您还可以使用以下方式登录
当前位置：&>&&>& > 微积分下册期末试卷及答案(1)2
微积分下册期末试卷及答案(1)2
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A卷 yf(x?y,)?x2?y2x1、已知,则f(x,y)?_____________. 2、已知,则? 0??xedx??12?x___________.22f(x,y)?x?xy?y?y?1在__________点取得极值. 3、函数 f?(1,0)?4、已知f(x,y)?x?(x?arctany)arctany,则x________.3x5、以y?(C1?C2x)e(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是?????e?x2dx?____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) edx ??(1?p)xedx? 1p?16 知? 0与xlnx均收敛,则常数p的取值范围是(
(D) p?2?4x22,
x?y?0?x2?y2f(x,y)???
x2?y2?0?0,7 数在原点间断,是因为该函数(
).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在
(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值I1?8、若x?y2?12??I2???1?x2?y2?2,,I3?2?x?y2?42??,则下列关系式成立的是(
I2?I1?I3(C) I1?I2?I3
(D) I2?I1?I33x???y?6y?9y?5(x?1)e9、方程具有特解(
).3xy?ax?by?(ax?b)e(A)
23x323x(C)
y?(ax?bx)e
(D) y?(ax?bx)e 10、设n?1收敛，则n?1(
).(A) 绝对收敛
(B) 条件收敛
(D) 不定 ?a?2n?(?1)?nan三、计算题(每小题6分,共60分) 3211、求由y?x,x?4,y?0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积. lim12、求二重极限 x?0y?0x2?y2x2?y2?1?1. ?2zzz?e?xy确定，求?x?y.
z?z(x,y)13、由
22z?x?y?1在条件x?y?1下的极值.
14、用拉格朗日乘数法求 xy15、计算?112 dy?2edxyy. 16、计算二重积分D一象限内的区域. ??(x2?y2)dxdy22yx?y?1所围成的在第D，其中是由轴及圆周 17、解微分方程y???y??x. ?18、判别级数n?1 ?(n3?1?n3?1)的敛散性. 119、将函数3?x展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间. .根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2， 求最优广告策略. 四、证明题(每小题5分,共10分)1313?z?z1?y??y3. 21、设z?ln(x?y)，证明：?x x ??22、若n?1?u2n与n?1?v2n都收敛,则n?1?(un?vn)2收敛.答案 一、填空题(每小题3分,共15分)x2(1?y)12(?,)1?y33.
5、y 6、(C ).
10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由y?x,x?4,y?0所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积. 解：32y?x的反函数为x?y,y?0。且x?4时，y?8。于是3223(3分)(6分)82 V???(4?y)dy?16?(8?0)???ydy 7?3?3?128?????y??128????(83?0)7?7?0512??7378232843 lim12、求二重极限x?0y?0x2?y2x2?y2?1?1.解：原式(x2?y2)(x2?y2?1?1)?lim22x?0x?y?1?1y?0(3分)?lim(x2?y2?1?1)?2 (6分)?2zzz?z(x,y)z?e?xy确定，求?x?y.
13、由zF(x,y,z)?z?e?xy，则 解：设zFy??xF??yF?1?exz
，Fy?zFx?yy?z?xx??????????zzzz?xF1?e1?e?yF1?e1?ezz
(3分)zz?z1?e?y?e??2z??y?1ezxy?y?????z?z2zz2?x?y?y1?e(1?e)1?e(1?e)
(6分) ??x?0y?0 2214、用拉格朗日乘数法求z?x?y?1在条件x?y?1下的极值.222z?x?(1?x)?1?2x?2x?2
解：11x?2,z113(,)22故z?x?y?1在y?1?x下的极小值点为22,极小值为2 (6分)x?15、计算?1112 dy?2edxyyxy.311I?1dy?2edx?e?e2y82
(6分) 2解： 22(x?y)dxdy??22yx?y?1所围成的在第DD16、计算二重积分，其中是由轴及圆周一象限内的区域.?22?1(x?y)dxdy32??d??rdr?00D解：＝＝8
(6分) 17、解微分方程y???y??x.yxy解：令p?y?,y???p?,方程化为p??p?x,于是?(?1)dx(?1)dxp?e?(xe?dx?C)?ex(xe?xdx?C) ?e[?(x?1)e?C1]??(x?1)?C1e
(3分)1y??pdx??[?(x?1)?C1ex]dx??(x?1)2?C1ex?C2?2
(6分)x?xx?1?1 18、判别级数n?1解：?(?n3?1?n3?1)的敛散性.(3分)?lim??1n??n因为
(6分) 119、将函数3?x展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间. 111???13?x31???xn3,已知 1?xn?0,?1?x?1,
(3分) 解：由于11?xn?1n??()??n?1xn?03那么 3?x3n?03,?3?x?3.
