对误差为 6.34-6.42=-0.08 μA?由于真值一般无法求得,因此Δx=x-x0 这个式子只有 理论上的意义,经常用上一级标准仪器的示值作为 实际值代替真值,由于上一级标准也存在误差,只是 小一些,因此,实际值并不等于真值。但一般来说,实 际值总比计量值更接近于真值。? ? 2. 相对误差 相对误差是绝对误差与被计量的量的真值之比。 相对误差通常以百分数表示,因此相对误差可以表示 为x ? x0 ?x ? x ? ?100 %或? x ? ?100 % x0 x0? 【例3.1.2】用一个频率计测量准确值为100kHz的频率源,测得值为101kHz,则其绝对误差为 Δx=101-100=1kHz??? 相对误差为101 ? 100 ?x ? ?100 % ? 1% 100? 【例3.1.3】用波长表测量准确值为1MHz的标准频率源,测得值为1.001 MHz,则其绝对误差为 Δx=1.001-1=0.001MHz=1 kHz???? 相对误差为从上面两个例子可以看出,两次测量的绝对误差相同, 但其相对误差不同,第一个相对误差大,第二个相对 误差小。相对误差越小,测量的准确度越高。 注：绝对误差与相对误差的比较。 ? 3. 分贝误差? 在日常生活和工作中离不开自然计数法,但是在一些 自然科学和工程计算领域,对物理量的描述往往采用 对数计数法,比如对声学和电学中的物理量。1.001 ? 1 ?x ? ? 100 % ? 0.1% 1从本质上讲,在这些场合用对数形式描述物理量是 因为它们符合人的心理感受特征。在一定的刺激 范围内,当物理刺激量呈指数变化时,人们的心理感 受是呈线性变化的,人的感受器官好像是一个对数 转换装置一样,这就是心理学上的韦伯定律和费希 纳定律。 分贝误差是相对误差的另一种表现形式,在电学和 声学计量中,常用分贝误差表示相对误差。? ? 先看一下分贝的定义： ? ? 对于电压、电流类参量?D=20lgx dB???? 式中,x=U2/U1或x=I2/I1,U1、U2为电压,I1、I2为电流。? 对于功率类参量?D=10lgx dB???? 式中,x=P2/P1，P1，P2为功率。? ? 若x有误差Δx,则分贝也有一相应误差ΔD,即D+ΔD=20lg (x+Δx) dB或 D+ΔD=10lg (x+Δx) dB? 所以分贝误差为:?对于电压、电流类参量? ΔD=20lg (1+δx) dB对于功率类参量ΔD=10lg (1+δx) dB? 由分贝误差计算相对误差的公式为：? 当误差本身不大时,分贝误差与一般的相对误差之?x ? 10 ?D / 20 ? 1 ?? ? x ? x或?x ?x ? ? 10 ?D /10 ? 1 x间有简单的计算关系： ?对于电压、电流类参量 ΔD≈8.69δx? δx≈0.115ΔD 对于功率类参量ΔD≈4.34δx?δx≈0.230ΔD? 以上两组式子仅表明分贝误差与相对误差之间数值上的换算关系,使用时还要注意各个量的单位。 ? 【例3.1.4】一电压用某电压表测得为125V,用标准 表测得为127V,求分贝误差。? 解： 先求出绝对误差为? Δx=125-127=-2 V??? 再求出相对误差为?2 ?x ? ? 100 % ? ?1.6% 127则分贝误差为?D ? 20 lg(1 ? 0.016) ? ?0.14dB ?D ? 8.69 ? (?1.6) ? ?0.14dB在实际工作中,常用dB来表示信号电平,用dBm来表示 功率电平。为此,必须确定一个基础电平,也就是所谓 的零电平。 在电学领域中,零电平一般定义为：在600Ω的纯电阻 上耗散1mW的功率,电阻上的电压和流过的电流分别 为U 0 ? PR ? 0.001? 600 ? 0.7746V I0 ? P 0.001 ? ? 1.291mA R 600? 作为基准值的1mW、0.7746V和1.291mA分别称为零电平功率、零电平电压和零电平电流（我国不采 用电流电平测量基准）。?? 于是,用dB来表示信号电平的公式为? 用dBm来表示功率电平的公式为U D ? 20 lg dB 0.7746(3.1.2)(3.1.3)P Pm ? 10l g dBm 1? dBm表示以1mW为基准的功率电平的分贝值,在微波和通讯领域广泛应用。? 我国现在使用的测量仪器,有以1mW为零电平刻度的功率电平表,也有以0.7746V电压为零电 平刻度的电压电平表,在使用这些测量仪器时, 要注意这一点。? ? 另外,也有取1 μ为零电平的（例如测量接收 机）,在这种情况下,应予以注明。? 4. 引用误差?引用误差是一种简化的实用且方便的相对误差,在 多挡和连续刻度的仪器仪表中广泛应用,这类仪器 仪表可测范围不是一个点而是一个量程,各刻度点 的示值和其对应的真值都不一样,因此,计算相对误 差时所用的分母也不一样,所以计算很麻烦。 ? 为了计算和划分准确度等级方便,规定一律取该仪 器仪表的特定值作分母,由此可以定义引用误差： 引用误差是计量仪器的示值的绝对误差与仪器的 特定值之比，通常也用百分数表示。即?xlim?x ? ? 100 % xlim(3.1.4)式中, xlim称为特定值,也称为引用值,通常是计量仪 器量程中的满刻度值（最大刻度值）或标称范围 的上限。 ? 【例3.1.5】检定2.5级、上限为100V的电压表时, 发现50V刻度点的最大示值误差为2V,并且比其他 各刻度点的误差都大,问该电压表是否合格？? 解：该电压表的最大引用误差为 2 ?? ?xlim ? ? 100 % ? 2% 100 2.5级的含义是合格仪器仪表最大引用误差的界限 为2.5％,可见,该电压表合格。? 电工仪表的准确度等级分别为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级,这些等级 表明仪表的引用误差不能超过的界限。 ? 一般来说,如果仪表为S级,则仅说明合格仪表的最 大引用误差不会超过的S％,而不能认为它在各刻度 点上的示值误差都具有S％的准确度。? ? 设仪表的满刻度值为xn,测量点为x,则该仪表在x点 邻近处的示值误差应为： 绝对误差≤xn×S% ?? xn 相对误差≤ ×S%?x? 一般情况下,x≠xn,因此, x越接近于xn （因为x在分母上）,其测量准确度越高；x越远离xn, 其测量准确度 越低；这就是为什么人们利用这类仪表测量时,尽可 能在仪表满刻度值2/3以上量程内测量的原因所在。 在选择仪表作测量时,要注意到这一情况。在分析此 类仪表对测量值的实际影响时,需要按上面两个式子 作换算,而不能直接采用对应于仪表的准确度等级的 值,也就是说不能把引用误差当作相对误差来使用。 ? 【例3.1.6】某待测的电压约为100V,现有0.5级0～300 Ｖ和1.0级0～100V两个电压表,问用哪一个电压表测 量比较好？ 解：用0.5级0～300V测量100V时的最大相对误差为 xn 300 ?x1 ? ? S % ? ? 0.5% ? 1.5% x 100而用1.0级0～100V测量100V时的最大相对误差为 xn 100 ? x2 ? ? S % ? ?1.0% ? 1.0% x 100因此,选择1.0级0～100V电压表比较好。 这个例子说明,如果量程选择恰当,用1.0级仪表进行 测量比用0.5级仪表准确。 因此,在选择仪表时,不能单纯地认为准确度等级越高 越好,而应根据被测量的大小,兼顾仪表的级别和测量 上限合理地选择仪表。? 3.1.3 计量误差的分类 ? 根据误差的性质,计量误差可以分为三类：系统 误差,随机误差和粗大误差。下面分别介绍这三 类误差。? 1．系统误差在分析和研究测量误差时,必须把系统误差排除才能 按随机误差理论对测量误差进行处理。实际上,测量 过程中往往存在系统误差。在某些情况下,系统误差 数值还比较大,因此,测量结果的精度,不仅取决于随 机误差,还取决于系统误差的影响。由于系统误差和随机误差同时存在于测量数据之 中,且不易被发现,多次重复测量又不能减小它对 测量结果的影响,这种潜伏性使得系统误差比随机 误差具有更大的危险性。因此,研究系统误差的特 征与规律性,用一定的方法减小或消除系统误差, 就显得十分重要,否则,对随机误差的严格数学处 理将失去意义,或者收效甚微。?1）系统误差的定义? ?在相同条件下,多次重复计量同一个量时,保持固定不变的误差,或者在条件改变时,按某一确定规律变化的计量 误差的分量叫系统误差。系统误差决定计量结果的 “正确”程度。? ?许多系统误差可以通过实验确定（或根据实验方法、 手段的特性估计出来）并加以修正。?但有时由于对某些系统误差的认识不足或没有相应的手段予以充分确定,而不能修正,这种系统误差称为未定 或剩余系统误差,也称为未消除的系统误差。??前面已经提到,系统误差与计量次数无关,因此,也不能用增加计量次数的方法使其减小或消除。?2）系统误差的分类 ?系统误差按其呈现的特征可以分为常值系统误差和变值系统误差；而变值系统误差又可分为累积的、周期 的和按复杂规律变化的系统误差。??常值系统误差是指在计量过程中绝对值和正负号始终不变的误差。比如：某量块的标称尺寸为10mm,实际尺 寸为10.001mm,误差为-0.001mm,若按标称尺寸使用,则 始终存在-0.001mm的系统误差。??累积系统误差是指在计量过程中按一定速率逐渐增大或减小的误差。 ?例如,由于蓄电池或电池组（在正常工作区间）的电压缓 慢而均匀的变化所产生的线性系统误差。再比如刻度值 为1mm的标准刻度尺,由于存在刻划误差Δl,每一刻度间实 际距离为 (1+Δl) mm，用该尺测量一长度为l的物体,读数 为n,则l的实际值为 ?? l=n(1+Δl)=(n+nΔl) mm? (3.1.5) ?若认为该物体长度为nmm,就产生了随测量值大小而变化 的线性系统误差-nΔl mm。??90° 周期性系统误差是指在计量过程中周期 性变化的误差。例如,由于刻度盘偏心所 l 引起的误差。指针式仪表中,由于安装问 ?l ? 题,使指针动中心偏离仪表刻度盘的中心, 0° ? 180° 就会出现周期性变化的指示误差。如图 O′ O 3.1.1所示,指针的转动中心O沿水平方向 偏移刻度盘中心O′的距离为l,则指针与水 平线的夹角φ为90°,指示超前值为l所表 270° 示的刻度值,当φ为0°及180°时,指示 误差为0,当φ为270°时,指示滞后值为l所代表的刻度值。 对于任意φ,图上两平行线间的弧线的长度就对应了指针的 指示误差。周期因为l很小,可以用两平行线间的直线距离 代替弧长,因此可以得到,指针的指示误差Δl与夹角φ呈正弦 规律变化,即 Δl=l sinφ (3.1.6 ) 所以指针的指示值沿刻度标尺产生正弦函数关系的周期性 变化系统误差。?