维普资讯 http://www.cqvip.com第１ ２卷 第 ４期　 ２０ ０６年 ８月 　上 海 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） 　Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ 　Ｈ Ｎ Ｈ Ｉ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ （ Ａ Ｕ Ａ 　 Ｃ Ｅ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ 　 ＦＳ Ａ Ｇ Ａ 　 Ｉ Ｅ ＳＴ Ｎ Ｔ Ｒ Ｌ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ 　 ＵＶｏ ．２ Ｎｏ． １１　 ４　 Ａｕ ｇ．２ ０ 　 ０６文 章 编 号 ：０７２ ６ （ｏ６０ ―３９０　 １０ ―８ １２ｏ ）４０ ８―５０１多项 式 背 包 问题 的一 种 精 确 算 法　 －盛 红 波 ， 孙　 娟 ， 孙 小 玲　 　 　（ 海 大 学 理 学 院 ， 海 ２０ ４ ） 上 上 ０４４　摘 要 ： 出 了 ０１多项 式 背 包 问 题 的 一 种 新 的精 确算 法 ． 算 法 是 一 个 基 于 拉 格 朗 日松 弛 和 对 偶 搜 索 的分 枝 定 界　 提 － 该 方 法 ． 外 逼 近 法 求 拉格 朗 日对 偶 问 题 得 到 上 界 ， 中 拉 格 朗 日松 弛 问题 通 过 转 化 为 一 个 网 络 最 大 流 问题 来求 解 ． 用 其 　 为 了 提 高 算 法 的效 率 ， 用 两 种 启 发 式 方 法 求 初 始 可 行 解 ， 用 填 充 和 交 换 的方 法 改 进后 得 到 初 始 下 界 ； 且 在 分　 利 并 并 枝 定 界 前 ， 用 所 得 到 的 拉 格 朗 日界 ， 固定 最 优 解 中某 些 变 量 的 值 ． 值 结 果 表 明 该 算 法 是 有 效 的 ． 利 先 数 　关 键 词 ： － 多 项 式 背 包 问题 ；拉 格 朗 日松 弛 ； 枝 定 界 法 ；最 大 流 法　 ０１ 分 中 图 分 类 号 ： 　２ ．　 ０ ２ １４ 文献 标识码 ： 　 ＡＡ　 ｇ ｒ ｕｓＭ ｅｈｏ 　ｏ 　 ｏｖｎ 　 － 　 ｌ ｎ ｍ ｉ ｌＫｎ ｐ ａ ｋ　 ｏ ｌｍ 　 Ｒｉｏ ｏ 　 ｔ ｄ ｆ ｒ Ｓ ｌｉ ｇ ０ １ Ｐｏｙ ｏ ａ　 ａ ｓ ｃ Ｐｒ ｂｅＳ ＨＥＮＧ　 ｎ － ｏ， Ｓ Ｈｏ ｇ ｂ 　 ＵＮ　 ｕ ｎ， Ｓ Ｊ ａ 　 ＵＮ　 ａ ―ｉｇ Ｘｉｏ ｌ 　 ｎ（ ｃｏ ｌ ｆ ｃ ｎｅ ， ｈ ｎｈ ｉ ｎｖｒ ｔ，Ｓ ａ ｇａ ２ ０ ４ Ｃ ｉａ Ｓｈ ｏ ｏ　 ｉ ｃｓ Ｓ ａ ｇ ａ Ｕ ｉ ｓｙ ｈ ｎｈ ｉ ０ ４ ４， ｈｎ ） 　 Ｓｅ 　 ｅｉ 　 　Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｔｈｓ ａ ｅ 　 ｒ ｐ ｓ ｓ 　 ｇ ｒｕ 　ａｇ ｒｔ ｍ　 ｏ 　 ｏｖｎ 　 ｈ 　０ １ ｏｙ ｏ ａ　 ｎ ｐ ａ ｋ ｒ ｂｅ ． Ｔ ｅ ｉ 　ｐ ｐ ｒ ｐｏ ｏ ｅ　ａ ｒ ｏ ｏ ｓ ｌｏ ｈ ｆ ｒ ｓｌｉ ｇ ｔ ｅ ―　ｐ ｌｎ ｍｉ ｋ ａ ｓ ｃ 　ｐ ｏ ｌｍ ｉ ｉ ｌ ｈ 　 ｌ ｏ ｔ ｍ　 ｓ ｓａ ｂ ａ ｈ ａ ― ｏ ｎ 　 ｔｏ 　 ａ ｅ 　 ｎ Ｌ ｇ ａ ｉ ｒｌｘ ｔ 　 　 ｕａ ｓ ａｃ ａｇ ｒ ｈ ｕ ｅ 　 　 ｒ ｃ ― ｄ ｂ ｕ ｄ ｍ ｅｈ ｄ ｂ ｓ ｄ ｏ 　 ￣ ｒ ｇａ 　ｅａ ａｉｎ ａ ｄ ｄ ｌ　 ｅ ｒ ｈ．