(6分) 20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2， 求最优广告策略.22L?R?x?x?15?13x?31x?8xx?2x?10x解：公司利润为?1?13?8x2?4x1?0,??4x1?8x2?13,?Lx???L?31?8x?20x?0,8x?20x2?31,?12令?x2即?135(x1,x2)?(,)?(0.75,1.25)44得驻点,而
(3分) ,,,D?AC?B2?80?64?0, 所以最优广告策略为：电台广告费用0.75(万元),报纸广告费用1.25(万元).
(6分)四、证明题(每小题5分,共10分)?z?z111x?y?33?y3. 21、设z?ln(x?y)，证明：?x1?1?xy?z?z3?3,?1111?x?y3333x?yx?y证：
(3分)??xy?z?z3x?y?x?3?y?1111?x?y333x?yx?y3??1x1??4?0B?Lx??1x2??8C?Lx??2x2??20A?Lx?1?x?x?113??x3?y3? ???1??3?(6分)22、若n?1证：由于?u?2n与n?1?v??2n都收敛,则n?1??(u?n?vn)2收敛.,
(3分) 收敛,22220?(un?vn)2?un?vn?2unvn?2(un?vn)并由题设知n?1从而n?1 ?u2n与n?1?v2n都收敛,则n?1?2(u?2n2?vn)?(u?n?vn)2收敛。
(6分)06年B卷 一、填空题(每小题3分,共15分) yf(x?y,)?x2?y2x1、设，则f(x,y)?_____________. 51?()?()?2、已2知，则2＝___________.22f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)取得极值，则常数 3、设函数a?________ .?f(x,y)?x?y(x?4?arctany)4、已知,则fx(1,0)?________. x3xy?Ce?Ce125、以(C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是 __________________.二、选择题(每小题3分,共15分) dxedx? 1p6、已知? 0与xlnx均收敛,则常数p的取值范围是(
(D) 0?p?1???pxe 22f(x,y)?x?y7、对于函数,点(0,0)(
). (A) 不是驻点
(B) 是驻点而非极值点
(C) 是极大值点
(D) 是极小值点I1???(x?y)2d?I2???(x?y)3d?22(x?2)?(y?1)?1,则DD8、已知,,其中D为(
).22I?II?II?II?I(A)
(D) 2x???y?5y?6y?xe9、方程具有特解(
). 2xy?ax?by?(ax?b)e(A)
(B)22x322xy?(ax?bx)ey?(ax?bx)e(C)
(D) 10、级数收敛，则级数(
). (A) 条件收敛
(B) 绝对收敛
(D) 敛散性不定n?1n?1?(?1)?n2ann?a?n 三、计算题(每小题6分,共60分) 3y?x11、求,y?0,x?2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积. lim(xsin12、求二重极限 x?0y?011?ysin)yx. 2x?y?zz?1?xy,求?x2. 13、设
14、用拉格朗日乘数法求f(x,y)?xy在满足条件x?y?1下的极值. 15、计算? dx?xexydy 1. 16、计算二重积分在第一象限内的区域.D22yx?(y?1)?1所围成的D,其中是由轴及圆周 17、解微分方程xy???y??0. ?n?2?n!???18、判别级数n?1?n?的敛散性. f(x)?1x展开成(x?3)的幂级数.19、将函数 y20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x单位甲产品,生产单2220x?30y?0.1(2x?2xy?3y)?100,试求出甲、乙两种产品各生位乙产品的总费用为产多少时该工厂取得最大利润. 四、证明题(每小题5分,共10分)222u?lnx?y?z21、设,证明1?2u?2u?2u??222?x2?y2?z2?x?y?z. ??22、若 ?an?12n与?bn?12n都收敛,则?abn?1nn收敛.07年A卷 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、设z?x?y?f(x?y)，且当2、计算广义积分xy3、设z?e，则y?0时，z?x2，则z????1dxx3=
.dz(1,1)?. 4、微分方程y???5y??6y?xe2x具有
形式的特解. ?5、设??un?4n?1，则??1u?1??n?1??2n2n??_________二、选择题(每小题3分,共15分) lim3sin(x2?y2)6、x?0x2?y2y?0的值为(
(D)不存在7、fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)可微的((A) 必要非充分的条件
(B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件
(D) 即非充分又非必要的条件8、由曲面z?4?x2?y2和z?0及柱面x2?y2?1所围的体积是(2?2?2(A)?0d??0r4?rdr (B)4?2d?? r2??(C) ?21 d??r(D)4?d??0r4?r20dr 9、设二阶常系数非齐次线性方程y???py??qy?f(x)有三个特解y1?x，y2x3?e，则其通解为(
). (A) x?Cx2
(B) x2x1e?Cx2e
C1x?C2e?C3e(C)
x?C1(ex?e2x)?Cxx2x2x2(x?e)
(D)C1(e?e)?C2(e?x) ).