按复杂规律变化的系统误差是指在计量过程中按复杂规律变化的误差,一般可用曲线或公式表示。例如,晶体振荡器 频率的长期漂移近似服从对数规律,若不考虑这种漂移,就 会带来按对数规律变化的系统误差。?? 3）系统误差的产生? ? (1)装置误差：计量装置本身的结构、工艺、调整以及磨损、老化或故障等所引起的误差。? (2)环境误差：由于各种环境因素与要求的标准状态不一致及其在空间上的梯度与随时间的变化引起的测量装 置和被测量本身的变化,机构失灵,相互位置改变等引起 的误差。这些因素和温度、湿度、气压、电磁屏蔽、震 动（大地微震、冲击、碰动等）、照明、加速度、电磁 场、野外工作时的风效应、阳光照射、透明度、空气含 尘量等都有关。科学实验中,静态分析和动态使用时的 差异,是值得特别注意的误差源。?(3)方法或理论误差：计量方法或理论不完善引起的误差。?(4)人员误差：计量人员生理差异和技术不熟练引起的误差。 ?4）系统误差的消除? ?根据前面所讲的产生系统误差的种种原因,可以得出一些 消除系统误差的基本方法。? ?(1) 计量前消除可消除的误差源。 ?这种消除系统误差的方法是最理想的,也就是在目前的技 术条件下,找出造成系统误差的原因,并想办法消除造成系 统误差的因素对测量的影响,从而使测量不会产生系统误 差。?更概括地讲,就是从参与测量的4个环节――进行测量的操作人员、所用测量设备、采用的测量方法和进 行测量的条件入手,分别对它们进行仔细研究,深入分 析,从而找出产生系统误差的原因,并设法消除这些系 统误差。?(2)计量过程中采用适当的实验方法,如替代法、反向补偿法、对称法等,将系统误差消除。??①替代法：用与被计量对象处于相同条件下的已知量来替代被计量量。这种方法就是用测量仪器对一 未知物理量进行测量时,为了消除系统误差,在测量后 再用一已知标准量进行同样的测量,并使仪器的指示 保持不变,则已知标准量就是待测未知物理量。?具体做法是: 先将被计量量接入测试装置,使系统误差处于某个工作状态,然后用已知量替代被计量量, 并使系统的工作状态保持不变。 ?替代法最直观的例子就是利用精密天平称重。在电 子计量中也大量采用替代法,例如，用电桥计量电 阻、电感和电容等,以及用直流替代交流的方法高 精度地计量高频电压。在替代法的使用中,原有的 测量系统在同一工作状态下起到了判断被测量和已 知量是否等量值的作用,而被测数据的取得或者来 自已知量的自身显示,或者要依靠其他辅助仪表。 ??替代法的应用之一――沃尔德称重法。 ?设待测重量为x,当天平达到平衡时所加砝码重量为Q,天平的两臂长度分别为l1 和l2 。根据力矩平衡原理,当天平 达到平衡时有l2 x? Q l1?一般用天平称重时,我们认为l1=l2,所以有（3.1.7）x=Q（3.1.8）? 对于一般的称重,这样做就可以了。? ?实际在制造天平时,很难保证天平的两臂长度相等,即l1≠l2,所以对于精密的称重测量,还像般天平称重那样,认为所加 砝码重即为物重,这样就会因天平臂长不等而造成系统误 差。 ?为了消除因天平臂长不等而产生的系统误差,可用已知标 准砝码P代替x,若天平仍达到平衡,则l2 P? Q l1 x?P（3.1.9） （3.1.10）?这种消除系统误差的方法,最早就是应用在称重上,故称 沃尔德称重法。?替代法的应用之二――用电桥测量电阻。?电路如图3.1.2所示。 ?电桥的两测量端口AB接入被测电阻Rx时,调节可调电阻R1和R2的值,使电桥平衡。电桥平衡时,检流计G指示为零,此 时的等效电路如图3.1.3所示。由UB=UC,可得ARs R1 Rx B G R3 D R2 C ER1CR2A RxB R3DE图 3.1.2 直流电桥法图3.1.3 等效电路E E R1 ? RX R1 ? R2 RX ? R3R1(Rx+R3)=Rx (R1+R2)? R1Rx+R1R3=RxR1+RxR2 R1 R3=RxR2 RR （3.1.11） RX ? 1 3 R2 由式（3.1.11）可以看出,各桥臂电阻的误差ΔR1、ΔR2、ΔR3对测 量结果有影响,其误差为R3 R1 R1R3 ?RX ? ?R1 ? ?R3 ? 2 ?R2 （3.1.12） R2 R2 R2如果采用替代法,则可以避免这种影响。在接入被测电阻Rx并调节 平衡后，保持各可调元件不动,然后换上标准可调电阻Rs,并调节 其大小,使电桥又恢复平衡,于是可得到Rx=Rs。此时,测量的精度仅 取决于Rs,而与检流计G、R1、R2、R3的误差无关,只要指示器有足 够高的灵敏度和各电阻在替代过程中保持稳定不变即可。?②反向补偿法：也称为异号法或抵消法。 ?要求对被测量要进行两次适当的测量,使两次测量结果所产生的系统误差大小相等,方向相反,取两次测量结果 的平均值作为最终测量结果,从而达到消除系统误差的 目的。 ?例如,用正反向两次计量来消除热电转换器的直流正反 向差。 ?不少带有惯性（如热惯性）的传感器的定度测量就必须 用反向补偿法来处理。?反向补偿法的应用之一――消除恒温箱热惯性引入的系统误差。? ?在对某些控温装置的标定中,为了消除热惯性引入的误差, 常常要使标准恒温箱的温度升高或降低,并在两种不同温 度变化方向的同一温度下读取温度计的读数,以它们的中 间值作为读数刻度的修正,如图3.1.4所示, 以T=(T1+T2)/2作 为恒温箱在t1温度下的温度值。? ?温度计读数T1 T T2 Ot1修正后的温度值图3.1.4 读数刻度修正示意图?反向补偿法的应用之二――测电阻时,消除接触电动势带来的系统误差。??在电学测量中,为了测量一未知电阻值,可将待测电阻Rx与一已知阻值的标准电阻R0串联,用电压表测出两电阻上通 电后的电压降。根据所得电压比及标准电阻值,由欧姆定 律可得待测电阻为 URX ?XU0R0（3.1.13）?在测量回路中,由于导线、接头等材料的差异会产生接触电动势,为了消除它们对测量造成的影响,可以改变电流 方向进行两次测量。设第一次正向电流测得的电压降为 Ux,1、U0,1,第二次反向电流测得的电压降为Ux,2、U0,2。取 两次测量的平均值,两个电阻上的电压降为U X ,1 ? U X , 2 UX ? 2 U 0,1 ? U 0, 2 U0 ? 2则待测电阻为（3.1.14） （3.1.15）RX ?U X ,1 ? U X ,2 U 0,1 ? U 0,2UX R0 ? R0 （3.1.16） U0这样就消除了因接触电动势的存在对测量所造成的影响。?③对称法：当被计量量的系统误差为某量（如时间）的线性函数时,在距离相等的间隔依次进行数次计量（最少 三次）,则其中任何一对对称观测值的累积误差的平均值 都等于两次观测的间隔中点相对应的累积误差,利用这一 对称性便可将线性累积系统误差消除,如图3.1.5所示,则??1 ? ? 52??2 ??42?2 ?3? ?3?4 ?5（3.1.17）?1Ot1 t2 t3 t4 t5 t图3.1.5 对称法?对称法的应用――用电位差计测电压。 ?利用对称法来消除由于电池组的电压下降而在直流电位差计中引起的累积系统误差。实践证明,在一定的时间内, 电池组的电压下降所产生的误差是与时间成正比的线性 系统误差，因此,可以利用对称法来消除这个误差。原理 线路如图3.1.6所示。E … Rn R RxG En S Ex图3.1.6 电位差计?首先在Rn 上平衡标准电压En 。由于电池组的电压下降,使 工作电流I减小,因此有 En ? I ? ?1 （3.1.18） Rn ?然后在Rx上平衡被计量电压Ex,有Ex ? I ??2 Rx（3.1.19） (3.1.20)?再次平衡En,有En ? I ??3 ? Rn ?如果使每次计量的时间间隔相等,则?1 ? ? 32? ?2（3.1.21）?由式（3.1.19）得EX I? ??2 RX（3.1.22）?将式（3.1.22）分别代入式（3.1.18）和式（3.1.20）,得 En E X ? ? ?1 ? ? 2 （3.1.23） Rn RXEn E X ? ??3 ??2 Rn RX?式（3.1.23）与式（3.1.24）相加,得（3.1.24）En En 2 E X ? ? ? ? 1 ? ? 3 ? 2? 2 ? Rn Rn RX?再将式（3.1.21）代入式（3.1.25）,得（3.1.25）En En 2 E X ? ? ? Rn Rn RX（3.1.26）? 由此可得出不含累积系统误差的被测电压Ex的值：1 1 1 E X ? ( ? ) En R X ? 2 Rn Rn（3.1.27）?④ 交换法：也称为对置法, 在待测量与标准量的位置互换前后各进行一次测量,就可以实现消除恒定系统误差的 目的。??交换法的应用――高斯称量法。交换法应用最典型的例子是用于消除天平不等臂问题 引起的恒定系统误差。? ?在两臂为l1和l2的天平上称重,先将待测量x放在天平左侧, 标准砝码Q放在天平右侧,达到平衡,则有?l2 x? Q l1衡,这时有（3.1.28）?然后交换x和Q的位置,由于l１≠l2,将Q换为Q′后才能与x平l2 Q? ? x l1（3.1.29）?两式相比得x Q ? Q? x（3.1.30） （3.1.31）即x ? QQ??这样就消除了由于天平不等臂而造成的系统误差。? ?这种方法最早在天平称重中应用,因此称高斯称量法。根据式（3.1.31）可以得到不带有因天平臂长不等而产 生的恒定系统误差的测量结果。? ?用C表示Q′与Q之差,即 Q′=Q+C （3.1.32）?代入式（3.1.31）,得C x ? QQ ? ? Q (Q ? C ) ? Q 1 ? Q ?根据近似公式（3.1.33）(1 ? a )1/ 21 ? 1 ? a ? ? (a ) 2（3.1.34）?因C值很小,高次项可忽略,将C/Q看成是a,则C Q? ? Q Q ? Q? x ? Q (1 ? ) ? Q (1 ? )? 2Q 2Q 2（3.1.35）?即待测值可近似地用两次测量值的平均值来表示。将式（3.1.28）与式（3.1.29）相乘,得 l ? ? ( 2 ) 2 xQ xQ l1 则l2 Q? C C Q? ? Q Q ? Q? ? ? 1? ?1? ? 1? ? l1 Q Q 2Q 2Q 2(3.1.36)(3.1.37)式（3.1.37）就是通过交换法测量,计算天平两臂长度比 的计算公式,可作为单次测量对臂长不等进行修正的修正 值计算公式。??⑤ 抵消法： 也可以将抵消法认为是一种替代法。这种方法是用待测量去抵消一部分已知量,以达到消除系统 误差,提高测量精度的目的。? ?? 抵消法的应用――测量高频小电容。 ?利用谐振原理,用抵消法测量高频小电容,原理图如图 3.1.7所示。? ?