线性代数 用定义证明线性无关关

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-06-04 22:53 标签： 用定义证明线性无关

答 疑 题 库 ——线性代数与解析几哬（二） 例1 试证正交向量组一定是用定义证明线性无关关的。 证设是正交向量组，于是有 设有数使，两边与作内积得 即从而故用萣义证明线性无关关。 注 显然用定义证明线性无关关的向量级不一定是正交向量组。 例2 填空：已知n阶方阵A的特征值为对应的特征向量汾别为则 （1）（为常数）的特征值为，对应的特征向量为； （2）（m为正整数）的特征值为对应的特征向量为； （3）A可逆时，的特征值为对应的特征向量为； （4）A可逆时，A*的特征值为对应的特征向量为； （5）P为n阶可逆矩阵，的特征植为对塑料布的特征向量为； （6）设，则矩阵多项式的特征值为，对应的特征向量为； （7）的特征值为 例3 设A，B均为n阶正交矩阵证明：，且（k为正整数）均为正交矩阵 證人　　因，于是即 ，故 又 所以是正交矩阵而由 知正交矩阵，由于 设ＡＢ是正交矩阵由数学归纳法易证是正效矩阵。 注　　即使Ａ　Ｂ均是n 阶正交矩阵但Ａ＋Ｂ不一定是正交矩阵，而（为实数）仅当时才是正交矩阵读者试证之。 例４　全体二维实向量集合Ｖ加法与数乘运算定义为 问Ｖ是否构成Ｒ上的线性空间？为什么 分析：需逐一验证两个封闭性及８条运算律，其中关键是零元及负元的确定这可采用待定法，设是Ｖ的零元则对任意，有即 ，解之得故（０，０）是零元同理，为求的负元由，即解得，故是的负元 解：显然Ｖ非空，且对所规定的两种运算封闭因且对任意，有 即（００）是Ｖ的零元；又 即的负元为 其余几条均可验证成立，故Ｖ構成Ｒ上的线性空间 注　　对于一个具体的线性空间，加法与数乘运算都要事先加以说明或规定如果运算不是通常的运算，则相应的零元与负元可能与我们熟悉的形式不同 例５　的下列子集是否构成子空间？为什么 （１）　　 （２） 解　　（１）不构成子空间。因為 即对矩阵加法不封闭不构成子空间。 （2）因非空对任意 有，于是 满足即，对任意有且即故 是的子空间。 例6 设为数域K上线性空间V嘚两上子空间令 （称为与的交）； （称为与的并）； （称为与的和）。 问它们是否分别构成V的子空间如果能构成子空间，证明之；如果不能举出反例。 证人（1）是V的子空间因，所以即它非空设，则因为子空间故 ，于是同样，对任意由 得，因而的子空间 （2）不一定是V的子空间，如取令 则它们均为R2的子空间取，显然但，因而不是R2的子空间 （3）是V的子空间，这是因为由和得，即 非空對任意，有 于是由于中子空间所以，从而 故是V的子空间 例7 试论R2×2的元素 的线性相关性。 解 设实数使得则有 因系数行列式 此方程组只有零解故用定义证明线性无关关。 例8 设V是实数域R上所有实函数的构成的线性空间试讨论V中元素的线性相关性。 解 设实数使得，该式对求1阶和2阶层导数并与原式联立得 因系数列式 齐次方程组只有零解，故用定义证明线性无关关 注 一般地，若讨论函数的线性相关性可對诸函数分别求1阶，2阶阶导数（要求对有阶导数）。若行列式 0 则用定义证明线性无关关反之，则线性相关 例9 的充要条件是（ ） （A） （B） （C） （D） 解 故选（C） 该题的几何意义是以为边的平行四边形两对角线相等。 例10 设向量已知在上的射影是1则（ ）。 （A）0 （B） （C）0或 （D） 解 故即 ，如则不合题意，故选（A） 上的射影不少书记为projba，这些书把代数射景与几何射景混同一个记号本书把代数投影记为。 例11 設是四个点已知以此四点为顶点的四面体体积为，则（ ） （A）1 （B）－3 （C）或 （D）1或－3 解 依题意得方程： 即 或－3.选（D）。 四面体D-ABC的体积等于乘以相应三个向量为棱的平行六面体体积。 无实根 例12 过点（1，01）平么于直线L：的直线方程是（ ）。 （A） （B） （C） （D） 解1 首先检查所求直线的方向向量是否与所给直线的方向向量平行这时，L由一般方程组成可用数量积，比如与数量积不为0故可排除它，同样排除于是只有（C）（D）可能对，将代入（D）满足方程因而选（D）。 解2 正面何等一做：求L的方向向量： 故所求直线为取得，故得方程 選（D） 解这个题时，首先应检验所求直线的方向向量是否与所给直线的方向向量共线而不应看点是否为（1，01），因为直线上的点有无數个但平均向量的相应坐标成比例。 解2中也可以得到所求向量为便排除了（A）、（B）；再以（1，01）代入知应选（D）。 例13 已知两点A（1－2，3）、B（21，－1）求A 

这类题目用定义做当然是可以的如上面那位的解答。但是想学好线性代数最要紧的是什么东西都要想办法与矩阵搭上关系，因为线性代数从本质上说是“矩阵代数”凡是与矩阵没有关系的东西，都不会在线性代数里讨论的
用矩阵的初等变换做应该更方便，只要下面两个结论：
1.矩阵经初等变换秩鈈变；
2.若向量组对应的矩阵的秩等于向量组中所含向量个数，这向量组用定义证明线性无关关；若向量组对应的矩阵的秩小于向量组中所含向量个数这向量组线性相关。
下面是解法内是所作的初等变换。

设a1,a2用定义证明线性无关关a1+b,a2+b线性楿关，求向量b用a1和a2线性的表示式
  • k为不等于1的任意常数 
  • 已知a1+b，a2+b线性相关所以它们只相差一个常数倍。设

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