（2009?怀柔区二模）如图所示，小灯泡上标有“4V 1W”，滑动变阻器的阻值范围是0～24Ω，定值电阻R1=30Ω_百度知道
（2009?怀柔区二模）如图所示，小灯泡上标有“4V 1W”，滑动变阻器的阻值范围是0～24Ω，定值电阻R1=30Ω
（2009?怀柔区二模）如图所示，小灯泡上标有“4V 1W”，滑动变阻器的阻值范围是0～24Ω，定值电阻R1=30Ω，电流表的量度范围是0～0.6A，电源电压不变．求：（1）小灯泡正常发光时，通过灯丝的电流是多少；（2）断开开关S1、S2，移动滑动变阻器的滑片P，使它连...
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解：（1）根据P=UI可得：小灯泡正常发光时，通过灯丝的电流I额=额U额==0.25A，根据欧姆定律可得：灯泡的电阻RL=额I额==16Ω；（2）当S1、S2断开时，等效电路如图1所示：灯泡的实际功率PL=L==×1W，解得：UL=3V，∵R接入电路的阻值为总阻值的，∴R=×24Ω=16Ω，∵串联电路各处的电流相等，∴LRL=RR，即=R16Ω，解得：UR=3V，电源的电压U=UL+UR=3V+3V=6V；（3）当S1、S2闭合时，等效电路如图2所示：当滑动变阻器接入电路的电阻为24Ω时，消耗的最小功率：Pmin=2R′&=224Ω=1.5W，∵并联电路各支路独立工作、互不影响，∴通过定值电阻R1的电流I′大小不变，即I′=1==0.2A，∵并联电路干路电流等于各支路电流之和，且电流表允许通过的最大电流I为0.6A，∴通过滑动变阻器的最大电流I2=I-I′=0.6A-0.2A=0.4A，滑动变阻器最大功率Pmax=UI2=6V×0.4A=2.4W．答：（1）小灯泡正常发光时，通过灯丝的电流是0.25A；（2）电源电压是6V；（3）闭合开关S1、S2，
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。如图所示是小明同学安装的家用调光台灯电路图，灯泡上标有“P2220-40”字样，滑动变阻器的最大阻值为1210_百度知道
如图所示是小明同学安装的家用调光台灯电路图，灯泡上标有“P2220-40”字样，滑动变阻器的最大阻值为1210
如图所示是小明同学安装的家用调光台灯电路图，灯泡上标有“P2220-40”字样，滑动变阻器的最大阻值为1210Ω，
求：(1)该灯泡正常发光时的电阻和电流； (2)该灯泡两端的最小电压；(3)该灯泡功率的调节范围．（不计温度对灯丝电阻的影响）
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分析：（1）已知额定电压和额定电功率，可以利用公式R=
计算电阻和电流；（2）要想让灯泡两端的最小电压，电路中的电流应达到最小，因此滑动变阻器连入电路中的电阻最大，先利用公式I=
计算出电路中的最小电流，再利用公式U=IR计算电压．（3）灯泡正常发光时的功率为最大功率，已求出灯泡的电阻和通过灯泡的最小电流，可利用公式P=I 2 R计算最小电功率．（1）小灯泡的电阻为：R 灯 =
=1210Ω，小灯泡正常工作时的电流为：I=
A=0.18A．答：该灯泡正常发光时的电阻为1210Ω、电流为0.18A．（2）当滑片在最右端时电路中电阻最大，电流最小，I min =
A，U min =I min R 灯 =
A×1210Ω=110V．答：灯泡两端的最小电压为110V．（3）最大功率为：P max =40W，最小功率为：P min =I 2
min R 灯 =(
A) 2 ×1210Ω=10W．答：台灯功率的可调节范围是10W～40W．
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。C++程序，为什么声明了i,j,max是全局变量，for 语句里赋了初值，最后输出的乱七八糟的_百度知道
C++程序，为什么声明了i,j,max是全局变量，for 语句里赋了初值，最后输出的乱七八糟的
题目： 有一个3×4的矩阵，要求编写程序求出其中值最大的那个元素的值，以及其所在的行号和列号，
#include &iostream&
int main(){
int a[3][4];
cout&&&请输入十二个元素&&&
i=0;i&3;i...
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{int m=0,n=0;/*定义和循环变量不同的变量，表示最大值的位置，避免反复查找 */ max=a[0][0];/* 这条语句要写在循环外边，或者初始化表达式中
i=0;i&3;i++){for(
j=0;j&4;j++){cin&&a[i][j];/*max=a[0][0];
谁告诉你这条语句要写在循环与据内部的
if(a[i][j]&max){
max=a[i][j];m=i;n=j;}}} cout&&max&&&它在第&&&m+1&&&行&&&&第&&&n+1&&&列&&&}
max的问题我懂了，那i,j为什么不行啊，为什么要再定义与循环变量不一样的量呢？什么叫反复查找啊？求解释，谢谢。。。我这学期才开的C++课，学的糊里糊涂的。。。。
如果不定义变量表示max 的位置，那么只能找到max 的数值。i, j 是循环变量，必定要找完每一个元素，才能得到最大值。最后必然会有i==3；j==4；只有当这个时候循环才会结束。max 的位置信息，在这个过程中就丢失了。反复查找：
只有再比较一下哪个元素的值，等于max 才能知道，最大值在哪个位置。这第二次查找就是反复查找；这其实和C++关系不大，这是数学问题。只有一个一个比较，才知道谁最大，只有记录才能够得到位置。不然循环变量会达到他的最大值，每一个元素都有可能是最大值。不可能一定是a[2][3];i=2;j=3;循环退出时 i=3,j=4for(
i=0;i&3;i++)｛
j=0;j&4;j++)
｝｝for（e1;e2;e3）｛s;｝ 循环3个表达式，和循环内部语句s;的执行顺序是1）e1 ; //先执行e1 初始化表达式，通常用来给循环变量赋值 2） 然后执行e2 条件表达式,符合条件（e2值为非 0) 执行 3）不符合 退出循环3） 执行循环语句
执行自增表达式e3 通常为 i++;i+=2这样的语句5）回到第二步重复执行2），3），4）循环退出后，执行其他语句 for 循环的流程图（内部没有continue,break,return，goto 等流程控制语句和exit等函数）
&--e2==0--&---+
+ -------------+
+-------------------------+
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#include&&iostream&using&namespace&int&main(){int&a[3][4];int&max,k1=0,k2=0;int&i;int&j;&cout&&"请输入十二个元素"&&for(&i=0;i&3;i++)&for(&j=0;j&4;j++)&&cin&&a[i][j];//先输入数据&&max=a[0][0];&&for(&i=0;i&3;i++)//输入完数据后再比较&for(&j=0;j&4;j++)&&if(a[i][j]&max)&&{&&&max=a[i][j];&&&k1=i+1;//记下最大值的下标&&&k2=j+1;&&}&cout&&max&&"它在第"&&k1&&"行"&&"第"&&k2&&"列"&&&return&0;}
#include &iostream&int main(){int a[3][4];int max = -999;//给max一个很小的初值//定义一个变量用来存储最大值的行//定义一个变量用来存储最大值的列cout&&&请输入十二个元素,输入一个数字后按Enter键再输入下一个&&&for(int i=0; i&3; i++){
for(int j=0; j&4; j++)
cin&&a[i][j];
if(a[i][j]&max)
max=a[i][j];//如果输入的值比max当前值大，记住这个值
c =//记住这一行
d =//记住这一列
}}cout&&max&&&它在第&&&c+1&&&行&&&&第&&&d+1&&&列&&&//把记住的最终的行、列输出来return 0;}
因为你的逻辑有问题 而且这样看 你的max永远等于第一行第一个数
是吗？后面那个if语句没起作用吗？不是后来有比较再赋值吗？
你再看看。。。每次循环都会重新把a[0][0]赋值给max。
我也是新手。你应该用到class 或者 struct 或者 &vector&。
看不懂你为什么每次进入第二层循环的时候为什么都要把二维数组第一个元素赋值给max，这样你只是把二维数组第一个数和最后一个数比较而已啊，（我觉得是这样的），还有弄不懂为什么你在最后还要把i和j加1跳出循环的时候他们已经加了啊，你是不是觉得数组从零开始就一定会少1？不是有++吗？
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电工基础(2、3)