设信号源工作频率为ω0,若电感与电容构成的振荡器的 谐振频率也为ω0,就会使整个回路产生谐振,电压表的指 示为最大。??在具体实现这个测量回路时,因标准可变电感难于制造,因此用标准线圈产生固定电感Lb,用标准可变电容Cb 进行调 谐。将被测电容与Cb并联,则回路谐振时有?0 ??由此可得到1 Lb (Cb ? C X )（3.1.38）CX ?1 ? Cb 2 ?0 Lb（3.1.39）? 在高频情况下,电感线圈自身会产生分布电容Ｃ0,相当于和Cb并联的电容。则式 (3.1.39) 应该改写为 1 C X ? C0 ? 2 ? Cb ?0 Lb （3.1.40）?即求得的待测电容,实际上是Cx 与C0 的和。因此若不考虑C0 的存在,就会在测量电容Cx 时带来系统误差。为了 消除C0 对测量造成的影响,就可以采用抵消法。在测量 之前（先不接Cx ）,先用标准可变电容Cb 调谐,使回路产 生谐振,电压表的指示为最大,这时回路中的谐振电容值 为Cb1+C0 。然后把待测电容Cx 与Cb 并联,回路失谐,电压 表的指示减小。?再用Cb进行调谐,减小Cb值,使回路重新谐振,电压表的指示又达到最大,此时,标准可变电容Cb 的读数为Cb2,回路 中的谐振电感量为Cb2+C0+Cx 。由于两次谐振都是与固 定电感Lb耦合产生的,所以回路中的电容量相等,即 Cb1+C0=Cb2+C0+Cx? （3.1.41） ?从而 Cx=Cb1-Cb2? （3.1.42） ?因此,待测电容Cx在频率为ω0条件下的电容量,可由两次 谐振时标准可变电容Cb 的读数之差来求得。此时,回路 中的寄生电容C0 在用抵消法测量时不会产生影响,即消 除了因C0存在而产生的系统误差。??⑥半周期法：也称为半周期观察法或半周期偶数观察法,是消除按周期性规律变化的系统误差的方法。具体 做法是: 按系统误差变化的半个周期取值,每个周期内 能取到两个测得值,取这两个测得值的平均值作为测量 结果。对比较规则的周期性变化的系统误差,可以表示 为 2? （3.1.43） ? ? a sin( t ) ? T ?式中: a为系统误差的幅值,也是系统误差的最大值；T 为系统误差的变化周期；t为决定周期性误差的量,比如 时间、仪表可动部分的转角等。2? ?0 ? a sin( t0 ) （3.1.44） T ?若创造条件经过τ=T/2,使误差的相位相差半个周期,即 t=t0+τ=t0+T/2时，误差值为 2? T ?? ? a sin[ (t0 ? )] T 2 2? ? a sin[ t0 ? ? ) T 2? （3.1.45） ? ? a sin( t 0 ) ? ?? 0 T ?若取两次测量的平均值作为测量结果,则系统误差也应取 平均值,即 ? 0 ? ?? ? 0 ? ?? ? 0 ? （3.1.46） ? ?0 2 2 所以,用平均值作为测量结果,即可消除周期性变化的系统 误差对测量结果带来的影响。??当t=t0时,系统误差值为?? 半周期法的应用――秒表指针偏心问题。?若秒表指针转动中心与度盘刻度中心不重合,如图3.1.8所示,转动中心沿水平方向向右偏移的距离为a,则系统误 差 Δt=asinυ （3.1.47）90°120?0?0°60? 180?a 0120? 0?60? 180?180°270°图3.1.8?为了创造误差反号的条件,可把刻度值旋转180°标注在原刻度的外测,取指针的实际指示值（如图3.1.8中 为0＋a）,再取反向延长线对旋转刻度（即外测刻度） 的指示（如图3.1.8中为0－a）。把两个值的算术平均 值（0）作为测量结果,则消除了指针旋转中心与刻度 中心不重合所造成的周期性系统误差。??(3) 用修正的方法消除系统误差。??通过适当的计算,根据事先针对系统误差产生 ?根源的实验数据,用计算或软件的方法对计量结果引入可能的修正量,来改善测量精度。在通过实验或其 他方法已经知道系统误差的规律特征的情况下,将直 接计量结果进行计算或修正处理,从而相对地消除系 统误差。?典型的例子是: 当把一个未经温度补偿的晶体振荡器用作频率计的频标时,如果该振荡器的频率随温度变化的 误差已知,就可以在测量结果的计算公式中根据温度传 感器获得的温度值,对计量结果进行修正来保证测量精 度。这个工作过程经软件处理后,在相对简单的硬件结 构下能够保证较高的精度。由于计算机技术的发展,这 种方法获得了广泛的应用。?? ?这方面的成功例子是：频率计硬件结构的简化和其精 度的提高。在通常的多周期同步测量技术设计的频率 计中,对被测频率的计算公式是Nx f x ? f0 N0(3.1.48)?其中,f0是所用频标的频率值。在通常的频率计中,用高稳定度晶体振荡器作为频标,它的值是固定的。Nx, N0 分别 是用计数器在与被测信号同步的闸门时间内测得的对被 测信号和标频信号的计数值。?当用普通的晶体振荡器取代高稳定度晶体振荡器作为频率计频标时,会存在明显的系统误差,即频率随温度变化。 通过实验获得该振荡器的频率对温度的修正数据后,可以 实时地根据温度变化用软件的方法修改公式中f0 的数值, 来消除这个系统误差,同时保证了高的测量精度。? (4)采用不同人员或其他处理手段重复计量来消除人员误差,或者通过自动测试和智能化处理消除人员误差。? 2. 随机误差? ? 随机误差是在测量过程中,因存在许多随机因素对测量结果造成干扰,而使测得值带有大小和方 向都难于预测的测量误差,这种随机误差是误差 理论研究的主要对象。? ? 对测量数据中的系统误差进行处理后,仍会残留 微小的系统误差,这些微小的系统误差已具有随 机误差的性质,因而也可把这种残存的系统误差 当作随机误差来考虑。? 研究随机误差不仅是为了能对测量结果中的随机误差作出科学的评定,而且是为了让它们能 够指导我们合理地安排测量方案,设法减小随 机误差对测量结果的影响,充分发挥现有仪表 的测量精度，从而对测量所得数据进行正确处 理，使进行的测量达到预期的目的。?1）随机误差的定义? ?在相同条件下,多次重复计量同一个量时,以不可预定的方式变化的计量误差的分量称为随机误差,也 称为偶然误差。随机误差决定了计量结果的“精密” 程度。?随机误差是由尚未被认识和控制的规律或因素所导致的。也就是说,随机误差的出现具有随机的性质, 因此不能修正,也不能完全消除,只能根据其本身存 在的规律,用增加计量次数的方法,加以减小和限制。 要想得出正确的评定,必须经过多次重复测量得到测 量列,发现它所遵循的统计规律,借助概率论和数理 统计学的原理来进行研究。??2）研究随机误差的理论基础? ?随机误差虽然不具有确定的规律性,但随机误差却遵从统计规律,因此概率论和数理统计学是研究随机误 差的理论基础。?3）误差正态分布定律? ?由于测量结果具有随机性,使得测量误差成为一个随机变量。根据概率论中心极限定理，可以认为大多数随机 误差服从正态分布,而且已被大量实践所证明。整个经 典误差理论是以正态分布作为基础理论发展起来的。正 态分布也是研究其他非正态分布的基础。?数学家高斯于1795年首先提出了误差正态分布定律。正态分布的规律早在1733年已由穆阿夫尔发现,后来拉普 拉斯和高斯又进行了详细的研究。高斯又于1809年推导 出描述随机误差统计规律的解析方程式,即概率密度函 数,也称为高斯分布定律。??设对某量X进行n次等精度独立测量,观测值为xi,i=1，2，…，n,当n→∞时,测得值将服从正态分布,其概率密度 函数为 1 ?( x ? ? ) 2 / 2? 2 （3.1.49） f ( x) ? e?式中,μ为测量列的平均值,σ为标准差。? ?测量列服从正态分布规律的前提是测量次数n为无穷大,? 2?也就是要把随机误差看成是连续型随机变量,而且还要 求系统误差已经完全排除,这些条件在实际测量中是不 可能实现的,因此,就决定了正态分布规律在应用时有一 定的局限性和近似性。?对于这种理论和实验难于统一论证的矛盾,著名物理学家李普曼说了这样一句话：“大家都相信误差定律,因 为实验家想,这是数学定律；而数学家则认为,这是通 过实验确定出来的定律。”??4）随机误差的基本性质? ?大多数的随机误差的观测结果是服从正态分布的,服从正态分布的随机误差具有下列基本性质:??(1)有界性：在一定的条件下,绝对值很大的误差出现的概率为零,随机误差的绝对值不会超过某一界限。??(2)对称性：当计量次数足够多时,绝对值相等的正、负误差出现的概率相同,即?P(+Δ)=P(-Δ) （3.1.50）?(3)抵偿性：当计量次数无限增加时,误差的算术平均值的极限为零,即 ???1 n ? lim ? ? ? i ? ? 0 n? ? n ?? ? i ?1 ?（3.1.51）?(4)单峰性：在一系列等精度计量中,绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率,也就是说,绝 对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。? 说明:上述的随机误差的性质是大量实验的统计结果, 其中的单峰性不一定对所有的随机误差都存 在。随机误差的主要性质是抵偿性。?5）随机误差的表示方式??随机误差的表示方式有以下几种：? ?(1) 剩余误差（ν）：?把有限n次测量所得测得值的算术平均值作真值求得的绝对误差,称剩余误差,简称残差。?? （3.1.52） ?式中：νi 为第i个测得值的残差；xi 为第i次测量得到的 测得值,i=1，2，…,n； x 为n次测得值的算术平均值。 因为剩余误差νi可以用测得值算出,所以在误差计算中 经常使用。?vi ? xi ? x?(2) 最大绝对误差（U）：?因为通过测量不能得到真实值,所以严格地讲,也就无法求得绝对误差（真差）。若能找到一个界限值 U,并能做出判断： ?U≥|x-x0| 即 ?? U=sup|Δx| （3.1.54）?则称U为最大绝对误差(其中, sup表示测得值x的绝（3.1.53）对误差Δx的绝对值不超过U)。因为在实用中很少用 绝对误差Δx,所以习惯上都把最大绝对误差U简称为 最大误差。?界限值U的确定不能凭空想或任意决定,而要有一定的依据。例如,在用数学常数π进行计算时,若取3.14进行 计算,则由π值引起的绝对误差为1 n ?? ( xi ? x0 )2 ? n i ?1n??1 n 2 ? ? ??x ? n i ?1n???Δx=3.14-π取绝对值后有 ?|Δx|=|3.14-π|=0.00159 … &0.0016=U???因此最大绝对误差为U=0.0016。? ?(3) 标准偏差(σ)：对一固定量进行n次测量,各次测量绝对误差平方的算术平均值,再开方所得的数值,即为标准 偏差,也称为标准差。