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& 河南省中原、豫南九校联考2015届高三数学一模试卷（文科） Word版含解析
河南省中原、豫南九校联考2015届高三数学一模试卷（文科） Word版含解析
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资料概述与简介
河南省中原名校、豫南九校联考2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（?RP）∩Q等于(
A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）
2．设复数z1=1﹣i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1oz2的虚部为(
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
3．已知sin（）=，那么sin2x的值为(
A． B． C． D．
4．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2（an﹣1），则a2=(
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
5．“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”的(
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为(
A．±2 B． C． D．
7．已知loga＞1，（）b＞1，2c=，则(
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
8．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(
A． B． C．2 D．
9．如图所示的程序框图中输出的结果为(
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
10．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）
11．O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线三点，动点P满足：=+λ（+），λ∈[﹣1，2]，已知λ=1时，||=2，则o+o的最大值为(
A．﹣2 B．24 C．48 D．96
12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为(
A． B． C．1 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是__________．
14．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为__________．
15．表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为__________．
16．已知{an}的通项an=3n﹣11，若为数列{an}中的项，则所有m的取值集合为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
18．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；
（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．
20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．
（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；
（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．
21．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．
四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．
（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；
（2）解不等式f（x）≤3x．
河南省中原名校、豫南九校联考2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，Q={x|log2（x﹣1）≤1}，则（?RP）∩Q等于(
A．[2，3] B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C．（2，3] D．（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：函数的性质及应用；集合．
分析：由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出?RP和
（?RP）∩Q．
解答： 解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则集合P={x|﹣1≤x≤2}，
由log2（x﹣1）≤1=得0＜x﹣1≤2，解得1＜x≤3，则Q={x|1＜x≤3}
所以?RP={x|x＜﹣1或x＞2}，
且（?RP）∩Q={x|2＜x≤3}=（2，3]，
点评：本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题．
2．设复数z1=1﹣i，z2=2+i，其中i为虚数单位，则z1oz2的虚部为(
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答： 解：∵复数z1=1﹣i，z2=2+i，
z1oz2=（1﹣i）（2+i）=3﹣i．
其虚部为﹣1．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
3．已知sin（）=，那么sin2x的值为(
A． B． C． D．
考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．
专题：三角函数的求值．
分析：利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．
解答： 解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，
点评：本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．
4．记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2（an﹣1），则a2=(
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：计算题．
分析：先根据题设中递推式求得a1，进而根据S2=2（a2﹣1）求得答案．
解答： 解：∵S1=2（a1﹣1），
∵a1+a2=2（a2﹣1），
点评：本题主要考查了数列求和问题．属基础题．
5．“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”的(
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：利用特殊值法，令m=0，代入可以求出函数f（x）=m+log2x（x≥1）的零点，从而进行判断；
解答： 解：∵m＜0，函数f（x）=m+log2x（x≥1），
又x≥1，log2x≥0，∵y=log2x在x≥1上为增函数，求f（x）存在零点，
要求f（x）＜0，必须要求m＜0，
∴f（x）在x≥1上存在零点；
若m=0，代入函数f（x）=m+log2x（x≥1），
可得f（x）=log2x，令f（x）=log2x=0，可得x=1，
f（x）的零点存在，
∴“m＜0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）存在零点”充分不必要条件，
点评：此题以对数函数为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．
6．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为(
A．±2 B． C． D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由双曲线的离心率为，可得，解得即可．
解答： 解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．
∴其渐近线的斜率为．
点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．
7．已知loga＞1，（）b＞1，2c=，则(
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
考点：不等关系与不等式．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性即可得出．