电工基础樊Z主要内容第二单元 电路的基本概念和基本定律电路和电路模型 电路的基本物理量 电阻元件 电压源和电流源基尔霍夫定律2.1电路和电路模型电路是电流的通路1、电路的组成及其功能? 电路的概念由实际元器件构成的电流的通路称为电路。1、电路的组成及其功能? 电路的组成电源火线 零 线..连接导线和其余 设备为中间环节 负载电路通常由电源、负载和中间环节三部分组成。1、电路的组成及其功能? 电路的功能电力系统中电路可以实现电能的传输、分配和 转换。电子技术中电路可以实现电信号的传递、变换、 存储和处理。2、电路模型中间环节 S 开关 电 源 负 载 R0 I+RL U+_连接导线USC负载实体电路电源电路模型用抽象的理想电路元件及其组合，近似地代替实 际的器件，从而构成了与实际电路相对应的电路模型。3、理想元件? 理想电路元件+R L C C US IS电阻元件 只具耗能 的电特性电感元件 只具有储 存磁能的 电特性电容元件 只具有储 存电能的 电特性理想电压源 输出电压恒 定，输出电 流由它和负 载共同决定理想电流源 输出电流 恒定，两端电 压由它和负载 共同决定。理想电路元件是实际电路器件的理想化和近似化，其电 特性单一、精确，可定量分析和计算。注意5种基本理想电路元件有三个特征：（a）只有两个端子； （b）可以用电压或电流按数学方式描述； （c）不能被分解为其他元件。3、理想元件? 电路元件按照其与电路其他部分相连接的端钮 数，可以分为二端元件和多端元件。二端元件 通过两个端钮与电路其他部分连接；多端元件 通过三个或三个以上端钮与电路其他部分连接。电路由哪几部分 组成？各部分的 作用是什么？ 何谓理想电路元件？ 其中“理想”二字在 实际电路的含义？如何在电路 中区分电源 和负载？试述电路的功 能？何谓“电 路模型”？理想元件有何 特征？学好本课程，应注意抓好四个主要环节：提前预习、 认真听课、及时复习、独立作业。还要处理好三个 基本关系：听课与笔记、作业与复习、自学与互学。2.2 电路的物理量水泵 水 位 差 水流高水位水 位 差 水 压电 位 差 （ 电 压 )( ) 水 流 水 泵电 流电 源2.2 电路的物理量电路中的主要物理量有电压、电流、电荷、磁 链、能量、电功率等。在线性电路分析中人们主要 关心的物理量是电流、电压和功率。1.电流的参考方向?电流 ?电流强度 带电粒子有规则的定向运动 单位时间内通过导体横截面的电荷量Δq dq i (t ) ? lim ? Δt ?0 Δt dtdef?单位?方向A（安培）、 kA、mA、?A1kA=103A1mA=10-3A 1 ? A=10-6A规定正电荷的运动方向为电流的实际方向 元件(导线)中电流流动的实际方向只有两种可能:实际方向A A 问题?B B?实际方向对于复杂电路或电路中的电流随时间变化时， 电流的实际方向往往很难事先判断。?参考方向 i A任意假定一个正电荷运动的方 向即为电流的参考方向。参考方向表明B电流(代数量) 大小 方向(正负）电流的参考方向与实际方向的关系： i A 参考方向 实际方向 B A i参考方向 实际方向 Bi&0i&0电流参考方向的两种表示：? 用箭头表示：箭头的指向为电流的参考方向。iA参考方向B? 用双下标表示： ? 如 iAB , 电流的参考方向由A指向B。AiABB2.电压的参考方向? 电位?单位正电荷q 从电路中一点移至参考点 （?＝0）时电场力做功的大小。 单位正电荷 q 从电路中一点移至另一点 时电场力做功（W）的大小。? 电压UdW U? dqdef? 实际电压方向电位真正降低的方向。? 单位V (伏)、kV、mV、?V2、电压、电位和电动势a电动势E只存 在电源内部， 其数值反映了 电源力作功的 本领，方向规 定由电源负极 指向电源正极S R0I+U RL+_bEC路端电压U。 电压的大小反映 了电场力作功的 本领；电压是产 生电流的根本原 因；其方向规定 由“高”电位端 指向“低”电位 端。电位?是相对于参考点的电压。 参考点的电位: ? b=0；a点电位：? a=E-IR0=IR2、电压、电位和电动势? 三者的定义式 W源 W a－ W b W a－ W 0 E = ? a= Uab = q q q 显然电压、电位和电动势的定义式形式相同，因此 它们的单位一样，都是伏特[V]。? 三者的区别和联系 电压等于两点电位之差： Uab=Va－Vb 电源的开路电压在数值上等于电源电动势； 电路中某点电位数值上等于该点到参考点的电压。电动势是衡量外力即非静电力做功能力 的物理量。外力克服电场力把单位正电荷从 电源的负极搬运到正极所做的功，称为电源 的电动势。dW e? dq电动势的实际方向与电压实际方向相反，规定为由负极指向正极。例ab已知：4C正电荷由a点均匀移动至b点电 场力做功8J，由b点移动到c点电场力 做功为12J， ① 若以b点为参考点，求a、b、c点的电 位和电压Uab、Uc解(1)② 若以c点为参考点，再求以上各值。?b ? 0Wab 8 ?a ? ? ?2V q 4 U bc ? ? b ? ? c ? 0 ? ( ? 3) ? 3 V Wcb Wbc 12 ?c ? ?? ? ? ? ?3 V q q 4U ab ? ? a ? ? b ? 2 ? 0 ? 2 V解(2)?c ? 0abWac 8 ? 12 ?a ? ? ?5V q 4 Wbc 12 ?b ? ? ?3V q 4 U ab ? ? a ? ? b ? 5 ? 3 ? 2 V结论cU bc ? ? b ? ? c ? 3 ? 0 ? 3 V电路中电位参考点可任意选择；参考点一经选定， 电路中各点的电位值就唯一确定；当选择不同的电位参 考点时，电路中各点电位值将改变，但任意两点间电压 保持不变。问题复杂电路或交变电路中，两点间电压的实际方向往 往不易判别，给实际电路问题的分析计算带来困难 。? 电压(降)的参考方向 参考方向 U 实际方向+C+假设高电位指向低电 位的方向。 参考方向 U C 实际方向+CC+U &0U&0电压参考方向的三种表示方式：(1) 用箭头表示：U(2)用正负极性表示+(3)用双下标表示UAUABB3.关联参考方向元件或支路的u，i 采用相同的参考方向称之为 关联参考方向。反之，称为非关联参考方向。i+ u关联参考方向iu非关联参考方向+例＋iBAu－注意电压电流参考方向如图中所标， 问：对A、B两部分电路电压电 流参考方向关联否？ 答：A电压、电流参考方向非关联； B电压、电流参考方向关联。(包括① 分析电路前必须选定电压和电流的参考方向 ② 参考方向一经选定，必须在图中相应位置标注 方向和符号)，在计算过程中不得任意改变③ 参考方向不同时，其表达式相差一负号，但电压、电流的 实际方向不变。想想、练练已知某电路中Uab=-5V, 试说明a,b两点哪点电 位高？电功率大的用电器， 电功也一定大，这种说 法正确吗？为什么？4电功率和能量单位时间内电场力所做的功。（1）电功率dw p? dtdw u? dqdq i? dtdw dw dq p? ? ? ui d t dq d t(2)电功(电能) W ? Pt ? UIt1J ? 1W ?1s1kWh ? 3.6 ?10 J6功率的单位：W (瓦) (Watt，瓦特) 能量的单位：J (焦) (Joule，焦耳)（2） 电路吸收或发出功率的判断? u, i 取关联参考方向+ u i uP=ui P&0 吸收正功率(实际吸收)负载 P&0 P =-ui P&0 吸收正功率(实际吸收)负载吸收负功率(实际发出)电源? u, i 取非关联参考方向i+P&0 吸收负功率(实际发出)电源例+I1+U1 － + 1－ U4 4 + U3 3 － I2U6 － 6 + U5 5 － I32 U2－ +求图示电路中各 方框所代表的元件吸 收或产生的功率。已知： U1=1V, U2= -3V，U3=8V, U4= -4V, U5=7V, U6= -3V，I1=2A, I2=1A,，I3= -1A已知： U1=1V, U2= -3V，U3=8V, U4= -4V, U5=7V, U6= -3V，I1=2A, I2=1A,，I3= -1A + I1 + 2 U2 － + U3 3 U1 － + 1 － U4 4 U6 － 6 + U5 5 － I3解: P1 ? U 1 I 1 ? 1 ? 2 ? 2 W （发 出 ）P2 ? U 2 I1 ? ( ?3) ? 2 ? ?6 W （ 发出 ）P3 ? U 3 I 1 ? 8 ? 2 ? 16 W （吸 收 ）P4 ? U 4 I 2 ? ( ?4) ? 1 ? ?4 W （ 发出 ） P5 ? U 5 I 3 ? 7 ? ( ?1) ? ?7 W （ 发出 ）P6 ? U 6 I 3 ? ( ? 3) ? ( ? 1) ? 3 W （ 吸 收 ）+－I2注意对一完整的电路，满足：发出的功率＝吸收的功率想想、练练已知某电路中Uab=5V,试说明a,b两点哪 点电位高？一个元件的功率为 P=100W，试讨论关联与 非关联参考方向下，该 元件吸收还是发出功率？想想、练练I22+U2++U1 1I1U3 3I3如图所示的电路中有三个元件。