根据其数学运算关系也称均方根 差。?标准偏差是每个计量值的函数,对一组计量值中的大、小误差反映都比较灵敏,是表示计量精度的比较好的方 式。 ?标准差所表征的是一个被计量量的n次计量所得结果的 分散性,因此称为计量列中单次计量的标准差。其几何 意义是正态分布曲线上的拐点的横坐标。通过查正态 积分表可知,测得值的误差不超过±σ的概率为68％。 ? 式(3.1.55)给出的只是标准偏差的理论计算公式,在实际 工作中,如何根据理论上的定义来求得标准偏差,在后面 将作较为详细的介绍。?(4) 算术平均误差（θ）： ?也称为平均误差。在对一固定量进行精密测量时,需要经过多次测量才能满足要求,为了表示这种多次测量的 测量误差,可以用算术平均误差θ来表示。? ?算术平均误差是多次测量全部随机误差绝对值的算术 平均值, 可以表示为??? 1 ? ? 2 ? ... ? ? nn1 n ? ? ?i n i ?1（3.1.56）其中,δi=xi-x0。?? ?从理论上可以证明??i ?1?, 因为n→∞,误差间具有相 互抵偿性,所以用误差的绝对值求平均,才能得到表征误 差的数值。? ?标准差与算术平均误差的关系推导如下： ? ?根据概率论的知识,θ实际上就是|δ1|, |δ2|, …, |δn| 在n→∞时 的数学期望。对于连续的随机变量,则有i?0? ? ? ? f (? )d?????（3.1.57）? 因为正态分布曲线是左右两边对称的,而且对于右半部分,随机误差的绝对值与随机误差本身的数值相等,即? |δ|=δ δ≥0 （3.1.58） ??因此,上述积分只需对右半部分进行计算,而将结果乘以2,同时以δ代替|δ|,得? ? ? ? f (? )d?????? 2 ? ? f (? )d?0 ?? 2 ?? 2 /( 2? 2 ) ?? d? ?0? e ? 2???2? ?? 2 /( 2? 2 ) ?? e 2? 0 2?4 ? ? ? 0.7979 ? ? ? ? 5（3.1.59）?所以4 ? θ=0.7979σ≈ 5 （3.1.60） ? 算术平均误差的几何意义是: 正态分布曲线左半或右 半面积重心的横坐标。? ?通过查正态分布积分表可知,测得值的误差不超出±θ 的置信概率为57.62％?。? ?算术平均误差这种误差形式的缺点是无法体现各次计 量值之间的离散情况。因为不管离散大小,都可能有相 同的平均误差。??(5) 或然误差（ρ）：?又称概差,是根据误差出现的概率来定义的。在一组测量中,若不计误差的正负号,则误差大于ρ的测得 值与误差小于ρ的测得值将各占一半,ρ便称为或然误 差。如果考虑测量误差的正负号,或然误差ρ同样可 以把带有正误差的测得值及带有负误差的测得值, 按测量误差大小被+ρ和-ρ等分,即1 2 ?? 1 f (? )d? ? ?? ? 2 P( ? ? ? ) ?（3.1.61） （3.1.62）?根据定义,可以得出或然误差的求解方法： ??将一组n个计量值的残差分别取绝对值按大小依次排列,如果n为奇数,则取中间的计量值,如果n为偶数, 则取最靠近中间的两个数的平均值作为或然误差, 因此或然误差又称为中值误差。? ?标准差与或然误差的关系推导如下： ? ? 根据或然误差的定义,有?????1 f (? )d? ? 2（3.1.63）?由于正态分布具有对称性,因此? ? f (? )d? ? 2??????01 f (? )d? ? 2（3.1.64）则???01 f (? )d? ? 4（3.1.65）查正态分布积分表,可得? ? 0.674489 ?（3.1.66）2 ? ? 0.6745? ? ? 3（3.1.67）?根据或然误差的定义,或然误差的几何意义是在-ρ～+ρ范围内,正态分布曲线与横坐标所组成的面积为总面积的一 半。因此,与或然误差±ρ相应的置信概率为50％。? ?在自然科学的不少领域的科学研究中,用或然误差来表示 随机误差也比较普遍,这主要是因为它的置信概率的数值 比较圆整、直观。?(6) 极限误差（δlim）:?一般在精密测量中,对于服从正态分布的随机误差常用三倍标准误差作为极限误差,记为?δlim=3σ（3.1.68）??? 从理论上讲,当测量次数无穷多时,若测得值服从正态 分 布 , 则测得值的误差小于极限误差的概率为 99.73％,即测量误差只有3/1000能超过极限误差。? 严格地讲,最大绝对误差U应当与极限误差δlim有所区别,因为最大绝对误差的定义符号sup是绝对不会 超过的意思,而极限误差δlim的3σ定义说明测量误差 还有可能超过δlim,只是概率很小。??(7) 极差（R）: ?一系列计量所得值中的最大值与最小值之差的绝对值称为极差。记作 ?R=|xmax-xmin|（3.1.69）?? ? 显然,极差只用到了两个数据,大多数的中间信息 没有利用,而且没有反映计量次数的影响,体现不了误 差的随机性及其概率。? ? 评价一个测量列的精度高低,可以用极限误差δlim、 标准偏差σ、算术平均误差θ和或然误差ρ等参数作为 置信限,因此称这些参数为测量列精度参数。对同一 测量列若按大小数值（取相同计量单位）进行排列, 则有?δlim&σ&θ&ρ（3.1.70）???相应的置信概率为 ??99.73%&68%&57.62%&50%?（3.1.71）?? ? 对于不同测量列,比较其精度时,应取相同置信概率所对应的精度参数（例如取标准偏差）进行比较, 数值大的精度低,数值小的精度高。??6） 标准偏差的计算??下面介绍几种根据测量数据计算标准偏差的方法。用用? ?表示标准偏差的估计值。?(1) 计算 ????? ?其中,d为转换因子,它随测量次数不同而异。这种估 计方法因为有现成数据表(见表3.1.1) 可查,因此十 分简单。?R xmax ? xmin ? ?? ? d d? ? 的极差法:（3.1.72）表3.1.1 极差系数表?极差法主要适用于测量次数较少的情况,因为它只利用了一组数据中的两个数据,估计的效率随测量 次数的增加而减少。所以,当n&10时,为了提高用极 差估计标准偏差的精度，应该采用分组处理方法。 将观测数据分成几个数据个数相等的组（如将n个 数据分成k组,每组有m个数据(n=km)）,求出各组极 k 差Ri,然后用平均极差? ?? Ri / k 来估计标准偏差。 R ? i ?1 ? ? 的估计公式为R ? ?? d m ,k（3.1.73）?? (2) 标准偏差的极大似然估计。?? 已知σ２的极大似然估计为1 n 1 n 2 ? 2 ? ? ( xi ? x )2 ? ? vi （3.1.74）? n i ?1 n i ?1 ? 根据极大似然法的性质 ? ? ? 2 ,标准偏差σ ? ? 的极大似然估计为 1 n 1 n 2 ? ? ? ? ?2 ? ( xi ? x ) 2 ? ? ? vi （3.1.75）? n i ?1 n i ?1? 标准偏差的极大似然估计是有偏估计。 ? (3) 用贝塞尔公式计算。?? 根据概率论,已知样本方差为1 n 1 n 2 2 S? ? ? ( xi ? x ) ? n ? 1 ? vi n ? 1 i ?1 i ?1则有（3.1.76）? 若用样本的标准偏差Sσ 作为标准偏差σ的估计,? ? ? S? ?1 n 2 ? ( xi ? x ) ? n ? 1 i ?11 n 2 ? vi n ? 1 i ?1（3.1.77）? 这就是著名的且非常具有实用价值的贝塞尔（Bessel）公式,计算标准偏差时常用的公式。 ? 2 S? 是标准偏差平方σ2的无偏估 ? 尽管样本方差 2 计,即E( S? )=σ2,但是样本的标准偏差Sσ不是标 准偏差σ的无偏估计,因为E(Sσ)≠σ。? ? (4) 标准偏差σ的无偏估计。? ? 标准偏差σ的无偏估计是? ??? ? n ?1? ?? ? n ?1 ? 2 ? 2 ?n? ?? ? ?2?（3.1.78）?令n ?1 n ? 1 ?( 2 ) k? ? n 2 ?( ) 2则? ? ? ? ? k? ?（3.1.79）? 根据贝塞尔公式求得的 ?,乘以修正系数kσ,即可对其有偏 性进行修正。?7） 算术平均值的标准差? x 和标准差的标准差σσ。 (1) 算术平均值的标准差σ。 在多次测量的测量列中,是以算术平均值作为测量结果 的,因此必须进一步研究算术平均值精度的评定标准。?? 如果在相同条件下对同一量值作多组重复的等精度测量,则每组测量列都有一个算术平均值。 由于随机误差的存在,各个测量列的算术平均 值也不相同,它们围绕着被测量的真值有一定 的分散性。这种分散性说明了算术平均值的不 ?x 可靠性,而算术平均值的标准差???则是表 征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分 散性的参数,可以作为算术平均值精度的评定 标准。 ? 已知算术平均值 x 为 （3.1.80） x1 ? x2 ? ... ? xn ??x?n?测量列的各个测得值是服从相同正态分布的随机变量,因此随机变量 x 的分布就是n个正态分布的合成。根 据概率论原理可知,正态分布和的分布仍为正态分布, 且其方差为各正态分布的方差和。?对式（3.1.80）取方差,有1 D( x ) ? 2 [ D( x1 ) ? D( x2 ) ? ... ? D( xn )] （3.1.81） n?且???D(x1)=D(x2)=…=D(xn)=σ2???因此1 ?2 D( x ) ? 2 (n? 2 ) ? n n?即?x ??n?n 1 2 ? vi n ( n ? 1) i ?1（3.1.83）?根据以上分析,可以得出两点结论： ? ??在n次测量的等精度测量列中,算术平均值的标准差为单次测量标准差的 1 / n 倍。测量次数越大,算 术平均值越接近被测量的真值,测量精度也越高。? ?n次重复测量的算术平均值服从以真值为中心, 以σ2/n为方差的正态分布,因此算术平均值 x 的分布 范围是单次测量测得值xi的分布范围的 1 / n,即其测 量精度提高了 n 倍（如图3.1.9所示）。x? x 与计量次数n之间的关 系曲线如图3.1.10所示。由图可见,平均值标准 差。 ? ? 随计量次数n的增加而减小,并且开始较快,逐 渐变慢,当n等于5时,曲线变化已比较缓慢,当n 大于10的时候,变化得更慢。所以一般计量中, 计量次数n等于10或12就足够了。同时也说明, 要提高测量结果 x 的精密度,不能单靠无限地 增加计量次数,而应在增加计量次数的同时,减 小标准偏差σ,也就是说要改善计量方法,采用精 度较高的仪器。? 计量平均值的标准差图 3.1.9X 和x的分布曲线图 3.1.10? x 与n的关系曲线? (2) 标准差的标准差σσ。? 