解答： 解：∵，∴；
∵，∴b＜0；
∴c＞a＞b．
点评：本题考查了对数函数、指数函数、幂函数的单调性，属于基础题．
8．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为(
A． B． C．2 D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．
解答： 解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，
点评：本题考查了三棱锥与四棱锥的三视图、体积计算公式，属于基础题．
9．如图所示的程序框图中输出的结果为(
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当i=2014时，退出循环，输出a的值为2．
解答： 解：执行程序，有
i=2，a=﹣1
i=5，a=﹣1
a的取值周期为3，
∴i=2013时，a的值与i=3时一样，即a=
∴i=2014时，a=2．
点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．
10．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：数形结合：要使方程f（x）=k有两个不相等的实根，只需y=f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数f（x）=的图象，根据图象即可求得k的范围．
解答： 解：函数f（x）=的图象如下图所示：
由图可得：当k∈（0，1）时，y=f（x）与y=k的图象有两个交点，
即方程f（x）=k有两个不同的实根，
点评：本题考查方程根的存在性及根的个数判断，属中档题，数形结合是解决本题的强有力工具．
11．O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线三点，动点P满足：=+λ（+），λ∈[﹣1，2]，已知λ=1时，||=2，则o+o的最大值为(
A．﹣2 B．24 C．48 D．96
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的数量积，以及数量的加减运算，以及二次函数的性质即可求出最大值
解答： 解：由满足：=+λ（+），得=λ（+），
当λ=1时，由||=2，得+=，
又o+o=o（+）
=﹣λ（+）o（+﹣2λ（+）），
=λ（2λ﹣1）（+）2
=4（2λ2﹣λ）=8（λ﹣）2﹣2，
∵λ∈[﹣1，2]，
∴当λ=2时，有最大值，最大值为24，
点评：本题考查向量的加减运算，两个向量的数量积，体现了等价转化的数学思想，属于中档题
12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为(
A． B． C．1 D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值范围，代入化简即可得到答案．
解答： 解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，
配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，
因为ab≤，
则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，
所以≥=3，
则，即所求的最小值是，
点评：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设五个数值31，38，34，35，x的平均数是34，则这组数据的方差是6．
考点：极差、方差与标准差．
专题：概率与统计．
分析：通过平均数求出x，然后利用方差公式求解即可．
解答： 解：由=34，解得x=32．
所以方差为：=6．
故答案为：6．
点评：本题考查均值与方差的计算，基本知识的考查．
14．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为8．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数求得z=4x+y的最大值．
解答： 解：由约束条件作出可行域如图，
由z=4x+y，得y=﹣4x+z，
由图可知，当直线y=﹣4x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，等于4×2+0=8．
故答案为：8．
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．表面积为6π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的高与底面半径的比为2．
考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
专题：导数的概念及应用；空间位置关系与距离．
分析：设出圆柱的高为h，底面半径为r，由表面积公式，求出r与h的关系，写出圆柱的体积V的解析式，求出V取最大时的h与r的比值．
解答： 解：设该圆柱的高为h，底面半径为r，
∴表面积为2πr2+2πrh=6π，
即r2+rh=3，
∴圆柱的体积为
V=πr2h=πr2o=πr（3﹣r2）=3πr﹣πr3，
∴V′=3π﹣3πr2，
解得r=1，此时V最大；
此时h==2，
故答案为：2．
点评：本题考查了圆柱体的表面积与体积公式的应用问题，解题时应利用公式建立函数解析式，利用导数求函数解析式的最值，是综合题．
16．已知{an}的通项an=3n﹣11，若为数列{an}中的项，则所有m的取值集合为3或4．
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据等差数列的通项公式进行计算即可．
解答： 解：∵==am+9+，an=3n﹣11=3（n﹣4）+1，
∴若为数列{an}中的项，则必须是3的倍数，
则am在±1，±2，±3，±6中取值，
由于am﹣1是3的倍数，
∴am=1或﹣2，
由am=1得m=4，由am=﹣2，得m=3，
故m=3或4，
故答案为：3或4
点评：本题主要考查数列递推关系的应用，根据等差数列的通项公式进行化简和运算是解决本题的关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=
（1）求角C的大小，
（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．
解答： 解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，
∴由正弦定理化简已知等式得：=，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosC=﹣，
∵C为三角形内角，
（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），
∵S=absinC=ab≤，
∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，
则当a=b=时，△ABC的面积最大为．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）求续驶里程在[200，300]的车辆数；
（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（I）利用小矩形的面积和为1，求得x值；
（II）求得续驶里程在[200，300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；
（III）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．
解答： 解：（Ⅰ）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）×50=1，
∴x=0.003；
（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×（0.003×50+0.002×50）=5；
（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，
续驶里程在[250，300]的车辆数为2，
从这5辆中随机抽取2辆车，共有=10种抽法；
其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法有o=6种，
∴恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率为=．
点评：本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4
（1）求证：BC⊥AC1；
（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．
考点：直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）证法一：利用线面平行的判定定理即可证明；证法二：利用面面平行的判定定理．
