格林公式的简易证明
格林公式是将区域积分的二重积分和曲线积分的一重积分进行互相转化的公式。
区域D的边界曲线是L，对P(x,y)和Q(x,y)。求
其实这正好就是格林公式能做的事情，
在我眼里，我觉得格林公式是一个非常有美感的公式，或者说是一个数学性质。就好像微积分基本定理一样，是一个美丽的性质。也由于此，我也想博客一篇关于格林公式的证明。这个证明过程，其实可以。和这个参考页相比，基本上是抄他的。只是希望我的过程可以更通俗易懂。
1,我们假设有一个P(x,y)并且，可以有
由于这是对y的偏导数。所以，我们这个二重积分里，先对y进行积分。
这里假设x的积分下限、上限分别是x1、x2,y的积分下限、上限分别是y1、y2。
我们假设曲线L可以上下切开，分成两条曲线，假设上一条曲线的解析方程主y2(x)，下一条曲线的解析方程为y1(x)。
我们可以继续
（这里注意一下最后的封闭积分的前面有一个负号。因为封闭曲线的正方程是逆时针方向，而上面在曲线y1(x)上的积分是从x2到x1,y2(x)上的积分是从x1到x2是正时针方向）
上面的过程，关于对曲线上下分成y1(x)，y2(x)的方式不严谨。请参考前面线的链接。
我们得到了
同样的推导方式，也可以得到
将（2）式减去(1)式，就是美丽的格林公式(0)。
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格林公式及曲线积分与路径无关的条件 第十七章 各类积分的联系回顾:一元函数积分学: )()(' aFbdxFba???§17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件一、格林公式概念:单连通区域, 复连通区域; 正向;格林定理:设闭区域 ,是由有限多条分段光滑的闭曲线 所围成.2RD??函数 在 D 上具连续的一阶偏导,则有)(,yxQP(格林公式)?dPd???????其中 是取正向记: 图示 光设 D(既是 X 型又是 Y 型)即穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直线与 D 的边办曲 的交点恰两点.?设 D: , bxa?)((21xy????????dxPxdPdyPbaaxD ??? ????? )(,)(,, 12)(21 ???? ????dxddx babba ?? ????? )(,,,)(, 21212因此 ??????PxdyD设 D: yc?)(2)(1yy??类似可证 ?????DQdx即得格林公式例 1:计算曲线积分 :(1) 逆时针ydxx2??? 22ayx??(2) 上半部分, 轴,逆x解: 由 Green 公式yxP2??2xQ?2xyP???2yQ(1) 计算曲线积分uadrddaD ??????? )( ???? (2) 40322)( adrdxydxyx aD?????????????例 2:计算椭圆 所围面积 A.12ba解: :常数方程 ?txcos?tbysin??abdttbadyA ?? ????????20 )sin(ico2例 3:计算 ,其中 是?2xI?(1)使所含区域 D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2) 含原点但不径原点解: 2yxP???2yxQ??2)(yxp?????(1) 满足 Green Th 连续条件???DdyxdI 02?(2) 不满足 Green Th 连续条件选取适当小的 ,作圆周 : (使 全部含于 所围区域)???22???yx??记 围成 D, 于是在 内, 格林公式成立???1故?????????001Dd???22yxdyx法一:右式 ?????2)sin(co2sin,co02?????dyx学 数 方 程法二:右式 ?????21122 ??yxGd?公 式二、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分 与路径无关:???Qdyx??????12QdyPxdyx图示 (且公与 有关)BA,定理: 和平面单连通域 D 上具连续一阶偏导,则如下四条件等价.),(,yxQP(1) ???,(2) 分段光滑闭曲线???0dyx?(3)积分 在 D 内与路径 无关,公与 A,B 位置有关ABQP(4)存在单值函数 , 使它全微分)(yxu??即 ddxu???Pxu??Qy证明:同证 , 下证 , , )2(1?)3()1(4?)4(3)1(存在函数 使 yxudyxyxPdu,??则 ),(P??),(Q?于是 yxu2xu?2由条件 (连续)?2故 xQyP??)4(3?曲线积分 仅与 , 有关, 记???ABdyx)(0yxA)(B(说明右式是 函数)?),(0,(yxQPu yx,下证 ?xyuux??????),(),(lim0QdyPxdPyx yx???),( ),(0 0li xdyPxQdyPxyx ????????????? ),(limlim0),(0),(),(),(1xxTh 连 续中 值 ???????? ???????? ),(,li,li 001 yxPyxx ???同理, ),(Qyu?故 QdyPxyudx?????推出公式: 图示 AC: CBA?01x?0?dyCB: 1x?y曲线积分计算公式 dyxQyxPQdyPdx yyBxAAB ),(),(101012),( 0???? ?????原函数计算公式 CdCu yyx xTh? ,,),( 00 0),(过 程特 D?)0,(??y0),(,可证 ),(),(),( 01),(10 yxuxuQdPxQdPABByxABA?????------曲线积分的 N-2 公式例 4:计算 三路径.yxOA??2解: 图示 P),(?2),(x?xQy?21)02( ???????? ????? dyxdydxdOA例 5:计算 . 是yxyI sinicoss2(2?? ?的上半圆周.从 到1)?x ),(O),(A解: .I 值与路径无关 ,QyP??0???yAx1?0dy 则 ????204xdIOA????2I例 6: . :例 5.dyxxyy)sini()coss( 21 ??? ?解一: :不能用与路径无关的相关公式.xQyP??非闭 :才能用 Green 公式.原始方法(第二类曲线积分) 图示 几乎不可能?????tyxsin1co解二:(设法满足二之一: 闭)?,xyxyPcos2sin???? 1si2co???xQ设 :(从 A 到 O 直线段) ,则 构成闭曲线,1? 0,,1,0??dyOA 1?顺进针.所围闭域 D: , 1?????cos2r由 Green 公式(即 ))(1 ?????????? DDdyPxQ?????12?而 dyxxysini2(coss2221 ????024xd故 .???121?I解三:(设法满足二之另一, )xQyP?设 .coss22xP?? yxysini221??xQ?2则 与路径无关.21QxyP??1d???1ddxI??????211 ?200cos)(?t4?例 7:(得用曲线积分求) 的原函数 .dyxdyx)2()2( ??? ),(yxu并求 .(其中 是从 A(1,0)到 B(2,2)的曲线段)?)2,(01?解: 22yxP???22yxQ?yxQP2??Cddu ???? )()(),( 222),02yxyxdxy ?????? 3230 11),()2()2( ),(01),201? yu作业: 1(1)(4) 2(已提示) 4(1) 5(2) 6(2)5P
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高数 格林公式在封闭曲线的情况下才能使用 但封闭曲线也可以用转化为定积分的一般解法 想想问什么情况下封闭曲线要用格林公式转化为二重积分
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Green公式要求：D是连通有界闭区域,L为D的正向边界,P(x,y),Q(x,y)在D上连续可偏导.不封闭可以补在减掉,不是正向边界也可以取负的.但是连续可偏导的条件必须存在.Gauss公式：Ω为实心几何体,∑为Ω外表面,P、Q、R在Ω上连续可偏导.同样Ω不封闭也可以补,∑不是外表面也可以取负.但是连续可偏导的条件必须存在.艾玛,敲得我累死了~(>_
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