如何把梯形分成三角形,使它们的面积比是1：2：3,画出分法 如何把梯形分成三角形,使它们的面积比是1：2：3,画出分法& 有学习问题可以关注微信qjieda,
> 奥数举一反三【小学六年级2--40讲】 六年级数学奥数培训资料第2讲一、知识要点简便运算（一）根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一 些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。 二、精讲精练 【例题 1】计算 4.75-9.63+（8.25-1.37） 【思路导航】先去掉小括号，使 4.75 和 8.25 相加凑整，再运用减法的性质：a－b－ c = a－（b＋c） ，使运算过程简便。所以 原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 ＝13－（9.63+1.37） ＝13－11 ＝2 练习 1：计算下面各题。 1． 6.73－2 又 8/17+（3.27－1 又 9/17） 2. 7 又 5/9－（3.8+1 又 5/9）－1 又 1/5 3. 14.15－（7 又 7/8－6 又 17/20）－2.125 4. 13 又 7/13－（4 又 1/4+3 又 7/13）－0.75 【例题 2】计算 333387 又 1/2×79+790×66661 又 1/4 【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所 以：原式＝×79+790×66661.25 ＝0+790×66661.25 ＝（61.25）×790 ＝0 ＝ 练习 2：计算下面各题： 1. 3.5×1 又 1/4+125％+1 又 1/2÷4/5 2. 975×0.25+9 又 3/4×76－9.75 3. 9 又 2/5×425+4.25÷1/60 4. 0.+0. 【例题 3】计算：36×1.09+1.2×67.3 【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2× 30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以 原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3 ＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3）-1-六年级数学奥数培训资料姓名：__________________＝1.2×（32.7+67.3） ＝1.2×100 ＝120 练习 3：计算： 1. 45×2.08+1.5×37.6 2. 52×11.1+2.6×778 3. 48×1.08+1.2×56.8 4. 72×2.09－1.8×73.6 【例题 4】计算：3 又 3/5×25 又 2/5＋37.9×6 又 2/5 【思路导航】 虽然 3 又 3/5 与 6 又 2/5 的和为 10， 但是与它们相乘的另一个因数不同， 因此，我们不难想到把 37.9 分成 25.4 和 12.5 两部分。当出现 12.5×6.4 时，我们又可 以将 6.4 看成 8×0.8，这样计算就简便多了。所以 原式＝3 又 3/5×25 又 2/5＋（25.4+12.5）×6.4 ＝3 又 3/5×25 又 2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4 ＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8 ＝254＋80 ＝334 练习 4： 计算下面各题： 1．6.8×16.8＋19.3×3.2 2．139×137/138＋137×1/138 3．4.4×57.8＋45.3×5.6 【例题 5】计算 81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5 【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。所以 原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5 ＝81.5×67.6＋67.6×18.5 ＝（81.5＋18.5）×67.6 ＝100×67.6 ＝6760 练习 5： 1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5 2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3 3．3.75×735－3/8××62.5- 2 -六年级数学奥数培训资料第3讲一、知识要点简便运算（二）计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘 法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。 二、精讲精练 【例题 1】计算：＋ 【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的 4 个四位数均由数 1，2，3，4 组成， 且 4 个数字在每个数位上各出现一次，于是有 原式＝1×11＋3×11 ＝（1＋2＋3＋4）×1111 ＝10×1111 ＝11110 练习 1： 1．2＋4＋678＋5＋7 3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68 【例题 2】计算：2 又 4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28 【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运 用乘法分配律来简算。所以 原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2 ＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8× 7.2 ＝2.8×88.8＋88.8×7.2 ＝88.8×（2.8＋7.2） ＝88.8×10 ＝888 练习 2：计算下面各题： 1．9＋3 2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45 3．77×13＋255×999＋510 【例题 3】计算（－1）/（×1994） 【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中 可变 形为 1992＋1）××，同时发现 1994－1 = 1993，这样就可以把原 式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以 原式＝【 （1992＋1）×1994－1】/（×1994）-3-六年级数学奥数培训资料姓名：__________________＝（＋1994－1）/（×1994） ＝1 练习 3：计算下面各题： 1． （362＋548×361）/（362×548－186） 2． （×1987）/（－1） 3． （204＋584×1991）/（0）D1/143 【例题 4】有一串数 1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其 中第 2000 个数与 2001 个数相差多少？ 【思路导航】这串数中第 2000 个数是 20002，而第 2001 个数是 20012，它们相差： 2，即 2 ＝－2 ＝2000×（）＋2001 ＝ ＝4001 练习 4：计算： 1．1 2．9 3．999×274＋6274【例题 5】计算： （9 又 2/7＋7 又 2/9）÷（5/7＋5/9） 【思路导航】在本题中，被除数提取公因数 65，除数提取公因数 5，再把 1/7 与 1/9 的和作为一个数来参与运算，会使计算简便得多。 原式＝（65/7＋65/9）÷（5/7＋5/9） ＝【65×（1/7＋1/9） 】÷【5×（1/7＋1/9） 】 ＝65÷5 ＝13 练习 5： 计算下面各题： 1． （8/9＋1 又 3/7＋6/11）÷（3/11＋5/7＋4/9） 2． （3 又 7/11＋1 又 12/13）÷（1 又 5/11＋10/13） 3． （96 又 63/73＋36 又 24/25）÷（32 又 21/73＋12 又 8/25）- 4 -六年级数学奥数培训资料第4讲一、知识要点简便运算（三）在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号 和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律 的模式，以便于口算，从而简化运算。 二、精讲精练 【例题 1】 计算： （1） （1） 44 ×37 45 1 ）×37 45 （2） 27× （2） ＝26× ＝15+ ＝15 15 26 原式＝（26+1）× 15 15 + 26 26 15 26原式＝（1－ 1 ×37 45＝1×37－ ＝37－ ＝36 8 45 37 4515 2615 26练习 1 用简便方法计算下面各题： 1. 4. 14 ×8 15 73× 74 75 2. 5. 2 ×126 25 1997 ×. 35× 11 36【例题 2】 计算：73 1 1 × 15 8 16 1 ）× 15 8原式＝（72+ ＝72× ＝9+ ＝9 2 151 16 1 + × 8 15 82 15-5-六年级数学奥数培训资料姓名：__________________练习 2 计算下面各题： 1. 3. 1 1 64 × 17 9 1 1 ×57 7 6 2. 4. 22 41 1 1 × 20 21 1 3 1 4 × +51 × 3 4 4 5【例题 3】 1 3 计算： ×27+ ×41 5 5 3 3 原式＝ ×9+ ×41 5 5 3 ＝ ×（9+41） 5 3 ＝ ×50 5 ＝30 练习 3 计算下面各题： 1. 1 3 ×39+ ×27 4 4 2. 1 5 ×35+ ×17 6 6 3. 1 5 1 ×5+ ×5+ ×10 8 8 8【例题 4】 5 1 5 2 5 6 计算： × + × + × 6 13 9 13 18 13 1 5 2 5 6 5 原式＝ × + × + × 6 13 9 13 18 13 1 2 6 5 ＝（ + + ）× 6 9 18 13 ＝ ＝ 13 5 × 18 13 5 18练习 4 计算下面各题： 1．- 6 -1 4 5 1 × + × 17 9 17 92.1 3 3 1 6 1 × + × + × 7 4 7 6 7 12六年级数学奥数培训资料3．5 16 1 1 5 ×79 +50× + × 9 17 9 9 174.5 3 1 7 1 1 × + × + ×3 17 8 15 16 15 2【例题 5】 计算： （1）166 解： 1 ÷41 20 1 ）÷41 20 （2） （2）原式＝1998÷ ＝1998÷ ＝1998× ＝ 98 1999（1）原式＝（164+2 41 ÷41 20+＝164÷41+ ＝4+ ＝4 1 20 98×20001 20练习 5 计算下面各题： 1. 2 54 ÷17 5 2. 238÷238 238 239 3. 163 1 1 ÷41 13 39-7-六年级数学奥数培训资料姓名：__________________第5讲一、知识要点简便运算（四）前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向 同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消， 达到简化运算的目的。 一般地， 形如 1 1 1 1 1 1 的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ － a×(a+1) a a+1 a×（a+n） n a1 a+b 1 1 ） ，形如 的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。 a+n a×b a b 二、精讲精练 【例题 1】 计算： 1 1 1 1 + + +…..+ 1×2 2×3 3×4 99×100 1 1 1 1 1 1 1 ）+（ － ）+（ － ）+…..+ （ － ） 2 2 3 3 4 99 100原式＝（1－1 1 1 1 1 1 1 ＝1－ + － + － +…..+ － 2 2 3 3 4 99 100 1 ＝1－ 100 ＝ 99 100练习 1 计算下面各题： 1. 2. 3. 4. 1 1 1 1 + + +…..+ 4×5 5×6 6×7 39×40 1 1 1 1 1 + + + + 10×11 11×12 12×13 13×14 14×15 1 1 1 1 1 1 + + + + + 2 6 12 20 30 42 1－ 1 1 1 1 + + + 6 42 56 72【例题 2】 1 1 1 1 计算： + + +…..+ 2×4 4×6 6×8 48×50 2 2 2 2 1 原式＝（ + + +…..+ ）× 2×4 4×6 6×8 48×50 2- 8 -六年级数学奥数培训资料1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝【 （ － ）+（ － ）+（ － ）…..