Ｔ ｅ ｕ ｐ ｒｂ ｕ ｄ 　 ｉ ｎ ｎ ｎ ｎ ｏ ｎ ｈ 　 ｐ ｅ　 ｏ ｎ ｓ ａｅ ｃ ｍｐ ｔｄ ｗｉｈ ｔ ｅ ｏ ｔｒａ ｐ ｘ ｍａｉｎ ｍｅｈ ｄ ｗｈ ｒ　 ａ ｒ ｇａ 　ｅ ａ ａｉｎ 　 ｒ　 ｏｖ ｄ ｗ ｔ　ｈｅ ｍａ ｉ ｍ－ ｒ　 ｏ ｕ ｅ 　 ｔ　ｈ 　 ｕ ｅ　 ｐ ｒ ｉ ｔ 　 ｔ ｏ 　 ｅｅ Ｌ ｇａ ｉｎ ｒ ｌ ｔ ｓ ａｅ ｓ ｌｅ 　 ｈ ｔ 　 ｘ ｍｕ 　 ｏ ｏ ｎ ｘ ｏ ｉ ｌ ｆ ｗ　 ｇ ｒｔ ｍ ． Ｈｅ ｒｓｉ　 ｒ ｃ ｄ ｒｓ ｒ　 ｅ ｖ ｄ ｔ　 ｅ ｒｈ ｆ ｒｆａ ｉ ｌ　ｓ ｌｔｏ ｓ， ａ ｄ ｓ ｍｅ ｖ ｒａ ｌｓ ｎ ｔ ｅ ｏ ａ ｏ ｈ ｌ ｉ ｕ ｔｃ ｐ ｅ ｕ ｅ　ａｅ ｄ ｒ ｅ 　 ｏ ｓ ａｃ 　 　ｅ ｓｂ ｅ ｏｕｉｎ ｉ ｏ ｉ ｏ ｎ 　 ｏ 　 ａ ｂ ｅ　ｉ　 ｈ 　 ｉ ｏ ｔｍａ　 ｏｕ ｉｎ ｒ　ｄ ｔｒ ｎ ｄ ｅｏｅ ｈ 　ｂ ａ ｃ ― ｄ ｂ ｕ ｄ ｒ ｃ ｓ ， ｔｕ 　ｉ ｒ ｖｎ 　ｐ ｒ ｒ ｎ ｃ 　ｏ 　 ｈ 　 ｐ ｉ ｌ ｓｌ ｔｏ 　ａｅ ｅｅｍｉ ｅ 　ｂ ｆｒ　ｔ ｅ ｒ ｈ ａ ― ｏ ｎ 　ｐ ｏ ｅ ｓ ｎ ｎ ｈ ｓ ｍｐ ｉ ｇ ｅｆ ｍａ ｅ ｆ ｔ ｅ ｏ ｏ ｌ ｏ ｔｍ ａｇ ｒ ｈ ．Ｐ ｏ ｓｎ 　 ｏ ｕ ａｉｎ 　ｅ ｕ ｔ　 ｒ　 ｅ ｏ ｔｄ ｆｒｔｓ　 ｒｂｌｍｓ． ｉ ｒ ｍｉｉ ｇ ｃ ｍｐ ｔｔｏ ａ ｒ ｓ ｌ ａｅ ｒｐ ｒｅ 　 　ｅ ｔｐ ｏ ｅ ｌ ｓ ｏ 　 Ｋｅ 　 ｒ ｓ：０ １ ｐ ｌｎ ｍｉ 　 ｎ ｐｓｃ 　 ｒ ｂ ｅ ； Ｌ ｇ ａ ｇａ 　ｅａ ａｉｎ；ｂ ａ ｃ ― ｎ ― ｏ ｎ 　 ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ―　 ｏｙ ｏ ａ ｋ ａ ａ ｋ ｐ ｌｍ ｌ ｏ ａ ｒ ｉｎ ｒｌ ｔ ｎ ｘ ｏ ｒ ｎ ｈ ａ ｄ ｂ ｕ ｄ ｍｅｈ ｄ； ｍａ ｉ ｍ－ ｘ ｍｕ 　 ｌ ｆ ｗ　 ｇ ｒ ｈ ｏ ａ ｏ ｔ ｍ　 ｌ ｉ０１ ― 多项 式背 包 问题 可表示 为 ： 　 （ 　 ｍ ｘｆ Ｘ） Ｐ） ａ （ 　的 ｄ ＝０ 　 ｛ ， ， ， ｝ ，（ 就 是 经典 的 Ｎ 一 ． ，ｉ １ ２ … ｑ 时 Ｅ Ｐ） Ｐ　难 的线 性 背包 问 题 ． ― ０ １多 项 式 背 包 问题 的应 用 包　括选择 问题 … 和各 种 资 源配 置 问题　 ． Ｉ Ｉ ， 当 Ⅳ　 ＝２　ｉ １２ … ， 时 ，问题 （ 就 是 被 广泛 研 究 的 ０ １ Ｅ｛ 。 ， ｑ｝ Ｐ） ―　 二 次背包 问 题 ． ０ １ 对 ― 二次 背 包 问题 ， 献 ［ ］ 文 ３ 利用　 ０ １变量二 次 函数 的上 平 面 法 ，通 过 解 相 应 的线 性　 ― 背包 问题 得 到上 界 ；文献 ［ ］ ［ ］ 究 了拉 格 朗 日 ４ 和 ５研 　ｓ． ． ∑　 ≤ｂ ｔ ， 　Ｊ 　 ＝１Ｘ Ｅ ｛， ｝ 　 　 ０１ 　， 式 中 ，Ｊ ， ≥０　 ＝１２ … ， ， 。 ０ ｉ ， ， ｃ≥０　 ， ， ， ｎ ｄ ｔ ， ＝１ ２　 ＞…松弛 和分 解方 法 ；文献 ［ ］ 论 了 利 用 拉 格 朗 日松　 ６讨，ｑ ＜ ＜∑　 ， ， ｂ ０ 　＝ １ 　｛２…，｝Ｉｉ ２ １ ， ｎ，ＮＩ ． ， 　　 　 ≥弛得 到 的更好 的上 界 ；文 献 ［ ］ 出 了线 性 逼 近法　 ７提 和 变量 固定 法 ． 题 （ 是超 模 （ｕ ｅｍ ｄｌｒ 背包　 问 Ｐ） ｓｐｒ ｏ ｕａ）容易 看 出 ，问题 （ 是 Ｎ 一 的 ，因为 当所 有　 Ｐ） Ｐ难收 稿 日期 ：０５０－９ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（０７ １６　 ２０ ―９１ 国 １５ １１） 通 信 作 者 ： 小 玲 （９３一） 男 ， 授 ， 士 生 导 师 ， 究 方 向为 非 线 性 规 划 、 数 规 划 ．Ｅ ｍ ｉ ｘ ｕ ＠ ｓｆ．ｈ ｅｕ ｃ　 孙 １６ ， 教 博 研 整 ― ａ ：ｌ ｎ ｔ ｓｕ．ｄ ．ｎ ｌ ｓ ａ维普资讯 http://www.cqvip.com３０ ９　上 海 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自 　第 １ 卷　 ２问题 的一种 特殊 情 况 ．文献 ［ ］ 察 了 超 模 背 包 问　 ８考 题的拉格 朗 日对偶 和连续 松 弛 ， 般 ０ １多项 式 规　 一 ． 划 的算 法可见 文献 ［ ］ ［ ］ ２和 ９ ． 　 