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曲面面积公式为
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曲面面积公式为
关注微信公众号计算三重积分 ∫∫∫Ωdv,其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z及平面z=2平面所围成的闭区域
计算三重积分 ∫∫∫Ωdv,其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z及平面z=2平面所围成的闭区域
名师点评：
我有更好的回答：
剩余:2000字
与《计算三重积分 ∫∫∫Ωdv,其中Ω是由曲面x^2+y^2=2z及平面z=2平面所围成的闭区域》相关的作业问题
你丫这是高数,这是小学
再问： 再问： 请问为什么这样不行呢 再答： 不能直接将立体方程代入，那是曲面积分的算法 因为三重积分的被积函数是建基于整个立体空间，而不只是外面的曲面方程 这点你要记住了，以后学曲面积分时又会遇上同样问题了，所以很容易就混淆它们的算法 z ≤ x^2 + y^2和z = x^2 + y^2还是有分别的再问： 嗯，好的
先求旋转曲面的方程设旋转曲面上一点是（x0,y0）,yoz面上的曲线 为y^2=2z ,则√(x0^2+y0^2)=y得旋转曲面的方程为：z=(x^2+y^2)/2z=(x^2+y^2)/2=5得Dxy:x^2+y^2≤10所以∫∫∫(x^2+y^2)dv=∫∫dσxy∫((x^2+y^2)/2~5)x^2+y^2 d
z = x² + y² + z²x² + y² + z² - z + 1/4 = 1/4x² + y² + (z - 1/2)² = (1/2)²{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = r
用截面法,积分=∫dz∫∫(x^2+y^2)dxdy,先用坐标计算∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫dθ∫r^3dr（r积分限0到√(2z),θ积分限0到2π）=2πz^2,所以原积分=2π∫z^2dz（积分限0到2）=(2π/3)z^3=16π/3
这种题目的基本思路是运用Fubini定理,必要时用极坐标换元. 再问： Fubini定理是什么 再答： fubini定理即富比尼定理，参考资料是百度百科。 这个定理在微积分的书里一般都有，百科中的“σ-有限测度空间”可以换成R^3空间，就是通常的“三维空间”。A 和 B可以看成R或R^2空间。 上面的图中，第二个等号用
积分限定的是正确的,不是正解.∫∫∫zdv=∫(0,1)zπz^2dz+∫(1,√2)zπ(2-z^2)dz=π/4+π[z^2-(1/4)z^4](1,√2)=π/4+π[(2-1)-(1-1/4)]=π/2你原来的计算结果是正确的.
因为,曲面z=x^2+y^2在柱坐标下的方程为z=ρ^2这题如果是计算积分值的话,正解如下：因为z=常数的平面与Ω截得区域的面积为πz所以∫∫∫zdxdydz＝∫(0~4)z(πz)dz=(1/3)π(z^3)︱(0~4)=64π/3
{ z = - √(x² + y²){ z = - 1- 1 = - √(x² + y²)x² + y² = 1 --> r = 1切片法：∫∫∫ z dV= ∫(- 1→0) z dz ∫∫Dz dxdy= ∫(- 1→0) z * πz² dz=
∵方程z=2-x²和z=x²+2y²,求得x²+y²=1∴所围成的闭区域在xoy平面上的投影是圆S：x²+y²=1故∫∫∫(x²+y²)dxdydz=∫∫(x²+y²)dxdy∫dz=∫∫(x²+y&
原式=∫xdx∫dy∫dz=∫xdx∫(1-x-2y)dy=∫x[(1-x)²/4]dx=1/4∫(x-2x²+x³)dx=(1/2-2/3+1/4)/4=1/48.
累次积分,投影到xoy面上,先对Z积分,积分限（0,xy),再对y积分（0,x),x积分（0,1）=1/28*13
原式=∫dz∫dy∫xdx=∫dz∫(1/2)(1-y-z)^2dy=(1/2)∫dz∫[(1-z)^2-2(1-z)y+y^2]dy=(1/6)∫(1-z)^3*dz=(1/6)∫(1-3z+3z^2-z^3)dz=(1/6)(z-3z^2/2+z^3-z^4/4)|=(1/6)(1-3/2+1-1/4)=1/24.
就用直角坐标计算 再答： 再问： ∫(0,1)x dx∫(0,1-x) dy∫(0,1-x-y) dz 我这么算 怎么我算到1/8的 ? 再答： 不是被积函数是xy么再问： ∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy∫(0,1-x-y) dz =∫(0,1)x dx∫(0,1-x) y dy (1-x-y)=∫(0
题目中z=0表示的就是xoy平面,画个大概的立体图容易知道,此时所求的区域在Z正半轴,Z>0,当x=y且z=xy时,x=y=0,x=1是x的积分上限,若被积区域在x>1的范围,就不能构成封闭的积分区域.因此断定x从0到1.