解答： 证明：（1）∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴BC⊥平面AA1C1C，
∴BC⊥AC1．
（2）解法一：当AF=3FC时，EF∥平面AA1B1B．
证明如下：在平A1B1C1内过E作EG∥A1C1交A1B1于G，连接AG．
∵B1E=3EC1，∴，
又AF∥A1C1且=，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥GA，
又∵EF?面AA1B1B，AG?平面AA1B1B，
∴EF∥平面AA1B1B．
解法二：当AF=3FC时，FE∥平面A1ABB1．
证明：在平面ABC内过E作EG∥BB1交BC于G，连接FG．
∵EG∥BB1，EG?A1ABB1，BB1?平面A1ABB1，
∴EG∥平面A1ABB1．
∵B1E=3EC1，∴BG=3GC．
∴FG∥AB，
又AB?平面A1ABB1，FG?平面A1ABB1．
∴FG∥平面A1ABB1．
又EG∩FG=F，
∴平面EFG∥平面A1ABB1．
∴EF∥平面A1ABB1．
点评：熟练掌握线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．
（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；
（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）求出函数f（x）的导数，利用导数的正负性判断单调性，从而求函数的极值；
（2）求出g（x）的导数，化简构造函数h（x），求出h（x）的导数，讨论函数h′（x）正负性，判断h（x）的单调性，根据h（x）的正负性，判断g（x）的单调性，从而求出参数a的取值范围．
解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x+1﹣==，
∴当0＜x＜，时f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
（2）g（x）==，定义域为（0，+∞），
g′（x）=，
令h（x）=，则h′（x）=﹣2x++2﹣a，
h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在区间（0，1]上单调递减，
从而对（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a
①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，∴y=h（x）在区间（0，1]上单调递增，
∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，
∴y=F（x）在区间（0，1]上是减函数，a≤2满足题意；
②当2﹣a＜0，即a＞2时，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1，
且y=h′（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，
∴y=h′（x）在区间（0，1]有唯一零点，设为x0，
∴h（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，1]上单调递减，
∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，
且y=h（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，
y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，
即y=F′（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，
又F（x）在区间（0，x′）上单调递减，在（x′，1）上单调递增，
矛盾，a＞2不合题意；
综上所得：a的取值范围为（﹣∞，2]．
点评：本题考查的是利用导数求函数的单调区间，同时考查了利用导数解决参数问题，利运用了二次求导，是一道导数的综合性问题．属于难题．
21．已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．
（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），
B（x2，y2），P（x0，y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．
解答： 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，
∴，解得a=2，b2=2，
∴椭圆M的方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，
联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．
∵点P在椭圆M上，∴，
∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．
又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．
当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，
∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的平行四边形法则、二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且，作直线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30°
（1）求AF的长；
（2）求证：AD=3ED．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：直线与圆．
分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．
（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．
解答： （1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，
∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，
又∵，∴，∴，
根据切割线定理得，即AF=3
（2）证明：过E作EH⊥BC于H，
∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD，
∴△EDH∽△ADF，
又由题意知CH=，EB=2，
∴EH=1，∴，
∴AD=3ED．
点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标．
考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题；坐标系和参数方程．
分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，运用点到直线的距离公式和两角和的正弦公式以及正弦函数的值域即可得到最小值．
解答： 解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），
则由sin2α+cos2α=1化为+y2=1，
曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，
即有ρsinθcos+ρcosθsin=4，即为直线x+y﹣8=0；
（2）设P（cosα，sinα），则P到直线的距离为d，
则当sin（）=1，此时α=2k， k为整数，
P的坐标为（，），距离的最小值为=3．
点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．
（1）若对任意a、b、c∈R（a≠c），都有f（x）≤恒成立，求x的取值范围；
（2）解不等式f（x）≤3x．
考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（1）根据|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣c|，可得 ≥1，再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，由此求得x的范围．
（2）不等式即|2x﹣1|≤3x，可得 ，由此求得不等式的解集．
解答： 解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|≥|a﹣b+（b﹣c）|=|a﹣c|，故有 ≥1，
再根据f（x）≤恒成立，可得f（x）≤1，即|2x﹣1|≤1，∴﹣1≤2x﹣1≤1，求得0≤x≤1．
（2）不等式f（x）≤3x，即|2x﹣1|≤3x，∴，求得x≥，
即不等式的解集为{x|x≥}．
点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．
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