我们 提 出 了一 个 求解 问题 （ 的精 确 算 法 ， Ｐ） 这　 个方法是 基 于拉格 朗 日松弛 和对偶 搜索 的分枝定 界　 法 ． 我们所 知 ， 是 第 一个 针 对 ０ １多项 式 背 包　 就 这 ． 问题 的精 确算 法 ． 我们 提 出 的算 法 中 ，子 问题 的　 在 上界是 通过 解拉格 朗 日对偶 得 到 的 ，拉格 朗 日松弛　 问题被 转化 为多项 式 时间可 解 的最 大 流 问题 ， 始　 初 可行 解通过 启发 式方 法来求 得 和提高 ． 　，转步 骤 ２　 ．算 法 １１ 至 多 ｎ步 迭代 内就 能 找 到 最优 解 ， ．在 　 其 效率 主 要 依 赖 于解 拉 格 朗 日松 弛 问 题 （ ） 速　 厶 的 度． 我们 下面 讨论 如何 将拉 格 朗 日松 弛 问题 转 化 为　一个 等价 的最 大流 问题ｎ ． 虑 一个 二 部 图 的 网络　 ］考Ｇ＝（ ， 　） 顶 点集定 义 为 ： Ｖ Ｅ， ． 　 Ｖ ＝ ｛，， ， ， ｓ １ … ｎ ｎ＋１ … ， ， ｎ＋ｑ ｔ ， （ ） ，｝ 　 １　式 中 ， 表示 起 点 ， 表示 终点 ． ｓ ｔ 边集 定 义为 ： 　Ｅ ＝｛ ｓ ｎ＋． ． １２ … ， ｝Ｕ （， 『 『＝ ， ， ｑ 　 ）１ ｛ ｎ＋． ｉ ． １２ … ， ， 　 ｝ 　 （ 『 ）１ ， 『＝ ，， ｑ ｉ∈ Ｕ ｛ｉｔ 　 （ ， ）ｌ ｉ＝ １２ … ， ． ， ， ｎ｝ 　 弧 的容量 定义 为 ： 　 （） ２　１ 拉 格 朗 日对 偶 和 外 逼近 法　设　 ＞０ 记 ａ＝（ 　 “，　 ， ＝（ ， ， ） 　 １ ， ０ ０ ）　 　１ … 　 　，ｃ ，＝ ，『＝ １ ２ … ， 　 …＋ 　 ． ， ， ｑ，ｃ州， 　（） ３　定义 问题 （ ） Ｐ 的拉 格 朗 日松 弛为 ： 　（ 厶） ｄ 　）＝ ｍ ｘ Ｌ　， （ ａ　 （ 　）： 　 ＝Ｊ ｛ ．１ ∈ ０１ 　＝ ∞ ，『＝ １２ … ， ｉ Ⅳ ， ． ，， ｑ， ∈ Ｊ 　（） ４　（） ５　ｃ ｎ＝ ２ ｉ ｆ ａ ―ｃ，ｉ＝ １２ … ， ， ， ， ｎ　ｆ 　）一 （ Ｊ （ 　 ａ￣一ｂ ． ）　在 实际计 算 中 ∞可取 为一个 充 分大 的数 ． 　 定理 设　 （ 表示 网络 Ｇ的最 大流 ， 　） 则　设 Ｉ ｓ表示 （ 的可 行 域 ，即 Ｉ 　 ∈ ｛ ， ｝ 　Ｊ≤ Ｐ） ｓ＝｛ ０ １ ａ￣ 　 　ｌ ｂ ． 对任 意 的　 ≥０和　 ∈ Ｉ 弱 对 偶 性 质 成 立 ： ｝则 ｓ ， 　 ｄ　） ｆ　） 拉格 朗 Ｅ对 偶 问题是 找 出 由（ ） （ ＞ （ ． Ｉ ｔ 厶 所产　生 的最小 的上界 ： 　 （ 　 ｍ ｎｄ Ａ ． Ｄ） ｉ　 （ ）　ｄ ） ２＋ （ ＝ｂ ∑　 ＋ ｍ （ ｃ一 ａ 一 　 ． 　 ∑ ａ ０ 　 ２ ）　（） ｘ， 　 　（） ６　证 明　 注意 到 Ｇ的任 何 一 个 割 （ 　 ） 由下　 Ｕ， 都列 ０ １向量 表示 ： ― 　（ ， ， ， ， ＋ ， ， ＋ ， ）　 １　１ … 　 　 １ … 　 。 ０ ．因为 当　 ≥０时 ，ｄ 　） （ 是一 个 凸 的分 段 线 性 函数 ， 　所 以可 以用次 梯度 法找 到 （ 的一个 近似 解 ．虽然　 Ｄ） 次梯 度法 简单 易行 ， 但是 并不 能 保证 在 有 限步 迭代　 内找 到 （ 的一 个精 确 解 ．我们 知 道 ，分 枝 定 界法　 Ｄ）如果 ｉ Ｕ， ∈ 则　 ＝１ 否 则　 ； ．设 Ｃ 　） 示　 ； ＝０ 　（ 表 Ｇ的一 个最 小割 的 容量 ，则　的效 率主 要依赖 于上 下界 的好 坏和求 解上 下界 的效　 率． 我们 用基 于外 逼近法 的精 确对 偶 搜 索法 计算 上　界． 求解 （ 的外 逼近 法可描 述如 下 ： Ｄ） 　算 法 １ １ 求解 （ 问题 的外逼 近法　 ． Ｄ）Ｃ （） 　 （） 　　 ＝ 　 一∑ｍｘ０ｃ一 ａ ．（） ａ（，； ２　 ７ ） 　根 据最小 割 的定义 和式 （ ） 我们有　 ３，步 １ 令 ａ ＝ｂ一∑　， 。 骤　 。 卢 ＝∑ｃ＋ ｊ　ｉ ＝１ ｜ 　 ＝１口　ｃ ＿ ｛ 州　＋　 　） 　 喜 （ 　 　－ ＋， 　∑Ｘｉ 州ｉ 一 ；＋ ｃ ＝ ｎ∑ｃ ，１　 ） ∑ 　｝　 ＋ （∈　∑ｄ ａ 　 　＝ｂ 卢 ＝ ． ， ，　 ０ 　ｉ １ ＝ 　步骤 ２ 计算　 ＝ （ 。 　