电流、电压的参考方向如图中箭头所示， 实验测得： I1=3A,I2=-3A,I3=-3A,U1=-120V,U2=70V,U3=-50V 试指出各元件电流、端电压的实际方向，计算元件的功率，并指出哪个 元件吸收功率，哪个元件发出功率。2.3 电阻元件是电路中最基本的组成单元。 1. 电路元件 5种基本的理想电路元件： 电阻元件：表示消耗电能的元件 电感元件：表示产生磁场，储存磁场能量的元件电容元件：表示产生电场，储存电场能量的元件 电压源和电流源：表示将其它形式的能量转变成 电能的元件。注意如果表征元件端子特性的数学关系式是线性关系， 该元件称为线性元件，否则称为非线性元件。2.3.1 电阻元件1.定义电阻元件 对电流呈现阻力的元件。其特性可 用u～i平面上的一条曲线来描述： u 伏安 特性 i 0f (u , i ) ? 02.线性时不变电阻元件任何时刻端电压与电流成正比的电阻元件。 R ? 电路符号? u～i 关系u ? Ri R ? u i i ? u R ? Guu、i 取关联 参考方向满足欧姆定律 u 0 R i伏安特 性为一 条过原 点的直 线i+? 单位u－R 称为电阻，单位：? (Ohm) G 称为电导，单位：S (Siemens)注意欧姆定律①只适用于线性电阻( R 为常数）；②如电阻上的电压与电流参考方向 非关联，公式中应冠以负号； ③说明线性电阻是无记忆、双向性 的元件。 i R则欧姆定律写为u+i ? CG uu ? CR i公式和参考方向必须配套使用！ 无特殊说明一般均使用关联参考方向3.功率和能量?功率iR+iuR+p ? u i? i2R ?u2 / Rp ? -u i? -(-R i) i?i2 R ? u2/ R-u表明 电阻元件在任何时刻总是消耗功率的。?能量从 t0 到 t 电阻消耗的能量：WR ? ?t pdξ ? ?t uidξ4.电阻的开路与短路?0 0ttu0 i开路uuii Ri?0?u?0+ +R ? ? or G ? 0短路 0CCu ii?0 u?0 R ? 0 or G ? ?实际电阻器2.4 电压源和电流源1.理想电压源?定义 其两端电压总能保持定值或一定 的时间函数，其值与流过它的电 流 i 无关的元件叫理想电压源。 i + _?电路符号uS?理想电压源的电压、电流关系① 电源两端电压由电源本身决定，与外电路无关；与流经 它的电流方向、大小无关。 u ② 通过电压源的电流由电源及外电 路共同决定。uSi直流电压源 的伏安关系例+iuS R 外电路uS i? 0 R i ? 0 (R ? ?)i ? ? ( R ? 0)电压源不能短路！?电压源的功率 iP ? uSi①电压、电流参考方向非关联；电流（正电荷 ）由低电位向高 物理意义： 电位移动，外力克服电场力作功，电源发出 功率。uS_iuS_+u+++_P ? uS i发出功率，起电源作用②电压、电流参考方向关联；u物理意义：电场力做功，电源吸收功率_P ? uS i吸收功率，充当负载例计算图示电路各元件的功率 解： u R ? (10 ? 5) ? 5 VuR 5 i ? ? ? 1A R 55V发出 吸收 吸收P10V ? u S i ? 10 ? 1 ? 10 W P5V ? u S i ? 5 ? 1 ? 5 WPR ? Ri ? 5 ? 1 ? 5 W2满足：P（发）＝P（吸）+ +i_ uR +R ? 5Ω_10V2.理想电流源?定义其输出电流总能保持定值或一定的 时间函数，其值与它的两端电压u 无关的元件叫理想电流源。?电路符号iS+ u_?理想电流源的电压、电流关系①电流源的输出电流由电源本身决定，与外电路无 关；与它两端电压方向、大小无关。u②电流源两端的电压由电源及外电路共 同决定。 直流电流源的iSi例伏安关系0+uiSRu ? RiSu ? 0 ( R ? 0)外电路u ? ? (R ? ?)电流源不能开路！实际电流源的产生：可由稳流电子设备产生，如晶体管的集电极电流与负载无关； 光电池在一定光线照射下光电子被激发产生一定值的电流等。?电流源的功率P ? uiSiS①电压、电流的参考方向非关联；②电压、电流的参考方向关联；iSP ? uiS吸收功率，充当负载+P ? uiS发出功率，起电源作用+u_u_例解+i ? ? iS ? ? 2 A5V u发出P2 A ? iS u ? 2 ? 5 ? 10 WP5V ? u S i ? 5 ? ( ? 2 ) ? ? 10 W 发出满足：P（发）＝P（吸）+_计算图示电路各元件的功率i2A实际电源1. 干电池和钮扣电池（化学电源）干电池电动势1.5V，仅取决于（糊状）化学材料，其大小决定储存的能量，化学反应不可逆。钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学反应不可逆。干电池钮扣电池2. 燃料电池（化学电源）电池电动势1.23V。以氢、氧作为燃料。约40-45%的化学 能转变为电能。实验阶段加燃料可继续工作。氢氧燃料电池示意图3. 太阳能电池（光能电源）一块太阳能电池电动势0.6V。太阳光照射到P-N结上， 形成一个从N区流向P区的电流。约 11%的光能转变为电 能，故常用太阳能电池板。 一个50cm2太阳能电池的电动势0.6V,电流0.1A太阳能电池示意图太阳能电池板4. 蓄电池（化学电源）电池电动势2V。使用时，电池放电，当电解液浓度小 于一定值时，电动势低于2V，常要充电，化学反应可逆。蓄电池示意图直流稳压源 变频器频率计函数发生器发电机组草原上的风力发电2.5 基尔霍夫定律比较以下两个电路的不同1.电路中只有1个电源 2.可以用电阻的串并联化简1.电路中有2个电源 2.不能用电阻的串并联化简分析方法分析方法基尔霍夫简介古斯塔夫? 罗伯特? 基尔霍夫 （Gustav Robert Kirchhoff，1824 ―1887 ） 德国物理学家，柏林科学院院士?1847年发表的两个电路定律 （基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流 定律）， 发展了欧姆定律，对电路理论有重大 作用。基尔霍夫电流定律 （Kirchhoff 's Current Law，KCL） 基尔霍夫电压定律 （Kirchhoff 's Voltage Law，KVL)
一. 几个常用的电路名词1.支路：电路中流过同一电流的几个元件串联的分支。（b） 2.结点：三条或三条以上支路的汇集点（连接点）。（n） 3.回路：由支路构成的、电路中的任意闭合路径。(l） 4.网孔：指不包含任何支路的单一回路。网孔是回路，回路不 一定是网孔。平面电路的每个网眼都是一个网孔。(m) a + + b=3 US1 3 US2 3 _ n=2 _ 2 2 1 1 R3 l=3 R1 R2 m=2 b二、基尔霍夫电流定律(KCL)表述１：对于集总参数电路中的任一节 点，在任何时刻通过该节点所有支路电 流的代数和恒等于0a’ i1 i2a i31d34 b2对某节点(令“流出”为“＋”， “流入”为负) 表述２：对于集总参数电路中的任一节点，在任一时刻 “流出”的电流之和应等于“流入”的电流之和。对右图节点a：? i1 ? i2 ? i3 ? 0∑i＝0∑流入节点的电流＝∑流出节点的电流对右图节点a： i1 ? i3 ? i2 流入、流出以参考方向为准，而与i 自身的“＋”“－” 无关。例：7A?4Ai1?10A i2 -12A求左图示电路中电流i1、i2。4+（－7）+（－i1）= 0 解：? i = －3A 1 i1＋i2+(-10) +(-(C12))=0 ? i2=1A其中i1得负值，说明它的实际方向与参考方向相反。※有关KCL的进一步讨论 ① KCL的物理意义：体现了电荷守恒和电流连 续性；② KCL的数学意义：反映了电路的一种拓扑约束；③ KCL的适用范围很广：适用于任一集总参数电路 的任一瞬时，与元器件性质无关只与结构有关。④ 按∑i =0 列写KCL方程时，也可以设“流入”为 “＋”，相应的流出就为“-” 。注意到各电流变量 本身的值也有正、有负，即KCL涉及两套符号 。⑤ KCL的推广应用： KCL可推广应用于包围几个节点的闭合面 (称为广义节点)例：如右图,闭合面内有三个节点 1、2、3，三条支路与电路的其余 部分连接，其电流为i1、 i2 、 i3 三个节点KCL方程为i1 1 i12 2 i23 i31 3 i2 i3?i1 ? i12 ? i31 ? ?i2 ? i23 ? i12 ?i ? i ? i ? 3 31 23将三式相加：i1 ? i2 ? i3 ? 0通过任一个封闭面的电流的代数和也恒等于零。KCL的推广范围i1 i2 i3 iABi1 ? i2 ? i3 ? 0AiB二端网络的两个对外引出 端子上电流相等，一个流 入、一个流出。只有一条支路相连时： i=0。AiB三、基尔霍夫电压定律（KVL） 1．KVL 陈述： 集总电路中，在任一时刻沿任一回路绕向，构成该 回路的所有支路电压的代数和恒等于零。?uk ?1nk?0例：沿图示绕行方向有：列写KVL方程时，需要先指定回 路的绕行方向或路径的方向，且 规定参考方向与绕行方向一致的 电压变量前取正号，反之取负号。 + u1 +1u1 ? u2 ? u3 ? u4 ? 0u4+24-+u 33-u2u1 ? u2 ? u3 ? u4 ? 