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反常积分与无穷级数收敛关系的讨论.doc 32页
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反常积分与无穷级数收敛关系的讨论
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本 科 生 毕 业 论 文
反常积分与无穷级数收敛关系的讨论
University
College ：
College of Mathematics and Physics
Specialty ：
Mathematics and Applied Mathematics
May 17th, 2015
本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师
的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.特此郑重声明！
指导老师(手写签名)：
论文作者(手写签名)：
Mathematical analysis is a subject mainly studying on variables, including the continuous and discrete ones. Series and integrals are two important concepts of it, there is a close relationship between them. They embodies the opposite and uniformity of basic contradiction of continuity and discreteness. So doing further research on the relationship between the two terms helps us to understand mathematical analysis principle, and to solve some related questions. Both seem to produce a conservation-based legacy with source. They are peace operations, is merely to two different variables summation, at the same time is a limit process, so &continuous& questions of integral theory (generalized integrals, with respect to the integral, etc.) and &discretization& questions of series (several series, function of series) have many properties, theorem are mutual correspond, both in research on problems with similar reasoning methods. By comparing the concepts, convergence, nature and discriminant method of both aspects, this article lists many paralleled conclusions and some differences, as well as the translation between them. And solve some problems of one kind by applying the solutions of the other kind, thus helping the readers to realize the transformation between d
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含参量无穷限反常积分的一致收敛性
第 14 卷第 1 期 2011 年 1 月高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICSV ol. 14, No . 1 Jan. , 2011含参量无穷限反常积分的一致收敛性黄 慧1 , 陈 辉2( 1 . 江西工业贸易职业技术学院 , 江西 南昌 330038 ; 摘 要 2 . 安徽商贸职业技术学院 , 安徽 芜湖 241002 )借助两个具体的含参量无穷限反常积分的一致收敛性问题 , 分析一致收敛性的一些几何直观特征 , 变上限积分 ; 含参量无穷限反常积分 ; 一致 收敛 O172. 2 文献标识码 A 文章编号 ( 3 02希望有助于读者加深理解与认识 . 关键词 中图分类号一致收敛性是数学分析课程中一个非常重要的 概念 , 很多重要的结论要有一致收敛的性质作为前 提条件. 例如, 函数项级数的逐项求导、 逐项求积、 交 换求导与积分运算顺序等等都要求函数项级数为一 致收敛. 含参量的反常积分对于参数的连续性、 可微 性都需要有含参量反常积分的 一致收敛性作 为前 提. 一般而言, 在非数学专业工科的各项课程 , 特别 是 高等数学 则回避对一致收敛性的具体讨论 [ 1] . 本文针对两个具体的含参量反常积分的一致收 敛性问题 , 分析一致收敛性的一些直观特征, 以帮 助读者加深对这一抽象概念的理解与认识. 定义 1[ 2] 设函数 f ( x , y ) 定义在无界区域 E = {(x , y) | a x b, c y & + }. 若对每个固定的 x [ a, b] , 无穷限反常积分+ c定义 3[ 2]若存在+ A0& 0, 对任意实数 M(& c) , [ a, b] , 使得 .总相应地存在某个 A & M, 及某个 x 0 f ( x 0 , y ) dy0则称含参量无穷限反常积分( 1) 在[ a, b] 上不一致收敛. 一致收敛性以其特有的抽象性让初学者无可适 从 , 难以掌握 , 也成为数学专业课程 数学分析 区 别于工科课程 高等数学 的基本要素之一. 例 1 证明含参量无穷限反常积分+ 0xe- xydy( 2)f ( x , y) dy( 1)都收敛, 则其值是 x 在[ a, b] 上取值的函数, 记之为+I(x ) = 限反常积分.cf ( x , y ) dy , x[ a, b] .此时 , 称 I ( x ) 为定义在[ a, b] 上的 含参量 x 的无穷 定义 2 考虑含参量无穷限反常积分 ( 1) 与 函数 I ( x ) , 若对任意 & 0, 总存在某一实数 N & c, 使得当 M & N 时 , 对任意 xM c [ 2]在闭区间[ 0 , b] 上不一致收敛. 证明 因为 + 0, x = 0, x e- xy dy = 0 1, x ( 0, b] , 所以, 含参量无穷限反常积分( 2 ) 在闭区间 [ 0, b] 上 收敛. 然而, 若取 - 1 0 = e & 0, 对任意 N & 0, 取 x 0 = 1 , ( M = max { N , 1 } ) , 2M b 则有 x 0 [ 0, b] , 且+ Mx 0e-x y0+dy =1 2e du = eu- 12&0.