／ ａ 　 卢 一卢 ）（　一ａ ）用 最大　 。，¨ 　＋ 　｛ 　ｉ １ ＝　 。 　＋ 　（　 ８ ）流算法 求解 （ 的拉 格 朗 日松 弛 问题 （ ）设　 是　 Ｐ） 厶 ．其 对应 的最 优解 ． 　∑ｃ． 一ｉ ＋ 　Ｊ 叫 （ 　） ∑ｃ ． 　 １ Ｊ 　Ｉ ＾　 ∈ ，由式 （） ， ． ， ， ｎ和 ｉ Ｊ有 ｃ“　 　 ４知 对 『 ＝１２ …， ∈Ⅳ ， 　 ＝步 　 设 ａ ＝ｂ 骤３ 　 一∑　 ， ＝∑　 ＋ 　 　，＝１ 　口　』 　 ＝１ａ． ｏ 设　 ∈ ｛ ， ｝ 是使 式 （ ） 到 最 小 的 任 意 一　 ０１ 　 ８达 个解 ． 任何 一 个 ． ｛ ， ， ， ｝ 对 『 １２ … ｑ ，如果 对 所 有 的　 ∈∑ｄ 　 Ⅱ　． 果０ ＋ ＝ 。 ｐ，　是（ ） 　 如 ／ 　 ａ ３ 　 　＋ 。 则 Ｄ的ｉ 　 ＝１ 』　 ∈ｉ　 ， ∈ 有　，＝１ 则　 ：， ； 则 ， ， ＋ ＝１ 否 如果存 在 ． 　 ｉ ｝ ∈最优 解 ， 止 ． 则 ， 果 ａ ＜ ０ 则 令 ａ 停 否 如 　 ， ，＝ ａ ， 　　 卢 。＝ ｐ ， 步骤 ２ 如果 ａ 　转 ； 　≥ ０ 则 令 ａ ＝ ａ ， ＝ ， 　 　　 　使得　：＝ ， ０ 则　：ｆ ０ 因此 ， ＋＝ ． 利用式（） 我　 ５，们 可把 式 （ ） 为 ： ８写 　维普资讯 http://www.cqvip.com第 ４期　盛红波 ， ：． 多项式背包 问题 的一种精确算法　 等 Ｏ１３１ ９　（ 　 ） 　ｃ 　＋ ｎ一 职 ＋ 　一 　ｌ 　 　　（ 　 　 ｛） 　 Ｉ ｆ （ 　 （ 　 　一＝０ ｊ　 ， ，Ｅ 停止 ． 　步 骤 ３ 选 择　 ＝ｍｎ｛ Ｉ ∈ Ｋ ｝ 令 Ｋ， ＝ 　 ｉ　 ＿ 『 ，． ：　 Ｋ ＼｛ ｝ Ｋ ： 　 Ｕ ｛ ｝更 新　 ， 　 和 ｏ＝ 　 ．∑ｄ 　６｝ Ｉ ） ＋， ｂ＝∑ ｄ―ｄ　 ＋，． （） ｆ （） Ｉ　 ９ ｂ 　结 合式 （） （）即得式 （）证 毕 ． ７和 ９ ， ６． 　上面 的定 理表 明 ，拉格 朗 日松 弛 问题 （ ） 够　 厶 能 转 化 为一个 二部 图网络 的最 大 流 问题 ．所 以通 过 式　 （ ）现有 的求 解 最大 流问题 的有效 算法 都 可用来 计　 ６， 算 ｄ 　） 例如 ， 献 ［０ 中提 出 了一个 Ｏ（ 　 最 大　 （ ． 文 １］ ｎ）流 问题 算法 ． 　 转 步骤 ２　 ．ｒ 　 Ｊ一 ，『 Ｋ ? ＿∈ ， 　定义ｆ　） （ 的一 阶和 二 阶“ 数 ”　 导 ：△ （ 　　）＝ 　ｌ … ，（ ， ， ）一 　（ ， １Ｉ … 　 ） 　／　】… ，（ ， ， ）＝ （ ， ０ ）… 　 　 　ｃ＋∑ｄ Ｉ ， 　 　Ｉ　 　∈ 　 ∈ Ｎ 、｛ Ｉ ｉ 　　２ 求 可 行 解 的启 发 式 算 法　经典 线性 背 包 问题 的启 发 式方 法是 对 利润 和成　 本 的 比率 进 行 排 序 的 一 种 贪 婪 法 ．设　 ：Ｃ 　 ｉ＋△“　）＝ （ ， ，（ ， ，（ ， ， ）一 （ ｆ 　ｌ … １ ） … ０ｆ … 　 　 ） 　，　ｌ … ，（ ， ，（ ， ， ）＝ （ ， ０ ） … １ｆ … 　 　 ） 　ｃ一　 ∑ ｄ Ｉ 一 　 ｃ＋ 　Ｉ　 　∈　 ， 　 ｆ ｌ 　 ∈　 ｉ、｛ Ｉ 　 　∑　，＝１ ， ｎ 定 率： Ｊ ， …，． 义比 　 ２∈　ｋ ＾ ， ＝＾　 ｉ ＾ 　 ｔ ¨ ｔ ｔ 　、 Ｉ Ｉ ｔ 　∑ ｄ Ｉ ． 　Ｉ　 　ｒ 　 ，『＝ １２ … ， 　 ｊ＝ ＿ ， ， ｎ，（０　 １）用下 面 两种 策略 可能进 一 步改 进 由算 法 ２ １和算 法　 ． ２ ２求 得 的可行 解 ：（ ）用 ｆ 　） ． １ （ 的一 阶 信 息 填 充剩　则 我们 可类似地 得 到 两种求 问 题 （ 可 行解 的贪 婪　 Ｐ） 法 ． 法一 是从　 ＝（ ， ， ） 始 ，按　 ｝ 递 减　 方 ０ … ０　开 的顺序 逐次 增大　 ． 　余 ；２ （ ）用 ｆ ｘ 的二 阶 信息 交换 两 个变 量 ． （） 　算 法 ２ ３ 填充 和交 换　 ． 