差进行估计时,其估计量 ? 本身也是一个随 ? 机变量。因此,对于估计量 ? 同样也存在一 个估计的精度。我们同样可以用估计量 ? 的精密度, 即 ? ? 的标准偏差σσ来表征估计量 ??? ?? 或者? 当测量次数n有限,并用贝赛尔公式对标准偏?（3.1.84）2n2?n ? 1??? ??（3.1.85）? 当n=8时,当n=100时,1 ?? ? ? ? 2n 4 ? 1 ?? ? ? ? 2? 14?由上述计算可以得出两个结论： ? ?当n较大时,所求出的标准差比n较小时求出的更可靠。 这是因为n大,σσ小,说明估计值 ? 密集在标准偏差周围的比 ? 较多。? ?总的来说,估计值 ? 并不精密,因此,用贝赛尔公式求 ? 出的标准偏差的有效数字最多取两位,如果其首位为8或9, 有效数字取1位即可。? 3．粗大误差?? 超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。出现这类误差的原因主要是工作人员的失误、 计量仪器设备的故障以及影响量超出规定的范 围等。对于粗大误差必须随时或在进行数据处 理时予以判别并将相应的数据剔除。? ? 粗大误差在3.2节的数据处理部分将作详细的 介绍。? ? 3.1.4 间接测量的误差 ? 在很多情况下,由于被测对象的特点,进行直接测 量会有困难,或者难以保证被测量的精度,因此需 要采用间接测量法。例如在测量导线电阻率ρ时, 通常是先测量导线的电阻R、导线的长度l和导线 的直径d,然后按电阻率的计算公式??? Rd4 ? l2（3.1.86）? 将电阻率ρ计算出来。其中电阻R、导线的长度l和导线的直径d为直接测量量,电阻率ρ为间接测量量。 由此可见,间接测量就是根据一些直接测量的结果按 一定的关系式去求得被测量的量,因此间接测量量是 直接测量量的函数。通常用y ? f ( x1, x2 ,... xn ) ? f ( xi )（3.1.87）来表示间接测量量y与n个直接测量量x1，x2,…, xn 的 关系。? 1．间接测量的绝对误差 ? 令Δxi为xi的误差,Δy为y的误差,则 ? y+Δy=f(x1+Δx1, x2+Δx2, …, xn+Δxn) （3.1.88）将上 式右侧按泰勒（Taylor）级数展开得 ?y ?y y ? ?y ? f ( x1 , x2 ,... xn ) ? ?x1 ? ?x2 ?x1 ?x2?y ?... ?xn ? ? ( ?x1 , ?x2 ,... ?xn ) ?xn（3.1.89）? 略去高次项,就能够得到间接测量的绝对误差: ?y ?y ?y ?y ? ?x1 ? ?x2 ? ... ? ?xn ?x1 ?x2 ?xn?y ? ? ?xi i ?1 ?xin（3.1. 90）? 或者对式（3.1.87）取全微分：?y ?y ?y dy ? ?x1 ? ?x2 ? ... ? ?xn （3.1. 91） ?x1 ?x2 ?xn? 若已知各个直接测量值的误差为Δxi,由于这些 误差值都比较小,可以用各直接测量量xi的误差 Δxi来代替?dxi,也可得到间接测量的绝对误差:n ?y ?y ?y ?y ?y ? ?x1 ? ?x2 ? ... ? ?xn ? ? ?xi ?x1 ?x2 ?xn i ?1 ?xi（3.1. 92）2, …, n)为误差传递系数。??y 上式也称为函数系统误差传递公式,式中,??? (i=1, ?xi? 2． 间接测量的相对误差? 利用间接测量的绝对误差的计算公式可得间接测 量的相对误差：n ?y ?y ?xi ?? ? y y i ?1 ?xi（3.1. 93）? 3． 间接测量的标准差 ? 标准差是随机误差常用的一种误差表示方法 ,设 y=f(xi)中的xi只含有随机误差,并分别对各直接测量 量xi进行m次等精度测量,结果有y1 ? f ( x11, x21,... xn1 ) y2 ? f ( x12 , x22 ,... xn 2 ) ? ym ? f ( x1m , x2 m ,... xnm )（3.1.94）令Δxik为xik的误差, Δyk为yk的误差,则对于第k次测量有? ? yk+Δyk =f(x1 k+Δx1 k, x2k+Δx2k, …, xnk+Δxnk) （3.1.95）? 将上式的右侧按泰勒级数展开并略去高次项,可得n ?y ?y ?y ?y ?yk ? ?x1k ? ?x2 k ? ... ? ?xnk ? ? ?xik ?x1 ?x2 ?xn i ?1 ?xi（3.1.96）将式（3.1.96）两边取平方,得??yk ?2?y ?y ?y 2 ?( ?x1k ? ?x2 k ? ... ? ?xnk ) ?x1 ?x2 ?xnn ? ?y ? ?f ?f 2 ? ?? ? ?x ???xik ? ? 2 ? ( ?x ? ?x ?xik ?x jk ) ? i ?1 ? 1?i ? j i ? i i （3.1.97） n? ??yk ?i ?1? 然后将m次测量结果相加,有 2n 2 m ? ?f ? 2 ? ??? ? ?x ? ??xik ? ? 2? ? k ?1 i ?1 ? k ?1 i ? m n1?i ? j?(n?f ?f ?f ? ?xik ?x jk ) ? ?xik ?x jk ) ?xi ?xi ?xi? 将上式各项除以m,得1 m 1 m n ? ?f ? 2 m 2 2 ? (?yk ) ? m ? ? ? ?x ? ??xik ? ? m ? ? ? m k ?1 k ?1 i ?1 ? k ?1 i ? ? ?f ? ? ?? ? ?x ? ? i ?1 ? i ?n ? 2 2 n（3.1.98）?f ?f ?f ?j( ?x ? ?x ?xik ?x jk ) ? ?x ?xik ?x jk ) 1?i ? i i i?f ?f ?1 ? ? ? ? ( ?xik )2 ? ? 2 ? ( ? m k ?1 ? 1?i? j ?xi ?x jm n?k ?1m?xik ?x jk m )（3.1.99）? 根据标准差的定义,有 1 m ?y ? ( ?y k ) 2 ? m k ?1（3.1.100） （3.1.101）?x ?i1 m ( ?xi k ) 2 ? m k ?12代入式（3.1.99）,得? ?f ? 2 ?f ?f ? ? ? ? ? ? xi ? 2 ? ( ? ? ?x ? i ?1 ? 1?i ? j ?xi ?x j i ?n n 2 y?k ?1m?xik ?x jk m )（3.1.102）? ?x ? 当n足够大时,?k ?1mik?x jk / m方差。写成一般形式,即k ?1,i ? j就是随机变量xi和xj的协? ?xmik?x jk ? E{[ xi ? E ( xi )][ x j ? E ( x j )]} ? cov(xi , x j )（3.1.103）m定义误差相关系数为?i , j ?cov(xi , x j )?x?xi（3.1.104）j? 代入式（3.1.102）,有n ? ?f ? 2 ?f ?f 2 ? y ? ? ? ? ? xi ? 2 ? ( . ?ij? xi? i j （3.1.105） ? ?x ? i ?1 ? 1?i ? j ?xi ?x j i ? n 2? 若各测量值的随机误差是相互独立的,且当m足够 大时,相关系数ρij应该为零,得到间接测量的标准差 计算公式: 2 n ? ?f ? 2 2 （3.1.106） ? y ? ?? ? ? x ? ?i ?1 ? ?xi ?i即? ?f ? 2 ? y ? ? ? ? ? xi ? ?x ? i ?1 ? i ?n2（3.1.107）上式也称为函数随机误差传递公式。同样, f/xi也 称为误差传递系数。?? 【例3.1.7】 测得两孔中心距坐标尺寸为计算中心距z ( z ? x 2 ? y 2 )x ? x ? ? x ? 32.022 ? 0.007 mm, y ? y ? ? y ? 23.990 ? 0.005mm解 中心距z可以表示为z ? z ??x因为所以z? x ?y22 22z ? x ? y ? 32 .022 ? 23 .990 ? 41 .012 mm2 2? ?z ? 2 ? ?z ? 2 ?x? 2 ? ?x ? ? ? ?x ?? ? ?y ? ? ? ?x ?? ? ?y ? ?x ? ? ?z? ? ? ?2 22y? 2 ? ?y z?2? 32 .022 ? 2 ? 23 .990 ? 2 ? ? ? ?x ?? ? ?y ? 40 .012 ? ? 40 .012 ? ? 0.80031 2 ? 0.007 2 ? 0.59957 2 ? 0.005 2 ? 0.64050 ? 49 ? 10 ?6 ? 0.35948 ? 25 ? 10 ?6 ? 0.006 mm z ? 40 .012 ? 0.006 mm22? 3.1.5 计量误差的合成 ? 在实际计量测试中,对一个被计量量来说,往 往可能有许多因素引入的若干项误差。如何 将所有的误差合理地合成起来??? 对于已定系统误差的合成,一般不存在什么问题； ? 未消除的系统误差和随机误差的合成则往往难以处理,更不易统一。 ? 对于比较小的未消除的系统误差,一般认可按随 机误差考虑合成。? 约定：设各项误差是彼此独立。令e为合成 误差,ei为分项误差,n为误差的项数。? 1．代数和法将所有的误差按正负号取代数和: n e ? ? ei ?? （3.1.108） i ?1 ? 适用于已定系统误差的合成,也就是说,适用于已经 确切掌握了误差的大小和方向的系统误差的合成。 ? 2． 绝对值和法? 绝对值和法是将所有误差按绝对值取和,即 ?? （3.1.109） n e ? ? ei ? 这种误差合成方法对误差的估计是偏大的,因为绝 i ?1 对值和法完全没有考虑误差间的抵偿性,是最保守 的,但也是最稳妥的。 ? 一般在n&10时,才使用这种方法。 ?? 3．方和根法? ? 方和根法是取所有误差的方和根,即ne?e2i ?i ?1（3.1.110）? 这种方法充分考虑了各项误差之间的抵偿作用,对随机性的误差较为合理,也比较简单。但是当 误差项数较少时,可能与实际偏离较大,合成误 差偏低。?? 4． 广义方和根法?? 将所有误差分别除以相应的置信系数Ki,再取方和根 ,然后乘以总置信系数K,即e?K (e i / Ki )2 ?i ?1 n（3.1.111）? 这种方法考虑了各随机误差的具体分布,具有通用性和合理性。但需要事先确定与误差相应的置信 系数,往往比较麻烦。?? 