0移项得： u1 ? u 2 ? u3 ? u 4 故得KVL的另一种形式：++ u1 1u4+24-+u 33-u2∑u某回路某绕向上的电压降 =∑u该回路沿该绕向上的电位升2. 有关KVL的进一步讨论 ① KVL的物理意义： 体现了电压与路径无关或电压的单值性 。 ② KVL的数学意义： 反映了电路的另一种拓扑约束。 ③ KVL的适用范围也很广： 适用于所有集总参数电路的任何瞬时。 ④ KVL不仅适用于闭合回路，对不闭合的回路(闭 合节点序列)也适用。推论：电路中任意两点间的电压等于两点间任一 条路径经过的各元件电压的代数和。+ US1 _I1 US4AR2I2U2 U3I4 U 4 R3 I3A ? UAB=U2+U3 ? B UAB=US1+U1－US4 －U4R1 U1R4 BUAB 沿左和沿右计算结果相同，符合电位的单值性。 电路中任意两点的电压，与绕行路径无关；应 学会根据KVL，求任意两点间的电压。例：图示电路为复杂电路的一部分 已知： U1 ? U 6 ? 2V， 求：U5=？ a 解： KVL: U 2 ? U 6 ? U 4 ? U 5 ? U 3 ? U1 ? 0U 5 ? U 2 ? U 6 ? U 4 ? U 3 ? U1 ? ?7+U2- bU 2 ? U3 ? 3V， U 4 ? ?7V+ U5 -d例：试求a、b两点间的电压Uab 解： 回路一：+aU2- b?U 2 ? U ab ? U1 ? 0 ?U ab ? ?U1 ? U 2 ? ?2 ? 3 ? 1V或者，回路二：ab 6 4 5+ U5 -dU ?U ?U ?U ?U ? 03U ? U ?U ?U ?Uab 3 4 56? 3 ? (?7) ? (?7) ? 2 ? 1V3.只含电阻、电压源的电路KVL的另一种形式如右图：顺时针绕行，有：aR4 i4i1 R1bR1i1 ? uS2 ? R2 i 2 ? R3 i3 ? uS4 ? R 4 i 4 ? 0即? uS2i2R1i1 ? R2 i 2 ? R3 i3 ? R4 i 4 ? ? uS2 ? uS4或? uS4 ?d?R2?R ik k? ? u s （＊）i3 R3c即：沿回路绕行方向上的电阻电压降代数和等于 该方向上电压源电位升的代数和。例：求右图所示电路的I1、 I2和I3 。 解：对右侧的回路， 有：I1＋a＋I3＋6V 6V(?0.5) ? 5I 2 ? 6 ? I 2 ? 1.3mA对左侧回路列出：2kΩ- I25kΩU=-0.5V-2I1 ? 5I 2 ? 6 ? 6对节点a，由KCL：? I1 ? 3.25mA? I1 ? I 2 ? I 3 ? 0? I 3 ? 4.55mA基尔霍夫定律名称 简称 定律 内容 基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电压定律KCL在集总电路中，对于任何 节点，在任意时刻流出 （或流入）该节点的电流 代数和恒等于零。KVL在集总电路中，对于任何 回路，在任意时刻回路中 各支路电压降（或升）的 代数和恒等于零。公式 表述 定律 说明 物理 实质? i (t ) ? 0k ?1 kn?uk ?1nk(t ) ? 0可用于一个节点，也可用 可用于闭合回路,也可用 于一个闭合面。 于闭合节点序列。 是电流连续性和电荷守 是电压与路径无关和电 恒的体现 压单值性的体现例1 如图所示电路中，电阻R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,Us1=3V, Us2=1V。求电阻R1两端的电压U1。+ US1 I3 +U3- ① + U2 - I2 解：各支路电流和电压的参考 R3 方向如图。 R2 + + Ⅱ U R1 Ⅰ KVL 对回路Ⅰ应用 ，有 U S2 1 - I -U1+US2+U2=0 ① 1 ②对回路Ⅱ应用KVL，有 U3+U1-US1=0 ② I1+I2-I3=0U1 U 2 U 3 ? ? ?0 R1 R2 R3对节点①应用KCL，有 代入VCR得③由1、2、3式，解得U1=9/11V=0.8182V例2 如图所示电路中，电阻R1=0.5kΩ, R2=1kΩ,R3=2kΩ, Us=10V, 电流控制电流源的电流ic=50i1。求电阻R3两端的电压U3。i1 + US i2 ic R1 + Ⅰ U R2 2 ② ① + U3 -解：对节点①,有 i2=i1+ic=51ic 对回路Ⅰ，有 -us+R1i1+R2i2=0 代入数值得 10 i1 ? A 3 51 .5 ? 10R3R3两端的电压u3为U3=-R3ic=-2×103×50i1=-19.4V例3 如图所示，求R为何值时电流i为零。（清华大学研究生招生考试试题）a 2A 6Ω Ri解：由题意，有+ 4V 2Ωuab=4-2i=4V6R 又uab ? ?2 6? R所以R=3Ωb例4 如图，求电压u。（北京理工期末考试）解：u1=4×2=8V1 3 ? 20 ? u1 ? u 2所以 u=-77V作业
第3单元 直流电路本章重点 2.1 2.2 2.3 2.4 电阻的串联、并联和混联 电阻的Y形连接和△形连接的等效变换 两种电源模型的等效变换 支路电流法2.52.6 2.7节点电压法叠加定理 戴维南定理2.1 电阻的串联、并联和混联1.电阻串联①电路特点 i R1 Rk Rn + u1 _ + u k _ + un _ + u_(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)； (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。u ? u1 ? ? ? ? ? uk ? ? ? ? ? un②等效电阻 R1 RkiRn等效 iRe q _+ u1 _ + u k _ + un _ + u 由欧姆定律 _uu ? R1i ? ? ? RK i ? ? ? Rni ? ( R1 ? ? ? Rn )i ? ReqiReq ? R1 ? ? ? Rk ? ? ? Rn ? ? Rk ? Rk结论k ?1 n串联电路的总电阻等于各分电阻之和。+③串联电阻的分压u Rk uk ? Rk i ? Rk ? u?u Req Req 表明电压与电阻成正比，因此串联电阻电路可作分压电路。例两个电阻的分压：iR1 u1 ? u R1 ? R2R2 u2 ? u R1 ? R2+ u+ 1 u + u _- 2 ?R1R2
2. 电阻并联①电路特点 i + i1 R2i2 Rkikin Rnu _R1(a)各电阻两端为同一电压（KVL)； (b)总电流等于流过各并联电阻的电流之和(KCL)。i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in②等效电阻 i i1 + u R1 R2_ 由KCL:i i2 Rk ik Rn in + 等效 u _ Reqi = i1+ i2+ …+ ik+ …+in =u/R1 +u/R2 + …+u/Rn =u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeqGeq ? G1 ? G2 ? ? ? Gn ? ? Gk ? Gkk ?1 n结论 等效电导等于并联的各电导之和。1 1 1 1 ? Geq ? ? ? ? ? Req R1 R2 Rn③并联电阻的分流即 Req ? Rk电流分配与 电导成正比ik u / Rk Gk ? ? i u / Req GeqGk ik ? i Geq例 两电阻的分流：1 R1 ? 1 R2 R1R2 Req ? ? 1 R1 ? 1 R2 R1 ? R21 R1 R2i i1 ? i? 1 R1 ? 1 R2 R1 ? R2i R1 i1 i2 R21 R2 R1i i2 ? i? ? (i ? i1 ) 1 R1 ? 1 R2 R1 ? R2④功率 总功率p1=G1u2， p2=G2u2，?， pn=Gnu2 p1: p2 : ? : pn= G1 : G2 : ? :Gnp=Gequ2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1u2+G2u2+ ?+Gnu2 =p1+ p2+?+ pn表明 ①电阻并联时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比； ②等效电阻消耗的功率等于各并联电阻消 耗功率的总和3.电阻的串并联电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，这种连 接方式称电阻的串并联。例1 计算图示电路中各支路的电压和电流i1 5 ? i1 5 ? + i2 i3 165V 18?6?i2 i 3 6 ? 165V 18? i5 4? i4 12?+9?-i1 ? 165 11 ? 15Au2 ? 6i1 ? 6 ? 15 ? 90Vi1 5 ? + i2165V 18?i36? i5 i4 12?4?i2 ? 90 18 ? 5Ai3 ? 15 ? 5 ? 10A i4 ? 30 4 ? 7.5Au3 ? 6i3 ? 6 ? 10 ? 60V u4 ? 