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数学中考复习专题【囊括中考全部考点】
中 考 数 学 专 题 化 复 习 资 料【精简讲练 中考必备】1目录 专题一《数与式》 .................................... 3●专题一《数与式》习题答案 .................................................................................................................................. 11专题二《方程与不等式》 ............................. 13●专题二《方程与不等式》习题答案 ...................................................................................................................... 21专题三《函数》 ..................................... 23●专题三《函数》习题答案 ...................................................................................................................................... 33专题四《统计与概率》 ............................... 36●专题四《统计与概率》习题答案 .......................................................................................................................... 44专题五《线段、角与三角形》 ......................... 46●专题五《线段、角与三角形》习题答案 .............................................................................................................. 52专题六《四边形》 ................................... 54●专题六《四边形》习题答案 .................................................................................................................................. 60专题七《圆》 ....................................... 62●专题七《圆》习题答案 .......................................................................................................................................... 69专题八《锐角三角函数与解直角三角形》 ............... 71●专题八《锐角三角函数与解直角三角形》习题答案 .......................................................................................... 78专题九《图形与变换》 ............................... 80●专题九《图形与变换》习题答案 .......................................................................................................................... 86专题十 中考数学各种题型的突破方法 .................. 88●专题十 《中考数学各种题型的突破方法》习题答案 ........................................................................................ 992专题一《数与式》●中考点击 考点分析： 内容 1、平方根，算术平方根、立方根的概念及表示，乘方的意义 2、无理数和实数的概念，近似数和有效数字 3、二次根式的概念及加、减、乘、除运算法则 4、实数的大小比较，实数的混合运算 5、单项式、多项式有整式概念 6、整数指数幂的意义和基本性质，整式的加、减、乘、除运算，乘法公式 7、提公因式法、公式法分解因式 8、分式的概念，分式的基本性质，约分和通分 9、简单的分式加、减、乘、除 要求 Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ要求Ⅰ：理解掌握 要求Ⅱ：灵活运用 命题预测：实数是初中数学的基础知识，也是其他学科的重要工具．因此在近年来各地的中考试题中一直占 有重要的地位．这部分试题大多数十分重视基础知识的考察，试题的呈现形式多以贴近生活实际的形式，试题的 难度不大．多数来源于教材的习题或稍加变通．题型主要是填空题、选择题也有计算题，但是，计算题的难度不 大，没有繁杂的计算．近几年来，部分地区还设计了开放性探索题．预计今后的中考对实数的考察难度将依然控 制在 2006 年的基础上．