+ （ － ） 】× 2 4 4 6 6 8 48 50 2 1 1 1 ＝【 － 】× 2 50 2 6 ＝ 25 练习 2 计算下面各题： 1 1 1 1 1. + + +…..+ 3×5 5×7 7×9 97×99 1 1 1 1 3. + + +…..+ 1×5 5×9 9×13 33×37 【例题 3】 计算：1 原式＝1 ＝1 1 7 9 11 13 15 － + － + － 3 12 20 30 42 56 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 －（ + ）+（ + ）－（ + ）+（ + ）－（ + ） 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 2. 4. 1 1 1 1 + + +…..+ 1×4 4×7 7×10 97×100 1 1 1 1 1 + + + + 4 28 70 130 2081 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － － + + － － + + － － 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 1 8＝1－ 7 ＝ 8练习 3 计算下面各题： 1.1 2.1 1 5 7 9 11 + － + － 2 6 12 20 30 1 9 11 13 15 － + － + 4 20 30 42 5698 . + + + + 1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 4.6× 7 9 11 － ×6+ ×6 12 20 30【例题 4】 1 1 1 1 1 1 计算： + + + + + 2 4 8 16 32 64-9-六年级数学奥数培训资料姓名：__________________1 1 1 1 1 1 1 1 原式＝（ + + + + + + ）－ 2 4 8 16 32 64 64 64 1 ＝1－ 64 ＝ 63 64练习 4 计算下面各题： 1. 2. 3. 1 1 1 1 + + +………+ 2 4 8 256 2 2 2 2 2 + + + + 3 9 27 81 243 9.6+99.6+999.6+99.6【例题 5】 计算： （1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ）×（ + + + ）－（1+ + + + ）×（ + + ） 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 1 1 1 + + ＝b 2 3 41 1 1 设 1+ + + ＝a 2 3 4 原式＝a×（b+1 1 ）－（a+ ）×b 5 51 1 ＝ab+ a－ab－ b 5 5 1 ＝ （a－b） 5 ＝ 1 5练习 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ） 2 3 4 5 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. （ + + + ） × （ + + + ） － （ + + + + ） × （ + + ） 8 9 10 11 9 10 11 12 8 9 10 11 12 9 10 11 3. （1+ + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ） × （ + + + ） － （1+ + + 01 01 00 20011 1 1 1 ）×（ + + ） 00 2001- 10 -六年级数学奥数培训资料第六周转化单位“1” （一）专题简析： 把不同的数量当作单位“1” ，得到的分率可以在一定的条件下转化。 a c ac a b a 如果甲是乙的 ，乙是丙的 ，则甲是丙的 ；如果甲是乙的 ，则乙是甲的 ；如果甲的 等 b d bd b a b c c a bc a a ad 于乙的 ，则甲是乙的 ÷ ＝ ，乙是甲的 ÷ ＝ 。 d d b ad b b bc 例题 1。 2 4 乙数是甲数的 ，丙数是乙数的 ，丙数是甲数的几分之几？ 3 5 2 4 8 × ＝ 3 5 15 练习 1 1. 2. 3. 3 3 乙数是甲数的 ，丙数是乙数的 ，丙数是甲数的几分之几？ 4 5 1 1 一根管子，第一次截去全长的 ，第二次截去余下的 ，两次共截去全长的几分之几？ 4 2 一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时，发现剩下的路程是 1 他睡着前所行路程的 。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之 4 几？ 例题 2。 1 4 修一条 8000 米的水渠， 第一周修了全长的 ， 第二周修的相当于第一周的 ， 第二周修了多少米？ 4 5 1 4 解一：8000× × ＝1600（米） 4 5 1 4 解二：8000×（ × ）＝1600（米） 4 5 答：第二周修了 1600 米。 练习 2 用两种方法解答下面各题： 1. 2. 3. 1 1 一堆黄沙 30 吨，第一次用去总数的 ，第二次用去的是第一次的 1 倍，第二次用去黄沙多少吨？ 5 4 1 7 大象可活 80 年，马的寿命是大象的 ，长颈鹿的寿命是马的 ，长颈鹿可活多少年？ 2 8 1 1 仓库里有化肥 30 吨，第一次取出总数的 ，第二次取出余下的 ，第二次取出多少吨？ 5 3例题 3。 1 2 晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，第二天比第一天多看了 15 页， 4 5- 11 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________这本书共有多少页？ 解： 1 2 1 15÷【 （1－ ）× － 】＝300（页） 4 5 4 答：这本书有 300 页。 练习 3 1 3 1. 有一批货物，第一天运了这批货物的 ，第二天运的是第一天的 ，还剩 90 吨没有运。这批货物 4 5 有多少吨？ 1 2 2. 修路队在一条公路上施工。 第一天修了这条公路的 ， 第二天修了余下的 ， 已知这两天共修路 米，这条公路全长多少米？ 2 4 3. 加工一批零件，甲先加工了这批零件的 ，接着乙加工了余下的 。已知乙加工的个数比甲少 200 5 9 个，这批零件共有多少个？ 例题 4。 4 男生人数是女生人数的 ，女生人数是男生人数的几分之几？ 5 4 5 解：把女生人数看作单位“1” 。 1÷ ＝ 5 4 把男生人数看作单位“1” 。 练习 4 1． 2． 3． 3 停车场里有小汽车的辆数是大汽车的 ，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？ 4 6 如果山羊的只数是绵羊的 ，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？ 7 如果花布的单价是白布的 1 3 倍，则白布的单价是花布的几分之几？ 5 5 5÷4＝ 4例题 5。 1 1 甲数的 等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？ 3 4 解： 1 1 3 ÷ ＝ 4 3 4 1 1 1 ÷ ＝1 3 4 3 3 1 答：甲数是乙数的 ，乙数是甲数的 1 。 4 3 练习 5 1. 2. 3. 3 2 甲数的 等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？ 4 5 2 5 甲数的 1 倍等于乙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？ 3 6 3 2 甲数是丙数的 ，乙数是丙数的 ，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？（想一想： 4 5 这题与第一题有什么不同？）- 12 -六年级数学奥数培训资料答案： 练1 练2 练3 练4 练5 9 1、 ＝ 20 5 2、 ＝ 8 1 3、 ＝ 8 3 ＝ 81、 ＝7.5（吨） 1、 ＝150 吨 1 1、 ＝1 3 8 1、 ＝ 15 7 ＝1 82、 ＝35（年） 3、 ＝8 吨 2、 ＝1600 米 3、 ＝1500 个 1 2、＝1 6 1 2、 ＝ 2 ＝ 2 3 5 3、 ＝ 8 7 3、＝1 8 8 ＝ 15第七周转化单位“1” （二）专题简析： 我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我们的解题思路， 提高我们的思维能力。 例题 1。 2 3 甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙的和是 216，甲、乙、丙各是多少？ 3 4 3 2 1 解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的 × ＝ ， 4 3 2 3 3 2 丙：216÷（1+ + × ）＝96 4 4 3 3 乙：96× ＝72 4 2 甲：72× ＝48 3 3 4 解法二：可将“乙数是丙数的 ”转化成“丙数是乙数的 ” ，把乙数看作单位“1” 。 4 3 2 4 乙：216÷（ +1+ ）＝72 3 3 2 甲：72× ＝48 3 3 丙：72÷ ＝96 4 2 3 3 解法三：将条件“甲数是乙数的 ”转化为“乙数是甲数的 ” ，再将条件“乙数是丙数的 ”转化为 3 2 4 4 “丙数是乙数的 ” ，以甲数为单位“1” 。 3 3 3 4 甲：216÷（1+ + × ）＝48 2 2 3 3 乙：48× ＝72 2 4 丙：72× ＝96 3 答：甲数是 48，乙数是 72，丙数是 96。 练习 1- 13 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________下面各题怎样计算简便就怎样计算： 5 3 1. 甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三个数的和是 152，甲、乙、丙三个数各是多少？ 6 4 2 1 2. 橘子的千克数是苹果的 ， 香蕉的千克数是橘子的 ， 香蕉和苹果共有 220 千克， 橘子有多少千克？ 3 2 9 1 3. 某中学的初中部三个年级中， 初一的学生数是初二学生数的 ， 初二的学生数是初三学生数的 1 10 4 倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？ 例题 2。 3 2 红、黄、蓝气球共有 62 只，其中红气球的 等于黄气球的 ，蓝气球有 24 只，红气球和黄气球各 5 3 有多少只？ 3 2 3 2 9 解法一：将条件“红气球的 等于黄气球的 ”转化为“黄气球的只数是红气球的（ ÷ ＝） ” 。 5 3 5 3 10 先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。 3 2 红气球： （62－24）÷（1+ ÷ ）＝20（只） 5 3 黄气球：62－24－20＝18（只） 3 2 2 3 10 解法二：将条件“红气球的 等于黄气球的 ”转化为“红气球的只数是黄气球的（ ÷ ＝） ” 。 5 3 3 5 9 先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。 2 3 黄气球： （62－24）÷（1+ ÷ ）＝18（只） 3 5 红气球：62－24－18＝20（只） 答：红气球有 20 只，黄气球有 18 只。 练习 2 1. 2. 2 5 甲数的 等于乙数的 ，甲、乙两数的和是 162，甲、乙两数各是多少？ 3 6 2 4 今年 8 月份，甲所得的奖金比乙少 200 元，甲得的奖金的 正好是乙得奖金的 ，甲、乙两人各得 3 7 奖金多少元？ 3. 1 1 商店运来香蕉、 苹果和梨子共 900 千克， 香蕉重量的 等于苹果重量的 ， 梨子的重量是 200 千克。 4 3 香蕉和苹果各多少千克？ 例题 3。 2 3 已知甲校学生数是乙校学生数的 ，甲校的女生数是甲校学生数的 ，乙校的男生数是乙校学生 5 10 21 数的 ，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？ 50 解法一：把乙校学生数看作单位“1” 。 2 3 21 2 1 【 × +（1－ ） 】÷（1+ ）＝ 5 10 50 5 2 解法二：把甲校学生数看作单位“1”- 14 -六年级数学奥数培训资料5 5 21 3 5 1 （ － × + ）÷（1+ ）＝ 2 2 50 10 2 2 1 答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的 。 2 练习 3 1. 1 1 2 在一座城市中，中学生数是居民的 ，大学生是中学生数的 ，那么占大学生总数的 的理工科大 5 4 5 学生是居民数的几分之几？ 2. 3 2 5 某人在一次选举中，需 的选票才能当选，计算 的选票后，他得到的选票已达到当选票数的 ， 4 3 6 他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？ 