3i3 ? 30Vi5 ? 10 ? 7.5 ? 2.5A例2+I1I2 RI3 RI4求：I1 ,I4 ,U412V解_+ + 2R U1 2R U2 2R _ _+ 2R U4 _U 4 ? ? I 4 ? 2 R ? 3V②用分压方法做①用分流方法做 I 4 ? ? 1 I 3 ? ? 1 I 2 ? ? 1 I1 ? ? 1 12 ? ? 3 2 4 8 8 R 2RI1 ? 12 RU2 1 U4 ? ? U1 ? 3V 2 4I4 ? ? 3 2R从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：① 求出等效电阻或等效电导；② 应用欧姆定律求出总电压或总电流；③ 应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！例3ab 6? 15?c5?d求: Rab , RcdRab ? (5 ? 5) // 15 ? 6 ? 12Ω5?Rcd ? (15 ? 5) // 5 ? 4Ω等效电阻针对端口而言例420?40? a 20?求: Rab a bRab＝70?100? 10?a 20?b100?60? b 100? 60?80?60?50?120?a 20?60?b100? 100?40?例55? 15? 6? a求: Rab20?5? 15? 缩短无 电阻支路 4? 6? a b 7?20?b7? 6?6? 4?15? 3?Rab＝10?a ba b 7?15? 10?例6求: Rab c i RR对称电路 c、d等电位cR bR Ri i2 b断路 短路Ra i 1aR di1 ? 1 i ? i2 2Rd 根据电流分配Rab ? R1 1 u ab ? i1 R ? i2 R ? ( i ? i ) R ? iR 2 2 uab Ra b ? ? R i2.2 电阻的Y形连接和?形连接的等效变换R11. 电阻的? 、Y形连接R2 R b R4三端网 络包含1 R12 2 R23 ? 形网络 R31 3 R2a1 R1 R3 3 Y形网络 R32? ，Y 网络的变形：? 型电路 (? 型)T 型电路 (Y、星型)注意 这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效 。2. ?―Y 变换的等效条件i1? u12? i2 ? C 2+ + 1C + i1Y u31? i3 ? C 31C u31Y R3 i3Y + C 3R12R23 u23?R31u12Y R2 + C i2Y 2 +R1u23Y等效条件：i1? =i1Y ,i2 ? =i2Y ,i3 ? =i3Y , u31? =u31Yu12? =u12Y , u23? =u23Y ,u12?i1? R12+1CR31 u31?+ i1Y1C u31Y R3i3Y + C i 2Y + R23 C u23Y 2 + C 3 + u C 3 2 23? ?接: 用电压表示电流 Y接: 用电流表示电压 u12Y=R1i1YCR2i2Y i1? =u12? /R12 C u31? /R31 u23Y=R2i2Y C R3i3Y i2? =u23? /R23 C u12? /R12 (1) u31Y=R3i3Y C R1i1Y (2) i3? =u31? /R31 C u23? /R23 i1Y+i2Y+i3Y = 0 i2 ? i3 ?u12Y R2R1由式(2)解得： u12Y R 3 ?u31Y R2 i1Y ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1i 2Y u 23Y R1?u12Y R 3 ? R1R 2 ? R 2 R 3 ? R 3R1i1? =u12? /R12 C u31? /R31 (3) i2? =u23? /R23 C u12? /R12 (1) i3? =u31? /R31 C u23? /R23u31Y R2 ? u23Y R1 i3Y ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1根据等效条件，比较式(3)与式(1)，得 Y??的变换条件：R 12 ? R 1 ? R 2 ? R 23 ? R 2 ? R 3 ? R 31 ? R 3 ? R 1 ?R 1R 2 R3 R 2R 3 R1 R 3R1 R2G12 ?或 G23G31G1G2 G1 ? G2 ? G3 G2G3 ? G1 ? G2 ? G3 G3G1 ? G1 ? G2 ? G3G12G 31 G1 ? G12 ? G 31 ? G 23类似可得到由??Y的变换条件：R1 ? R12R12 R 31 ? R 23 ? R 31 R 23R12 ? R 23 ? R 31 R 31R 23 ? R 23 ? R 31G 23G12 G 2 ? G 23 ? G12 ? G 31 G 31G 23 G 3 ? G 31 ? G 23 ? G12或 R 2 ? R12R3 ? R12简记方法：Y 相邻电导乘积 Δ 相邻电阻乘积 G ? R? ? Δ ?GY ? R??变 Y特例：若三个电阻相等(对称)，则有Y变?R?? = 3RYR12R1 R3R31外大内小R2R23注意①等效对外部(端钮以外)有效，对内不成立。 ②等效电路与外部电路无关。 ③用于简化电路例1 桥 T 电路1k? 1k? + E 1k? R 1k?1/3k?1/3k? 1/3k?+ E-R1k?1k? + E -3k?R 3k? 3k?例2计算90?电阻吸收的功率1? i + 20V i1 90? 10?1? + 20V -4? 90?9? 1?9? 9? 9? 3? 3? 9?2 1Req1? + 20V -4? 90?3?10 ? 90 ? 1? ? 10Ω 10 ? 90i ? 20 / 10 ? 2A10 ? 2 i1 ? ? 0.2A 10 ? 9021?P ? 90i ? 90 ? (0.2) ? 3.6W例3求负载电阻RL消耗的功率 30?20? 10? 30? 30? 20? 2A 30? 40? RL30?10? 10? 40? 30? RL 20?20? 2A30?I L ? 1A2 PL ? RL I L ? 40W2A10?10? 40?10? 40?ILRL2.3 两种电源模型的等效变换 1. 实际电压源i +u +伏安特性：uu ? uS ? RS iusiRS ? 0uS考虑内阻 0 一个好的电压源要求_RS_注意实际电压源也不允许短路。因其内阻小，若 短路，电流很大，可能烧毁电源。2. 实际电流源伏安特性：i ? iS ?iSRSiuu RSu考虑内阻注意实际电流源也不允许开路。因其内阻大，若开 路，电压很高，可能烧毁电源。+ _is0一个好的电流源要求iRS ? ?3.电压源和电流源的等效变换实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，所谓的等效是指端 口的电压、电流在转换过程中保持不变。i iS GS + u _ 实际 电流 源uS _ RS+i+ u _ 实际 电压 源端口特性 i =i C G u S SiS=uS /RS GS=1/RSu=uS C RS i i = uS/RSC u/RS比较可得等效条件小结 电压源变换为电流源：uS _ RS + i+ u _is ? usi iS GS,+ u _RSRSGS ? 1电流源变换为电压源： i + iS GS u _uS ?uS _ RSiS GS ,+i+ u _RS ? 1 GS注意①变换关系数值关系 方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反。 ②等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。 ? 电压源开路， RS上无电流流过 表 现 在 电流源开路， GS上有电流流过。 ? 电压源短路， RS上有电流；+ uS _ RSi+i u _i iS iSG iS S+ u _电流源短路, GS上无电流。 ③理想电压源与理想电流源不能相互转换。例1利用电源转换简化电路计算 + 1. 5A I＝？ 15V 3? _ 7? 8V 4? + 2A 2. + 2A + 10V 5? 5 ? _ + U=？ 6A _ 10V _7? 7?I=0.5A6A+ 2.5? U _U=20V例21.把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连 + 10V _ 6A+ 10V _10? 2. + 6V _ 2A 6A10? + 70V _10?10? + 66V _1. 10V+ _ 6A+ 10V _1A 10?6A10? + 10? _7A70V10?2.+ 6V _ 10?2A 6A+ 6V _ 10? 6A+ 6V _ 10? + 60V _10? + 66V _例3 求电路中的电流I2A 10? 10? + 40V _ 6? I 4? + 2A 30V _ 6?30 ? 