). yx2?e， (?1)n?1?pnn?110、无穷级数 (p为任意实数) (
).(A) 收敛
(B) 绝对收敛
(D) 无法判断?三、计算题(每小题6分,共60分) 11、求极限x?0y?12、求由y?x与直线x?1、x?4、y?0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积. ?z?z,ze?xyz?x?y. z?z(x,y)13、求由所确定的隐函数的偏导数 322f(x,y)?x?4x?2xy?y14、求函数的极值.
.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2.若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.16、计算积分??Dyd?x,其中D是由直线y?x,y?2x及x?1,x?2所围成的闭区域. xf(t)dt?2xf(x)?x?f(x)017、已知连续函数满足，且f(1)?0，求f(x).y???18、求解微分方程2y?21?y=0.?n的收敛区间. 19、求级数n?1 ?sin(2n?x)?n!20、判定级数n?1是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.
四、证明题(每小题5分,共10分)??21、设正项级数n?1?un收敛,证明级数n?.z?22、设yf(x2?y2),其中f(u)为可导函数, 证明1?z1?zz??2x?xy?yy.07（A）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题(每小题3分,共15分)21、设z?x?y?f(x?y)，且当y?0时，z?x，则z? 22x?2xy?2y?y（）1dx?32、计算广义积分1x=
。（2）dz?xy3、设z?e，则(1,1)（e(dx?dy)）2x22x???y?5y?6y?xe(ax?bx)e4、微分方程具有
形式的特解.（）??5、设n?1二、选择题(每小题3分,共15分)?un?4?1??1u????nn?2?_________。，则n?1?2（1）?1、的值为
（ A ）A.3
D.不存在2、x00和y00存在是函数f(x,y)在点00可微的
A.必要非充分的条件；
B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；
D.即非充分又非必要的条件。2222z?4?x?yx?y?1所围的体积是
（D ）z?03、由曲面和及柱面。3sin(x2?y2)limx?0x2?y2y?0f(x,y)f(x,y)(x,y)A.?2?02?0d??r4?rdr 2?2；B.4?2d?? r；?
C、d???r；
D.4?d??r4?r2dr2 1 x???y?py?qy?f(x)y?ey?x214、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，y3?e2x，则其通解为
（C ）。x2xx2xCx?Ce?Cex?Ce?Ce2312
B.1；x2xxx2x2xx?C(e?e)?C(x?e)C(e?e)?C(e?x) 1212
D.(?1)n?1?p5、无穷级数n?1n(p为任意实数)
（D）?A、收敛
B、绝对收敛
D、无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：x?0y?解：x?0y???0xy?0x?0y?0…（3分）…（6分）?1)?1?1?2 42、求由y?x与直线x?1、x?4、y?0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。解：Vx???2dx1…（4分）?7.5?
…（6分）?z?z,z3、求由e?xyz所确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数?x?y。解：方程两边对x求导得:?zyzz?z?z??e?yz?xyz?x?x,有?xe?xyx(z?1)
…（3分）z方程两边对y求导得:ez?z?z?zxzz?xz?xy?z??y?y,有?ye?xyy(z?1)
…（6分）322f(x,y)?x?4x?2xy?y4、求函数的极值。322f(x,y)?x?4x?2xy?y解：，则fx(x,y)?3x2?8x?2y，fy(x,y)?2x?2y， fxx(x,y)?6x?8，fxy(x,y)?2，fyy(x,y)??2，2?3x?8x?2y?0，?2x?2y?0，求驻点，解方程组?得(0,0)和(2,2).
…（2分）(0,0)fxx(0,0)??8?0fxy(0,0)?2fyy(0,0)??2对有，，，2于是B?AC??12?0，所以(0,0)是函数的极大值点，且f(0,0)?0
…（4分） 对(2,2)有2fxx(2,2)?4，fxy(2,2)?2，fyy(2,2)??2，于是B?AC?12?0， (2,2)不是函数的极值点。
…（6分） 5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2.若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策 略.解：显然本题要求:在条件?(x1,x2)?x1?x2?1.5?0下,求R的最大值.22令F?15?13x1?31x2?8x1x2?2x1?10x2??(x1?x2?1.5),
…（3分） 解方程组?Fx?1?13?8x2?4x1???0,??Fx?2?31?8x1?20x2???0,???F??x1?x2?1.5?0,得:…（5分）x1?0,x2?1.51 .5
万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策
所以,若提供的广告费用为1.5万元,应将略.
