如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．（1）
练习题及答案
如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）若∠ABC的平分线交AD于点E，求证：CD=DE．
所属题型：解答题
试题难度系数：中档
答案（找答案上）
证明：（1）∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD=CD，∴BD=CD．（2）∵BD=CD，∴∠BAD=∠CBD，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE=∠CBE，∵∠DBE=∠CBE+∠CBD，∠BED=∠ABE+∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBD+∠EBF，即∠BED=∠EBD，∴BD=DE，∴CD=DE．
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初中二年级数学试题“如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，连接BD，CD．（1）”旨在考查同学们对
角平分线的定义、
垂直于直径的弦、
圆心角，圆周角，弧和弦、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
角的平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角平分线的性质：
角平分线上的点，到角两边的距离相等。
角平分线的定理：
定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两条边的距离相等。
逆定理：在一个角的内部(包括顶点)，到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
如：在△ABC中，BD平分&ABC，则AD：DC=AB：BC
角平分线的画法
在角AOB中，画角平分线作法：
1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，N.
2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P
3.作射线OP，则射线OP为角AOB的角平分线
角平分线的证明方法
证明方法一：面积法
证明方法二：相似形
证明方法三：相似形
证明方法四：正弦定理
考点名称：
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。数学表达为：如右图，DC为圆O的直径，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AC等于劣弧BC。
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
垂径的逆定理：逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
垂径定理的推论：
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
垂径的证明题：
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB&DC于点E，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
证明：连OA、OB分别交于点A、点B.
∵OA、OB是⊙O的半径
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∴AE=BE，&AOE=&BOE（等腰三角形的三线合一性质）
∴弧AD=弧BD，&AOC=&BOC
∴弧AC=弧BC
考点名称：
圆心角的定义：
指顶点在圆心上的角. 因为顶点在圆心上, 所以角的两边与圆的半径共直线.
圆心角的特点：
①顶点是圆心；&
②两条边都与圆周相交。
有关圆心角的计算公式：
①　L(弧长)=n/180X&r（n为圆心角度数，以下同）；&
②S(扇形面积) = n/360X&r²；&
③扇形圆心角n=（180L）/（&r）（度）。&
④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
圆周角的定义：
顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的定理及推论：
①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90&的圆周角所对的弦是直径
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
弧的定义：
在数学上是一条平面曲线，它是圆上两点间的一段，包含两个端点。而连接弧的两个端点之间的线段称为弦。
弧长的计算公式：
弧长公式:弧长=&*r ,&是弧度 r是半径&
l＝n&r&180 或 l=n/180&&r 或 l=圆心角&r&
在半径是R的圆中，因为360&的圆心角所对的弧长就等于圆周长C＝2&R，所以n&圆心角所对的弧长为l＝n&R&180。&
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。&
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1&的角．&
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1&的弧．&
（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．&
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＞＞＞已知：△ABC（如图）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕..
已知：△ABC（如图）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）。
题型：操作题难度：中档来源：江苏中考真题
解：作法如下：（1）作线段AB的垂直平分线l1；（2）作线段BC的垂直平分线l2；（3）以l1，l2的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知：△ABC（如图）求作：△ABC的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕..”主要考查你对&&正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算），尺规作图&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）尺规作图
正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形和圆的关系：把一个圆分成n等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。 与正多边形有关的概念： （1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。圆的计算公式：1.圆的边长即的周长C=2πr=或C=πd2.圆的面积S=πr23.扇形弧长L=圆心角（弧度制）· r = n°πr/180°（n为圆心角）4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）5.圆的直径 d=2r6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长）7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）8.圆心角所对的弧的度数等于弧所对的圆心角的度数;9.圆周角的度数等于圆心角的度数的一半;10.圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半；11.扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线。 还有：已知一角、一边做等腰三角形已知两角、一边做三角形已知一角、两边做三角形依据公理：还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。 尺规作图方法：任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：·通过两个已知点可作一直线。·已知圆心和半径可作一个圆。·若两已知直线相交，可求其交点。·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。·若两已知圆相交，可求其交点。尺规作图简史：“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.
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已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30°，求BC的长．
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作直径CD，连接BD．∵CD是直径，∴∠CBD=90°．又∠D=∠A=30°，CD=4，∴BC=2，答：BC的长为2．
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