上述各种计量误差的合成方法在具体应用时, 必须根据各分项误差的性质和大小,酌情而定。 在总误差合成时,也可以将不同方法混合使用。? 3.1.6 微小误差准则 ? 在误差合成中,有时误差项比较多,同时它们的 性质和分布又不尽相同,估算起来相当烦琐。 是否有办法能够适当地减少误差项呢？? ? 若某一项误差忽略后,不改变总误差舍入后的 数值,就可认为该误差是微小误差。如果各误 差的大小相差比较悬殊,而且小误差项的数目 又不多,则在一定的条件下,可将小误差忽略不 计,这个条件便称为微小误差准则。? 1．系统误差的微小准则? ? 误差合成法则是确立微小误差准则的第一个依据,系统误差的合成法则,按代数和法有 n ?? e= ? ei =e1+e2+…+ek+…+en （3.1.112）设其中第k项误差ek为微小误差,即ek与其他分项误 差ei 相比很小,与总误差e相比可以忽略,则忽略ek 后的总误差e′为?? e′=e1+e2+…+ek-1+ek+1+…+en （3.1.113） 且 e-e′=ek。? ? 根据微小误差定义,若ek是微小误差,则 ?? e≈e′ （3.1.114）i ?1? 要判别上式作为近似等式是否成立,就要用确立微小误差准则的第二个依据――表示误差值 的有效数字所占的位数,即总误差值的有效位 数。 ? 根据有效数字的规则： ? (1) 当总误差取一位有效数字时,若 ?ek&(0.1～0.05)e?? 则ek可忽略不计。? ? (2) 当总误差取两位有效数字时,若 ?? ek &(0.01～0.005)e?? 则ek可忽略不计。? 2．随机误差的微小准则? 确立随机误差微小准则的第一个依据――随机误差的合成法则,按方和根法有e?2 2 2 ei2 ? e12 ? e2 ? ... ? ek ? ... ? en ? i ?1 n（3.1.115)? 设其中第k项误差ek 为微小误差,即ek 与其他分项误差ei相比很小,与总误差e相比可以忽略,则 忽略ek后的总误差e′为2 2 2 e ? e12 ? e2 ? ... ? ek ? ... ? en（3.1.116)且e2-e′2=e2k。? ? 根据微小误差定义,若ek是微小误差,则 ?e≈e′ （3.1.117）? 同样,要使上面的近似等式成立,就要用到确立微小误差准则的第二个依据――总误差值的有 效位数。根据有效数字的规则： ? (1) 当总误差取一位有效数字时,有 e-e′&(0.1～0.05)e?? e′&(0.9～0.95)e? ? e′2&(0.81～0.9025)e2? ? e2-e′２=e2k&(0.19～0.0975)e2?? ?? 于是??? ek&(0.436～0.312)e??? 或近似地取? ??ek&(0.4～0.3)e?? ? 即当某分项误差ek约小于总误差e的1/3时, ek便可忽略不计。? (2) 当总误差取两位有效数字时,有? ?e-e′&(0.01～0.005)e?? e′&(0.99～0.995)e?? e′2&(0. 025)e2?? e2-e′２=e2k&(0. 975)e2 ? ??于是 ? ??ek&(0.14～0.1)e?? ? 即当某分项误差ek 约比总误差e小一个数量级时, ek便可忽略不计。? 微小误差准则在总误差计算和选择高一级标准量等方面都有实际意义。计算总误差或误差分 配时,若发现有微小误差,可不考虑该误差对总 误差的影响。选择高一级精度的标准器具时,其 误差一般应小于被检器具允许误差的1/3～1/10。 另外在校对仪表时,标准仪表的误差可以忽略, 这样标准仪表的测得值就可作为“真值”来对 待。 ? 微小准则的另一用途,就是在进行间接测量的误 差计算时,若能根据微小误差准则来判断构成微 小误差的部分误差,就可以简化误差的计算。?? 3.1.7 计量结果的精密度、正确度和准确度 ? 精密度（precision）：在相同的条件下进行多次测量时,所得结果的一致程度。精密度反映的是 随机误差的大小。 ? 正确度（correctness）： 计量结果与真值的接 近程度。正确度反映的是系统误差的大小。准 确度（accuracy）：计量结果的一致性及与真值 的接近程度。准确度是精密度和正确度的综合 反映。? ? 如图3.1.11所示,设圆心为真值,点为计量结果,其 中：图（a）反映了精密度高,正确度较差； 图 （b）反映了正确度高,精密度较差； 图（c）反 映了准确度高,也就是正确度和精密度都较高。 ?(a)(b)(c)图 3.1.11 精确度、正确度和准确度示意图? 通常所说的计量精度或器具精度,一般指准确度,而不是精密度。在实际应用中,就大多数计量领 域和计量工作者而言,已经习惯于用精度来表示 准确度。因此,要注意不能用精度表示精密度。 精度和精密度是两个不同的概念,代表了不同的 含义。?? 3.1.8 测量不确定度 ? 1970年以来,各国计量部门逐渐使用不确定度 来评定测量结果,由于评定的方法不一样，评 定结果不一致,使得各国在互相利用结果时极 为困难,并给各国测量结果的比较带来很大的 不便。? 1993年,国际标准化组织、国际电工委员会、 国际计量委员会、国际法制计量组织制定出 （GUM）ISO： 1993（E）(《测量不确定度 表达指南》),并颁布实施,从而使不确定度的 评定与表示有了统一的标准,使不确定度的研 究和应用进入了一个新的阶段。? 测量不确定度是与测量结果相联系的参数,用 来表征合理地赋予被测量之值的分散性。? 测量不确定度以测量结果为中心,来评估测量 结果与被测量真值相符合的程度。测量不确 定度一般由多个分量组成,一些分量可以由测 量结果的统计分布估算,用实验标准偏差表征, 另一些分量可以用基于实验或其他信息的概 率分布来估算,也可用标准偏差表征。测量不 确定度评定分为A类标准不确定度评定和B类 标准不确定度评定。? (1) A类标准不确定度评定：是由统计方法确定的标准不确定度的分量,即用估计方差或标准差、自由 度表征,必要时应给出估计协方差。用A类方法得到 的不确定度分量的估计方差u2是根据一系列的重复 观测值计算出的,也是常用的统计估计差s2。 ? (2) B类标准不确定度评定：是用非统计的方法确定 的分量,用估算的方法来评定。所谓非统计方法, 即 统计方法以外的其他方法,可以根据已知的有关信 息或资料来评定,例如以前的观测数据, 有关技术资 料和仪器性能, 生产部门提供的技术说明文件、手 册或某些资料给出的参考数据, 校准证书、检定证 书提供的技术数据等。用这类方法得到的估计方差 称为B类方差。?? 由于各个不确定度的分量都会影响到测量结果,因此通常用合成标准不确定度（即测量结果的总的 不确定度）来表示各种不确定度分量联合影响测 量结果的一个最终的、完整的标准不确定度。合 成标准不确定度用uc来表示,是用不确定度传播定 律计算出的标准偏差估计值,等于对所有方差和协 方差求和后得到的总方差的平方根。? 合成标准不确定度通常用于报告基本常数,计量学基础研究及有关SI单位的计量、标准的国际比对 的测量结果。用合成标准不确定度uc乘以包含因 子（覆盖因子）k得到扩展不确定度U,其用途是 提供测量结果的一个区间,期望被测量以较高的置 信水平落在此区间内。扩展不确定度通常用于报 告除需要用合成标准不确定度表述以外的其他测 量结果。上述几个不确定度的关系如图3.1.12所 示。?A类标准不确定度 (用统计方法评定) 合成标准不确定度 B类标准不确定度 (用其它方法评定)乘以包含因子 扩展不确定度图3.1.12 几个不确定度的关系3.2 数据处理?3.2.1 有效数字? 【问题1】是否一个数值中小数点后面的位数 越多,这个数值就越准确？? ? 【问题2】是否在计算结果中,保留的位数越多, 这个数就越准确？? ?? 第二个问题的答案也是否定的。因为所有的测 因此,在计算结果中,无论写多少位数,都不可能 ?第一个问题的错误在于,小数点的位置不是决 量,由于仪器和人们的感官只能做到一定的准 使准确度超过测量所能达到的范围。反过来, 定数值准确与否的标准,而仅与所用单位的大小 确程度。这个准确程度一方面取决于所有所用 表示一个数字时,如果书写的位数过少,以至于 有关。例如,长度为21.3mm与0.0213m,其准确 仪器刻度的精细程度；另一方面也与所用的计 低于测量所达到的准确程度,同样是错误的。 程度完全相同。 量方法有关。? 1. 有效数字的概念?? 由数字组成的一个数,除最末一位数字是不确切值或可疑值外,其他数字均为可靠值或确切值,则组 成该数的所有数字包括末位数字称为有效数字。 除有效数字外, 其余数字为多余数字。除有特殊 规定,一般认为末位数字上下一位可能有一个单位 的误差,或其下一位的误差不超过±5。? 一个数,有效数字占有的位数,即有效数字的个数,为该数的有效位数。 ? 在科学试验中有两类数：一类数的有效位数均可 认为无限制,也就是它们的每一位数都是确定的。 这类数多为纯数学计算的结果,例如各种计算式中 的2、1/2、π及自然数等,在位数上可根据需要取多 少位来表示都是有效的。另一类则是有效位数为 有限的数,这类数多与实际相联系,不能单凭数学上 的运算而任意确定其有效位数,而是要结合实际恰 当地表示出所要表示的量或所具有的精度。这类 数的有效位数要受到原始数据所能达到的精度、 获取数据的技术水平、获取数据所依据的理论等 因素的限制。? 例如,各种测量的测量结果、表示测量精度的各种精度参数等都属于这类数。在误差理论中,最 关心的还是作为测量结果和表示各种精度参数 的数值。这些数值由于受到所用测量仪表的灵 敏度、刻度的分辨能力以及测量人员素质的限 制,所得数值的有效位数总是有限的。对这些数 值所取的有效位数超过允许的范围,即实际所能 达到的精度,再多取几位也是无效的。单从计算 上增加有效位数绝对不能提高测量精度,反而会 造成混乱。? 反之,这些数值所取的有效位数少于实际所能达到的精度,不能把已经达到的精度表示出来,也是错误 的。这一类数的末一位往往由估计得来,因此具有 一定的误差或不确定性。例如,不考虑测量误差,单 从数值来考虑,在数学上23与23.00两个数是相等的, 而作为表示测量结果的数值,两者相差是很悬殊的。 用23表示的测量结果,其误差可能为±0.5；而用 23.00表示的测量结果,其误差可能是±0.005。 ? ? 关于数字“0”,需要特别提一下,它在数中的位置不 同,可能是有效数字,也可能是多余数字。要分几种 情况来讨论： ? （1）整数前面的 “0”无意义,是多余数字 。例 如,00713,最前面的两个“0”是多余数字。?? （2）对纯小数,在小数点后,数字前的“0”因只起定位,决定数量级的作用（相当于所取的测量单位不 同）,所以,也是多余数字。