3. 3 1 3 某校有 的学生是男生，男生的 想当医生，全校想当医生的学生的 是男生，那么全校女生的 5 20 4 几分之几想当医生？ 例题 4。 2 1 仓库里的大米和面粉共有 2000 袋。大米运走 ，面粉运作 后，仓库里剩下大米和面粉正好相 5 10 等。原来大米和面粉各有多少袋？ 解法一：将大米的袋数看作单位“1” 2 1 2 （1－ ）÷（1－ ）＝ 5 10 3 2 2000÷（1+ ）＝1200（袋） 3 ＝800（袋） 解法二：将面粉的袋数看作单位“1” （1－ 1 2 3 ）÷（1－ ）＝ 10 5 23 2000÷（1+ ）＝800（袋） 2 ＝1200（袋） 答：大米原有 1200 袋，面粉原有 800 袋。 练习 4 1. 甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的 2 1 、乙完成自己的 时，两人所剩零件数量相 3 4等，已知甲比乙多做了 70 个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？ 2. 2 一批水果四天卖完。第一天卖出 180 千克，第二天卖出余下的 ，第三、四天共卖出这批水果的一 7 半，这批水果有多少千克？ 甲、乙两人合打一篇书稿，共有 10500 字。如果甲增加他的任务的 20％，乙减少他的任务的 20％， 那么甲打的字数就是乙的 2 倍，问两人原来的任务各是多少？3.例题 5。 400 名学生参加植树活动，计划每个男生植树 20 棵，每个女生植树 15 棵。除抽出 25％的男生搞 卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？ 解： 20×（1－25％）×400- 15 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________＝20×0.75×400 ＝6000（棵） 答：共植树 6000 棵。 练习 5 1. 1 1 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的 放在一起是 13 公顷，麦地的一半和菜地的 放在 3 3 一起是 12 公顷，那么，菜地有多少公顷？ 师徒两人加工同样多的零件，师傅要 10 分钟，徒弟要 18 分钟。两人共同加工零件 168 个，如果要 在相同的时间内完成，两人各应加工零件多少个？ 有 5 元和 2 元的人民币若干张，其金额之比为 15：4。如果 5 元人民币减少 6 张，则两种人民币的 张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？2. 3.答案： 练 1 1、 丙数＝64 乙数＝48 甲数＝40 2、 ＝110 千克 练 2 1、 乙数＝72 甲数＝90 2、 乙＝1400 元 3、 香蕉＝400 千克 苹果＝300 千克 1 练 3 1、＝ 50 3 2、 ＝ 8 1 3、 ＝ 40 乙＝4500 字 3、＝ 8 27甲＝1200 元练 4 1、 乙＝56 个 甲＝126 个 2、 ＝600 千克 3、 甲＝6000 字 练 5 1、 ＝18 公顷 2、 徒弟＝60 个 师傅＝108 个 3、 2 元币＝12 张 5 元币＝18 张第8讲一、知识要点转化单位“1” （三）解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位 “1” ，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。 二、精讲精练 【例题 1】有两筐梨。乙筐是甲筐的 3/5，从甲筐取出 5 千克梨放入乙筐后，乙筐的 梨是甲筐的 7/9。甲、乙两筐梨共重多少千克？ 解：5÷（5/（5+3）－9/（7+9） ）＝80（千克） 答：甲、乙两筐梨共重 80 千克。 练习 1： 1．某小学低年级原有少先队员是非少先队员的 1/3，后来又有 39 名同学加入少先队 组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的 7/8。低年级有学生多少人？ 2．王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的 1/19，后来从合格产品中又发现 了 2 个不合格产品，这时算出产品的合格率是 94％。合格产品共有多少个？ 3．某校六年级上学期男生占总人数的 54％，本学期转进 3 名女生，转走 3 名男生， 这时女生占总人数的 48％。现在有男生多少人？ 【例题 2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的 3/8。后来又买进 20 根长跳- 16 -六年级数学奥数培训资料绳，这时长跳绳的根数占长、短跳绳总数的 7/12。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少 根？ 解法一：根据短跳绳的根数没有变，我们把短跳绳看作单位“1” 。可以得出原来的长 跳绳根数占短跳绳根数的 3/（8-3） ，后来长跳绳是短跳绳的 7/（12-7） 。这样就找到了 20 根长跳绳相当于短跳绳的（7/（12-7）－3/（8-3） ） ，从而求出短跳绳的根数。再用短跳 绳的根数除以（1－7/12）就可以求出这个学校现有跳绳的总数。即 20÷【7/（12-7）－3/（8-3） 】÷（1－7/12）＝60（根） 解法二：把短跳绳看作单位“1” ，原来的总数是短跳绳的 8/（8-3） ，后来的总数是短 跳绳的 12/（12-7） 。所以 20÷（12/（12-7）－8/（8-3） ）÷（1－7/12）＝60（根） 答：这个学校现有长、短跳绳的总数是 60 根。 练习 2： 1．阅览室看书的同学中，女同学占 3/5，从阅览室走出 5 位女同学后，看数的同学中， 女同学占 4/7，原来阅览室一共有多少名同学在看书？ 2．一堆什锦糖，其中奶糖占 45％，再放入 16 千克其他糖后，奶糖只占 25％，这堆 糖中有奶糖多少千克？ 3．数学课外兴趣小组，上学期男生占 5/9，这学期增加 21 名女生后，男生就只占 2/5 了，这个小组现有女生多少人？ 【例题 3】有两段布，一段布长 40 米，另一段长 30 米，把两段布都用去同样长的一 部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的 3/5，每段布用去多少米？ 解： 练习 3： 1．有两根塑料绳，一根长 80 米，另一根长 40 米，如果从两根上各剪去同样长的一 段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的 2/7，两根绳各剪去多少米？ 2．今年父亲 40 岁，儿子 12 岁，当儿子的年龄是父亲的 5/12 时，儿子多少岁？ 3．仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出 800 袋大米和 500 袋面粉后，仓库里所 剩的大米袋数时面粉的 3/4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？ 4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑 1200 米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队 的 1/2，乙队筑的路时其他三个队的 1/3，丙队筑的路时其他三个队的 1/4，丁队筑了多少 米？ 【例题 4】某商店原有黑白、彩色电视机共 630 台，其中黑白电视机占 1/5，后来又 运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的 30％，问：又运进黑白电视 机多少台？ 解： 630×（1－1/5）÷（1－30％）－630＝90（台）- 17 -40－（40－30）÷（1－3/5）＝15（米）答：每段布用去 15 米。六年级数学奥数培训资料姓名：__________________答：又运进黑白电视机 90 台。 练习 4： 1．书店运来科技书和文艺书共 240 包，科技书占 1/6。后来又运来一批科技书，这时 科技书占两种书总和的 3/11，现在两种书各有多少包？ 2．某市派出 60 名选手参加田径比赛，其中女选手占 1/4，正式比赛时，有几名女选 手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的 2/11。问：正式参赛的女选手有多少人？ 3． 把 12 千克的盐溶解于 120 千克水中， 得到 132 千克盐水， 如果要使盐水中含盐 8％， 要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？ 4．东风水果店上午运进梨和苹果共 1020 千克，其中梨占水果总数的 1/5；下午又运 进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的 2/5，下午运进梨多少千克？ 【例题 5】一堆煤，运走的比总数的 2/5 多 120 吨，剩下的比运走的 5/6 多 60 吨，这 堆煤原有多少吨？ 解： （120+120×5/6+60）÷（1D2/5D2/5×5/6）＝1050（吨） 答：这堆煤原有 1050 吨。 练习 5： 1．修一条路，第一天修了全长的 2/5 多 60 米，第二天修的长度比第一天的 3/4 多 35 米，还剩 100 米没有修，这条路全长多少米？ 2．修一条路，第一天修了全长的 2/5 多 60 米，第二天修的长度比第一天的 3/4 少 35 米，这两天共修路 420 米，这条路全长多少米？ 3．某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的 2/5，第二天修了剩下部分的 5/9 又 20 米，第三天修的是第一天的 1/4 又 30 米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？- 18 -六年级数学奥数培训资料第9讲一、知识要点设数法解题在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解， 但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入 法” ，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方 便计算） ，然后求出解答。 二、精讲精练 【例题 1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。 解： 由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是 12，所以右边括号内应填 4。 说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。 练习 1： 1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。 2．五个人比较身高，甲比乙高 3 厘米，乙比丙矮 7 厘米，丙比丁高 10 厘米，丁比戊 矮 5 厘米，甲与戊谁高，高几厘米？ 3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运 60 吨到乙仓库，从乙仓库运 45 吨到丙仓库，从丙仓库运 55 吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多 的比最少的多多少吨？ 【例题 2】足球门票 15 元一张，降价后观众增加一倍，收入增加 1/5，问一张门票降 价多少元？ 【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可 以随便假设一个观众数。为了方便，假设原来只有一个观众，收入为 15 元，那么降价后 有两个观众，收入为 15×（1+1/5）＝18 元，则降价后每张票价为 18÷2＝9 元，每张票 降价 15－9＝6 元。即： 15－15×（1+1/5）÷2＝6（元） 答：每张票降价 6 元。 说明：如果设原来有 a 名观众，则每张票降价： 15－15a×（1+1/5）÷2a＝6（元） 练习 2： 1．某班一次考试，平均分为 70 分，其中 3/4 及格，及格的同学平均分为 80 分，那 么不及格的同学平均分是多少分？ 2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占 30％，又来了一批学生后，学生总数增加 了 20％，小学生占学生总数的 40％，小学生增加百分之几？ 3．五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生- 19 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________是全部男生的 2/5，全部女生人数占全年级人数的几分之几？ 【例题 3】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山，每分钟跑 200 米，再从原 路下山，每分钟跑 240 米，又从原路上山，每分钟跑 150 米，再从原路下山，每分钟跑 200 米，求小王的平均速度。 