这部分的试题量一般占试题总量的 2%――6%，分值占总分的 3%――5%． 代数式的知识在历年全国各地的中考试卷中始终占有一定的地位， 并且与实数部分一样， 试题多数为题型小、 难度低、思维量少、一捂即得的填空题和选择题，基本上没有难题和怪题，虽然近年部分省、市出现了一些开放、 猜想题、规律探索题、阅读理解题等创新题型，但是，多数都来源于教材，考生依然会感到得心应手．这部分考 题一般在 6%左右，分值占 7%左右． 综上所述， 预计今年中考对本专题的内容除继承以往的优点外， 还会继续加强源于教材而又活于教材的题型， 考察学生灵活应用知识的能力．促进课堂教学对创新能力的培养，从而全面提高素质教育． ●难题透视 例 1 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是亿元 00 0 0 舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州 212 3 15% 20 15 10 5 01716.5 15.5 15.4 15.31513.6舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州000110010111001111A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110 【考点要求】本题考查以计算机语言为背景，用符号来表示数字的问题．利用符号来表示数字 0 和 1，要求 能实现符号与数字的相互转化． 【思路点拨】通过观察，不难发现两个并排的短横表示 0，而一条长横表示 1，所表示的数是从上往下看， 因而表格中的两个空格中所填的数这 011 和 100 ． 【答案】选 B． 【方法点拨】部分学生不能够读懂题意，无法做出正确选择，往往会随便猜出一个答案．突破方法：根据表 格中所提供的信息，找出规律，容易发现短横与长横所表示的不同意义．然后对照分析出两个安全空格中所应填 写的数字． 解题关键：对题目中提供的信息要仔细观察分析，理解其表示的意义． 例 2 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按图 1-1 方式铺地板， 则第 （3） 个图形中有黑色瓷砖 块， 第 n 个图形中需要黑色瓷砖 块（用含 n 的代数式表示） ．3??（1）（2）（3）【考点要求】本题考查数形结合、整理信息，将图形转化为数据，猜想规律、探求结论． 【思路点拨】根据图形可得出以下数据：第 1 个图形，黑色瓷砖 4 块；第 2 个图形，黑色瓷砖 7 块；第 3 个 图形，黑色瓷砖 10 块??不难看出，每幅图形中的黑色瓷砖依次增加 3 块，如果把第一个图形中的黑色瓷砖表 示为 1＋3，则第 2 个图形中的黑色瓷砖可表示为 1＋3×2……所以第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1+3n． 【答案】黑色瓷砖 10 块，第 n 个图形中的黑色瓷砖为 1+3n． 【方法点拨】部分学生缺乏一定的图形鉴别能力，不知如何分析．突破方法：抓住其中的黑色瓷砖数目的变 化规律，结合图形，观察其变化规律． 例 3 下列运算中，计算结果正确的是（ ） A. x ? x ? x2 3 6B. x92n? x n?2 ? x n? 23 6C. ( 2 x ) ? 4 x3 2D. x ? x ? x3【考点要求】本题考查整式运算公式． 【思路点拨】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不 变，指数相乘．A 项结果应等于 x ，C 项结果应等于 4 x ，而 D 项无法运算． 【答案】选 B． 【方法点拨】部分学生对幂运算公式掌握不够熟练，容易前生计算错误．突破方法：加强相关练习，熟悉乘 法公式． 例 4 我国自行研制的“神舟 6 号飞船”载人飞船于 2005 年 10 月 12 日成功发射，并以每秒约 7.820185 公里的 速度，在距地面 343 公里的轨道上绕地球一圈只需 90 分钟，飞行距离约 km．请将这一数字用科学记数 法表示为________km．(要求保留两位有效数字)． 【考点要求】本题考查了学生科学记数法以及有效数字的知识． 【思路点拨】用科学记数法表示绝对值较大的数时，关键是 10 的指数，可归纳为指数 n 等于原数整数部分 的位数减一．所以这一数字可表示为 4.2?107． 【答案】4.2?107． 【方法点拨】部分学生在用科学记数法表声学家较大或者较小的数时，对于 10 的指数容易弄错．突破方法： 掌握规律，记住幂的指数的确定方法． 解题关键：科学记数法 a ?10 中，a 是整数数位只有一位的数，10 的指数是由小数点移动的位数决定的，也n56可以简单的记作用原数的数位减去 1 所得到的数值． 例 5 分解因式： 1 ? 2a ? a ? b =2 2．【考点要求】本题考查多项式的因式分解． 【思路点拨】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组，2 2 2 2 本题应采用一三分组法进行分解．原式 ? (1 ? 2a ? a ) ? b ? (1 ? a) ? b ? (1 ? a ? b)(1 ? a ? b) ．【答案】填 (1 ? a ? b)(1 ? a ? b) 【规律总结】部分学生含四项的多项式分解感到有一些困难．突破方法：在无法用提公因式或者直接运用公 式进行因式分解时，往往还会进行分组分解．4解题关键：分组分解一般是对含四项的多项式而言的，常见的有两种分组方法：二二分组，一三分组，有时 还需要对原式的各项进行必要的交换． 例 6 有一道题“先化简，再求值： ( 错抄成了“x?2 4x 1 ? 