…（6分）6、计算积分??Dyd?x,其中D是由直线y?x,y?2x及x?1,x?2所围成的闭区域；22xyyd??dxdy????1xxx.
…（4分）解：D329??xdx?14
2f(t)dt?2xf(x)?x?f(x)07、已知连续函数满足，且f(1)?0，求f(x)。解：关系式两端关于x求导得：xf(x)?2f(x)?2xf?(x)?1即f?(x)?11f(x)??2x2x
…（2分）这是关于f(x)的一阶线性微分方程，其通解为：?dxdx2xf(x)?e?(?(?12x)e?2x?c)1(?x?c)?c
=xx?1又f(1)?01f(x)?1?1，即c?1?0，故c?，所以x
y???2y?28、求解微分方程1?y=0 。y???pdppdp?2p2解：令y??p，则dy?y?0，于是原方程可化为：dy1 dp
即dy?21?yp?0，其通解为p?c1e??21?ydy?c1(y?1)2
?dx?c)21(y?1?c1dx
即(y?1)2y?1?1故原方程通解为：c1x?c2
?n9、求级数n?1的收敛区间。 解：令t?x?2,幂级数变形为?nR?limann?tn??a?n?1n?1.
当t??1??(?1)n时,级数为n?0当t?1时,级数为?n?1发散.?故nn?1It?[?1,1),
?n那么n?的收敛区间为Ix?[1,3).
…（6分）…（3分）
…（5分）…（6分）…（3分）…（5分）…（6分） sin(2n?x)?n!10、 判定级数n?1是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。? 解：因为sin(2n?x)1?n!n!…（2分）1?由比值判别法知n?1n!收敛(?1(n?1)!lim?0n??1n!)，
…（4分）从而由比较判别法知n?1四、证明题(每小题5分,共10分)??sin(2n?x)n!?sin(2n?x)?n!收敛，所以级数n?1绝对收敛. …（6分）?1、设正项级数n?1?u?n收敛,证明级数n?1 1nun?1?(un?un?1)2证：，
…（3分） 1(un?un?1)?unun?12而由已知收敛，故由比较原则，?也收敛。
…（5分） y1?z1?zzz???f(x2?y2),其中f(u)为可导函数, 证明x?xy?yy2. 2、设?z2xyf???2f,
…（2分） 证明：因为?x?zf?2y2f???yf2…（4分）1?z1?z2yf?f?2y2f?1z???2???22x?xy?yfyfyfy所以.
…（5分） 一、填空题(每小题3分,共15分) 2z?x?y?f(y?x)z?yx?01、设，且当时，，则z?2、计算广义积分???1dx?x2
.22dz(1,2)?z?ln(1?x?y)3、设，则3x???y?6y?9y?5(x?1)e4、微分方程具有
形式的特解.3n?1?n9n?15、级数的和为
. ?二、选择题(每小题3分,共15分)3sin(x2?y2)lim22x?0x?y6、y?0的值为(
(D)不存在f(x,y)(x0,y0)7、fx(x,y)和y在存在且连续是函数f(x,y)在点(x0,y0)可微的(
).(A) 必要非充分的条件
(B) 充分非必要的条件 (C) 充分且必要的条件
(D) 即非充分又非必要的条件8、由曲面z?4?x2?y2422x?y?4所围的体积是(
). z?0和及柱面?(A) ? 2?02?0?d??r (B)?04?2d??r 002 (C)d?? r(D)4?2d??r 2xy?x???y?py?qy?f(x)y?e129、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，y3?e2x，则其通解为(
). x2x2x22x2xC(e?e)?C(e?x)Cx?Ce?Ce12123(A)
2x2x2x2x2xx?Ce?Cex?C(e?e)?C(x?e)1212(C)
(D) (?1)n?1?2p10、无穷级数n?1n(p为任意实数) (
). (A) 无法判断
(B) 绝对收敛
(D) 发散?三、计算题(每小题6分,共60分)x?0y?011、求极限 .[0,]x?y?sinx2、y?0所围图形绕x轴旋转的旋12、求由在区间2上,曲线与直线转体的体积.???z?z,ze?xyz?xy?x?y. z?z(x,y)13、求由所确定的隐函数的偏导数 33f(x,y)?x?12xy?8y14、求函数的极值. .根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2. 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.16、计算二重积分D,其中D是由y?x,1y?x及y?2所围成的闭区域.??(2x?y)d?xf(t)dt?2f(x)?x?0?f(x)017、已知连续函数满足，求f(x).218、求微分方程(1?x)y???2xy??0的通解.?(x?3)n?n的收敛区间. 19、求级数n?1 ?cos(n?x)?n!是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是20、判定级数n?1条件收敛.
