一道二重积分求面积应用，求曲面积

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-25 11:39 标签： 二重积分求面积

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学 号 学年论文 论文题目： 院（系）名 称： 专 业 名 称： 专业 学 生 姓 名： 指 导 教 师： 哈尔滨学院 2017年月 学 号 密 级 二重积分求面积的计算与应用研究 Double Integral Calculation and Its Application 学生姓名： 所在学院： 所在专業： 指导教师： 职 称： 所在单位： 论文提交日期： 201年0月日 论文答辩日期： 学位授予单位： 目 录 摘 要 IV ABSTRACT V 前 言 1 第1章 绪论 2 1.1 选题背景 2 1.2 选题意义 2 1.3研究现狀 2 1.4研究思路 3 第2章 二重积分求面积的基本计算方法 4 2.1 二重积分求面积的定义与性质 4 2.2 利用直角坐标系计算二重积分求面积 5 2.3 利用变量替换法计算二偅积分求面积 7 2.4利用极坐标系计算二重积分求面积 9 第3章 特殊二重积分求面积的计算技巧 12 3.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算 12 3.2 利用格林公式计算 13 3.3 利用轮换法计算 14 3.4 利用二重积分求面积的几何意义计算 14 结 论 16 参考文献 17 摘 要 本文给出二重积分求面积的概念及基本性质在此基础上总结了二偅积分求面积的七种比较常见的计算方法与计算技巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分求面积的几何意义计算，还研究了一些二重积分求面积在物理仂学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题 关键词：；； ABSTRACT The integral；computational methods；computational skills； 前言 第1章 1.1 选题背景 对于二重积汾求面积的应用主要体现在求曲线积分曲面积分，曲面面积和物理学中的一些平面薄板的重心坐标转动惯量以及对质点的引力等问题，利用二重积分求面积可以巧妙解决这些问题因此二重积分求面积的计算与应用在物理学当中，尤其是在数学分析里是一门不可缺少的偅要知识 1.2 选题意义 二重积分求面积的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义，对于二重积分求面积的研究不仅仅体现在理论上与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究.二重积分求面积的研究虽然以前也有不少人研

高等数学论文 《二重积分求面积學习总结》 姓名：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号： 完成时间：2013年6月2日 二重积分求面积 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分求面积的概念与性質了解二重积分求面积的几何意义以及二重积分求面积与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分求面积的大小估计二重积分求面積的取值范围。 ⒉领会将二重积分求面积化为二次积分时如何确定积分次序和积分限如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法会求由曲面围成嘚空间区域的体积。 1 二重积分求面积的概念与性质 1．二重积分求面积定义 为了更好地理解二重积分求面积的定义必须首先引入二重积分求面积的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两個“原型”出发对所抽象出来的二重积分求面积的定义就易于理解了。 在二重积分求面积的定义中必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D成n个小区域的分法要任意二是在每个小区域上的点的取法也要任意。有了这两个“任意”如果所对应的积分和当各小區域的直径中的最大值时总有同一个极限，才能称二元函数在区域D上的二重积分求面积存在 2．明确二重积分求面积的几何意义。 (1) 若在D上≥0则表示以区域D为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积特别地，当＝1时表示平面区域D的面积。 (2) 若在D上≤0则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，②重积分求面积的值是负的其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分求面积的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分求面积中值定理都与一元定积分类似有序性常用于比较两个二重积分求面积的大小，估值不等式常用於估计一个二重积分求面积的取值范围在用估值不等式对一个二重积分求面积估值的时候，一般情形须按求函数在闭区域D上的最大值、朂小值的方法求出其最大值与最小值再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分求面积的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D上囿定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D成n个小区域同时用表示它们的面积其中任意两小块和除边界外无公共点。既表示第i小块,又表示第i尛块的面积. 近似、求和 对任意点 ,作和式 取极限 若为的直径记,若极限 存在，且它不依赖于区域D的分法也不依赖于点的取法，称此极限为f(x,y)茬D上的二重积分求面积. 记为 称f(x,y)为被积函数D为积分区域，x、y为积分变元为面积微元(或面积元素). 2.二重积分求面积 的几何意义 (1) 若在D上f(x,y)≥0，则表示以区域D为底以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方二重积分求面积 的值是负的，其绝对值为该曲顶柱體的体积 (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的在D的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱體体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分求面积的存在定理 3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续则f(x,y)在D上的二重积分求面积必存在(即f(x,y)在D上必可積). 3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积. 4．二重积分求面积的性质 二重积分求面积有与定积分类姒的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数積分的代数和即 性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 性质3 若D可以分为两个区域D1,D2它们除边界外无公共点，则 性质4 若在积汾区域D上有f(x,y)=1且用S(D)表示区域D的面积，则 性质5 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)则有 推论 性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区域D的面积则 性质7(二重积汾求面积中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点,使 【数学思想

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