【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是 1200，设一个单程是 1200 米。则 （1）四个单程的和：00（米） （2）四个单程的时间分别是； ＝6（分） ＝5（分） ＝8（分） ＝6（分） （3）小王的平均速度为： 4800÷（6+5+8+6）＝192（米） 答：小王的平均速度是每分钟 192 米。 练习 3： 1．小华上山的速度是每小时 3 千米，下山的速度是每小时 6 千米，求上山后又沿原 路下山的平均速度。 2．张师傅骑自行车往返 A、B 两地。去时每小时行 15 千米，返回时因逆风，每小时 只行 10 千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？ 3．小王骑摩托车往返 A、B 两地。平均速度为每小时 48 千米，如果他去时每小时行 42 千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？ 【例题 4】某幼儿园中班的小朋友平均身高 115 厘米，其中男孩比女孩多 1/5，女孩 平均身高比男孩高 10％，这个班男孩平均身高是多少？ 【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有 5 人，则男孩有 6 人。 （1） （2） 总身高：115×【5+5×（1+1/5） 】＝1265（厘米） 由于女孩平均身高是男孩的（1+10％） ，所以 5 个女孩的身高相当于 5×（1+10％）＝5.5 个男孩的身高，因此男孩的平均身高为： 1265÷【 （1+10％）×5+6】＝110（厘米） 答：这个班男孩平均身高是 110 厘米。 练习 4： 1． 某班男生人数是女生的 2/3， 男生平均身高为 138 厘米， 全班平均身高为 132 厘米。 问：女生平均身高是多少厘米？ 2．某班男生人数是女生的 4/5，女生的平均身高比男生高 15％，全班的平均身高是 130 厘米，求男、女生的平均身高各是多少？- 20 -六年级数学奥数培训资料3． 一个长方形每边增加 10％， 那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？ 【例题 5】 狗跑 5 步的时间马跑 3 步， 马跑 4 步的距离狗跑 7 步， 现在狗已跑出 30 米， 马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？ 【思路导航】马跑一步的距离不知道，跑 3 步的时间也不知道，可取具体数值，并不 影响解题结果。 设马跑一步为 7，则狗跑一步为 4，再设马跑 3 步的时间为 1，则狗跑 5 步的时间为 1， 推知狗的速度为 20，马的速度为 21。那么， 20×【30÷（21－20） 】＝600（米） 练习 5： 1．猎狗前面 26 步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑 8 步的时间狗只跑 5 步，但兔 跑 9 步的距离仅等于狗跑 4 步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？ 2．猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出 40 米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑 2 步的时 间兔子跑 3 步，猎狗跑 4 步的距离与兔子跑 7 步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追 到它？ 3．狗和兔同时从 A 地跑向 B 地，狗跑 3 步的距离等于兔跑 5 步的距离，而狗跑 2 步 的时间等于兔跑 3 步的时间，狗跑 600 步到达 B 地，这时兔还要跑多少步才能到达 B 地？- 21 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________第 10 讲一、知识要点假设法解题（一）假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推 算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙的解答思路。 运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某 个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据 它与实际条件的矛盾求解。 二、精讲精练 【例题 1】 甲、乙两数之和是 185，已知甲数的 1/4 与乙数的 1/5 的和是 42，求两数各是多少？ 【思路导航】假设将题中“甲数的 1/4” 、 “乙数的 1/5”与“和为 42”同时扩大 4 倍， 则变成了“甲数与乙数的 4/5 的和为 168” ，再用 185 减去 168 就是乙数的 1/5。 解： 乙： （185－42×4）÷（1－1/5×4）＝85 答：甲数是 100，乙数是 85。 练习 1： 1．甲、乙两人共有钱 150 元，甲的 1/2 与乙的 1/10 的钱数和是 35 元，求甲、乙两 人各有多少元钱？ 2．甲、乙两个消防队共有 338 人。抽调甲队人数的 1/7，乙队人数的 1/3，共抽调 78 人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？ 3．海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数的 1/3 多 50 吨，五 月份完成总数的 2/5 少 70 吨，还有 420 吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？ 【例题 2】 彩色电视机和黑白电视机共 250 台。如果彩色电视机卖出 1/9，则比黑白电视机多 5 台。问：两种电视机原来各有多少台？ 【思路导航】从图中可以看出：假设黑白电视机增加 5 台，就和彩色电视机卖出 1/9 后剩下的一样多。 黑白电视机增加 5 台后，相当于彩色电视机的（1－1/9）＝ 8/9。 （250+5）÷（1+1－1/9）＝135（台） 250－125＝115（台） 答：彩色电视机原有 135 台，黑白电视机原有 115 台。 练习 2： 1．姐妹俩养兔 120 只，如果姐姐卖掉 1/7，还比妹妹多 10 只，姐姐和妹妹各养了多 少只兔？ 2．学校有篮球和足球共 21 个，篮球借出 1/3 后，比足球少 1 个，原来篮球和足球各- 22 -六年级数学奥数培训资料有多少个？ 3．小明甲养的鸡和鸭共有 100 只，如果将鸡卖掉 1/20，还比鸭多 17 只，小明家原来 养的鸡和鸭各有多少只？ 【例题 3】师傅与徒弟两人共加工零件 105 个，已知师傅加工零件个数的 3/8 与徒弟 加工零件个数的 4/7 的和为 49 个，师、徒各加工零件多少个？ 【思路导航】假设师、徒两人都完成了 4/7，一个能完成（105×4/7）＝60 个，和实 际相差（60－49）＝11 个，这 11 个就是师傅完成将零件的 3/8 与完成加工零件的 4/7 相 差的个数。这样就可以求出师傅加工了【11÷（4/7－3/8） 】＝56 个。即： 师傅： （105×4/7－49）÷（4/7－3/8）＝56（个） 徒弟：105－56＝49（个） 答：师傅加工了 56 个，徒弟加工了 49 个。 练习 3： 1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共 136 台，卖出彩色电视机的 2/5 和黑白电视 机的 3/7，共卖出 57 台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？ 2．甲、乙两个消防队共有 336 人，抽调甲队人数的 5/7、乙队人数的 3/7，共抽调 188 人参加灭火。问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？ 3．学校买来足球和排球共 64 个，从中借出排球个数的 1/4 和足球个数的 1/3 后，还 剩下 46 个，买来排球和足球各是多少个？ 【例题 4】甲、乙两数的和是 300，甲数的 2/5 比乙数的 1/4 多 55，甲、乙两数各是 多少？ 【思路导航】 甲数的 2/5 与乙数的 2/5 的和就是甲、 乙两数的 2/5， 是 300×2/5＝120， 因为甲数的 2/5 比乙数的 1/4 多 55，所以从 120 中减去 55 所得的差就可以看成是乙数的 1/4 与乙数的 2/5 的和。 乙： （300×2/5－55）÷（2/5+1/4）＝100 甲：300－100＝200 答：甲数是 200，乙数是 100。 练习 4： 1．畜牧场有绵羊、山羊共 800 只，山羊的 2/5 比绵羊的 1/2 多 50 只，这个畜牧场有 山羊、绵羊各多少只？ 2．师傅和徒弟共加工零件 840 个，师傅加工零件的个数的 5/8 比徒弟加工零件个数 的 2/3 多 60 个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 3．某校六年级甲、乙两个班共种 100 棵树，乙班种的 1/10 比甲班种的 1/3 少 16 棵， 两个班各种多少棵？ 【例题 5】 育红小学上学期共有学生 750 人， 本学期男学生增加 1/6， 女学生减少 1/5，- 23 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________共有 710 人，本学期男、女学生各有多少人？ 【思路导航】假设本学期女学生不是减少 1/5，而是增加 1/6，半学期应该有 750× （1+1/6）＝875 人，比实际多 875－710＝165 人，这 165 人是假设女学生也增加 1/6 多出 的人数，而实际女学生减少 1/5，所以，这 165 人对应着女学生的（1/5+1/6）＝11/30。 上学期女生： 【750×（1+1/6）－710】÷（1/5+1/6）＝450（人） 本学期女生：450×（1－1/5）＝360（人） 本学期男生：710－360＝350（人） 答：本学期男学生有 350 人，女学生有 360 人。 练习 5： 1．金放在水里称，重量减轻 1/19，银放在水里称，重量减少 1/10，一块重 770 克的 金银合金，放在水里称是 720 克，这块合金含金、银各多少克？ 2．某中学去年共招新生 475 人，今年共招新生 640 人，其中初中招的新生比去年增 加 48％，高中招的新生比去年增加 20％，今年初、高中各招收新生多少人？ 3．袋子里原有红球和黄球共 119 个。将红球增加 3/8，黄球减少 2/5 后，红球与黄球 的总数变为 121 个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？- 24 -六年级数学奥数培训资料第 11 讲一、知识要点假设法解题（二）已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要 求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。 应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数 量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1” ，然后通过假设，找出变化 前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎 刃而解了。 二、精讲精练 【例题 1】两根铁丝，第一根长度是第二根的 3 倍，两根各用去 6 米，第一根剩下的 长度是第二根剩下的长度的 5 倍，第二根原来有多少米？ 【思路导航】假设第一根用去 6×3＝18 米，那么第一根剩下的长度仍是第二根剩下 长度的 3 倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12 米，也就多剩下第二根剩 下的长度的（5－3）＝2 倍。 （6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米） 答：第二根原来有 12 米。 练习 1： 1．丁晓原有书的本数是王阳的 5 倍，若两人同时各借出 5 本给其他同学，则丁晓书 的本数是王阳的 10 倍，两人原来各有书多少本？ 2．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的 3 倍，如果中学增加 450 棵， 小学增加 400 棵，则中学是小学的 2 倍。求中、小学原来各植树多少棵？ 3．两堆煤，第一堆是第二堆的 2 倍，第一堆用去 8 吨，第二堆用去 11 吨，第一堆剩 下的重量是第二堆的 4 倍。求第二堆煤原来是多少吨？ 【例题 2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的 3 倍多 6.40 元，若两个人各买了一本 4.40 元的故事书后，王明的钱就是陈刚的 8 倍，陈刚原来有零花钱多少元？ 