给 定一 个 可行 解　 ． Ｋ ＝｛ Ｉ ＝１ ，Ｋ ＝ 设 ， ＿　， ｝ ｏ 　 『算法 ２ １ 求 （ 的可 行解 的启发 式算 法 Ａ ． Ｐ） 　 步骤 １ 设　 ＝０　＝１２ … ， ， ｏ １２ … ， ， ， ， ｎ Ｋ ＝｛ ， ， 　ｎ ，Ｋ ＝０． ｝ １ 　｛ 　 ＝０ ． 　Ｉ ｝ 　步 骤 １ （ 充 ） 择　 ＝ａｇｍ ｘ △ （ ）　∈ 　 填 选 ｒ　 ａ ｛ 　　 Ｉ 　步骤 ２ 计算　 ＝ ａ ｛　ｊ 　 ｏ ． ｍ ｘ ｒＩＥ Ｋ ｝ 　｝如 ∑　 ＋ｏ ≤ｂ 则令 ＝ ．　 ：　 ， 果 　 ， 　 １ 令 ：』 Ｋ　 ∈ ｌ步 　（） 果 骤３ １ 如 　∑　 ≤ｂ 则 　 ＝１ ，令 ， 　ｊ Ｋ　 Ｉ ｛ ∈ ｌ 　　 Ｕ＼｛ ｝重 复步 骤 １直到 Ｋ ＝０． 　 ， ｏ 　 步骤 ２ （ 交换 ） 置 Ｋ， 　Ｉ ＝１ 和 Ｋ ＝｛ 　 重 ＝｛ 　 ｝ 。 　Ｉ＝Ｋ ：＝ Ｋ 。 ｏ＼｛ ， 　 　｝ Ｋ ：＝ Ｋ Ｕ ｛ ｝ 如 果 Ｋ 　 　 ． ｏ＝ ０， 停　 止； 否则 ， 步骤 ２　 转 ．０ ． 择 （ ， ）＝ａ 　 ｉ △ 　 ）　 ∈ Ｋ ， ∈ ｝选 　 Ｚ ｒ ｍｎ｛ 　（ Ｉ ｇ ｌ＿ 　 ，（ 如 ，∈ ＫｌＵ ｌｋｌ ２ 果 ∑　 ） 　　＞ｂ 则令 Ｋ： Ｋ ＼ ； ， ｏ＝ ｏ … 　｝ ． 如果Ａ （） ０ ∑　 一 　 ０≤ｂ则令 　　 ＜ 且 ０＋ 　 ， 　Ｊ Ｋ１ ∈ 　＝如果 Ｋ ＝０， 止 ； 则更 新　 ｏ 停 否０　 ｆ ． Ｋ ： ｌ 　 ｝ ０ ＝Ｋ ， ＝１ 令 ｌ ＝Ｋ ＼｛ ，Ｋ ： ｏ＼｛ ｝ 　 ． 　重 复步 骤 ２直到 Ｋ ＝０或 Ｋ ＝０． 　 ｏ 　∑ｄ 　ｒ ｉ＝ ｒ ― ― 　 ｉ　 ， ｊ∈ Ｋ ? ｏ 　重 复 以上 两步直 到 不能 再 改进 可行 解　 ． 　转步骤 ２　 ．３ 分 枝 定 界 算 法　本 节我 们 将 提 出 求 解 问 题 （ 的 一 个 精 确 算　 Ｐ） 法 ． 个算 法包 括 下面 ３个 主要 步骤 ： 这 　 （ ）找 出 （ 的初 始 可行 解 ； １ Ｐ） 　 （ ）通过 拉 格 朗 日界 把某 些变 量 固定 为 ０或 １　 ２ ； （ ）用 回溯 搜索分 枝 定界 法求 最优 解 ． ３ 　变 量 固定 的思想 就是 在分 枝定 界 前确 定 最优 解　类似 地 ，我 们 可 以从　 ＝（ ， ， ） 始 ，按　 １ … １　开｛　的递 增顺 序逐 次减 小　 ． ｒ｝ 　算 法 ２ ２ 求 （ 的可行 解 的启 发 式算法 Ｂ ． Ｐ） 　 步骤 １ 设 Ｋ ＝｛ ， ， ， ｝　 ＝ ． 　 １２ … ｎ ， 　 　步 　如果 ∑　 ≤ｂ令 ＝ ， ∈ 和 骤２ ， 　 １ ＿　， 　 『维普资讯 http://www.cqvip.com３２ ９　上 海 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自 　第 ｌ ２卷　中某 些变 量 的值 ． 可 以极 大提 高 算 法 的效 率 ．给　 这定一个 ｊ∈ ｛ ， ｝ 和 ｉ ｛ ， ， ， ｝ ， ０１ 　 ∈ １ ２ … 　 ，固 定　 为　ｄ　 ）的拉 格 朗 Ｅ界 ． （ ｌ 如果 ｄ　 ）≤ ， （ 　 转第 ７步 ． 　第５ 步　 设　 是拉格 朗 Ｅ松 弛 问题　 （ ） ｌ 　 的　 最优 解 ．如 果　 是（ Ｐ）问 题 的 可 行 解 ，并 且　１ 　并 且解 相应 的拉格 朗 日对 偶 问题 ． 果求 得　 一Ｙ， 如的拉 格 朗 Ｅ界 小 于 或 等 于 当前 最 好 的下 界 ，则　 ｌ可 以 固定 为 ， ． ，　 　ｆ　 ）＞／ ｌ ０ （ 叩贝 －， 令　。 　 　＝ｎ 　 ： ｂ 转第 ７步 ． ， 　，－ 　 ／　： ｏ ｐ） 如果　 ．在下 面 的算法 中 ， 们用　 、 。 我 　 和　 分 别表　 示变 量　 ：０　 ：１ 、 和　 是 自由变 量 的下标 ｉ 的集　 合 ． 应 于　 、 和　 对 　。 的子 问题 可通 过 固定　 ＝ 　 ０：第 ６步　 对 每一个 ．∈ 『 　 ， 计算 伪 成本 ｐ 　 ｊ ．