原式=∫(0,4)dz∫∫(Dz)zdxdy=∫(0,4)zdz∫∫(Dz)dxdy=∫(0,4)z×πz^2dz=π∫(0,4)z^3dz=π×1/4×z^4|(0,4)=64π其中Dz:x^2+y^2≤z^2 再问： 谢谢你。再问： 老师，请问我可以再问您个问题吗？ 再答： 重新网页去求助，看看有没有人能答。再问：
XOY面上的圆周X^2+Y^2=aX围成的闭区域是一个圆,如果不加附件条件的话,加上Z坐标,空间图形就是一个圆柱.现在加上一个条件Z=X^2+Y^2,则我们可得Z=aX,则空间图形在X0Z平面上是一条直线.综上可知,这个空间图像的俯视图为一个直径为a的圆,而正视图为一个直角低为a,直角高为a^2的直角三角形.明显这个曲第十三讲&&三重积分、曲线、曲面积分及场论初步
（领先考研数学暑期讲义以及答案）
第一部分&& 三重积分
一、 三重积分的概念与性质（类似二重积分
二、三重积分的计算
&1） 直角坐标下计算三重积分
（i）“先一后二”法
（ii）：“先二后一”法(适用于旋转体或垂直于某轴的截面的面积为已知的情形2）
柱面坐标下
3）球面坐标系下
三、三重积分的对称性
& 1） 对称性& 若
关于xoy(z=0)平面对称，而 是 中对应于 的部分，则
关于xoz或yoz平面对称时，也有类似的结果.
&& 2） 轮换对称性
若 为： ，（或
四、重积分的应用**
1 曲面的面积 ，S=
2 质量&&& （其中
为密度函数，下同）
3 重心& ， ，
4 转动惯量&
5 引力：空间立体 对位于点 处的单位质点引力
五、典型题型与例
例1 化 为三次积分，其 中W为 及 &所围成的闭区域
例2 计算 , 其中W为平面曲线
&绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。
例3* 计算 , 其中W是由圆柱面 ,旋转抛物面 所围成的区域。
例5 计算& &&，其中W
是由 &和 &所围空间闭区域。
例6* 设密度为1的立体 由不等式 表示，试求 绕直线x=y=z的转动惯量.
[分析] 点 到直线 的距离为
[解] 质点m对直线L的转动惯量为 ，d是质点到L的距离. 上任意点(x,y,z)到直线L的距离的平方
所求转动惯量为
例7* 设f(u)具有连续的导数，f(0)=0,求
第二部分 曲线、曲面积分及场论初步
一、 考试内容与要求
(一) 两类曲线积分
&1 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即
2对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
(1) 定义：&
(2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即
&2) 可加性
注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。
3 两类曲线积分之间的联系
是有向曲线弧L的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L的方向一致。
(2)与（1）类似：
(二) 两类曲面积分
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)（07考）
(1) 定义：
(2) 性质：1) 与曲面 的侧面选择无关，即，其中－ 为曲面 的另一侧
&&&&&&&&&&2)可加性
&&&&&&&&&&&&&&&&
2对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
&& (1) 定义：
&& (2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
两类曲面积分之间的联系
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中 为曲面 在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。
(三) 场论初步
设三元函数 在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L的方向余弦为 ，则
梯度(gradu)
设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad
& 注：沿梯度方向的方向导数为
散度(div )
&&& 设 , 则
旋度(rot )
&&& 设 , 则
设有向量场 ，F沿定向曲面S的流通量为
&&&&&&&&&&
二、 重要公式与结论
1& 格林公式
设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则
&&&&&&&&&&
其中L是D的边界曲线且取正向。
注： P,Q及其一阶偏导数要求连续，
‚ L封闭且取正向(沿L前进时域D总在左手边)。
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在闭区域W上具有一阶连续偏导数，
其中 是闭域W的边界曲面的外侧。
注： P,Q,R及其一阶偏导数要求连续，