【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的 3 倍多 6.40 元，则王明要相应地花去 4.40×3 ＝13.20 元，但王明只花去了 4.40 元，比 13.20 元少 13.20－4.40＝8.80 元，那 么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的 3 倍多 6.40+8.80＝15.20 元，而题中已告诉：买 书后王明的钱是陈刚的 8 倍，所以，15.20 元就对应着陈刚花钱后剩下钱的 8－3＝5 倍。 【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元） 答：陈刚原来有零花钱 7.44 元。 练习 2： 1．甲书架上的书比乙书架上的 3 倍多 50 本，若甲、乙两个书架上各增加 150 本，则 甲书架上的书是乙书架上的 2 倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？- 25 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的 2 倍多 54 人，本学年马村中学增加 了 20 人，牛庄小学减少了 8 人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的 4 倍少 26 人，上 学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？ 3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的 3 倍多 2 粒，每次从箱子里取出 7 粒 白球和 15 粒红球，若干次后，箱子里剩下 3 粒白球和 53 粒红球，那么，箱子里白球原有 多少粒？ 【例题 3】小红的彩笔枝数是小刚的 1/2，两人各买 5 枝后，小红的彩笔枝数是小刚 的 2/3，两人原来各有彩笔多少枝？ 【思路导航】假设小刚买了 5 枝后，小红的彩笔仍为小刚的 1/2，则小红只需买（5 ×1/2）＝2 又 1/2 枝，但实际上小红买了 5 枝，多买了 5－2 又 1/2＝2 又 1/2 枝。将小 刚买了 5 枝后的枝数看作“1” ，小红多买了 2 又 1/2 ，相当于（2/3－1/2）＝1/6。 小刚原来： （5－5×1/2）÷（2/3－1/2）－5＝10（枝） 小红原来：10×1/2＝5（枝） 答：小刚原来有彩笔 10 枝，小红原来有彩笔 5 枝。 练习 3： 1．小华今年的年龄是爸爸年龄的 1/6，四年后小华的年龄是爸爸的 1/4，求小华和爸 爸今年的年龄各是多少岁？ 2． 小红今年的年龄是妈妈的 3/8， 10 年后小红的年龄是妈妈的 1/2， 小红今年多少岁？ 3．甲书架上的书是乙书架上的 5/7，甲、乙两个书架上各增加 90 本后，甲书架上的 书是乙书架上的 4/5，甲、乙两各书架原来各有多少本书？ 【例题 4】王芳原有的图书本数是李卫的 4/5，两人各捐给“希望工程”10 本后，则 王芳的图书的本数是李卫的 7/10，两人原来各有图书多少本？ 【思路导航】假设李卫捐了 10 本后，王芳的图书仍是李卫的 4/5，则王芳只需捐 10 ×4/5＝8 本， 实际王芳捐了 10 本， 多捐了 10－8＝2 本， 将李卫捐书后剩下的图书看作 “1” ， 着 2 本书相当于 4/5－7/10＝1/10。 （10－10×4/5）÷(4/5－710)=30(本) 30×4/5＝24（本） 答：李卫原有图书 30 本，王芳原有图书 24 本。 练习 4： 1．甲书架上的书是乙书架上的 4/5，从这两个书架上各借出 112 本后，甲书架上的书 是乙书架上的 4/7，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？ 2．小明今年的年龄是爸爸的 6/11，10 年前小明的年龄是爸爸的 4/9，小明和爸爸今 年各多少岁？ 3．甲车间的工人是乙车间的 1/4，从甲、乙两个车间各抽出 30 人后，甲车间的工人- 26 -六年级数学奥数培训资料只占乙车间的 1/6，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？ 【例题 5】某校六年级男生人数是女生的 23，后来转进 2 名男生，转走 3 名女生，这 时男生人数是女生的 3/4，现在男、女生各有多少人？ 【思路导航】假设转走 3 名女生后，男生人数仍是女生的 2/3，则男生应转走 3×2/3 ＝2 人，实际上男生却转进 2 人，与应转走 2 人相差 2+2＝4 人。将转走 3 名女生后的女生 人数看作“1” ，则相差的 4 人相当于现在女生的 3/4－2/3。 （2+3×2/3）÷（3/4－2/3）＝48（人） 48×3/4＝36（人） 答：现在男生有 36 人，女生有 48 人。 练习 5： 1．甲车间的工人是乙车间的 2/5，后来甲车间增加 20 人，乙车间减少 35 人，这样甲 车间的人数是乙车间的 7/9，现在甲、乙两个车间各有多少人？ 2．有一堆棋子，黑子是白子的 2/3，现在取走 12 粒黑子，添上 18 粒白子后，黑子是 白子的 5/12，现在白子、黑子各有多少粒？ 3．爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等 奖的人数是曙光小学的 2.5 倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了 1 人，曙 光小学增加了 6 人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的 2 倍。两校去年的一等奖 的同学各有多少人？- 27 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________第 12 讲一、知识要点倒推法解题有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较 繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系， 从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。 二、精讲精练 【例题 1】一本文艺书，小明第一天看了全书的 1/3，第二天看了余下的 3/5，还剩下 48 页，这本书共有多少页？ 【思路导航】从“剩下 48 页”入手倒着往前推，它占余下的 1－3/5＝2/5。第一天看 后还剩下 48÷2/5＝120 页，这 120 页占全书的 1－1/3＝2/3，这本书共有 120÷2/3＝180 页。即 48÷（1－3/5）÷（1－1/3）＝180（页） 答：这本书共有 180 页。 练习 1： １．某班少先队员参加劳动，其中 3/7 的人打扫礼堂，剩下队员中的 5/8 打扫操场， 还剩 12 人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？ ２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的 3/8，第二天走了余下的 2/3，第三天 走了 250 千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？ ３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的 1/6，乙拿走了余下的 2/5，丙拿走这 时所剩的 3/4，丁拿走最后剩下的 15 个，这堆苹果共有多少个？ 【例题 2】 筑路队修一段路， 第一天修了全长的 1/5 又 100 米， 第二天修了余下的 2/7 ， 还剩 500 米，这段公路全长多少米？ 【思路导航】从“还剩 500 米”入手倒着往前推，它占余下的 1－2/7＝5/7，第一天 修后还剩 500÷5/7＝700 米，如果第一天正好修全长的 1/5，还余下 700+100＝800 米，这 800 米占全长的 1－1/5＝4/5，这段路全长 800÷4/5＝1000 米。列式为： 【500÷（1－2/7）+100】÷（1－1/5）＝1000 米 答：这段公路全长 1000 米。 练习 2： １．一堆煤，上午运走 2/7，下午运的比余下的 1/3 还多 6 吨，最后剩下 14 吨还没有 运走，这堆煤原有多少吨？ ２． 用拖拉机耕一块地， 第一天耕了这块地的 1/3 又 2 公顷， 第二天耕的比余下的 1/2 多 3 公顷，还剩下 35 公顷，这块地共有多少公顷？ ３．一批水泥，第一天用去了 1/2 多 1 吨，第二天用去了余下 1/3 少 2 吨，还剩下 16 吨，原来这批水泥有多少吨？- 28 -六年级数学奥数培训资料【例题 3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出 1/3 给乙桶后，又从乙桶中倒出 1/5 给甲 桶，这时两桶油各有 24 千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？ 【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48 千克，当乙桶 没有倒出 1/5 给甲桶时，乙桶内有油 24÷（1－1/5）＝30 千克，这时甲桶内只有 48－30 ＝18 千克，而甲桶已倒出 1/3 给了乙桶，可见甲桶原有的油为 18÷（1－1/3）＝27 千克， 乙桶原有的油为 48－27＝21 千克。 甲： 【24×2－24÷（1－1/5） 】÷（1－1/3）＝27（千克） 乙：24×2－27＝21（千克） 答：甲桶原有油 27 千克，乙桶原有油 21 千克。 练习 3： １． 小华拿出自己的画片的 1/5 给小强， 小强再从自己现有的画片中拿出 1/4 给小华， 这时两人各有画片 12 张，原来两人各有画片多少张？ ２．甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出 1/5 给乙后，乙又拿出 1/4 给甲，这时他 们各有 90 元，他们原来各有多少元？ ３．一瓶酒精，第一次倒出 1/3，然后倒回瓶中 40 克，第二次再倒出瓶中酒精的 5/9， 第三次倒出 180 克，瓶中好剩下 60 克，原来瓶中有多少克酒精？ 【例题 4】甲、乙、丙三人共有人民币 168 元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙； 第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、 乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？ 【思路导航】根据题意，由最后甲钱数是 168÷3＝56 元可推出：第一次甲拿出与乙 同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是 56÷2＝28 元，这 28 元就是原来甲比乙多的钱数。 168÷3÷2＝28 元 答：原来甲比乙多 28 元。 练习 4： １．甲、乙、丙三个班共有学生 144 人，先从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再 从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。 再从丙班调出与这时甲班相同的人数给甲班， 这样， 甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？ ２．甲、乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出 4 个放入乙盒，再从乙盒拿出 8 个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？ ３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是 6：9：5，如果从乙仓库拿出 400 袋平均分 给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？ 【例题 5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/4 到乙仓库后，又从乙 仓库运出 1/4 到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库 的几分之几？- 29 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1” ，由题意可知，从乙仓库运出 1/4 到甲仓库，乙仓库最后占两仓库和的 1/2。 ①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？ 1/2÷（1－1/4）＝2/3 ②甲仓库占两仓库和的几分之几？ 1－2/3＝1/3 ③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？ 1/3÷（1－1/4）＝4/9 ④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？ 4÷（9－4）＝4/5 答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的 4/5。 练习 5： 1．