60 I? ? ?1.5A 206? I 2A 10? + 40V _ I 10? + 60V _ 4? + 30V _4? + 30V _2.4 支路电流法1. 支路电流法以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。 对于有n个结点、b条支路的电路，要求解支路 电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方 程，便可以求解这b个变量。 ①从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写 KCL方程 ②选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程。2. 独立方程的列写例i2 12 R2 1 R1 i3 R3 R5 i5 i6 uS C R4 2 i4 3有6个支路电流，需列写6个方 程。KCL方程:1 2 3i1 ? i2 ? i6 ? 0? i2 ? i3 ? i4 ? 0 ? i4 ? i5 ? i6 ? 0i1 3 4 +R6取网孔为独立回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:回路1 回路2 回路3u2 ? u3 ? u1 ? 0 u4 ? u5 ? u3 ? 0 u1 ? u5 ? u6 ? 0这一步可 以省去2 i2 R2 1 R1 i3回路1 回路2 回路3R4 R33 4 + 2u2 ? u3 ? u1 ? 0 u4 ? u5 ? u3 ? 0 u1 ? u5 ? u6 ? 0i4 3i5应用欧姆定律消去支路电压得：1R2i2 ? R3i3 ? R1i1 ? 0 R4i4 ? R5i5 ? R3i3 ? 0 R1i1 ? R5i5 ? R6i6 ? uSi1R5i6uS CR6小结 （1）支路电流法的一般步骤：①标定各支路电流（电压）的参考方向；②选定(nC1)个结点，列写其KCL方程；③选定bC(nC1)个独立回路，指定回路绕行方 向，结合KVL和支路方程列写；? R i ? ?uk kSk④求解上述方程，得到b个支路电流；⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。（2）支路电流法的特点：支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列写方 便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使 用。例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。a I1 + 70V C I2 11? 7? 1 2 + 6V C b 解 ① nC1=1个KCL方程：I37?结点a： CI1CI2+I3=0 ② bC( nC1)=2个KVL方程：7I1C11I2=70-6=64 11I2+7I3= 6 ?U=?USa I1 + 70V C 7? I2 11? + 1 2 6V C b I3 7??1 ?1 1 Δ ? 7 ? 11 0 ? 203 0 11 7 0 ?1 1 Δ1 ? 64 ? 11 0 ?
7 ?1 0 1 Δ 2 ? 7 64 0 ? ?406 0 6 7I1 ?
? 6AI 2 ? ? 406 203 ? ? 2A I 3 ? I1 ? I 2 ? 6 ? 2 ? 4AP70 ? 6 ? 70 ? 420 WP6 ? ?2 ? 6 ? ?12 W例2解1列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源） (1) nC1=1个KCL方程： 结点a： CI1CI2+I3=0 (2) bC( nC1)=2个KVL方程： 设电流 源电压 a I3 7?7I1C11I2=70-U 11I2+7I3= U增补方程：I2=6A+ I1 7? I2 11? U + 1 6A _ 2 70V C b解2a I1 7? I2 11? 1 + 6A 70V C b I3 7?由于I2已知，故只列写两个方程 结点a： CI1+I3=6 避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=703.6 结点电压法1.结点电压法以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的 方法。适用于结点较少的电路。?基本思想：选结点电压为未知量，则 KVL 自动满足， 无需列写 KVL 方程。各支路电流、电压可视为 结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方 便地得到各支路电压、电流。?列写的方程注意结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为： (n? 1)①与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。 ②任意选择参考点：其它结点与参考点的电位差即为 结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。 u A- u B(uA-uB)+uB-uA=0KVL自动满足uAuB2. 方程的列写①选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压； iS2 ②列KCL方程： i3 R3 1 i2 R2 3 iS1 2 i i iR出 ? iS入 1 4 R5 i5 R1 R4 + i1+i2=iS1+iS2 u _S??-i2+i4+i3=0-i3+i5=－iS2i1+i2=iS1+iS2iS2 iS11 i2 R2把支路电流用结点 电压表示：-i2+i4+i3=0 -i3+i5=-iS2i3 R32 i 43i1R1 R4un1 un1 ? un2 ? ? iS1 ? iS2 R1 R2R5 i5 + u _Sun1 ? un2 un2 ? un3 un2 ? ? ? ?0 R2 R3 R4 un2 ? un3 un3 ? uS ? ? ? ?iS 2 R3 R5整理得：1 1 1 ( ? ) un1 ? ( )un2 ? iS1 ? iS2 R1 R2 R2 1 1 1 1 1 ? un1 ? ( ? ? ) un 2 ? un 3 ? 0 R2 R2 R3 R4 R31 1 1 uS ? ( )un2 ? ( ? ) un3 ? ?iS2 ? R3 R3 R5 R5令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5等效电 上式简记为： 流源G11un1+G12un2 ＋G13un3 = iSn1 G21un1+G22un2 ＋G23un3 = iSn2 G31un1+G32un2 ＋G33un3 = iSn3标准形式的结点 电压方程小结G11=G1+G2 结点1的自电导 G22=G2+G3+G4 结点2的自电导 G33=G3+G5结点3的自电导结点的自电导等于接在该结点上所有支路的电导之和。G12= G21 =-G2 结点1与结点2之间的互电导 G23= G32 =-G3 结点2与结点3之间的互电导互电导为接在结点与结点之间所有支路的电 导之和，总为负值。iSn1=iS1+iS2 流入结点1的电流源电流的代数和。 iSn3=-iS2 ＋ uS/R5 流入结点 3 的电流源电流的代数和。流入结点取正号，流出取负号。 由结点电压方程求得各结点电压后即可求得 各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：un1 i1 ? R1 un2 i4 ? R4un1 ? un2 i2 ? R2 un 3 ? uS i5 ? R5un2 ? un3 i3 ? R3结点法标准形式的方程：G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2 ???? Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1 Gii ―自电导，总为正。 Gij = Gji―互电导，结点i与结点j之间所有支路电导之和，总为负。 iSni ― 流入结点i的所有电流源电流的代数和。注意 电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。总结结点法的一般步骤： (1)选定参考结点，标定n-1个独立结点； (2)对 n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列 写其KCL方程； (3)求解上述方程，得到n-1个结点电压； (4)通过结点电压求各支路电流；(5)其它分析。例 试列写电路的结点电压方程 1GS + Us _ G1 G2 G3 G52G43 (G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=GSUS-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 －GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3 =－USGS3. 