四、证明题(每小题5分,共10分)?21、设级数n?1?a2nan(an?0)?收敛，证明n?1n也收敛.?2t?2z?2zz?2cos(x?)22??02,证明:?t?x?t22、设. 07年（B）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题(每小题3分,共15分)2z?x?y?f(y?x)z?yx?01、设，且当时，，则z?。（x?2xy?2x?y） 2、计算广义积分22???1dxx2=
。（1）12dx?dydz(1,2)?z?ln(1?x?y)333、设，则（）3x323x???y?6y?9y?5(x?1)e(ax?bx)e4、微分方程具有.（）223n?15?n5、级数n?19的和为
。（8）?二、选择题(每小题3分,共15分)1、的值为
（ B ）A、0
D、不存在 2、x和y在00存在且连续是函数f(x,y)在点
A.必要非充分的条件；
B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；
D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面A.3sin(x2?y2)lim22x?0x?yy?0f(x,y)f(x,y)(x,y)(x0,y0)可微的
（ B ）z?4?x2?y24 和z?0及柱面x?y?4所围的体积是
（ B ）?22?2?02?0d??rd?? ；B.4?2d??r 2；?C、?r；D.4?2d?? r 2xy?x???y?py?qy?f(x)y?e124、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，y3?e2x，则其通解为
（D）x2x2x22x2xC(e?e)?C(e?x)Cx?Ce?Ce12123
B、；2x2x2x2x2xx?Ce?Cex?C(e?e)?C(x?e) 1212
D、(?1)n?1?2pnn?15、无穷级数(p为任意实数)
（A）?A、无法判断
B、绝对收敛
D、发散三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：x?0y?0。解：?x?0x?0y?0y?
…（3分）? ?11???x?042?2y?
…（6分）[0,]x?y?sinx22、y?0所围图形绕x轴旋转的旋转体的2、求由在区间上,曲线与直线体积。???解：Vx???2sin2xdx …（4分）1??24
…（6分）?z?3、求由ez?xyz?xy所确定的隐函数z?z(x,y)的偏导数?x,z?y。 解：（一）令F(x,y,z)?ez?xyz?xy ?F?F??xz??F则 ?x??yz?yx，
?z?ez?xy 利用公式，得?F?z????x?yz?yyz?yx?F??ez?xy?ez?xy?z
?F?z?y???y?xz?xxz?x?F??ez?xy?ez?xy?z
（二）在方程两边同时对x求导，得?zez?x?yz?xy?z?x?y解出?z?x?yz?yez?xy，
?z?xz?x同理解出?yez?xy
4、求函数f(x,y)?x3?12xy?8y3的极值。解：f(x,y)?x3?12xy?8y3，则fx,y)?3x2?12y(x,y)?24y2x(，fy?12x，fxx(x,y)?6x，fxy(x,y)??12，fyy(x,y)?48y，?2?3x?12y?0，?求驻点，解方程组??24y2?12x?0，得(0,0)和(2,1).
对(0,0)有fxx(0,0)?0，fxy(0,0)??12，fyy(0,0)?0，于是B2?AC?144?0，所以(0,0)点不是函数的极值点.
对(2,1)有fxx(2,1)?12，fxy(2,1)??12，fyy(2,1)?48， …（3分） …（6分）…（3分） …（6分）…（2分）4分）…（2B?AC?144?12?48?0，且A?12?0，所以函数在(2,1)点取得极小于是33值,f(2,1)?2?12?2?1?8?1??8
…（6分）5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)的及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下的经验公式:22R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x1?10x2.若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.解：显然本题要求:在条件解方程组?(x1,x2)?x1?x2?1.5?0下,求R的最大值.22F?15?13x?31x?8xx?2x?10x??(x1?x2?1.5),
…（3分） 121212令?Fx?1?13?8x2?4x1???0,??Fx?2?31?8x1?20x2???0,???F??x1?x2?1.5?0,得:…（5分）x1?0,x2?1.51 .5
万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策
所以,若提供的广告费用为1.5万元,应将略.