： （ ， ）一 （ ， ） 　 　 　 　 　 ，其 中　１一 　： 　，ｉ≠ ．　 『 ，（ ∈Ｋ ）　ｉ （ ∈ ， 和设　 是 自 由变 量 （ ∈Ｋ ） ｉ ｏ ， ：１ ｉ 　 ） ｉ ２　形成 ． 　． 选择 ． ａ曼ｒｉ Ｐ ． 『： ｒ ａ ｎ 　 令　 ： １一 　 　并 且更 新　 、 。 　 和　 ， ． 把『 从　 集 合 的右边 加 到　 中 ， 第 ２步 ． 转 　 第 ７步 在　 中从 右 往 左 选 择 一 个 没 有 画 线　 的指标　． 果没 有这 样 的指 标存 在 ，则　 是 一 个　 如最 优解 ， 止 ；否则 ，把　 中在 ｆ 停 右边 的 指标 移 到　 中， 令　 ： ：１ 　， 一 ，并 把　、 　 ，算 法 ３ １ 问题 （ 的分 枝定 界算 法　 ． Ｐ）步骤 １ （ 　 可行解 ） 用 算 法 ２ １ ． 算 初 始　 ． ． ～２ ３计可行解　． ｆ ｆ　 ） 设 ｏ 　： （ ． 　 是　步骤 ２ （ 变量 固定 ）　 ．第 １步　 设　 是 （ Ｄ）问题 的最 优 解 ， 　中 的 ．画 线 ，更 新　 『（’ 的 　 ） 最优解． 如果∑ ａ ：ｂ则强对偶成 ｊ ． 　 ， 　立， 　 是 问题 （ Ｐ）的最 优解 ，停止 ． 　和　 ，转第 ２ ． 步 　４ 数 值 结果　算 法 ３ １由 Ｆ ｒａ９ ． ｏｔ ｎ０编 程 ，在 Ｐｎｉｍ Ｉ （　 ｒ ｅｔ 　Ｖ ２ ｕ Ｇ ｚ ２ ６Ｍ 　 Ａ 上 运行 ．测 试 问 题 （ 的系 数　 Ｈ 和 ５　 Ｂ Ｒ Ｍ） Ｐ）第２ 步　 令　 。： ，Ｋ 　 ，Ｋ 　 。： 　： ｛ ， ， ， １２ … 　ｎ ，『： １ ｝． ． 　第 ３步　 令　 ： １一 　． 果 Ｘ 如 ｊ＝ １ 则 令　 ，都是从 均 匀 分 布 中 随 机 产 生 ．ｃ ∈ ［ ，０ ］ 　 ｊ １ １０ ，ｄ ， 　ｎ　Ｋ ：： Ｋ 。 。Ｕ ｛｝ 　 ． ，Ｋ ：： Ｋ 『 ２＼｛ ｝ ． ；否 则 令 Ｋ ：： 『 ｏ 　Ｕ ｛｝ 　 ’ ，Ｋ ：： Ｋ 　 『 ２＼‘ Ｋ１ ∈ 　．如 果 存 在 ａ －　 一 　＿ ６ 　 ｄａ∈［ ，０ ，６ ５ ， ｊ １５ ］ ∈［０　ｎ ． （≤ Ｉ Ｉ ） 　 　 ２ 　 ≤６ 中　∑ ｎ一ｘｊｉ Ｋ） 则令 ：： ｕ ｛｝ 　 ｊ（ ∈ 　， 　 ．． ａ｝ 　 ．， ｉ　 ｝Ｋ ：：Ｋ ＼｛ ｝并 且 解与　 、 。 　相 关 的子 问　 ２ 　 ．， ｉ ｝ 　 、Ｋ的指标是 在 ｛ ， ， ， ｝ １２ … ｎ 中随 机产 生 ． 法对 测 试 问　 算 题 的数值 结果 总结 在 表 １中 ， 中 ： 其 ｎ为 ０ １ 量 的　 ．变个数 ； 函数， 　） ｑ为 （ 中非 线性 项 的个 数 ； ｏ 为 ２ Ｔｐ ０个　 ．测试 问题 的平 均 Ｃ Ｕ运行 时间 （ ） Ｎ血 ２ Ｐ Ｓ ； 为 ０个测 试　表 １ 数 值 结 果　Ｔａ １ ＮＵｌｅ ｉａ　 ｅ ｕ ｔ　 ｂ． 　 ｌｌｒｃ ｌｒ ｓ ｌｓ ｒ题． ｄ 设 　是子问题的拉格朗 Ｅ界 ． ｌ 如果 ｄ ≤厂　 　 ｏ， ｐ 　则 当　 ，：０ ， 时 令　 ， 　 。 ｛｝ ：： ：： Ｕ ．， 『 　。 　 ＼｛｝ ．； 『　 当　 ：１ ， Ｋ ：： Ｋ　 ｛ ， ， 　 ， 　｝ 时 令 ｏ ｏＵ 　｝ 　 ：： ＼｛ ． 　 如果 ｄ ＞ｆ　， 还原　 、 、 到第 ３ 　 ｏ则 　，　 步开始 时 的　情形 ． 　第４ 步　 如果 ’＜ ｎ 则令 ’ ： ＋１转 第 ３ ； 『 ， 『 　 ： ， 步　否则 转步 骤 ３　 ．步骤 ３ （ 枝定 界 ） 分 ． 　 第 １ 步　 设　 ＝ ． 　 　第２ 　 计 剩余值ｓ 一∑ ｎ 如果ｓ 　 步 算 ＝６ 　 ． 查Ｋ１ 　０ 转第 ７步 ． ， 　 第３ 步　 对 每一 个　 ∈ 　 ，如果 ｎ ｓ 　 ，则令　 Ｋ ：＝ Ｋ　 ｛ ，Ｋ ：＝ Ｋ ｏ ｏＵ 　｝ ２ ２＼｛ ， ． 　｝ 把 『 从　 集 合 的　 右边 加到　 中并在 ｆ 面画线 ． 下 　 第 ４步　 计 算 与　 、 。 　 、 　 相 关 的 子 问 题　维普资讯 http://www.cqvip.com第 ４期　盛红 波 ， ：－ 多项式背包问题 的一种精确算法　 等 Ｏ１［ 　 ４］３３ ９　问题在算 法 ３ １中步 骤 ３的 平 均 固定 的变 量 个 数 ； ． 　 