无伴电压源支路的处理①以电压源电流为变 + 量，增补结点电压与 Us 电压源间的关系。 _ (G1+G2)U1-G1U2 =II G1 2 G41 G2 G3G53-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 -G4U2+(G4+G5)U3 =－I 增补方程U1-U3 = US看成电流源②选择合适的参考点 U1= US -G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 + Us _ G1 1 G2 G3 3 G42G5例 求电压U和电流I解1应用结点法un1 ? 100 Vun2 ? 100 ? 110 ? 210 V解得：22? 3 ＋ 110V2? －? 0.5un1 ? 0.5un2 ? un3 ? 20 un3 ? 20 ? 50 ? 105 ? 175V U ? un3 ? 1? 20 ? 195V I ? ?(un2 ? 90) / 1 ? ?120 A＋11? － 90V ＋I1? － U 20A ＋－ 100V解2应用回路法? 2i1 ? 4i3 ? 110 ? i3 ? 150 / 4解得：2? ＋32? －2110VI ? ?(i1 ? i2 ) ? ?120 A U ? 2i3 ? 100 ? 1? 20 ? 195V＋i1 ? 20A i2 ? i1 ? 1201? － 90V ＋I 11? － U 20A ＋－100V3.6 叠加原理叠加原理：对于线性电路，任何一条支路的电流， 都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源） 分别作用时，在此支路中所产生的电流的代数和。+ EC R1ISI1I2+ E = C R R12I1'I2'+ R2 R1ISI1'' (c)I2''R2(a) 原电路(b) E 单独作用 叠加原理IS单独作用+EC R1 ISI1I2+ E = C ' R I 1 R2 1I2'+ R2 R1IS I1''I2''R2(c) (b) E 单独作用 IS单独作用 由图 (b)，当E 单独作用时 由图 (c)，当 IS 单独作用时 R2 R1 E & & ' ' I1 ? ? I S I2 ? IS I1 ? I 2 ? R1 ? R2 R1 ? R2 R1 ? R2 (a) 原电路E R2 根据叠加原理 I1 ? I ? I ? ? IS R1 ? R2 R1 ? R2 E R1 ' '' ? IS 同理： I2 = I2 + I2 ? R1 ? R2 R1 ? R2' 1 & 1用支路电流法证明：+EC列方程:I1 ? I S ? I 2 E ? I1 R1 ? I 2 R2R1ISI1I2R2(a) 原电路解方程得: E R2 I1 ? ? IS R1 ? R2 R1 ? R2I1'I1''E R 1 即有 I2 ? ? IS R1 ? R2 R1 ? R2 I1 = I1'+ I1''= KE1E + KS1ISI2 = I2'+ I2'' = KE2E + KS2IS I2'I2''注意事项：① 叠加原理只适用于线性电路。 ② 线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算， 但功率P不能用叠加原理计算。例：P1 ? I R1 ? ( I1? ? I1?? ) R1 ? I1? R1 ? I1?? 2 R12 1 2 2③ 不作用电源的处理： E = 0，即将E 短路； Is=0，即将 Is 开路 。 ④ 解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。 若分电流、分电压与原电路中电流、电压的参考方 向相反时，叠加时相应项前要带负号。 ⑤ 应用叠加原理时可把电源分组求解 ，即每个分电路 中的电源个数可以多于一个。R2= R3= 5? ，试用叠加原理求流过 R2的电流 I2 和理想电流源 IS 两端的电压 US。 R2 R2 R2 + I2? I2' + I2 + + + E R R3 IS US ? E R1 R3 US' R1 I R3 S US C 1 C C C C (b) E单独作用 (c) IS单独作用 (a) 将 IS 断开 将 E 短接 E 10 ?? 解：由图( b) I 2 ? A ? 1A R2 ? R3 5 ? 5例1：电路如图，已知 E =10V、IS=1A ，R1=10?? ? I2 ? R2 ? 1 ? 5V ? 5V US例1：电路如图，已知 E =10V、IS=1A ，R1=10? R2= R3= 5? ，试用叠加原理求流过 R2的电流 I2 和理想电流源 IS 两端的电压 US。 R2 R2 R2 + + I2? I2 + I2' + + E R1 R3 IS US ? R3 US' R1 R3 IS US E R1 C C C C C (a) (b) E单独作用 (c) IS单独作用 R3 5 ?? ? IS ? ? 1 ? 0.5A 解：由图(c) I 2 R2 ? R3 5?5 ? ? I2 ? R2 ? 0.5 ? 5V ? 2.5V US? ? I2 ?? ? 1A ? 0.5A ? 0.5A 所以 I 2 ? I 2 ? ? US ?? ? 5V ? 2.5V ? 7.5V US ? USC IS+ US例2：已知：+ Uo US =1V、IS=1A 时， Uo=0V US =10 V、IS=0A 时，Uo=1V 求： US = 0 V、IS=10A 时， Uo=?线性无 源网络解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设 Uo = K1US + K2 IS 当 US = 1V、IS=1A 时， 得 0 = K1? 1 + K2 ? 1 当 US =10 V、IS=0A 时， 得 1 = K1? 10+K2 ? 0 联立两式解得： K1 = 0.1、K2 = C 0.1 所以 Uo = K1US + K2 IS = 0.1 ? 0 +(C 0.1 ) ? 10 = C1V只有一个电源作用的线性电路中，各支路的电压或 电流和电源成正比。 齐性定理 如图： I1R1 E1 可见：R2I2R3 I3+?若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。二端网络的概念： 二端网络：具有两个出线端的部分电路。 无源二端网络：二端网络中没有电源。 有源二端网络：二端网络中含有电源。a R1 R2 R4 IS b 无源二端网络 E + C E R1 +3.7戴维宁定理与诺顿定理 (等效电源定理)a R2 ISCR3R3b有源二端网络无源 二端 网络a Rb + E _a无源二端网络可 化简为一个电阻ba电压源 （戴维宁定理） b a 有源二端网络可 化简为一个电源 电流源 （诺顿定理） b有源 二端 网络a bR0ISR03.7.1 戴维宁定理任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为 E的理想电压源和内阻 R0 串联的电源来等效代替。 a I a I + 有源 + R0 RL U 二端 U RL + C E _ 网络 C b 等效电源 b 等效电源的电动势E 就是有源二端网络的开路电 压U0，即将负载断开后 a 、b两端之间的电压。 等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源 均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所 得到的无源二端网络 a 、b两端之间的等效电阻。电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4?， R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流I3。 a a + + 例 1： E1 E2 R0 C C R3 I3 R3 I3 + I1 R1 I2 R2 E _ b b有源二端网络等效电源注意：D等效‖是指对端口外等效 即用等效电源替代原来的二端网络后，待求 支路的电压、电流不变。例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4?， R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流I3。 a a + + + + + E1 E1 E2 E2 C C C C R3 I3 I U0 R2 I1 R1 I2 R2 R1 C b b 解：(1) 断开待求支路求等效电源的电动势 E E = U0= E2 + I R2 = 20V +2.5 ? 4 V= 30V 或：E = U0 = E1 C I R1 = 40V C2.5 ? 4 V = 30V E 也可用结点电压法、叠加原理等其它方法求。