[ a, b] , 都有 ,故反常积分 ( 2) 在闭区间 [ 0, b] 上不一致收敛 . 例 2 证明+f ( x , y ) dy - I ( x ) &+ MI( x) =+20x e- xy dy2( 3)也即 f ( x , y ) dy & ,在闭区间[ 0 , b] 上一致收敛 . 证明 因为 A =+M 2A0e- t d t 收敛 , 不妨记+ 0则称含参量无穷限反常积分 ( 1) 在 [ a, b] 上 一致收敛 于 I ( x ) , 或简称反常积分( 1) 在 [ a, b] 上 一致收敛.收稿日期 : 2008 - 07 - 28; 修改日期 : 2010 - 11 - 04. 基金项目 : 江西省高等学校教学改革研究省级课题 ( JXJ G 10 50 3) . 作者简介 : 黄慧 ( 1983 - ) , 女 , 江西赣州人 , 理学硕士 , 讲师 , 主要从事 代数学研究 . Email: h h. com.e- t d t =22 ,.对任意 & 0, 取 M & 0, 使得 e- t2dt &2 b此时令 t =xy , 则有4+ M 2高等数学研究+2011 年 1 月x e- xy dy = 时,2xxMe- t d t.2但是对于不同的 x[ 0, 3] , 反常积分 ( 2) 的 [ 0, 3] 时的当0x&4A 2+收敛步调却不一致 . 含参量无穷限反常积分( 3) 当 xx2e- t dt & A x & xM2收敛情况如图 2 所示. 其中每一条曲线标显的 x 值 2 . 为含参量无穷限反常积分 ( 3) 中对应的参量 x 的值, 横坐标表示的是变上限积分M + - t2 0当 2 4Ax+b 时,xMx e- xy dy2( 5)xe- t2dtbM 2Aedt &可见 , 对上述 M & 0, 对任意 x+ M. 2 [ 0, b] , 都有中 M 的取值 , 纵坐标表示积分( 5) 的值 .x e- xy dy &2.即反常积分( 3) 在闭区间[ 0 , b] 上一致收敛 . 含参量无穷限反常积分 ( 2) 和 ( 3) 在形式上相 差无几, 但一致收敛性却截然不同 . 下面我们分别从 它们的图象上出发讨论二者一致收敛性质的差异 . 含参量无穷限反常积分 ( 2) 当 x [ 0, 3] 时的 收敛情况如图 1 所示 . 其中每一条曲线标显的 x 值 为含参量无穷限反常积分( 2 ) 中对应的参量 x 的值 , 横坐标表示的是变上限积分M 0x e- xy dy( 4)图2一致收敛的反常积分中 M 的取值, 纵坐标表示积分 ( 4) 的值.从图 2 可以看到: 对于任意的 x [ 0, 3] , 反常积分( 3 ) 收敛 ; 对于不同的 x [ 0, 3] , 反常积分( 3) 收敛情 况保持步调一致. 从上面两个例子的对比可以看出含参量无穷限 反常积分的一致收敛性的直观表现是反常积分关于 参变量的同步收敛 .参考文献 [ 1] 同济大学数学教 研室 . 高等数学 [ M ] . 5 版 . 北京 : 高 等图1不一致收敛的反常积分教育出版社 , 2002. [ 2] 华东师范大学 数学系 . 数 学分析 : 下 册 [ M ] . 2 版 . 北京 : 高等教育出版社 , 6.从图 1 可以看到 : 对于任意的 x [ 0, 3] , 反常积分 ( 2) 收敛;Uniform Convergence of Improper Integrals with ParametersH U ANG H ui1 , CH EN H ui2( 1. Jiangx i V ocatio na l T echnica l Colleg e o f Industry and T r ade, Nanchang 330038, PR C; 2. A nhui Business Co lleg e of V ocational T echnical, Wuhu 241002, PRC) Abstract:W it h t he aid of t w o unif orm ly converg ent improper integ rals w it h param et ers,som e explicit g eo metr ic char act ers of unif orm conv er gence are discussed. We w ish t o pr omot e bet t er underst anding of t he concept of unif orm conver gence. Keywords: integr al w it h variable upper limit , improper int egral w it h paramet ers, unif orm convergence
二、拓展应用含参量无穷积分 ∫0?? ue?ux dx 在闭区间 ?0,?b?上不一致...[4]黄慧,陈辉.含参量无 穷限反常积分的一致收敛性[J].高等数学研究,2011,(...对反常敛散性的探讨,也就显得十分必要 了.在一致收敛意义下,极限与积分、求导...从形式上讲,含参量的广义积分也应有两种形式:无穷限形式的广义积分 和无界函数...上的含参量 x 的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分. 如同反常积分与数项...下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法.由于它们的证明与函数项级数相应的...24. 叙述含参量 x 的正常积分的连续性定理的内容. 25. 叙述含参量 x 的无穷限反常积分定义. 26. 叙述含参量 x 的无穷限反常积分的一致收敛性定义. 27. ...高等数学第19章第2节含参量反常积分 - 第十九章 含参量积分 §2 含参量反常积分 一、 一致收敛性及其判别法 注: 1)如同反常积分与数项级数的关系那样, 含...反常积分 1 无穷限反常积分概念、 柯西准则, 绝对收敛与条件收敛 2 无穷限反常...可积性与可微性 2 含参量反常积分的收敛与一致收敛,柯西 3 欧拉积分 准则,...) 上的反常积分 (也称作广义积分) , 指导教师:陈...2 2 2.2 利用含参量积分的理论求无穷限广义积分...成为绝对收敛,或求导后发 散的,变成一致收敛).这样...含参量无穷限反常积分的一... 2页 免费 关于含参变量无穷积分的绝... 4页...a 该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法, 但这种方法 有一定 ...convergence Discriminant method Fine degree 3 引言: 目前许多数学分析课本和文献资料都对含参量无穷积分的一致收敛性 进行了研究, 也已经得到了很多有价值的成果。...19_2 含参量反常积分 53页 2财富值 含参量无穷限反常积分的一... 3页 免费...( x, y )dy 在 I 上一致收敛的充要条件是:对任一趋于 + ∞ 的递增数...
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答：定义函数f(x)在其定义域内的任何有限区间内可积，如果∫(a,+∞) |f(x)|dx 存在，那么，称之为∫(a,+∞) f(x)dx绝对收敛
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