Ⅳ 　为 ２ ０个 测试 问题 所解 的平 均 子问题 的 个数 ． 　 表 １ 的数 据 表 明 ， 法 ３ １能够 在 合 理 的 时 间　 算 ． 内计算 中等 规模 的 ０１多项 式 背 包 问题 ．从 表 １中　 ． 我 们可 以看 出 ， 法 在 算 法 ３ １的 步 骤 ３中能 够 固　 算 ． 定将 近一半 的 ０１ 量 ．变量 固定 的多 少 对算 法 的　 ．变效率有 很大 影 响 ． 量 固定 越 少 ，需解 决 的子 问 题　 变 就越 多 ， 而 所 用 的 Ｃ Ｕ时 间就 越 长 ． 表 １中 还　 从 Ｐ 从ＣＨＡＩ 【 Ｕ Ｌ Ｄ 　Ｐ， ＨＡＮＳ ＥＮ　Ｐ， Ｍ ＡＨＩ ＥＵ　Ｙ ． Ｂｅ ｔ ｅｗｏ ｋ ｓ　ｎ ｔ ｒ 　ｌ 　 ｏｎｓ ｆ ｔｅ ｕｄ ｔ　 ｎｐａｋ ｒ ｅ ｆｗ ｂｕｄ　ｏ　ｈ　ｑａｒｉ ｋ ａｓｃ　ｐｏｌ ［ ］ ｏ ｒ ａｃ ｂｍ Ｊ． 　Ｌｅ ｔｒ 　 ｔｓｉ 　 ａ ｅ ｔｃ ， １ ８ ｃｕ ｅ Ｎｏｅ 　ｎ Ｍ ｔ ｍａｉｓ ９ ６， １ ０３： ６ ２ ５． ｈ ４ ２２ ． ３ 　［ 　 ５］ＭＩ ＣＨＥＬ ＯＮ　 Ｐ，ＶＥＩ ＥＵＸ　 ＬＬ Ｌ． Ｌ ｇ ｎ ｉ 　 ｔ ｏ 　 ｒ ｔｅ ａ ｒ ｓ ａ ｍｅ ｄｓｆ 　 　 ａ ｎ ｈ ｏ ｈＯ１ ｕｄａｃｋａｓｃ　ｒ ｌ ［ ］ ｕｏｅｎＪｕｎｌ ｆ － ｑ ａｒｔ　ｎｐａｋｐ ｂｅ Ｊ ．Ｅ ｒ ａ　ｏｒａ ｏ 　 ｉ ｏ ｍ ｐ 　　Ｏｐ ｒｔ ｎ ｌＲｅ ｅ ｒ ｈ， １ ９６，９２： ２ － ４１． ｅａｉ ａ　 ｓ ａ ｃ ｏ ９ ３６３ 　［ 　 ６］ＣＡＰ ＲＡＲＡ　 Ａ， Ｐ Ｓ ＮＧＥＲ　Ｄ ， ＴＯＴＨ　Ｐ． Ｅ ａ ｔｓ ｌｔｏ 　ｏ　 ＩＩ ｘ ｃ　 ｏｕ ｎ ｆ ｉｈ 　 ｕ ｄ ｉ ｋ ａｓ ｃ　 ｒ ｌ ｔｅｑ ａｒｔ 　ｎ ｐ ａｋ ｐ ｂｅ ［ ］ Ｎ Ｏ Ｍ 　ｏ ｒａ ｏ 　 ａｃ ｏ ｍ Ｊ ．Ｉ Ｆ Ｒ ＳＪ ｕ ｌ ｎ ｎ　Ｃｏ ｕｉ ｇ， １ ９ ｍｐ ｔｎ ９ ９， １ １ ５ １ ９． １： ２ － ３ 　可观察 到 ， 多项 式 中的非 线性 项 数越 多 ， 决 子 问题　 解所 需 的时 间就越 长 ． 　 参 考文献 ： 　［１］ 　Ｇ Ｌ ０ Ｇ，Ｇ ＧＯ Ｉ Ｓ Ｍ ，Ｔ Ｊ Ｎ Ｒ．Ａ ｆｓ ｐ ｒｍｅｒ 　 Ａ Ｌ 　 ＲＩ Ｒ ＤＩ 　 ＡＲ Ａ 　 　 ｔ ａａ ｔｃ ａ　 ｉ［ ］ ７　Ｈ ＡＭＭＥ 　 　Ｌ， Ｒ Ｅ Ｊ 　Ｊ Ｅ ｉ ｔ ｅ ｈ ｄ 　ｆｒ Ｒ Ｐ ＡＤ Ｒ　 　Ｄ ． ｍｃｅ 　ｍ ｔｏ ｓ ｏ 　 ｎｓ ｖ ｇｑ ａｒｔ　 －　ｋａｓ ｋ ｐ ｂｅ ｓ ［ ］ ＩＦ Ｒ， ｏ ｉ 　 ｕｄ ｉ Ｏ１ ｎｐａ 　 ｒ ｌ ｌｎ ａｃ ｃ ｏ ｍ Ｊ． ＮＯ 　１９ ９ ７。３ １ ０ １ ２． ５： ７ ― ８ 　［ 　 ８］ＧＡＬ Ｏ　 ， ＳＩ ＥＯＮＥ　Ｂ． Ｏｎ ｔ ｅ ｕ ｒ ｄ ｌ 　ｋ ａ ａ ｋ Ｌ Ｇ Ｍ 　 　ｓ ｐｅ ｍｏ ｕａ ｈ ｒ ｎ ｐｓｃ 　ｐ ｂ ｍ Ｊ ．Ｍ ｔ ｍ ｔａ Ｐｏｒｍ ｉ ，１８ ， ５ ２５ ｏ ｅ ｒ ｌ ｓ［］ ａ ｅ ａｃ 　ｒｇ ｍｎ ｈ ｉ ｌ ａ ｇ ９ ８ ４ ：９ ? 　３ ９． Ｏ 　ｍ ｘ ｕ 　 ｏ 　ａ ｏ ｔ 　ａ ｄ ｐ ｌ ａ ｏ ｓ ［ ］ ＳＡ 　 ａ ｉ ｍ ｆ ｗ ｌ ｒｈ ｍ ｌ ｇｉ ｍ ｎ　ａ ｐ ｃｔ ｎ Ｊ ． Ｉ Ｍ ｉ ｉＪ ｕ ｎ ｌｏ 　 ｏ ｐ ｔ ｇ ９ ９，１ ３ ? ５． ｏ ｒ ａ　 ｎ Ｃ ｍ ｕ ｎ ，１ ８ ｉ ８： ０ ５ 　［ 　 Ｌ　 ９］ ＩＤ，Ｓ Ｎ 　 Ｕ 　Ｘ Ｌ．Ｎｏｌ ｅ ｒ ｉｔｇｒ ｐ ｇａ ｉｇ Ｍ　． ｎｉ ａ　ｎｅ ｅ　 ｒ ｒｍｍ ｎ　ｌ Ｊ　 ｎ ｏＢｏ ｔｎ：Ｓ ｒｎ ｅ ，２ ０ 　 ｓｏ ｐ ｇ ｒ ０ ６． ｉ［ 　 Ｈ Ｓ Ｎ Ｐ， Ｊ Ｕ ＲＤ ２］ ＡＮ Ｅ 　 Ａ ＭＡ 　Ｂ， ＭＡＴ ＯＮ Ｈ 　Ｖ． Ｃ ｎ ｔ ｉｅ 　 ｏ ｓ ａｎ ｄ ｒｎ ｎｉ ａ ? ｐ ｇａ ｍ ｎ ［ 　 ． Ｏ Ｓ 　Ｊｕ ａ ｎ ｏ ｌ ｅｒ １ ｒ ｒ ｉｇ Ｊ ｎ 　０ 　 ｏ ｍ Ｊ Ｒ Ａ ｏ ｒ 　ｏ 　 ｎ ｌＣｏ ｍｐｕ ｎ ｉ ｔ ｇ， １ ９３，５： － ８． ９ ９７ １１ 　ＡＲ Ａ Ｒ Ｅ．