E1 ? E2 40 ? 20 I? ? A ? 2.5 A R1 ? R2 4? 4例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4?， R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流I3。 a a + + E1 E2 C C R3 I3 R2 R0 R1 I1 R1 I2 R2 b b 解：(2) 求等效电源的内阻R0 除去所有电源（理想电压源短路，理想电流源开路） 从a、b两端看进去， R1 和 R2 并联 R1 ? R2 所以，R0 ? ? 2? R1 ? R2 求内阻R0时，关键要弄清从a、b两端看进去时 各电阻之间的串并联关系。例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4?， R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流I3。+ + E1 E2 C C R3 I1 R1 I2 R2 a a I3 R0 E+ _ bR3I3b 解：(3) 画出等效电路求电流I3E 30 I3 ? ? A?2A R0 ? R3 2 ? 13实验法求等效电阻: R0=U0/ISC 戴维宁定理证明：I11 + _ U0+NSU0-ISC E E + + C IISCR01’1’C+NS(a)E + C U R+NSE=U0 I(b) & + U& R ( e) UI'E C +R 叠加原理 I + _E R0 + U RI? ? 0N0 RI ?? ? I+NS(c) U'-(d)-+R0-IG G RGa例 2：IG G RG b+E 已知：R1=5 ?、 R2=5 ? R3=10 ?、 R4=5 ? E=12V、RG=10 ? 试用戴维宁定理求检流计 中的电流IG。+CEC有源二端网络解: (1) 求开路电压U0 + a I1 U0 I2E 12 I1 ? ? A ? 1.2A R1 ? R2 5 ? 5 E 12 I2 ? ? A ? 0.8A R3 ? R4 10 ? 5 E' = Uo = I1 R2 C I2 R4 C b = 1.2 ? 5VC0.8 ? 5 V = 2V + 或：E' = Uo = I2 R3 C I1R1 C E = 0.8? 10VC1.2 ? 5 V = 2V (2) 求等效电源的内阻 R0 a 从a、b看进去，R1 和R2 并联， R3 和 R4 并联，然后再串联。 R0 所以，R0 ? R1 ? R2 ? R3 ? R4 R1 ? R2 R3 ? R4 ? 5.8 ? baIG G RG R0a+ _ RG b IGE'b+EC解：(3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG E? 2 IG ? ? A ? 0.126 A R0 ? RG 5 .8 ? 103.7.2 诺顿定理任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为 IS的理想电流源和内阻 R0 并联的电源来等效代替。 a I a I + 有源 + IS RL U R0 二端 U RL C 网络 C b 等效电源 b 等效电源的电流 IS 就是有源二端网络的短路电 流，即将 a 、b两端短接后其中的电流。 等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源 均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所 得到的无源二端网络 a 、b两端之间的等效电阻。IGG RGa例 1：IG G RGE 已知：R1=5 ?、 R2=5 ? R3=10 ?、 R4=5 ? E=12V、RG=10 ? 试用诺顿定理求检流计中 的电流IG。+Cb+EC有源二端网络解: (1) 求短路电流IS I1 a因 a、b两点短接，所以对 电源 E 而言，R1 和R3 并联， R2 和 R4 并联，然后再串联。I3I4I2ISbI+ECR =(R1//R3) +( R2//R4 ) = 5. 8? E 12 I ? ? A ? 2 . 07A R 5.8R3 10 I1 ? I? ? 2 . 07A ? 1 . 38 A R1 ? R3 10 ? 51 I 2 ? I 4 ? I ? 1 . 035 A 2IS = I1 C I2 (节点电流定律) =1. 38 AC 1.035A=0. 345A 或：IS = I4 C I3 (节点电流定律)(2) 求等效电源的内阻 R0 a R0R0 =(R1//R2) +( R3//R4 ) = 5. 8?b (3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG R0 a IG ? IS R0 ? RG ISR0RG bIG5.8 ? ? 0 . 345A 5 .8 ? 10 ? 0 . 126 A3.7.３最大功率传输定理本节介绍戴维宁定理的一个重要应用。在测量、电子 和信息工程的电子设备设计中，常常遇到电阻负载如 何从电路获得最大功率的问题。这类问题可以抽象为 图(a)所示的电路模型来分析.网络N表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网 络，它可用戴维宁等效电路来代替，如图(b)所示。电 阻RL表示获得能量的负载。此处要讨论的问题是电阻 RL为何值时，可以从单口网络获得最大功率。写出负载RL吸收功率的表达式:p ? RL i ?22 RL u oc( Ro ? R L )2求p的最大值，应满足dp/dRL=0，即:u ? 2R u ( Ro ? RL )u dp ? ? ? 2 3 dRL ( Ro ? RL ) ( Ro ? RL ) ( Ro ? RL )2 oc 2 L oc2 oc 3?0由此式求得p为极大值或极小值的条件是RL =Ro由于d2 p2 dRL RL ? Ro??2 u oc 3 8 Ro Ro ? 0?0由此可知，当Ro&0,且RL=Ro时，负载电阻RL从单口网络获得最大功率。最大功率传输定理：含源线性电阻单口网络(Ro&0)向可变电阻负载RL传输最大功率的条件是：负载电阻RL与单口网络的输出电阻Ro相等。满足RL=Ro条 件时，称为最大功率匹配，此时负载电阻RL获得的最大功率为:p max=u2 oc4Ro满足最大功率匹配条件(RL=Ro&0)时，Ro吸收功率与RL 吸收功率相等，对电压源uoc 而言，功率传输效率为 ?=50%。对单口网络 N中的独立源而言，效率可能更 低。电力系统要求尽可能提高效率，以便更充分的利 用能源，不能采用功率匹配条件。但是在测量、电子 与信息工程中，常常着眼于从微弱信号中获得最大功 率，而不看重效率的高低。例 电路如图 (a)所示。 试求：(l) RL为何值时获得最大功率； (2) RL获得的最大功率； (3) 10V电压源的功率传输效率。解：(l)断开负载RL，求得单口网络 N1的戴维宁等 效电路参 数为： 2 2?2 uoc ? ? 10 V ? 5V Ro ? ? ? 1? 2?2 2?2 如图(b)所示，由此可知当RL=Ro=1?时可获得 最大功率。(2)由式求得RL获得的最大功率u 25 pmax ? ? W ? 6.25W 4Ro 4 ?12 oc(3)先计算10V电压源发出的功率。当uoc 5 R =1 ? 时 iLL ? ? A ? 2.5A Ro ? RL 2 ? 2.5 ? i ? i1 ? i2 ? ? ? 2.5 ?A ? 3.75A ? 2 ? uL ? RLiL ? 2.5V p ? 10V ? 3.75A? 37.5W10V电压源发出37.5W功率，电阻RL6.25 η ? ? 16 .7% 吸收功率6.25W，其功率传输效率为 37 .5例求图 (a)所示单口网络向外传输的最大功率。解：为求uoc，按图(b)所示网孔电流的参考方向， 列出网孔方程：?(10?)i1 ? (3?)i2 ? 12V ? ?(3?)i1 ? (8?)i2 ? 12V ? (3?)i1整理得到?10i1 ? 3i2 ? 12 A ? ?8i2 ? 12 A解得：i 2 ? 1 .5A u oc ? (4?)i 2 ? 6V为求isc,按图(c)所示网孔电流参考方向，列出网孔方程(10?)i1 ? (3?)isc ? 12V (3?)i1 ? (4?)isc ? 12V ? (3?)i1整理得到10i1 ? 3i sc ? 12A 4i sc ? 12A解得isc=3A为求Ro，用式(4－10)求得u oc 6 Ro ? ? ? ? 2? i sc 3得到单口网络的戴维宁等效电路，如图(d)所示。由式(4－14)或(4－15)求得最大功率。2 uoc 62 ? ? W ? 4.5W 4 Ro 4 ? 2pmax或 pmaxis2c 32 ? ? W ? 4.5W 4Go 4 ? 0.5
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