…（6分）6、计算二重积分解：D??(2x?y)d?D2y12y,其中D是由y?x,y?1x及y?2所围成的闭区域；??(2x?y)d???dy1(2x?y)dx…（4分） ??(2y2?1?1119)dy?y26
…（6分） f(t)dt?2f(x)?x?0?f(x)07、已知连续函数满足，求f(x)。解：关系式两端关于x求导得：xf(x)?2f?(x)?1?0即?f?(x)?11f(x)??22
…（2分）这是关于f(x)的一阶线性微分方程，其通解为：f(x)?e?2?dx??ex21?(?(?)e2?c)2x2?dx(e?c)??1?ce
…（5分）?x2x2又f(0)?0，即0??1?c，故c?1，所以f(x)?e?1
…（6分）???8、求微分方程(1?x)y?2xy?0解
这是一个不明显含有未知函数2y dyd2ydp?p?2dx作变换
dx，则dxdp?2px?0dx
(1?x2)…（3分）dp2x?dx2，
分离变量p1?x即
lnp?ln(1?x2)?lnC1 p?C1(1?x)2dy?C1(1?x2)
…（5分） x3C1(x?)?C23
…（6分）atnRt?limn??1n??ann,n?1.
…（3分）1n收敛； (x?3)n?n的收敛区间。 9、求级数n?1解：令t?x?3,幂级数变形为n?1当t??1时,级数为n?0当t?1时,级数为n?1????(?1)n???1n发散.
tn?I?[?1,1),
…（5分） 故n?1n的收敛区间是t?(x?3)n?n的收敛区间为Ix?[2,4).
…（6分） 那么n?1cos(n?x)?n!是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛： 10、 判定级数n?1。 ?cos(n?x)1?n!n!
…（2分） 解：因为1(n?1)!lim?0?1n??1?n!由比值判别法知n?1n!收敛()，
…（4分） 从而由比较判别法知n?1四、证明题(每小题5分,共10分) ???cos(n?x)cos(n?x)?n!n!绝对收敛.
…（6分） 收敛，所以级数n?1?1、设级数n?1?a?2nan(an?0)?收敛，证明n?1n也收敛。 an121|?(an?2)2n，
…（3分） 证：由于nan11212(a?)?2nn2收敛，由比较原则知 ?n收敛.。…（5分） a?n2而?n,都收敛，故|z?2cos22、设(x?t?2z?2z2)2,证明:?t2??x?t?0。证明： 因为?z?t??2?2cos(x?tt12)sin(x?2)?(?2)?sin(2x?t),?2z?2z?2z?2?t2??cos(2x?t)??2cos(2x?t)??2z, ?x?t?t?x?t2,
?2z?22z所以?t2??x?t?0 2分） …（4分） …（5分）
…（百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆
欢迎转载：
相关推荐：球面对x求二重积分 完美作业网 www.wanmeila.com
计算二重积分xdydz +ydxdz+zdxdy，其中s是球面 s x^2+ 补上底面后使用高斯积分公式
高数二重积分题，设∑为上半球面z=√(a^2-x^2-y^2)的上侧，则∫∫∑xydydz+yz 高数曲面积 设∑球面x^2+y^2+z^2=a^2,则曲面积(x+y+z)^2ds=?原式=∫∫(x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz)dS=∫∫(x2+y2+z2)dS+∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS=∫∫a 2dS +0+0+0=a2 ?4πa2=4πa^4注：1、∫∫(x2+y2+z2)dS=∫∫a 2dS （利用曲面积曲面程代入）2、∫∫2xydS+ ∫∫2yz dS+∫∫ 2xzdS=0+0+0 （利用曲面积称性）
计算 ∫ ∫∑（x^2+y^2）dS,其中为∑球面x^2+y^2+z^2=a^2 计算曲面积分 Z=±√aa-xx-yy，Z'x=±（-x/√aa-xx-yy），Z'y=±（-y/√aa-xx-yy），dS=√1+(Z'x)^2+(Z'y)^2dxdy=adxdy√aa-xx-yyyy，∑在xoy面的投影区域D是xx+yy《aa，原式=∫∫〔∑上半球面〕…+∫∫〔∑下半球面〕…化成D上的二重积分并用极坐标计算得到=2a∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕【rrr/√aa-rr】dr=2aπ∫〔0到a〕【(aa-rr-aa)/√aa-rr】d(aa-rr)=2aπ∫〔0到a〕【(√aa-rr)-aa/√aa-rr】d(aa-rr)=2aπ【-(2/3)aaa+2aaa】=8aaaaπ/3。
利用二重积分的几何意义计算球面x^2+y^2+z^2=3a^2与抛物线x^2+y^2=2az，所围公 ## 重积分 体积