例如,0.0715,小数点前后 的“0”都是多余数字。?? （ 3 ） 处 于 数 中 间 位 置 的 “ 0”, 是 有 效 数 字 。 例如,705,7与5中间的“0”是有效数字。?? （4）处于数后面位置的“0”,要特别地注意。一般约定,末位数的0指的是有效数字,所以1.230×104 cm 不能书写为1.23×104 cm； 同样,32.47 mm不能书写 为32.470 mm。? 为了明确地表示计量测试数据的有效位数,可以采用k×10m的形式（也就是科学计数法的形式）, 其中, m为可具有任意符号的任意自然数；k为大 于等于1而小于10的任意数,则数字k的位数即是有 效位数。? 2. 有效数字的舍入规则?? 在对数值判定应取的有效位数以后,就应当把数中的多余数字舍弃。为了尽量减小因舍弃多余数字 所引起的误差,应当根据下述原则进行取舍:? ? （1）在整数后面经判定有多余数字,则舍弃多余数 字用“0”来代替,而这些“0”用10的乘幂来表示。 若为带小数的数或小数,则只舍弃多余数字。 ? 例如：397 451用4位有效数字表示为 ； 1.4142用4位有效数字表示为1.414。?? （2）“偶舍奇入”规则（凑偶原则）：? ①若被舍数字的第一位小于5,则全部舍去。?例如：位有效数字表示为8765。?? ②若被舍数字的第一位为5且其后的数字都为0或无任何数字,当保留数字的末位为偶数或0时,则全部舍 去；当保留数字的末位为奇数时,则该奇数加1。?例如：位有效数字表示为.5用4位有效数字表示为8766。?? ③若被舍数字的第一位大于5或等于5,但其后有不为0的数字时,则保留数字的末位加1。?例如：位有效数字表示为.54用4位有效数字表示为9877。? 凑偶原则,一方面考虑到凑成偶数后有可能给以后的计算带来方便；另一方面考虑到使舍弃多 余数字后进1与不进1的机会,在0至9的十个数字 中各占一半,从而使舍入误差正负相消的机会均 等,以减少最后计算结果的舍入误差。 ? （3）在某些特殊的情况下,所处理的数据多余 数字的第一个数字是“5”的数值过多,可不按凑 偶原则来处理,而采用一半的数值进1,另一半只 舍不进的办法。这样可避免造成舍入误差(即因 数值的舍入而造成的误差)过大。?? （4）“四舍五入”规则。? 由于二进制计算机的应用,上述的“偶舍奇入”规则已不甚合适。于是便提出了只要舍去数的 首位等于或大于5,保留数字的末位便加1；否 则, 多余数字一律舍去。这一规则,称之为“四 舍五入”规则。? ? “偶舍奇入”规则考虑到偶数结尾出现的概率 等于奇数结尾出现的概率； 而“四舍五入” 规则则没有考虑这种概率抵偿作用。? 例如：? 未舍入的数字 “偶舍奇入”规则“四舍五入”规则175.5286.5 394.5 410.5 521.5176286 394 410 522176?287? 395? 411? 522?633.5744.5634744634?745?+） 857.5+）858+）858?? 中列的抵偿作用很明显,效果很好,但这是一个特例。如果保留数字以偶数结尾的数目与以奇数结尾的 数目不同,则效果将比较差。如果不是进行加减运 算,则效果将难以肯定。 ? 对二进制来说,“四舍五入”规则则往往表现出明显 的优越性。? ? 例如：2.3 2 2.4 2 4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5 3 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 5 4.6 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4? 行上面的数是按“偶舍奇入”规则所得,而行下面的数则是按“四舍五入”规则所得。可见,前者形 成的偶数为14个,奇数为10个,而后者形成的偶数和 奇数皆为12个,分布是均匀的。? ? 需要指出的是,舍入规则只是一般的原则,而不是定 律,实际效果将因具体情况而异。? 3. 有效数字的运算规则?? 1）加减运算?? 在加减计算中,所得结果的小数点后保留的位数,应与参与加减运算的各数据中小数点后位数最少的 那个数据的位数相同。例如： ? ? 4.286+1.32-0.7≈5.15?? 第二个数据1.32的小数点后的位数最少,为两位,则最后结果按小数点后两位截取有效数字,得运算结 果为5.15。 ? 为使计算简便,可先以有效数字位数最少的数据为 准,对各数据进行截取,再作加减运算,如上例可写 为? 4.29+1.32-0.46=5.15? ? 但有时这样截取可能增大舍入误差,因此最好使各 数据小数点后的数字多保留一位。当加减运算的 项数较多,且小数点后位数较少的项数相对较少时, 可以将各数据小数点后多保留一位。这样可使运 算的精度稍微高一些。? 例如,60.4,2.02,0.222,0.0467四个数相加,其中三个数在其小数点后有两位或两位以上,因此各 数据小数点后多保留一位比较合适。则运算的 结果为? 60.4+2.02+0.22+0.05=62.69≈62.7? ? 如果各数据小数点后只保留一位,则运算的结 果为 60.4+2.0+0.2+0.0=62.6? ? 在使用计算器或电子计算机进行运算时,无须 作简化处理,可将各数据的全部数字保留进行 运算,记录数据时再按上述规则将多余数字舍 去。?? 2）乘除运算? ? 数据进行乘除运算时,参与运算的各数据中有效数字位数最少的数据的相对误差最大,运算结果 的有效数字位数应与这个数据的有效数字位数 相同。例如： 462.8×0.64÷1.22=242.780 33? ? 按数据0.64的有效数字位数截取所得结果的有效 数字,得2.4×102 。为简化运算,可先以有效数字 位数最少的数据为准,对各数据进行截取,然后再 进行乘除运算。如上例中运算式可写为? 4.6×102×0.64÷1.2=2.5×102?? 为尽力减小数字舍入带来的误差,参与运算的各数据可多保留一位数字。在使用计算器或计算机计 算时,各数据可先不进行简化处理,待计算完成,只将 最后结果中的多余数字舍去即可。? 3） 乘方与开方运算?? 数据经乘方与开方运算,所得结果的有效数字位数与该数据的位数相同。例如：3.252=10.? 4）对数运算? ? 在对数运算中,所取对数的位数应与真数有效数字位数相同。例如：lg32.8=1.515 87…?取lg32.8=1.52。?5）三角函数的运算? ?在三角函数的运算中,函数值的位数应随角度误差 的减小而增多,其对应关系见表3.2.1表3.2.1 三角函数值的位数与角度误差的对应关系?? 6） 其他?? (1) 运算的中间结果的数字可多保留1～2位,以便减小舍入误差的影响。例如,用于计算残差的算术平均 值属于中间结果,对计算残差影响较大,其保留位数应 多些,这能有效地减小舍入误差的影响。特别是利用 计算机计算时,可不对中间结果进行有效数字的截取。? （2）计算平均值时,若为四个数或超过四个数相平均,则平均值的有效数字可增加一位。??? （3）在所有的计算式中,对于π、e、及其他无误差 2 的数值,其有效数字的位数可认为是无限制的,即在运 算中,需要几位就可以写几位。例如：1/2=0.5000…, 其有效数字的位数可根据需要任意取。? （4）运算中,若有效数字的第一位数为8或9,则有效数字的位数可多计一位。? 例如：9.27已接近10.00,可认为它是四位有效数。 ? 再比如：计算8.5、1.38、0.267三个数的乘积,应计8.5的有效数字位数为三位,则算式与结果为 8.5×1.38×0.267=3.13??? 4. 测试结果的有效数字?? 在表示精度时,大多情况下只取一位有效数字,最 多取两位有效数字。根据有效数字的定义,一般 测试结果的有效位数的最末一位应取到与精度 参数的末位同一量级。? 因此,有效数字的位数便基本上反映了测试的 精度。 ? 如测试结果有比较稳定的更高的重复性,则必 要时也可比有效数字多取一位,以供应用时参 考。 ? 5. 标准差的有效数字? ? ?? ? （3.2.1） ? 标准差的有效数字可由 2(n ? 1) ? ? ? 求出。设n=9,则有 ? （3.2.2）2( n ? 1) 4? 根据有效数字的运算规则,σ的有效数字最多只 能取两位；若σ的首位有效数字为8或9,则σ的有 效数字只能取一位。?? 3.2.2 粗大误差处理? 1．粗大误差定义 ? 超过规定条件下预期的误差就是粗大误差。明显地歪曲了计量结果。一旦发现异常值,应该将其剔除。 ? 2．粗大误差产生的原因 ? （1）计量人员的主观原因：由于计量人员缺少经验、 操作不当、工作过于疲乏或计量时不小心、不耐心、 不仔细等引起的错误读数、错误记录或错误计算的 结果而造成粗大误差。 ? （2）客观外界条件原因：由于计量条件意外改变引 起仪器示值变化、计量条件变动等。? ? 计量进行后,要判断一个数是否含有粗大误差要特别 慎重,要进行充分的分析和研究,并以粗大误差的剔除 准则作为异常值的剔除依据。? 3．粗大误差剔除准则? 常用的粗大误差的剔除准则有3σ准则、格罗贝 斯准则、狄克松准则、罗曼诺夫斯基准则、肖 维勒准则等。?? 1）3σ准则? ? 也称莱以特准则,是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。它以测量次数充分大为前提,但是通常测 量次数都较少,因此3σ准则只是一个近似的准则。? 对于某一测量列x1，x2，…，xn,若各测得值只含有随机误差且服从正态分布,则根据随机误差的正态分布 规律,其残差落在±3σ以外的概率约为0.27％,即? P｛|xi-&3σ｝=0.27%?i=1,2,…,n（3.2.3）? 也就是说,在有限次重复测量中发生的可能性很小。? ? 3σ准则认为,误差绝对值超过3σ的概率很小,进而 认为是不可能事件。 ? 所以,如果计量所得值xi的残差vi=xi- x 满足 ?? |vi|&3σ i=1, 2, …, n?? （3.2.4）? 则认为xi 含粗大误差而应剔除。式中σ为计量列的标准差,可以根据贝塞尔公式求得即? ?1 n 2 ? vi n ? 1 i ?1（3.2.5）? 3σ准则可以重复应用,直至所保留数据中已不含粗大误差为止。3σ准则比较保守,因为在测量次数有 限时,出现在靠近±3σ界限处的数据较少,除非有较 大的粗大误差,否则依据|vi|&3σ而导致数据被剔除 的可能性很小。因为对任何vi存在vi2 ? ? vi2i ?1n（3.2.6） （3.2.7）1 n 2 vi ? ? vi2 ? n ? 1 ? vi ? n ? 1? n ? 