‚ 应取外侧。
斯托克斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面 所张成的空间域W内有一阶连续的偏导数，L为曲面
的边界曲线，则
其中曲线L的方向与曲面 所取侧的法线方向满足右手法则。
平面曲线积分与路径无关的四个等价条件
设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则
&L为D中任一简单分段光滑封闭曲线&U
存在函数u(x,y)，(x,y)&ID, 使du(x,y)=Pdx+Qdy, 此时
，它与路径无关&U
是全微分方程，此时期通解为 。
三、 典型题型与例题
重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！
题型1 对弧长的曲线积分的计算方法
&&& 方法： ,
(注：a&b), 则
&&&&&&&&&&&&
&&& 特别有 ‚
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&注：第一类曲线积分具有对称性：
1）& 设L关于x=0对称，则
&&&&&&&&&&&&&&&&
L1是L的右半部分
2）& 设L关于y=0对称，则
3）& 轮换对称性：若x与y互换，L不变，则
例1 （理工P249例8、5）计算
例2（理工P250例8、8） 计算
例3 已知连续函数 ，求 ，其中 为 与 的交线。
题型2 对坐标的曲线积分的计算方法
&&& 方法：
&&& 
参数法& 设L: x=x(t), y=y(t),& t: ,
注意特例：L: x=x, y=y(x),& 或L: x=x(y), y=y
‚ 格林公式
&&&注意含奇点的处理！
&&& ƒ
若L不闭，加边L1，使L+L1闭合，再用格林公式：
,& 注意L1的方向！
&&& „ 若
，则可用积分与路径无关求解
注：空间曲线积分常用方法：参数法或Stokes公式，但参数法往往更简单。
例4 （理工P250例8、9） 计算
&&&&&&&&&&
例5 &（理工P250例8、10）计算
其中L是以(1,0)为中心，半径为R(&0,R¹1)的正向圆周。
比较（07-1）：设曲线 过第二象限点M和第四象限N，
是L上从M到N的一段弧，则下列积分小于0的是[&&&&
A ，& B ， C ， D
例6 （04数1）计算
其中L为正向圆周 在第一象限的部分。
[解] （三种方法）
比较*（08-1）计算曲线积分 , 其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点 的一段.
【详解1】 =
【详解2】 添加x轴上从点 到点(0,0)的直线段 ,
D为L与 围成的封闭区域, 则
【评注】封闭曲线 取负向, 所以用格林公式时应注意前面取负号.
&例7 （理工P251例8、12）计算
其中L为自点A(-1,0)沿 至B(2,3)的弧段。
例8* 设函数f(x,y)在区域D： 上有二阶连续偏导数，且
其中 是半径为r的圆.
例9 （理工P252例8、15）（逆问题) 已知曲线积分 ，其中
是非负可导函数且 , L是绕原点(0,0)一周的任意正向闭曲线，试求出 及A.
&例10*(逆问题)设x&0时f(x)连续可微，且f(1)=2,对右半平面(x&0)内任意闭曲线C有
& 1）求f(x);&
2)计算 &其中L是由A(1,0)到B(2,3)的一段弧
1）由题设，得
由 &解得 &
2）因积分与路径无关， 选取沿 路径
&例11* 已知 ，试确定 使方程
成为全微分方程，并求上述方程满足初始条件 的特解.
[解] ， ，
即&&&&&&&&
令 ，则&&&
对应齐次方程组的通解为&&
设特解为 ，
即有&&&&&&&&&
由 ，得& &故
&题型3 对面积的曲面积分的计算
计算步骤：
& &注：第一类曲面积分具有对称性：
设Σ关于x=0对称，则
&&&&&&&&&&&&&&&&&
Σ1是Σ的 部分
类似地有关于y=0,z=0的对称性情形
轮换对称性：若x，y，z互换，Σ不变，则
例12 设有曲面 ,它的面密度为 ,求它的质量.
例13* （理工P254例8、19）计算曲面积分 ，其中 为球面：
[解] 由对称性有
题型4 对坐标的曲面积分的计算方法
 直接利用与第一类曲面积分的关系
‚矢量点积法（投影轮换法）
设 &, 则 的法矢量为 , 于是由上述公式知
若题设 的侧与 一致取正，否则取负。
注：若投影为xoy平面上一条直线，则
ƒ 利用高斯公式
&1) 闭，且P、Q、R有连续一阶偏导
&2) 非闭+ 为闭，则
注意侧的选择
例14（理工P257例8、24） 计算 ，其中 是锥面
被平面z=1和z=2所截出部分的外侧。
比较 * （i）（07-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。（答案： ）
（ii）（08-1）求 ，其中 是曲面 的上侧。 （答案： ）
（iii） (98数1) 计算 ，其中 为下半球面 的上侧，a为大于0的常数。
[解] 先化简补 &,
其法向量与z轴正向相反，从而得
例15 &设 ，求积分，其中 是向量场 的旋度，S是锥面
在xoy平面上方的部分，单位法向量 指向锥外.