计算 ∫ ∫∑（x^2+y^2）dS，其中为∑球面x^2+y^2+z^2=a^2 计算曲面积分
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧 用公式直接计算：注意是球面的下侧，所以z=-√R^2-x^2-y^2，化成二重积分时取负号S在xoy面的投影为Dxy：x^2+y^2≤R^2则原式化成二重积分=-∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*（-√R^2-x^2-y^2）】dxdy=∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*√R^2-x^2-y^2）】dxdy用极坐标算上述二重积分=∫（0到2∏）dθ∫（0到R）【（sinθ）^2*（cosθ）^2*r^5*√R^2-r^2】dr=∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr=2∏R^7/105。其中∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ=∫（0到2∏）[（1-cos2θ）/2]*[（1+cos2θ）/2]dθ=∫（0到2∏）[1-(cos2θ）^2]/4dθ=∫（0到2∏）[1-(1+cos4θ）/2]/4dθ=∫（0到2∏）(1-cos4θ）/8dθ=∏/4其中∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr，令r=Rsint，得=∫（0到∏/2）R^7*（sint）^5*（cost）^2dt=R^7∫（0到∏/2）[（sint）^5-(sint）^7]dt=R^7∫（0到∏/2）[（sint）^4-(sint）^6]*sintdt=-R^7∫（0到∏/2）[1-（cost）^2]^2*[1-(cost）^2]^3dcost=-R^7∫（0到∏/2）[(cost）^2-2(cost）^4+(cost）^6]dcost=8R^7/105。
二重积分的问题 可以的，可以用上顶减下底对其投影面积进行二重积分的不过上顶是球面，z=根号下a^2-x^2-y^2但下底是是圆锥面，圆锥面的方程是。。。 不好写，还是用球坐标的简单你说的“球面对锥体的投影面积求积分的几何意义”，是把下底当做z=0计算吗？如果是，那么求的就是一个高为a的郸柱的体积加一个半球的体积
用二重积分求球面x^2+y^2+z^2=2a^2和抛物面x^2+y^2=2az(a&0)所围成公共部分的体积？ 5分解：∵解方程组x?+y?+z?=2a?与x?+y?=2az，得x?+y?=2(√3-1)a?∴所求体积在xy平面上的投影区域是D：x?+y?=2(√3-1)a?故 所求体积=∫∫[√(2a?-x?-y?)-(x?+y?)/(2a)]dxdy=∫dθ∫[√(2a?-r?)-r?/(2a)]rdr (应用极坐标变换)=π∫[√(2a?-r?)-r?/(2a)]d(r?)=π[(-2/3)(2a?-r?)^(3/2)-r^4/(4a)]│=π[(-2/3)(√3-1)?a?-2(2-√3)a?-(-2/3)*2√2a?]=(8/3+4√2/3-2√3)πa?
高数，二重积分，球面坐标，第6题。怎么做？谢谢 6、将曲面的方程代入曲面积分利用曲面的对称性和积分函数的奇偶性化简曲面积分得到曲面积分＝2×球的表面积＝16π过程如下图：
将锥面z=根号下x方+y方与上半球面z=根号下2a方-x方-y方所围成的空间立体体积用二重积分表示！！！！ 10分两个办法：一个是用积分,一个是用立体角①用积分用球面坐标,设半径r与z轴夹角为φ,r在XOY平面上投影与x轴夹角为θ则积分区域为：0≤r≤1,0≤φ≤π/4,0≤θ≤2π两曲面所围成立体体积为V=∫dV=∫∫∫dxdydz=∫∫∫r?sinφdrdφdθ=∫r?dr*∫sinφdφ*∫dθ=1/3*[-cosφ]*2π=2π/3*(1-√2/2)②用立体角圆锥z=√(x?+y?)顶角为π/2半球z=√[1-(x?+y?)]为单位球,半径为1顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠,即Ω=2π(1-cosθ)∴上述圆锥的立体角为Ω=2π[1-cos(π/4)]=2π(1-√2/2)半球立体角为2π,体积为2πr?/3=2π/3圆锥立体角为2π(1-√2/2),体积为V锥体体积与对应立体角成正比,则有 V/(2π/3)=[2π(1-√2/2)]/(2π)解得 V=2π/3*(1-√2/2)计算二重积分∫∫(D)ye^xydxdy其中D的范围有x=1,x=2,y=2,y=1/x
计算二重积分∫∫(D)ye^xydxdy其中D的范围有x=1,x=2,y=2,y=1/x在网上搜索了一下解答,第一个积分dy为什么是零不明白谢谢!如果是对y先积分最后一步∫ (2x-1)e^2x/x^2dx该如何计算
(1)下限应该是1/2(2)可以直接拼凑出来
名师点评：