2 )? 2 ，其中 x?2 x ?4 x ?4． ”小玲做题时把“”” ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？【考点要求】本题考查的是分式的化简求值，同时也考查了学生辨析正误的学习能力． 【思路点拨】 把原式化简，可得x2 ? 4 x ? 4 ? 4 x ? ( x 2 ? 4) ? x 2 ? 4 ．因为 (? 3)2 ? ( 3)2 ，所以无论是 x2 ? 4“ x ? ? 3 ”或“ x ? 3 ” ，代入化简后的式子中，所求得的值都是相等的．因而即使代错数值，结果仍然是正 确的． 【方法点拨】部分学生不熟悉这种题型，因而不知如何下手，举棋不定．突破方法：平时要注意多加积累， 熟悉各种不同形式的问题，同时要能有一定创新思维，能应对新问题． 解题关键：解这类问题时，先按常规方法正确求解，再比较分析为什么会出现值代错了但结果正确的原因． 例 7 已知 a ? b ? m, ab ? ?4 ，化简 (a ? 2)(b ? 2) 的结果是（ ）A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m 【考点要求】本题考查多项式的求值运算，不仅考查了学生整式乘法运算，同时还要求具备整体思想，这也 是数学解题中常用的一种技巧． 【思路点拨】原式按多项式乘法运算后为 ab ? 2(a ? b) ? 4 ，再将 a ? b ? m, ab ? ?4 代入，可得－2m． 【答案】选 D． 【方法点拨】部分学生想通过由已知条件求出 a、b 的值，然后再代入求值，一种情况是无法解得结果，另 一种是会用含 m 的式子表示 a、b，但解题过程较繁琐，且容易出错．突破方法：运用整体思想解题，能发现原 式乘开后可用含 a ? b 和 ab 的式子表示，再将已知条件代入即可． 解题关键：许多类似的求代数式值的问题，往往不是直接将字母的值代入，而是利用整体代入求值． 例 8 如图 1-2，时钟的钟面上标有 1，2，3?12 共计 12 个数，一条直线把钟面分成 了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所 包含的几个数的和都相等，则其中的两个部分所包含的几个数分别是 【考点要求】本题考查对数字的观察及推理能力． 【思路点拨】钟面上的数字之和为 78，依题意，三部分之和相等，则每部分之和只 能为 78÷ 3=26，而图中钟面上的 1、2、11、12 之和已经为 26，所以所画的这条线只能在 图 1-2 图中这条直线的下方，即过 4 和 5，8 和 9 之间画直线． 【答案】3、4、9、10，5、6、7、8． 【误区警示】 本题部分学生不知从何处入手， 或者漫无目标的尝试去画， 这样费时较多， 而且容易达到目标． 突 破方法：仔细阅读，认真分析，理清题意可减少尝试分割的次数．1 1 1 ， ， ?，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 位分数的和，如 ? ? ， ? ? ， ? ? ，? 2 3 6 3 4 12 4 5 20例 9 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数．如 （1）根据对上述式子的观察，你会发现 ，请写出□，○所表示的数；（2）进一步思考，单位分数51 1 1 （n 是不小于 2 的正整数）＝ ? ，请写出△，⊙所表示的式，并加以验 n ?证． 【考点要求】本题考查学生对新信息的理解与运用． 【思路点拨】通过对三组式子的观察，不难找出规律．等式右边的第一个分母是左边的分母加 1，第二个分 母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为 n，则右边第一个分母为（n＋1） ，第二个分母为 n（n＋1） ．所以 问题（1）中，□表示的数为 6，○表示的数为 30；问题（2）中，△表示的式为 n ? 1 ，⊙表示的式为 n(n ? 1) ．验证：n ?1 1 1 1 n 1 ? ? ，所以上述结论成立． ? ? ? n ? 1 n( n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n( n ? 1) n【答案】 （1）□表示的数为 6，○表示的数为 30； （2）△表示的式为 n ? 1 ，⊙表示的式为 n(n ? 1) ． 【方法点拨】部分学生不能看出题目已知条件中所反映出的规律．突破方法：对比已知的三个式子，进行比 较分析，可以看出每个等式中的各个分子都是 1，而分母也特殊关系，得到这些信息后，完成解题不再困难． 解题关键：当题中有一组并列条件时，往往将它们放在一起进行观察、比较、分析，从中发现重要信息． 例 10 阅读下面的材料，回答问题： 点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为 AB ．当 A、B 两点中有一点在原点时， 不妨设点 A 在原点，如图 1-3， AB ? OB ? b ? a ? b ；当 A、B 两点都不在原点时： （1）如图 1-4，点 A、B 都在原点的右边， AB ? OB ? OA ? b ? a ? b ? a ? a ? b ； O（A） 0 图 1-3 O 0 A a 图 1-4 （2）如图 1-5，点 A、B 都在原点的左边， AB ? OB ? OA ? b ? a ? ?b ? (?a) ? a ? b ? a ? b ； （3）如图 1-6，点 A、B 在原点的两边， AB ? OA ? OB ? a ? b ? a ? (?b) ? a ? b ? a ? b ． B b 图 1-5 B b O 0 图 1-6 A a O 0 A a B b B b6综上，数轴上 A、B 两点之间的距离 AB ? a ? b ． 