例16* 设对于半空间x&0内任意的光滑有向封闭曲面S
,都有其中函数f(x)在(0,+&)内具有连续的一阶导数，且 求f(x).
[解] 由题设和高斯公式得其中 为S围成的有界闭区域，
号对应曲面取外侧或内侧。由S的任意性，知 && . 即 ，
这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为
由于& 故必有 ，即C+1=0，从而C= -1.
因此有&&&&&&&
例17 计算 ，其中
是球面： 外侧，
是不含原点在其内部的光滑闭曲: 外侧，
是含原点在其内部的光滑闭曲面: 外侧
例18*．设 是以 为边界的光滑曲面，试求连续可微函数 使曲面积分
& 与曲面 的形状无关。
解：以 为边界任作两个光滑曲面 ， 的法向量指向同一侧。记 为 所围闭曲面，取外侧， 所围区域为口。依题意 ，(
由高斯定理
==〉 &==〉 &
第三部分&&&&&
多元函数的在几何上的应用
1& 方向导数与梯度
设z=f(x,y,z), 单位方向向量
则方向导数：&
&&&&&梯度：
&&& 注：①
为方向导数的最大值。
&&&&②
2& 空间曲线G的切线和法平面
如果 在 处可微，则L在 的切线：
&&& 法平面：
空间曲面S：F(x,y,z)=0 的切平面和法线
函数 在 处可微 S在点 存在切平面和法线，并且 过点 的切平面：
例1* 过曲面 上点 处的指向外侧的法向量为 ,求函数 在点P0处沿方向
的方向导数.
[解]& F(x,y,z)= ,
外法线方向余为
例2*设函数f(x,y)在点（0，0）附近有定义，且 ，则
（B） 曲面z=f(x,y)在点(0,0,f(0,0))的法向量为{3,1,1}.
（C） 曲线 在点(0,0,f(0,0))的切向量为{1,0,3}.
在点(0,0,f(0,0))的切向量为{3,0,1}.&&&&&&&
题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A）；至于(B),(C),(D)则需要通过具体的计算才能进行区分，令F(x,y,z)=z-f(x,y)
因此过点(0,0,f(0,0))的法向量为±{-3,-1,1}，可排除(B)；曲线 可表为参数形式：
，其在点(0,0,f(0,0))的切线方向向量为 ，故正确选项为（C）.
【注】 由于存在偏导数并不一定能保证函数可微分，因此，不一定能保证曲面z=f(x,y)在相应点
处存在切平面，因此即使将选项(B)换为法线向量（3，1，-1）或（-3，-1，1），选项(B)依然为错。
例3* 求椭球面 上某点M处的切平面 的方程，使平面 过已知直线
[解] 令 ，则
椭球面在点 处的切平面 的方程为
因为平面 过直线L,故L上的任两点，比如点 应满足 的方程，代入有 &又因
&&&&&&&&&&&
联立求解以上三个方程，得到 & &故所求切平面
的方程为& x+2z=7 和 x+4y+6z=21.
例4* 求曲面 平行于平面2x+2y-z=0的切平面方程.
[解] 令 ，则 &设切点为 ，则切平面方程为
它与题给平面平行，有
&&&&&&&&&&
由此得切点坐标为 &故所求切平面方程为2x+2y-z-3=0.
&例5* 确定常数 ，使在右半平面x&0上的向量
为某具有连续二阶偏导二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).
【分析】 平面单连通区域内向量场 为某二元函数u(x,y)的梯度，相当于有 ，从而 ，由此可定出
在此基础上，根据积分与路径无关可得
[解] 令 ， ，由题设，有
可见，当且仅当 时，所给向量场是梯度场.
在x&0的半平面内任取一点，比如(1,0)作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有
= &其中C为任意常数.
【评注】 向量场 是梯度场 =
是全微分方程
&& 积分 与路径无关
例6* 设直线 在平面 上，而平面 与曲面： 相切于点(1,-2,5)，求a,b之值.
[解] 在点(1,-2,5)处曲面的法向量 ，故切平面即平面 的方程为
2x-4y-z-5=0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
直线 的方向向量为
由于直线&&&&&&&&
在平面 上，故满足式(2)和式(3)的x,y,z必满足式(1). 实际上，式(2)加式(3)得
&&&&&&&&&&&&&&&
2x-4y-z+b-3=0,
与式(1)比较，得b-3=-5，即b=-2
第一部分&& 三重积分
一、 三重积分的概念与性质（类似二重积分）
二、三重积分的计算
&1） 直角坐标下计算三重积分
（i）“先一后二”法
（ii）：“先二后一”法(适用于旋转体或垂直于某轴的截面的面积为已知的情形
2） 柱面坐标下
3）球面坐标系下
三、三重积分的对称性
& 1） 对称性& 若
关于xoy(z=0)平面对称，而 是 中对应于 的部分，则
关于xoz或yoz平面对称时，也有类似的结果.