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/3 到乙仓库后，又从乙仓库运 出 1/3 到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分 之几？ ２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/5 到乙仓库后，又从乙仓库运 出 1/4 到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分 之几？ ３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出 1/3 到乙仓库后，又从乙仓库运 出 2/5 到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的 9/10。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分 之几？- 30 -六年级数学奥数培训资料第 13 讲一、知识要点代数法解题有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法列式 算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。 二、精讲精练 【例题 1】某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多 12 个，乙种零 件全部合格，甲种零件只有 4/5 合格，两种零件合格的共有 42 个，两种零件个生产了多 少个？ 【思路导航】本体用算术方法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有 42 个， 列方程求解。 解：设生产乙种零件 x 个，则生产甲种零件（x+12）个。 （x+12）×4/5+x＝42 4/5x+9+x＝42 9/5x＝42－9 又 3/5 x＝18 18+12＝30（个） 答：甲种零件生产了 30 个，乙种零件生产了 18 个。 练习 1： 1．某校参加数学竞赛的女生比男生多 28 人，男生全部得优，女生的 3/4 得优，男、 女生得优的一共有 42 人，男、女生参赛的各有多少人？ 2．有两盒球，第一盒比第二盒多 15 个，第二盒中全部是红球，第一盒中的 2/5 是红 球，已知红球一共有 69 个，两盒球共有多少个？ 3．六年级甲班比乙班少 4 人，甲班有 1/3 的人、乙班有 1/4 的人参加课外数学组， 两个班参加课外数学组的共有 29 人，甲、乙两班共有多少人？ 【例题 2】阅览室看书的学生中，男生比女生多 10 人，后来男生减少 1/4，女生减少 1/6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？ 【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。 解：设女生有 x 人，则男生有（x+10）人 （1－1/6）x＝（x+10）×（1－1/4） x＝90 90+90+10＝190 人 答：原来一共有 190 名学生在阅览室看书。 练习 2： 1．某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多 5 人。今年参加无线- 31 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________电小组的同学减少 1/5，参加航模小组的人数减少 1/10，这样，两个组的同学一样多。去 年两个小组各有多少人？ 2．原来甲、乙两个书架上共有图书 900 本，将甲书架上的书增加 5/8，乙书架上的书 增加 3/10，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少本？ 3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多 700 个。今天生产的甲种零件比昨天少 1/10，生产的乙种零件比昨天增加 3/20，两种零件共生产了 2065 个。昨天两种零件共生 产了多少个？ 【例题 3】甲、乙两校共有 22 人参加竞赛，甲校参加人数的 1/5 比乙校参加人数的 1/4 少 1 人，甲、乙两校各有多少人参加？ 【思路导航】这题中的等量关系是：甲×1/5＝乙×1/4－1 解：设甲校有 x 人参加，则乙校有（22－x）人参加。 1/5x＝（22－x）×1/4－1 x＝10 22－10＝12（人） 答：甲校有 10 人参加，乙校有 12 人参加。 练习 3： 1．学校图书馆买来文艺书和连环画共 126 本，文艺书的比连环画的少 7 本，图书馆 买来的文艺书和连环画各是多少本？ 2．某小有学生 465 人，其中女生的比男生的少 20 人，男、女生各有多少人？ 3．王师傅和李师傅共加工零件 62 个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少 2 个，两 人各加工了多少个？ 【例题 4】甲书架上的书是乙书架上的 5/6，两个书架上各借出 154 本后，甲书架上 的书是乙书架上的 4/7，甲、乙两书架上原有书各多少本？ 【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的 4/7。 解：设乙书架上原有 x 本，则甲书架上原有 5/6x 本。 （x－154）×4/7＝5/6x－154 x ＝252 252×5/6 ＝210（本） 答：甲书架上原有 210 本，乙书架上原有 252 本。 练习 4： 1． 儿子今年的年龄是父亲的 1/6， 4 年后儿子的年龄是父亲的 1/4， 父亲今年多少岁？ 2．某校六年级男生是女生人数的 2/3，后来转进 2 名男生，转走 3 名女生，这时男生 人数是女生的 3/4。原来男、女生各有多少人？ 3．第一车间人数的 3/5 等于第二车间人数的 9/10，第一车间比第二车间多 50 人。两- 32 -六年级数学奥数培训资料个车间各有多少人？ 【例题 5】一个班女同学比男同学的 2/3 多 4 人，如果男生减少 3 人，女生增加 4 人， 男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？ 【思路导航】抓住“如果男生减少 3 人，女生增加 4 人，男、女生人数正好相等”这 个等量关系列方程。 解：设男生有 x 人，则女生有（2/3x+4）人。 x－3＝2/3x+4+4 x＝33 2/3×33+4＝26（人） 答：这个班男生有 33 人，女生有 26 人。 练习 5： 1．某学校的男教师比女教师的 3/8 多 8 人。如果女教师减少 4 人，男教师增加 8 人， 男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？ 2．某无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的 3 倍。如果从第一 仓库取出 30 台，存入第二仓库，则第二仓库就是第一仓库的 4/9。两个仓库原来各有电视 机多少台？ 3．某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的 4/5 少 30 人。如果从第二车间调 10 人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的 3/4。求原来每个车间的人数。- 33 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________第 14 讲一、知识要点比的应用（一）我们已经学过比的知识，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相 转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易，化繁为简。 二、精讲精练 【例题 1】甲数是乙数的 2/3，乙数是丙数的 4/5，甲、乙、丙三数的比是（ ） ： （ ） ： （ ） 。 【思路导航】 甲、乙两数的比 乙、丙两数的比 2：3 4：5甲、乙、丙三数的比 8：12：15 答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。 练习 1： 1．甲数是乙数的 4/5，乙数是丙数的 5/8，甲、乙、丙三数的比是（ ） ： （ ） ： （ ） 。 2．甲数是乙数的 4/5，甲数是丙数的 4/9，甲、乙、丙三数的比是（ ） ： （ ） ： （ ） 。 3．甲数是丙数的 3/7，乙数是丙数的 2 又 1/2，甲、乙、丙三数的比是（ ） ： （ ） ： （ ） 。 【例题 2】光明小学将五年级的 140 名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一 小组和第二小组人数的比是 2：3，第二小组和第三小组人数的比是 4：5。这三个小组各 有多少人？ 【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。 ①一、二两组人数的比 ②总份数：8+12+15＝35 ③第一组：140×8/35＝32（人） ④第二组：140×12/35＝48（人） ⑤第三组：140×15/35＝60（人） 答：第一小组有 32 人，第二小组有 48 人，第三小组有 60 人。 练习 2： 1．某农场把 61600 公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是 7：2，棉田与其他 作物面积的比 6：1。每种作物各是多少公亩？ 2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5：4，第 二组与第三组人数的比是 3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少 15 人。六年 级参加植树的共有多少人？ 3．科技组与作文组人数的比是 9：10，作文组与数学组人数的比是 5：7。已知数学- 34 -2：3二、三两组人数的比4：5一、二、三组人数的比 8：12：15六年级数学奥数培训资料组与科技组共有 69 人。数学组比作文组多多少人？ 【例题 3】甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5，如果甲校给乙校 650 本，甲、乙两 校图书本数的比就是 3：4。原来甲校有图书多少本？ 【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是 7：5 可知，原来甲校图书的本数是 两校图书总数的 7/（7+5） ，由于甲校给了乙校 650 本，这时甲校的图书占两校图书总数的 3/ （3+4） ， 甲校给乙校的 650 本图书， 相当于两校图书总数的 7/ （7+5） －3/ （3+4） ＝13/84。 650÷（7/（7+5）－3/（3+4） ）×7/（7+5）＝2450（本） 答：原来甲校有图书 2450 本。 练习 3： 1．小明读一本书，已读的和未读的页数比是 1：5。如果再读 30 页，则已读和未读的 页数之比为 3：5。这本书共有多少页？ 2．甲、乙两包糖的重量比是 4：1。从甲包取出 130 克放入乙包后，甲、乙两包糖的 重量比为 7：5。原来甲包有多少克糖？ 3．五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的 1/3，二班与 三班参加比赛人数的比是 11：13，二班比三班少 8 人。一班有多少人参加了数学竞赛？ 【例题 4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把 17 头牛分给三个儿子，其中大儿子 分得 1/2，二儿子分得 1/3，小儿子分得 1/9，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人 的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把 17 头牛分完了，你知道这到底是怎么回事 吗？ 【思路导航】 因为 1/2+1/3+1/9＝17/18， 17/181， 就是说三兄弟并未将全部牛分完， 所以我们求出三个儿子分牛头数的连比，最后再按比例分配。 ① 三个儿子分牛头数的连比：1/2：1/3：1/9＝9：6：2 ② 总份数：9+6+2＝17 ③ 三个儿子各分得牛的头数： 17×9/17＝9 （头） 17×6/17＝6 （头） 17×2/17＝2 （头） 答：大儿子分得 9 头，二儿子分得 6 头，小儿子分得 2 头。 练习 4： 1．图书室取出一批书，按照一年级得 1/2，二年级得 1/3，三年级得 1/7，正好是 41 本，各年级各得多少本？ 2．古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个 男孩，就把遗产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三 分之一给女儿，三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料 到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个继承人的比。 （1） 从儿子、 母亲、 女儿所得的比例来看， 他们三人所得的遗产的比是 （） ： （ ） ： （ ） 。 （2）从母亲至少得遗产的 1/3 来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ） ： （ ） ：- 35 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________（ ） 。 3．甲、乙、丙三人共做零件 900 个。甲做总数的 30％，乙比丙多做 1/3。三人各做 多少个？ 【例题 5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是 3：1，另 一个瓶中酒精与水的体积之比是 4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积 之比是多少？ 【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分 之几再解答。 ① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 ② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 ④ 水占一个瓶子容积的比 ⑤ 混合液中酒精与水的比 练习 5： 1．两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的比是 2：5，另一块合金中铜与锌的比是 1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜与锌的比。 2．将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是 2：1，乙 队已修的与剩下的比是 5：2。这条公路已修了全长的几分之几？ 3．光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的 5/8，照这样的速度计算，全年可 超产 1000 台。这个工厂上半年生产电视机多少台？ 3/（1+3）＝ 3/4 4/（1+4）＝ 4/5 3/4+4/5 ＝ 31/20③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比2－31/20 ＝ 9/20 31/20：9/20＝31：9答：混合液中酒精与水的比是 31：9。- 36 -六年级数学奥数培训资料第 15 讲一、知识要点比的应用（二）比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处 理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用 题。 二、精讲精练 【例题 1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走 1/5 的路，而乙走的时间比甲少 1/11，求甲、乙两人速度的比。 【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程/甲时间：乙 路程/乙时间 （1）甲、乙路程的比： （1+1/5） ：1＝6：5 （2）甲、乙时间的比：1： （1－1/11）＝11：10 （3）甲、乙速度的比：6/11：5/10=12：11 答：甲、乙速度的比是 12：11。 练习 1： 1．小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多 1/5，小芳用的时间比小明多 1/8。 求小明和小芳速度的比。 2．甲走的路程比乙多 1/3，乙用的时间比甲多 1/4。求甲、乙的速度比。 3．一个人步行每小时走 5 千米，如果骑自行车每 1 千米比步行少用 8 分钟。这个人 骑自行车的速度和步行速度的比是多少？ 【例题 2】制造一个零件，甲需 6 分钟，乙需 5 分钟，丙需 4.5 分钟。现在有 1590 个 零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零 件？ 【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效 率的比进行解答。 甲、乙、丙工作效率的比： 1/6：1/5：1/1.5＝15：18：20 总份数：15+18+20＝53 甲 乙 丙 ：＝450（个） ：＝540（个） ：＝600（个）答：甲、乙、丙分配到的零件分别是 450 个、540 个、600 个。 练习 2： 1．加工一个零件，甲需 3 分钟，乙需 3.5 分钟，丙需 4 分钟。现在有 1825 个零件需 要甲、乙、丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？- 37 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________2．甲、乙、丙三人在同一时间里共制造 940 个零件。甲制造一个零件需 5 分钟，比 乙制造一个零件所用的时间多 25％，丙制造一个零件所用的时间比甲少 2/5。甲、乙、丙 各制造了多少个零件？ 3．加工某种零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零 件 48 个，32 个，28 个，现有 118 名工人，要使每天三道工序完成的零件个数相同，每道 工序应安排多少工人？ 【例题 3】两个服装厂一个月内生产服装的数量是 6： 5，两厂西服价格的比是 11：10。 已知两厂这个月内总产值为 6960 万元。两厂的产值各是多少万元？ 【思路导航】因为产值＝价格×产量，所以 甲产值：乙产值＝（甲价格×甲产量） ： （乙价格×乙产量） 两厂的产值比为： （11×6） ： （10×5）＝66：50 甲厂产值为：6960×66/（66+50）＝3960（元） 乙厂产值为：+50）＝3000（元） 答：两厂的产值分别是 3960 万元和 3000 万元。 练习 3： 1．甲、乙两个长方形长的比是 4：5，宽的比是 3：2，面积的和是 242 平方厘米。求 甲、乙两个长方形的面积分别是多少平方厘米？ 2．苹果和梨的单价的比是 6：5，王大妈买的苹果和梨的重量的比是 2：3，共花去 18 元。王大妈买苹果和梨各花了多少元？ 3．大、小两种苹果，其单价比是 5：4，重量比是 2：3。把两种苹果混合，成为 100 千克的混合苹果，单价为每千克 4.40 元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？ 【例题 4】A、B 两种商品的价格比是 7：3。如果它们的价格分别上涨 70 元，它们的 价格比就是 7：4，这两种商品原来的价格各是多少元？ 【思路导航】 解法一：因为 A、B 两种商品涨价的数值相同，所以涨价后两种商品价格差不变。由 于价格差不变，所以价格差对应的份数也应该相同。 原价格比＝7：3＝21：9 70÷（28－21）＝10 元 现价格比＝7：4＝28：16 A：10×21＝210（元） B：10×9＝90（元） 7÷（7－3）＝7/4 7÷（7－4）＝7/3 70÷（7/3－7/4）＝120（元） 120÷（7－3）×7＝210（元） 【这样前后项的差都是 12，价格涨了（28－21）＝7 份，是 70 元】 解法二：由于两种商品的价格不变，选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 （1）原来 A 商品的几个是价格差的几倍 （2）后来 A 商品的价格是价格差的几倍 （3）A、B 两种商品的价格差是 （4）原来 A 商品的价格是- 38 -六年级数学奥数培训资料（5） 原来 B 商品的价格是120÷（7－3）×3＝90（元）答：A、B 两种商品原来的价格分别是 210 元和 90 元。 练习 4： 用两种思路解答下列应用题： 1．甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是 4：3。甲队给乙队 54 吨水泥后，甲、乙两 队水泥重量的比是 3：4。原来甲队有水泥多少吨？ 2．甲书架上的书是乙书架上的 4/7，两书架上各增加 154 本后，甲书架上的书是乙书 架上的，甲、乙两书架上原来各有多少本书？ 3．兄弟两人，每年收入的比是 4：3，每年支出的比是 18：13。从年初到年底，他们 都结余 720 元。他们每年的收入各是多少元？ 【例题 5】如图是甲、乙、丙三地的线路图，已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的 路程比是 1：2。王刚以每小时 4 千米的速度从甲地步行到丙地，李华同时以每小时 10 千 米的速度从乙地骑自行车去丙地， 他比王刚早 1 小时到达丙地。 甲、 乙两地相距多少千米？ 【思路导航】 解法一：根据路程的比和速度的比求出时间的比，从而求出王刚和李华所用的时间， 再求出各自所走的路程。 王刚和李华所用时间的比 王刚所用的时间 甲地到丙地的路程 甲、乙两地的路程 1/4：2/10＝5：41÷（5－4）×5＝5（小时） 4×5＝20（千米） 20×（1+2）＝60（千米）解法二：如果李华每小时行 4×2＝8 千米，他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时 多行 10－8＝2 千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内，李华比应行的路程多行了 10×1 ＝10 千米。据此，可求出王刚从甲地到丙地的时间。 王刚从甲地到丙地的时间 10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时） 甲、乙两地的路程 4×5×（1+2）＝60（千米） 解法三：如果王刚每小时行 10÷3＝5 千米，就能和李华同时到达。由此可见，王刚 走完甲地到丙地的路程，用每小时 4 千米的速度和每小时 5 千米的速度相比，所用的时间 相差 1 小时。再根据 1 千米的路程，两种速度所用的时间相差 1/4－1/5＝ 1/20 小时。最 后求出甲地到丙地的路程。 甲地到丙地的路程 1÷（1/4－1/（10÷÷2）＝20（千米） 甲、乙两地的路程 20×（1+2）＝60（千米） 答：甲、乙两地相距 60 千米。 练习 5： 1．一辆汽车在甲、乙两站间行驶，往返一次共用去 4 小时（停车时间不算在内） 。汽- 39 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________车去时每小时行 45 千米，返回时每小时行 30 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 2．甲做 3000 个零件比乙做 2400 个零件多用 1 小时，甲、乙工作效率的比是 6：5。 甲、乙每小时各做多少个？ 3．下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的 比是 2：3。一辆货车以每小时 40 千米的速度从甲地开往丙地，一辆客车同时以每小时 50 千米的速度从乙地开往丙地，客车比火车迟 1 小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？- 40 -六年级数学奥数培训资料第 16 讲一、知识要点用“组合法”解工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确 的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新 的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。 二、精讲精练 【例题 1】一项工程，甲、乙两队合作 15 天完成，若甲队做 5 天，乙队做 3 天，只能 完成工程的 7/30，乙队单独完成全部工程需要几天？ 【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是 1/15，只要求出甲队货乙队的工作 效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做 5 天，乙队独做 3 天，组合成甲、乙两队合作了 3 天后，甲队独做 2 天来考虑，就可以求出甲队 2 天的工作 量 7/30－1/15×3＝1/30，从而求出甲队的工作效率。所以 1÷【1/15－（7/30－1/15×3）÷（5－3） 】＝20（天） 答：乙队单独完成全部工程需要 20 天。 练习 1： 1．师、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。师傅先做了 3 天，因事外出，由徒弟 接着做 1 天，共完成任务的 3/20。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？ 2．某项工程，甲、乙合做 1 天完成全部工程的 5/24。如果这项工程由甲队独做 2 天， 再由乙队独做 3 天， 能完成全部工程的 13/124。 甲、 乙两队单独完成这项工程各需多少天？ 3．甲、乙两队合做，20 天可完成一项工程。先由甲队独做 8 天，再由乙队独做 12 天， 还剩这项工程的 8/15。