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大学物理试题精选(含答案)
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大学物理题一道一条质量分布均匀的绳子,质量为M、长度为L,一端拴在竖直转轴上,并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯,且忽略重力,求距转轴为r处绳中的张力T( r)呵呵，还有一道~能不能也分析下解题过程呢？A、B两弹簧的倔强系数分别为k和K，设两弹簧的质量均忽略不计，今将两弹簧连接起来下挂重物并竖直悬挂。当系统静止时，两弹簧的弹性势能Ep（k）与Ep（K）之比为（
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1、思路：距转轴为r处拉力要能给 此处以外的绳子向心力使之旋转,张力即后端绳子向心力之和.绳子线密度为ρ=M/L,T(r)=∫ρRω^2 dR|(L,r) = Mω^2/2L * (L^2 - r^2)2、设重物重力为G.画图分析易得两弹簧拉力相等,伸长量x=G/k,X=G/K,Ep(k):Ep(K) = kx^2/2 :KX^2/2 = 1/k :1/K = K:k.手边没纸打草稿囧.就算凑数吧……我是高二的……（摊手）
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扫描下载二维码所以TB = 2mg = 1.96(N)． （2）由（1）式积分得 12?vC?2grcos?， 角速度为 ， ?v?glcos?602C??vCr?2gcos?r． 因此速度为 vC?gl(2cos??1)． 由于NC C mgcosα = 2mgcosα，所以 NC = 3mgcosθ．
2．11 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，切向加速度为 at = gsinθ； 法向加速度为 an?v2Cm N h mg 图2.11 θ R?g(2cos??1)． 它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解） [解答]小石块在由于TC C mgcosθ = man，所以张力为 TC = mgcosθ + man = mg(3cosθ C 1)． （3）当 θ = 60o时，切向加速度为 at?32s)， g= 8.49(m?-2运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向．设切线与竖直方向的夹角为θ，则 F = mgcosθ． 小球的运动方程为 F?ma?mdsdt22法向加速度为
an = 0， 绳子的拉力 T = mg/2 = 0.49(N)． [注意]在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便．
2．10 一质量为m的小球，最初静止于如图所示的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面A B ADCB下滑．试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的α r D 图2.10 C ， s表示弧长． 由于v = ds/dt，所以 dsdt22?ddtdt(ds)?dvdt?dvdsdsdt?vdvds， 因此
vdv = gcosθds = gdh， h表示石下落的高度． 积分上式得
12vhv20?gh0， 作用力． [解答]此题情形与上一题的数学类型是相同的． 取上题中l = r，对（1）式积分 vC因此速率为
v?2gh． ?0vdv??gr?122C??90?sin?d?， ? 2．12 质量为m的物体，最初静止于x0，在力f??kx2(k为常数)作用下沿直线得
v?rgcos??90?， 解得速度为 运动．证明物体在x处的速度大小v = [2k(1/x C 1/x0)/m]1/2． [证明]当物体在直线上运动时，根据牛11
顿第二定律得方程 f??kx2
当n = 2时，即证明了本题的结果． dxdt22?ma?m 利用v = dx/dt，可得 dxdt22 2．13
一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系， 数为k．求： （1）小球速率随时间的变化关系v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间T． [解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程 dvdt?dvdt?dxdvdtdx?vdvdx因此方程变为 mvdv??kdxx2， 积分得
12vmv20?kxx， x0f??mg?kv?m， 分离变量得 ， dt??mdvmg?kvmk即
12mv?2kx?kx0??md(mg?kv)kmg?kvv， 所以
v?2km(1x?x01)．
证毕． 积分得
t??ln(mg?kv) v0[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解． 如果f(x) = -k/xn，则得 12mv??k?2??mklnmg?kvmg?kv0??mklnmg/k?vmg/k?v0， 小球速率随时间的变化关系为 v?(v0?mgk)exp(?ktm)?mgkdxxxn． ． （1）当n = 1时，可得 12mv??klnxx02?klnx0x（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为 ． T?mklnmg/k?v0mg/k?mkln(1?kv0mg)． 即
v?2kmlnx0x． [讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤． 由于v = dx/dt，所以 x（2）如果n≠1，可得 12mv??2k1?nx1?nx0 即 1x0)， n?1dx?[(v0?mgk)exp(?ktm)?mgk]dt，
?kn?1x(1n?1?dx??m(v0?mg/k)kdexp(?ktm)?mgkdt， 积分得 )． x??m(v0?mg/k)kexp(?ktm)?mgkt即
v?2k(n?1)mx(1n?1?1xn?10t0
12 ?m(v0?mg/k)k[1?exp(?ktm)]?mgkt． 解得
v?由于 dx?v01??kv0t/R． （2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为 f?mg?kv?mdvdtv0dt1??kv0t/R， ?Rd(1??kv0t/R)?k1??kv0t/R， 用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为 v?mgk?(mgk?v0)exp(?ktm)． 积分得 x?Rln(1??kv0tRt?k)0 这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mg/k．
2．14 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求A v0 R 图2.14 ?R?kln(1??kv0tR)．
2．16 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示． [解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为 F = mgtanθ． 珠子做圆周运动的半径为 r = Rsinθ． 根据向心力公式得 F = mgtanθ = mω2Rsinθ， 可得 mgω 此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程． [解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv2/R． 物体所受的摩擦力为 f = -μkN， 负号表示力的方向与速度的方向相反． 根据牛顿第二定律得 f???kmv2θ r R m mg 图2.16 R?mdvdt， 即
积分得 ?kR?kRdt??dvv2． t?1vv?v01v?1v0， cos??R?， g2解得
???arccos2． R?