&& 2） 轮换对称性
若 为： ，（或
四、重积分的应用**
1 曲面的面积 ，S=
2 质量&&& （其中
为密度函数，下同）
3 重心& ， ，
4 转动惯量&
5 引力：空间立体 对位于点 处的单位质点引力
五、典型题型与例题
例1 化 为三次积分，其 中W为 及 &所围成的闭区域
&例2 计算 , 其中W为平面曲线
&绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。
&例3* 计算 , 其中W是由圆柱面 ,旋转抛物面
所围成的区域。
例5 计算& &&，其中W
是由 &和 &所围空间闭区域。
例6* 设密度为1的立体 由不等式 表示，试求 绕直线x=y=z的转动惯量.
[分析] 点 到直线 的距离为
[解] 质点m对直线L的转动惯量为 ，d是质点到L的距离. 上任意点(x,y,z)到直线L的距离的平方
所求转动惯量为
例7* 设f(u)具有连续的导数，f(0)=0,求
第二部分 曲线、曲面积分及场论初步
一、 考试内容与要求
& &(一) 两类曲线积分
对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
&& (1) 定义：
&& (2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即
&&&&&&&&&&&
2对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
&& (1) 定义：
&& (2) 性质：1)
与积分路径的方向有关，即&&&
注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。
两类曲线积分之间的联系
是有向曲线弧L的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L的方向一致。
&& (2)与（1）类似：
&(二) 两类曲面积分
对面积的曲面积分(第一类曲面积分)（07考）
&& (1) 定义：
&& (2) 性质：1) 与曲面 的侧面选择无关，即
，其中－ 为曲面 的另一侧
&&&&&&&&&&
2)可加性 ,
&&&&&&&&&&&&&&&&
2对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
&& (1) 定义：
&& (2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&
两类曲面积分之间的联系
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中 为曲面 在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。
(三) 场论初步
设三元函数 在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L的方向余弦为 ，则
梯度(gradu)
设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad
& 注：沿梯度方向的方向导数为
散度(div )
&&& 设 , 则
旋度(rot )
&&& 设 , 则
设有向量场 ，F沿定向曲面S的流通量为
&&&&&&&&&&
二、 重要公式与结论
1& 格林公式
设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D上连续，则
&&&&&&&&&&
其中L是D的边界曲线且取正向。
注： P,Q及其一阶偏导数要求连续，
‚ L封闭且取正向(沿L前进时域D总在左手边)。
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在闭区域W上具有一阶连续偏导数，
其中 是闭域W的边界曲面的外侧。
注： P,Q,R及其一阶偏导数要求连续，
‚ 应取外侧。
斯托克斯公式
设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面 所张成的空间域W内有一阶连续的偏导数，L为曲面
的边界曲线，则
其中曲线L的方向与曲面 所取侧的法线方向满足右手法则。
平面曲线积分与路径无关的四个等价条件
设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导数，则
&L为D中任一简单分段光滑封闭曲线&U
存在函数u(x,y)，(x,y)&ID, 使du(x,y)=Pdx+Qdy, 此时
，它与路径无关&U
是全微分方程，此时期通解为 。
三、 典型题型与例题
重要提示：计算线面积分之前，应尽可能把曲线、曲面方程先代入被积函数进行化简，但转化为格林公式或高斯公式后，却不能再代入计算！
题型1 对弧长的曲线积分的计算方法
&&& 方法： ,
(注：a&b), 则
&&&&&&&&&&&&
&&& 特别有 ‚
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&& 注：第一类曲线积分具有对称性：
1）& 设L关于x=0对称，则
&&&&&&&&&&&&&&&&
L1是L的右半部分
2）& 设L关于y=0对称，则
&&&&&&&&&&&&&&&&
L1是L的上半部分
3）& 轮换对称性：若x与y互换，L不变，则
已投稿到：微积分中，一重积分和二重积分都可以求面积，而二重积分和三重积分都可以求体积，它们之间有什么不同？ - 知乎23被浏览<strong class="NumberBoard-itemValue" title="分享邀请回答65 条评论分享收藏感谢收起3添加评论分享收藏感谢收起写回答三重积分和线面积分_百度文库
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