甲、乙两队独做各需几天完成？ 【例题 2】一项工程，甲队独做 12 天可以完成。甲队先做了 3 天，再由乙队做 2 天， 则能完成这项工程的 1/2。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现 两段所用时间相等。求两段一共用了几天？ 【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是： （1/2－1/12×3）÷2＝1/8；再由 条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若 干天完成，即可求出相等的时间。 （1）乙队每天完成这项工程的（1/2－1/12×3）÷2＝1/8 （2）两段时间一共是 1÷（1/8×2+1/12）×2＝6（天） 答：两段时间一共是 6 天。 练习 2： 1．一项工程，甲队独做 15 天完成。若甲队先做 5 天，乙队再做 4 天能完成这项工程 的 8/15。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。 这两段时间一共是几天？- 41 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________2．一项工程，甲、乙合做 8 天完成。如果先让甲独做 6 天，再由乙独做，完成任务 时发现乙比甲多了 3 天。乙独做这项工程要几天完成？ 3．某工作，甲单独做要 12 天，乙单独做要 18 天，丙单独做要 24 天。这件工作先由 甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲 3 倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的 2 倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？ 【例题 3】移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽 8 小时完成，先由哥哥栽了 3 小时后，又由弟弟栽了 1 小时，还剩总棵数的 11/16 没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小 时多栽 7 棵。共要移栽西红柿苗多少棵？ 【思路导航】把“哥哥先栽了 3 小时，弟弟又栽了 1 小时”组合成“哥、的合栽了 1 小时后，哥哥又独做了 2 小时” ，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。 哥哥每小时栽总数的几分之几（1－11/16－1/8×1）÷（3－1）＝3/32 一共要移栽的西红柿苗多少棵 7÷【3/32－（1/8－3/32） 】＝112（棵） 答：共要移栽西红柿苗 112 棵。 练习 3： 1．加工一批机器零件，师、徒合做 12 小时可以完成。先由师傅加工 8 小时，接着再 由徒弟加工 6 小时，共加工了这批零件的 3/5。已知师傅每小时比徒弟多做 10 个零件。这 批零件共有多少个？ 2．修一条公路，甲、乙两队合做 6 天可以完成。先由甲队修 5 天，再由乙队修 3 天， 还剩这条公路的 3/10 没有修。已知甲队每天比乙队多修 20 米。这条公路全长多少米？ 3．修一段公路，甲队独修要 40 天，乙队独修要用 24 天。两队同时从两端开工，结 果在距中点 750 米处相遇。这段公路全长多少米？ 【例题 4】一项工作，甲、乙、丙 3 人合做 6 小时可以完成。如果甲工作 6 小时后， 乙、丙合做 2 小时，可以完成这项工作的 2/3；如果甲、乙合做 3 小时后，丙做 6 小时， 也可以完成这项工作的 2/3。如果由甲、丙合做，需几小时完成？ 【思路导航】 将条件 “甲工作 6 小时后， 乙、 丙合做 2 小时， 可以完成这项工作的 2/3” 组合成“甲工作 4 小时，甲、乙、丙合做 2 小时可以完成这项工作的 2/3” ，则求出甲的工 作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。 甲每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×2）÷（6－2）＝1/12 丙每小时完成这项工程的几分之几（2/3－1/6×3）÷（6－3）＝1/18 甲、丙合做需完成的时间为：1÷（1/12+1/18）＝7 由 1/5（小时） 答：甲、丙合做完成需要 7 有 1/5 小时。 练习 4： 1．一项工作，甲、乙、丙三人合做，4 小时可以完成。如果甲做 4 小时后，乙、丙合 做 2 小时，可以完成这项工作的 13/18；如果甲、乙合做 2 小时后，丙再做 4 小时，可以- 42 -六年级数学奥数培训资料完成这项工作的 11/18。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？ 2．一项工程，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。现在先由甲、 乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？ 3．一项工程，甲、乙两队合做 10 天完成，乙、丙两队合做 8 天完成。现在甲、乙、 丙三队合做 4 天后，余下的工程由乙队独做 5 又 1/2 天完成。乙队单独做这项工程需多少 天可以完成？ 4．一件工作，甲、乙合做 4 小时完成，乙、丙合做 5 小时完成。现在由甲、丙合做 2 小时后，余下的由乙 6 小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？ 【例题 5】一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。先由甲、 乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工 修这条公路，几天可以完成？ 【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完 成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11 天后，再由丙队单独修了 7 天才全部完成。 ”就 可以求出丙队的工作效率。 丙队每天修这条公路的【1－（1/24+1/30） 】×（4+7）＝1/40 三队合修完成时间为 1÷（1/24+1/30+1/40）＝10（天） 答：10 天可以完成。 练习 5： 1．一件工作，甲单独做 12 小时完成。现在甲、乙合做 4 小时后，乙又用 6 小时才完 成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？ 2．一条水渠，甲队独挖 120 天完成，乙队独挖 40 天完成。现在两队合挖 8 天，剩下 的由丙队加入一起挖，又用 12 天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？ 3．一件工作，甲、乙合做 6 天可以完成，乙、丙合做 10 天可以完成。如果甲、丙合 做 3 天后， 由乙单独做， 还要 9 天才能完成。 如果全部工作由 3 人合做， 需几天可以完成？ 4．一项工程，甲、乙两队合做 30 天完成，甲队单独做 24 天后，乙队加入，两队又 合做了 12 天。这时甲队调走，乙队又继续做了 15 天才完成。甲队独做这项工程需要多少 天？- 43 -六年级数学奥数培训资料姓名：__________________第 17 讲一、知识要点浓度问题在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。我们知道，将糖溶于水就得 到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多， 糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的 比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒 精溶液二者质量的比值叫酒精含量。因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百 分数表示，即， 浓度＝溶质质量/溶液质量×100％＝溶质质量/（溶质质量＋溶剂质量）×100% 解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比 较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。 浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。要根据题目的条件和问题逐一 分析，也可以分步解答。 二、精讲精练 【例题 1】有含糖量为 7％的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10％，需要再加入多 少克糖？ 【思路导航】根据题意，在 7％的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增 加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓 度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去 原来糖水的质量就是增加的糖的质量。 原来糖水中水的质量：600×（1－7％）＝558（克） 现在糖水的质量 加入糖的质量 练习 1： 1．现在有浓度为 20％的糖水 300 克，要把它变成浓度为 40％的糖水，需要加糖多少 克？ 2．有含盐 15％的盐水 20 千克，要使盐水的浓度为 20％，需加盐多少千克？ 3．有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了 200 毫升清水，乙瓶里装了 200 毫升纯酒精。第 一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中 20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶 里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？ 【例题 2】一种 35％的新农药，如稀释到 1.75％时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35％的农药加多少千克水，才能配成 1.75％的农药 800 千克？ 【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种- 44 -：558÷（1－10％）＝620（克） ：620－600＝20（克）答：需要加入 20 克糖。六年级数学奥数培训资料稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。 800 千克 1.75％的农药含纯农药的质量为 800×1.75％＝14（千克） 含 14 千克纯农药的 35％的农药质量为 14÷35％＝40（千克） 由 40 千克农药稀释为 800 千克农药应加水的质量为 800－40＝760（千克） 答：用 40 千克的浓度为 35％的农药中添加 760 千克水，才能配成浓度为 1.75％的农 药 800 千克。 练习 2： 1．用含氨 0.15％的氨水进行油菜追肥。现有含氨 16％的氨水 30 千克，配置时需加 水多少千克？ 2．仓库运来含水量为 90％的一种水果 100 千克。一星期后再测，发现含水量降低到 80％。现在这批水果的质量是多少千克？ 3．一容器内装有 10 升纯酒精，倒出 2.5 升后，用水加满；再倒出 5 升，再用水加满。 这时容器内溶液的浓度是多少？ 【例题 3】现有浓度为 10％的盐水 20 千克。再加入多少千克浓度为 30％的盐水，可 以得到浓度为 22％的盐水？ 【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质 及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等于混合后溶液中的溶质的 量。 20 千克 10％的盐水中含盐的质量 20×10％＝2（千克） 混合成 22％时，20 千克溶液中含盐的质量 20×22％＝404（千克） 需加 30％盐水溶液的质量（4.4－2）÷（30％－22％）＝30（千克） 答：需加入 30 千克浓度为 30％的盐水，可以得到浓度为 22％的盐水。 练习 3： 1．在 100 千克浓度为 50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为 5％的硫酸溶液就 可以配制成 25％的硫酸溶液？ 2．浓度为 70％的酒精溶液 500 克与浓度为 50％的酒精溶液 300 克混合后所得到的酒 精溶液的浓度是多少？ 3．在 20％的盐水中加入 10 千克水，浓度为 15％。再加入多少千克盐，浓度为 25％？ 【例题 4】将 20％的盐水与 5％的盐水混合，配成 15％的盐水 600 克，需要 20％的盐 水和 5％的盐水各多少克？ 【思路导航】根据题意，将 20％的盐水与 5％的盐水混