Ａ ｎ ｗ ａ ｐ ｏ ｃ 　ｏ ｔｅ 　 ｅ 　 ｐ ｒａ ｈ ｔ　ｈ 　 ［０　 Ｇ ＤＢ Ｒ Ａ　 １ ］ ＯＬ Ｅ Ｇ　 Ｖ，Ｔ Ｊ Ｎ　 　ｍ ｘ ｕ －ｏ　ｒ ｌｍ ［ ］ ｏｒａ ｏ ｔ 　 ｓ ｃ ｔｎｆ 　 ａｉ ｍ ｆｗｐｏ ｅ Ｊ ．Ｊｕｎｌ ｆ ｌ Ａｓ ｉｉ 　 ｒ ｍ ｌ ｂ 　 　Ｉ ｅ ｏ ａｏ ｏＣｏ ｍｐｕ ｎ 　 ａ ｈｎ ｒ ｉ ｔ ｇ Ｍ ｃ ｉｅ ｙ， １ ８，３５： ２１９４ ． ９８ ９ －０ 　［３］ Ｇ Ｌ Ｄ Ｇ， Ｈ Ｍ Ｒ 　Ｌ Ｓ Ｏ Ｅ 　 ＡＩ　 Ａ ＭＥ 　Ｐ ， Ｉ Ｎ 　Ｂ． Ｑ ａ ｒ ｉ ＭＥ ｕ ｄａｃ ｔ　ｋａｓ ｋｐ ｂｅ ｓ［］ Ｍ ｔ ｍ ｔａ Ｐｏｒｍ ｉ ，１８ ， ｎｐａ 　ｒ ｌ ｃ ｏ ｍ Ｊ ． ａ ｅ ａｃｌ ｒｇ ｍｎ ９０　 ｈ ｉ 　 ａ ｇ１ １ ２．４ 　 ２： ３ １ ９．（ 辑 ： 海清 ） 编 陈 　＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ， ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ， ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ Ｉ ＇ ＇ ＇ ＇＇ ＇ ＇ ＇ 　＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ 　＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ 　 ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ 　＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇　＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ 　＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ ＇ 　（ 接 第 ３ ８页） 上 ８ 　［６］ Ｒ Ｇ Ｒ 　 ， Ｓ ＨＥ 　 Ｗ　 Ｋ． Ｂｃｌｎ　 ａｄ Ｄ ｂｕ　 　 Ｏ Ｅ ＳＣ Ｃ ＩＦ ￣ｋ ｄ ｎ　 ａｏ ｘ ｉ ｕ ｒ ｒ ｓ ｍ ｔｎ Ｍ］ Ｃ ｍ ｒ ｇ　 ｎｖ ｓｙ ｒｓ，２ ０ ： ｔ ｎｆｒ ａｏ ｓ［ ． ａ ｂ ｄｅ Ｕ ｉ ｒｔ Ｐｅｓ ０２　 ａ ｏ ｉ ｉ ｅ ｉ　１ ．ｏ 　 ０２ １ ５． ２ ０５，３ ７： ７ ３－ ７ ８． ０ ５ １５ １ ７ 　ＭＭＯ Ｊ Ｊ Ｃ． 　 ｉ ｎ ａ　 ａ ｋｕ ｄ ｔ ｎ ｆｒ ａｉｎ ｆｒ ｔ ｅ 　 　　 Ａ ｂ ｌ ｅ ｒ Ｂ ｃ ｌ ｎ 　 ｒ ｓ ｍ ｔ 　 　 ｈ 　 ｉ ａ ｏ ｏ ｏ ［ 　 ＮＩ ９］ｎｎｎａ　ｃｒ ｉ ｅ　ｑａｏ Ｊ ． Ｐ ｙ Ｌ ｔ Ａ，１８ ， ｏｌｅｒ ｈ＇ ｎ ｒｅｕｔｎ［　 ｉ Ｓ ｒ ｇ ｄ ｉ Ｊ ｈｓ ｅ　 　 ｔ ９ ３　９ ２ ９． ０． ９： ７ ２８ 　［ ７］ ＮＭ 　　　 ，Ｆ Ｅ ＭＡ 　 　 ．Ｔ ｅｕｅ ｏ　 ￣ｋ ｎ　 Ｉ ＭＯ ＪＪ Ｃ Ｒ Ｅ Ｎ Ｎ Ｃ ｈ　 ｓ ｆＢｉ ｌ ｄ 　 ｃｕｔ ｎｓｏ ｍａｉｎ ｉ　ｏ ｔｉｉ ｇ ａ ｒ ｆｒ ｔｏ 　ｎ ｂ ａｎ ｎ 　Ｎ? ｏｉ ｎ ｓ ｌｔｏ 　ｉ　Ｗ ｒｎｓｉｎ ｓｌｔ 　 ｏｕｉ ｎ ｎ ｏ ｏ ｋａ 　［０　 Ｌ Ｕ Ｑ Ｍ．Ｄ ｕ ｌ Ｗｒ ｓｉ 　 ｏ ｔ ｎ　 ｆ ｔ 　 Ｋ Ｓ ａ ｄ １ ］ Ｉ　　 ｏ ｂｅ ｏ ｋ ｎ ｓｌ ｉ ｓ ｏ ｈ Ａ Ｎ 　 ｎ 　 　 ｎ ａ ｕｏ 　 ｅｃ ｓｃ 　 ｏｓｎｓ　 ｉ ａｈ ｓ Ｊ ． 　 ｈ　ｏ　ｐ ，９０　 ｌ ｓ ａ Ｂ ｕｓ ｅｑ ｈ ｒ ｉ ［ ］ ＪＰ ｙＳｃＪｎ １９ ， ａｉ ｌ ｉ ｅｃｅ５ ３ ２０ 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