1 i ?1 i ?1n?结论：当n≤10时,3σ准则不能剔除任何异常值。 也就是说,测量次数少于10次时,不能用3σ准则。 ?? 2）格罗贝斯（Grubbs）准则?? 格罗贝斯准则是在确认测得值,也就是随机误差服从正态分布的前提下,利用格罗贝斯统计量来判别 异常值是否为可疑值的准则。? ? 设对某一固定量作等精度的多次独立测量,得到一 测量列：x1,x2,…,xn。当测得值xi（i＝1,2,…,n）服从 正态分布时,求得1 n x ? ? xi , vi ? xi ? x n i ?1（3.2.8）??1 n 2 ? vi n ? 1 i ?1（3.2.9）? 把测量列按大小顺序重新排列成顺序统计量为??x(1)≤x（２）≤…≤x (n)?(3.2.10)??? 其中左右两端边缘测得值最可能含有粗大误差。 ? 根据顺序统计原理,格罗贝斯找出了统计量? g( n ) ? ( x( n ) ? x ) / ? 及 g(1) ? ( x ? x(1) ) / ? ? g0 (n, a ) ?的确切分布,两者分布相同。因此在给定显著水平a （一般取a为0.05或0.01）后,就可找出格罗贝斯统 计量的临界值g0(n, a),且有P[ P[ x( n ) ? x?x ? x(1)? g0 ( n, a )] ? a ? g0 ( n, a )] ? a(3.2.11) (3.2.12)?? 因为a的取值很小,因此可认为g(n)=(x(n)- x/σ≥g0(n,a)和g（１）=( -x (1))/σ≥g0(n, a)为 x 小概率事件,也就是说,在测量值xi服从正态分布时 不应出现。? ? 为了易于理解,再对前面分析中的一些符号的含义 加以说明:g( i ) ?vi??xi ? x?i=1, 2, …, n（3.2.13）?g(i)是数据x(i) 的统计量； g0(n, a)是统计量g(i) 的 临界值,依测量次数n及显著度a而定；a是显著度,也 称为显著水平,相当于犯“弃真”错误的概率,也就 是当x(i) 不含粗大误差时,判断出现错误的概率。? 因顺序统计测量列是按数值大小的顺序排列的,所以可疑值一定出现在顺序统计测量列的两端。因 此可得出准则： ? ? 把按大小顺序排列的测量列端值x (i) （i=1或n）所 对应的格罗贝斯统计量g(i) 算出后,若满足g (i ) ?vi??xi ? x?? g 0 ( n, a )? 则认为统计量g在显著差异,对应的x (i) 含有粗大误差,x (i) 为可疑值, 应当舍弃。若 g(i)&g0(n,a) （3.2.15） ? 则对应的x (i) 不含粗大误差。 ? 根据格罗贝斯统计量的分布,确定的临界值g0(n,a) 是测量次数n和显著水平a的函数,对应不同测量次 数n和不同显著水平a,有不同的临界值g0(n, a),见 表3.2.2。(i) 与应当服从的统计量g的分布存表3.2.2 格罗贝斯准则g0(n, a)数值表? 利用格罗贝斯准则每次只能剔除一个可疑值,需重复进行判别,直到无粗大误差的测得值为止。?? 格罗贝斯准则克服了3σ准则的缺陷,在概率意义上给出了较为严谨的结果,被认为是比较好的判断准则。? 3） 狄克松（Dixon）准则 ? 3σ准则、格罗贝斯准则以及后面要介绍的肖维勒准则和罗曼诺夫斯基准则都需要先算出标准差,应用时 较为麻烦。狄克松准则避免了计算标准差。?? 狄克松根据顺序统计原理,利用极差比构成统计量,并研究了这些统计量的分布。利用假设检验的方法剔 除可疑值。其原理是：? 设对一固定量经过等精度相互独立的n次测量,得到一测量列xi,i=1, 2, …, n,并设此测量列服从正态分布。 根据测得值数值的大小重新排成顺序统计测量列: ? ?? x (1) ≤x（２）≤…≤x (n)? （3.2.16）? 这些测得值中,首先最值得怀疑的是x它们偏离算术平均值最远。? ? 狄克松准则是先构成一个与n及x (1) 或x (n) 有关的 极差比统计量rjk?,在选定显著水平a（取0.05或 0.01）后,就可根据统计量rjk 的分布,找出其对应的 临界值r0(n, a)。对构成小概率事件 ? ?P｛rjk≥r0(n, a)｝=a （3.2.17） ? 相对应的测得值x (1) 或x (n),就可判别是否为可疑 值。 ??(1)或x (n),因为? 若统计量rjk满足rjk≥r0(n, a) 可判定相应的x（１） 或x（3.2.18）? 则认为统计量rjk 和应服从的分布存在显著差异,即 ? 狄克松提出的这一准则应用极差比的方法,得到了(n) 含有粗大误差,应当剔除。简化而严密的结果。为了使判断的效率高,对于不 同测量次数的数据应当采用不同的统计量rjk进行检 验。jk的取值有（10、11、21和22四组,对应的rjk的 计 算 公 式 也 就 有 四 个 。 当 n≤7 时 ， 使 用 r10 ； 当 8≤n≤10时,使用r11；当11≤n≤13时,使用r21;当n≥14时, 使用r22。? ?? 根据统计量rjk的分布,检验用临界值r0(n, a) 是测量次数n和显著水平a的函数。对应不 同测量次数n, rjk的计算公式及临界值r0(n, a) 的数值见表3.2.3。表3.2.3对应不同测量次数n,rjk的计算公式及临界值r0(n, a)的数值? 狄克松准则是于1953年提出来的,它的特点是不需要计算标准差,由数据的极差比可直接计算出检验用统 计量rjk,使用比较方便。? 当使用狄克松准则剔除一个数据后,应按剩余顺序量,重新计算统计量,再检验另一可疑数据,直到无粗大 误差为止。?? 4）罗曼诺夫斯基准则? ?当测量次数较少时,按t分布的实际误差分布范围来 判别粗大误差较为合理,因此罗曼诺夫斯基准则又称 为t检验准则。它的特点是首先剔除一个可疑的测得 值,然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大 误差。? 设对某量作多次等精度独立测量,得测量列x1,x2,…,xn 。如果认为测量值xk为可疑数据,则将 其剔除后计算平均值（计算时不包括xk）? 以及不包括xk的测量列的标准差1 x? ?kxi n ? 1 i ?1,i ?1 vi2 ?k n ? 2 i ?1,i ?nn（3.2.19）??（3.2.20）? 根 据 测 量 次 数 n 和 选 取 的 显 著 度 a （ 取 0.05 或0.01）,可以查表得到t检验系数K(n,a)。如果xk 的 残差满足 ? ?? |vk|=|xk- x |&K(n, a)σ （3.2.21） ?? ? 则认为测量值xk含粗大误差,应将其剔除。? ? t检验系数为1 K ( n, a ) ? ta ( n ? 1) n ?1? 式中,ta(n-1)为t分布的置信系数。? ? t检验系数K(n, a)数值表见表3.2.4。（3.2.22）表3.2.4 检验系数K(n, a)数值表? 5）肖维勒（Chauvenet）准则? ? 肖维勒准则也是以正态分布为前提的。假设多次重复测量所得n个测得值中,某数据的残余误 差满足 |vi|&Zcσ （3.2.23） ? 则 剔 除 此 数 据 。 实 用 中 , 当 测 量 次 数 n≤185 时,Zc&3,这在一定程度上弥补了3σ准则的不足。 ? 从图3.2.1上可以看出,|vi|&Zcσ的概率为图中阴 影部分。即 ? ?? P［|vi|&Zcσ］=1-2υ(Zc) （3.2.24）? ?y 2? (Zc )O Zc ? Zc ? x图3.2.1 |vi|&Zcσ的概率分布? 肖维勒准则规定： ?? 1 ? Pc=1-2υ(Zc)= 2n(3.2.25)则2n ? 1 ? (Zc ) ? 4n(3.2.26)? υ(Zc)的值由测量次数n决定,而Zc值又可以根据υ(Zc)?查正态概率积分表确定。?? 实用中,可以直接通过查表(见表3.2.5)获得Zc值。?表3.2.5 肖维勒准则Zc数值表? 在观测次数较少时,肖维勒准则犯“弃真”错误的概率是较大的,例如,n=5时,犯“弃真”错误的概率可达 20％。在n≤185时,肖维勒准则比3σ准则严格；当 n&185时,肖维勒准则比3σ准则宽松；当n→∞时,由于 Zc→∞,肖维勒准则就无法应用了。? 在应用以上各准则判别粗大误差时要注意,若同时有两个数据被判别出含有粗大误差,只能剔除其中 含最大误差的那一个数据；如果这两个数据相同, 则只能剔除其中的任一个。? 也就是说,一次只能剔除一个数据。之后,再对剩下的(n-1)个数据继续判断是否还有可疑数据,直到 全部数据都没有问题为止。那些在前次判断中和 被剔除的数据同时超限的数据,在重新计算后,可 能不超过判断的界限,所以每次只能剔除一个超限 的数据。? 以上几种粗大误差的取舍准则比较如下： ? ? (1) 3σ准则方法简单,无须查表,用起来方便,在测量次数较多或要求不高时可以?使用。?? ? (2) 肖维勒准则是经典方法,过去应用较多,但它 没有固定的概率意义,特别是当?n→∞? 时,该 准则失效,也就是说,在测量次数较多时不好用。 ? ? (3) 格罗贝斯准则、狄克松准则和t检验准则给 出了较严格的结果。对测量次数较少而要求较 高的测量列,应采用这三种准则。? 其中,格罗贝斯准则的可靠性最高,通常测量次数n=20～100时,其判别效果较好;当测量次数很少时, 可采用t检验准则;? 若要从测量列中迅速判别出含有粗大误差的测得值,则可采用狄克松准则。?? 在较为精密的试验中,可以选用两、三种准则对试验数据进行判别。?? 要注意以上各准则都是以数据按正态分布为前提的,当偏离正态分布时,判断的可靠性将受影响,特 别是计量次数很少时更不可靠。因此,对待粗大误 差,除了从测量结果中及时发现和利用剔除准则鉴 别外,更重要的是要提高工作人员的技术水平和工 作责任心。另外,要保证测量条件的稳定,防止因 环境条件剧烈变化而产生的突变影响。? 2． 不等精度计量所得值的处理? 1） 不等精度计量的定义? ? 在不同的条件下（如环境、方法、仪器以及人员等）或不同的计量次数下,所进行的精度不等的计 量,称为不等精度计量。?? 在不等精度计量中,所得各测量数据具有不同的可信程度,因此数据处理方法与等精度测量时有所不 同。?? 2） 测量数据的权?? 若测量数据具有不同的精度,其可信程度也就不一样。在数据处理过程中,精度较高的数据应给予较 多的重视,而精度较低的数据则相反。为了便于数 据处理,这一差别应以数值来表示,这一数值就是 测量数据的权。? 测量数据的权表示该数据相对其他数据的可信程度。数据精度越高,即可信程度越高,其 权就越大； 反之,数据精度越低,权就越小。 测量数据精度高低是确定权大小的基本出发 点。? ? 由于测量