我有更好的回答：
剩余:2000字
与《计算二重积分∫∫(D)ye^xydxdy其中D的范围有x=1,x=2,y=2,y=1/x》相关的作业问题
积分区域是上半圆,然后用极坐标做,原积分变为：- ∫ (0~π) dθ ∫ (0~r) e^ (r*r) r dr分部积分很容易的
这区域应该是个单位圆.把图画出来,当然可以直接得.这种题应该是比较基础的了
“其中D由直线y=x,y=x与y轴围成”有错! 再问： 其中D由直线y=x,y=1与y轴围成 求帮忙看下这题到底怎么做。。 再答： 二重积分I=∫∫(D)x^2*e^(-y^2)dxdy =∫e^(-y²)dy∫x²dx =∫(y³/3)e^(-y²)dy =1/6∫y&sup2
原式＝∫ [0,＋∞]e^﹙-2x﹚dx×∫ [0,＋∞]e^﹙-y﹚dy＝﹛-﹙1/2﹚﹙e^﹙-2x﹚﹚在[0,＋∞]值差×﹙-e^﹙-y﹚在[0,＋∞]值差＝﹙0+1/2﹚×﹙0+1﹚＝1/2 [ 积分区域D就是第一象限 ] 再问： 谢谢哦&& 那就是说& 这种情况下&&n
∫dy∫e^(-x^2)dx=-∫dy∫e^(-x^2)dx=-∫dx∫e^(-x^2)dy=-∫e^(-x^2)dx∫dy=-∫xe^(-x^2)dx=1/2e^(-x^2)=1/2(e^(-1)-1) 再问： -∫dx∫e^(-x^2)dy这步是积分变换么 再答： 是的!交换积分顺序!
原式=∫dy∫e^(-y²/2)dx (作积分顺序变换)=∫(1-y²)e^(-y²/2)dy=∫e^(-y²/2)dy-∫y²e^(-y²/2)dy=∫e^(-y²/2)dy-{[-ye^(-y²/2)]│+∫e^(-y²/2)
∫(x = 1→3) dx ∫(y = x - 1→2) e^(y²) dy交换积分次序：dydx → dxdyx = 1 到 x = 3,y = x - 1 到 y = 2
y = 0 到 y = 2,x = 1 到 x = y + 1= ∫(y = 0→2) e^(y²) dy ∫(x
先是后面求关于y 的积分 ∫(上限是2,下限是0）(3-x-y)dy=(（3-x）y-1/2y^2)|上限是2,下限是0=4-2x再求关于x 的积分∫（上限是1,下限是0）(4-2x)dx=(4x-x^2)| 上限是1,下限是0=3
img class="ikqb_img" src="http://c.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=7b47f8cc16/21a52e28cb3cf0ef3d7ca7acbd5b4.jpg"
∫∫(sinx/x)dxdy= ∫(sinx/x)dx∫dy= ∫(sinx/x)dx(x-x^2) = ∫(1-x)sinxdx= ∫(x-1)dcosx= [(x-1)cosx-sinx] = 1-sin1. 再问： 倒数第三部和倒数第二步。步看不懂 再答： ∫∫(sinx/x)dxdy= ∫(sinx/x)dx∫
首先x^2 + y^2 -1 ＝0找出它与底面相交为一个半径1的⊙管他三七二十一 先把∫∫x^2 + y^2 -1 d∝ 【x^2 +y^2
img class="ikqb_img" src="http://h.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=400dabcb9f16fdfad839cee884bfa06c/eaf81a4c510fd9f930ca.jpg"
对此二重积分改变积分次序,则原式=∫（0到1）sin(y^3)dy∫（0到√y）x^3dx=1/4∫（0到1）sin(y^3)*y^2 dy=1/12 * (1-cos1).
∫（上限是1,下限是0）dx ∫(上限是2,下限是0）dy=∫（上限是1,下限是0）2dx =2
用极坐标试试看,大概看了下,应该可以的,区域D是上半圆右上角被割了一块,区域D = 区域D1 - 区域D2区域D1就是上半圆,区域D2就是被割的那一块区域D1就是整圆的一半（利用了对称性）,通过求整圆可以求得区域D2也是好求得具体的计算就是微积分的基本知识,应该不成问题
img class="ikqb_img" src="http://c.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=597fea5bf01fbe091c0bcb125b5a82bb7b31bee16.jpg"
img class="ikqb_img" src="http://h.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=de0d177ff703738dde1fc69/f9dcd100baa1cd1115871affb812c8fcc3ce2d3f.jpg"
有时是0－sin有时是0－cos这应该是内重积分的积分限吧外重是0-多少多少pi内重积分是对模,就是r进行积分所以看r的范围根据函数式写积分限
答：设极坐标x=cosθ,y=sinθ,1