13 第三章 运动的守恒定律
P84． 3．1 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而F O x 图3.1 m x 由此可作矢量三角形，可得 ?p?2p?2mv． 因此向心力给予小球的的冲量大小为 s)． I??p= 1.41(N?[注意]质点向心力大小为F = mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量 I?Ft?mvTR4?2位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量． [解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得 dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为 I? ?2?π/2??mv2?R/TTR4mv． 0(?kAcos?t)dt， π/2???kA?sin?t0??kA假设小球被轻绳拉着以角速度ω
= v/R运动，拉力的大小就是向心力 F = mv/R = mωv， 其分量大小分别为 Fx = Fcosθ = Fcosωt， Fy = Fsinθ = Fsinωt， 给小球的冲量大小为 dIx = Fxdt = Fcosωtdt， dIy = Fydt = Fsinωtdt， 积分得 Ix?2y Fx F O m Fy R x ?方法二：利用动量定理．小球的速度为 v = dx/dt = -ωAsinωt， 设小球的质量为m，其初动量为 p1 = mv1 = 0， 末动量为 p2 = mv2 = -mωA， 小球获得的冲量为 I = p2 C p1 = -mωA， 可以证明k =mω2，因此 I = -kA/ω．
3．2 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m?s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？ [解答]小球动量的大小为 p = mv， 但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义 ????p?p2?p1 ???得p2?p1??p， ?T/40Fcos?tdt?FT/4?sin?t0 ?F??mv， Iy??FT/40Fsin?tdt??FT/4?cos?t0 Γp p2 p1 p1 m R ???mv， 合冲量为 I?Ix?Iy?222mv， 所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
3．3 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m?s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？ [解答]球上升初速度为 vy?v = at = 2(m?s)． 物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得 2Mv = 3Mv`， 因此C开始运动的速度为 v` = 2v/3 = 1.33(m?s)．
3．5 一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量p1 = 9.22×10g?cm?s-16-1-16-1-1-1s)， 2gh= 14(m?-1其速度的增量为 ?v?s)． vx?vy= 24.4(m?Γv vx 22-1的电子，同时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量p2 = 5.33×10g?cm?s的中微子．求蜕变后原子核的动量的大小和方向． [解答]原子核蜕变后的总动量大小为 p?p1?p2= 10.65×10-16(g?cm?s-1)． 22棒给球冲量为 I = mΓv = 7.3(N?s)， 对球的作用力为（不计重力） F = I/t = 366.2(N)． vy
3．4 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动C B 后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m?s-2） 图3.4 其方向与电子方向的夹角为 θ = arctan(p2/p1) = 30°． 根据动量守恒定律，三个粒子总动量为零， ???p`?p1?p2?0， p2 p θ p1 所以原子核的反冲动量为 A ????p`??(p1?p2)??p， 其大小与电子和中微子的合动量的大小相等，方向相反，与电子速度的夹角为 180 - θ = 150°．
3．6 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？ [解答] 炮弹在最高点的速度大小为 v = v0cosθ， 方向沿水平方向． 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总v0 θ [解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程 Mg C T = Ma， 物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程 T = Ma， 联立方程可得 a = g/2 = 5(m?s)． 根据运动学公式 s = v0t + at/2， 可得B拉C之前的运动时间 t?2s/a= 0.4(s)． 2-2v` 45° v v` 此时B的速度大小为豆丁微信公众号
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