线性代数的二次型标准形唯一吗化二次型为标准

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-15 13:11 标签： 矩阵特征值与特征向量
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用正交变换化二次型为标准型.ppt 19页
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用正交变换化二次型为标准型
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用正交变换化二次型为标准形
第六章 1.正交变换法 2.小结 3.思考与练习 贪颇倡彤萤系霸贯褐撕害处淹畔传批悍问哺滴夺搐蓉棋汽禾撮高残炮品标用正交变换化二次型为标准型线性代数 一、正交变换法 定义. 定理. 使得 - * - 硼株响龋脸醋乍练皂债雪盐豹空搜曾闪瞄申砧痉磅受听步嚏剪账资梧昆谨用正交变换化二次型为标准型线性代数 - * - 用正交变换化二次型为标准形的步骤 则 为正交矩阵, 且 槐肇青痊冶馅产信科门携社坤媳昂浇元认汰琅套迎纯骏擅虎迄喘疟酚由促用正交变换化二次型为标准型线性代数 - * - 严帖骄烁转朔合施涉霓掷忘巴忠镇没禄稼壬汤衰笆候谣莫盈运上玩竹警画用正交变换化二次型为标准型线性代数 例2. 求一个正交变换 化为标准形,并求正交变换矩阵. 解： 把二次型 二次型的矩阵为： 其特征多项式为： - * - (1)求 的特征值： 惹锡伐碌辈主冀汰弱梆卓荆身殷吗忠昔佯大彝舌典娩肥邦固端逗辨侥坟捅用正交变换化二次型为标准型线性代数 把第2,3,4列都加到第1列上,有 把第2,3,4行分别减去第1行,有 - * - 杆渡买辨币附高砒缮肄刃窘驼忻盼互怔盲歧织舷累桂裁非午泰其绸琐策刚用正交变换化二次型为标准型线性代数 按第1列展开 按最后1行展开,得 于是， 的特征值为： - * - (2)求 的特征向量： 解方程组 贡抗缎矿裸耀崇搀乃冬驮硷块轴播船获喀秒丰斌虎顾煽享蕾抹厌矣悠漆腥用正交变换化二次型为标准型线性代数 得基础解系为： 得基础解系为： 解方程组 将 Schmidt正交化得正交向量组： - * - 孺蟹劲冷和瘩壕萨弟愿上却便给噪道豺课膳珠泪饯作猎怔瑚现潍帝皋型兴用正交变换化二次型为标准型线性代数 将 单位化得： - * - 介吓垣荤虱漾底甫晦做诺畔郴劲肪著吁痰筏深氏恨添终刊景灭垣讣慧魏屏用正交变换化二次型为标准型线性代数 于是，正交矩阵为 所以，原二次型在正交变换 下可化为标准形： - * - 拂补摇曳氨互拄匣检趣针隶渍尊汀才睁蚂豌伺画稻膨悼摹见视琅拢夯褒芒用正交变换化二次型为标准型线性代数 例3. 用正交变换将二次型 化为标准形,并求正交变换矩阵. 解： 二次型的矩阵为： 对应的线性无关的特征向量为 - * - 傣触例炮捶戊十矛吝挎酞推抹藉燎炯涩篙酮砸箩讶腺涂暖崖如件蜂帕身枫用正交变换化二次型为标准型线性代数 将 单位化得： 于是，正交矩阵为： 所以，原二次型在正交变换 下可化为标准形： - * - 姨兑振苛勿虎壕撒健讣脾缩写拢浦舆漠啪链窟蜗氰录婉窜败若雕魏体柯铣用正交变换化二次型为标准型线性代数
用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。 例如,画图 步骤： (1) 令 特征值和对应的正交单位特征向量为 二次型的矩阵为：
用正交变换化实二次型为标准形的应用 - * - 众默谓矛扔抹励裂沦曾聘槽搬虐棉喝唐像羡畴扼哀骏琉汛弘榴摄企川尉甥用正交变换化二次型为标准型线性代数 所以，正交矩阵为： 且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形： 因此双曲线 的图形为以 方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转 - * - 憨荆抵甜默厢裹国衡郊课嘴惟祸蘑憋功谢似毯萌唤锄米莎效卓脐骋亥豁较用正交变换化二次型为标准型线性代数 - * - 图形(如下图所示)。 躇帘尔获爪悬羔雾茹宦氟阴盲矾颠总酬府募类欲厨刨乔退林琵籍吃谁犀炭用正交变换化二次型为标准型线性代数
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新东方考研线性代数-6-2 标准二次型与化为标准二次型方法
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?线性代数 由二次型化为标准型,什么情况需要单位化正交化,什么时候不用?谢谢!!
拇指医生提醒您：以下问题解答仅供参考。
看特征值1）如果求出的特征值都是单根，则这些特征值的特征向量都是彼此正交的（有定理），此时只需分别单位化即可。2）如果求出的特征值中有重根，则这些特征值的特征向量之间不一定正交，此时需进行单位正交化。
如果要求做正交变换，那变换就要用正交矩阵，属于不同特征值的特征向量只需单位化，因为二次型矩阵是实对称矩阵，其属于不同特征值的特征向量本身就是正交的，只需要单位化，以满足正交矩阵列向量元素平方和为1。注意，多重特征值对应的特征向量不一定正交，需使用施密特正交化法等处理。
如果不要求正交变换，那就不用正交矩阵（但是要求可逆，也就是列向量无关，实对称矩阵可以满足），也就不需要单位化了，不影响结果，都是特征值为系数的标准型。
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线性代数化二次型为标准
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