回答下列问题： （1）数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是 （2）数轴上表示 x 和－1 的两点 A 和 B 之间的距离是是；数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离 ． ．如果 AB ? 2 ，那么 x= ．【考点要求】本题通过阅读材料，引出数轴上两点 A、B 的距离公式 AB ? a ? b ，再引出相关问题，考查 学生阅读材料，获取新的信息和结论，然后应用所得结论，解答新问题的能力． 【 思 路 点 拨 】 依 据 阅 读 材 料 ， 所 获 得 的 结 论 为 AB ? a ? b ， 结 合 各 问 题 分 别 代 入 求 解 ． （1） （ 2 ） AB ? x ? (?1) ? x ? 1 ；因为 AB ? 2 ，所以 x ? 1 ? 2 ，所以 2 ? 5 ? 3, ?2 ? (?5) ? 3, 1 ? (?3) ? 4 ；x ? 1 ? 2 或 x ? 1 ? ?2 ．所以 x ? 1 或 x ? ?3 ． 【答案】 （1）3，3，4； （2） x ? 1 或 x ? ?3 ．【误区警示】部分学生因为题目较长，阅读能力稍差的同学不易找出正确结论解题．突破方法：反复阅读材 料，从中获取重要结论，帮助解题． ●难点突破方法总结 实数是初中数学基础知识，中考试题中的实数问题各种题型都会涉及到，在解决实数问题时，要注意以下几 点： 1.要准确掌握各个概念．概念是组成数学知识的基本元素．实数一章中的概念较多，基础性强，对后续学习 影响大，不少概念还含有运算性质．如相反数、倒数、绝对值、算术平方根、负整数指数幂、科学记数法等，所 以必须要弄清各个概念的区别或者联系，防止应考过程中出现混淆． 2.要熟练各种运算．明白各种运算法则和运算性质，要通过一定量的练习使实数的有关运算形成一定的运算 技能． 3.在解答有关实数的选择题、填空题和计算题时，一般采用直接求解法．对于体现创新意识的探索规律型问 题，可采用图示、猜想、归纳、计算验证等各种方法． 整式和分式是代数中的重要内容，填空、选择题以基本概念为主，而解答题则以化简、求值为主．一般要注 意如下内容： 1.要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项，分式的通分和约分、最简分式等概念的内涵．特别要关注 简单整式和分式的运算． 2.运用公式或法则进行计算，首先要判断题目是否具备某一公式或者法则的结构特征，在此基础上正确选用 公式或法则进行计算． 3.灵活运用分式的基本性质、变号法则、因式分解、整体变换等解题技能进行分式的约分和通分运算． 4.充分关注数形结合思想、整体思想、分类讨论思想，在整式和分式变换求值中的应用． 5.此外，试题呈现的背景贴近生活，贴近社会，而不再是拘泥于抽象的纯数学问题，因而要求学生要学会观 察、分析、猜想、验证、表达等基本的解决辨别及解决问题的能力和策略． ●拓展演练 一、填空题 1． （1 2007 ） ? （－2）2008＝ 2．2． 如果数轴上不同的两点 A、B 所表示的数的绝对值相等，那么 A、B 两点所表示的数可以是 （只写出一组即可） ． 3． 若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，则（a＋b）－cd＝ ．74． 已知分式x2 ?1 ，当 x＝ ( x ? 2)(x ? 1)1 11 2 1 3 1 6 1 2时，分式的值为 0．5． 德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为 1，分母为正整数的分数） ： 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行1 31 4 1 5 1 201 121 121 4 1 20 1 51 30? ?? ? 根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： ． 6 ． 在方格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角 形．如图，在 4?4 的方格纸上，以 AB 为边的格点三角形 ABC 的面积为 2 方单位，则符合条件的 C 点共有 个． 7. 观察按下列顺序排列的等式: 9× 0+1=1 B 9× 1+2=11 9× 2+3=21 9× 3+4=31 9× 4+5=41 …… 猜想:第 n 个等式(n 为正整数)用 n 表示,可以表示成_________________________. 若非零实数 a，b 满足 4a ? b ? 4ab ，则2 2个 平A8.b = a．9． 有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出 1 米长的电线，称出它的质量为 a，再称其余 的电线总质量为 b，则这捆电线的总长度是 ． 10．已知二次三项式 2 x ? bx ? c 分解因式为 2( x ? 3)( x ? 1) ，则 b、c 的值为2．二、选择题 11．按一定的规律排列的一列数依次为： 是 （ A． ） B．1 1 1 1 1 1 , , , , , ┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第 7 个数 2 3 10 15 26 35C． )1 451 401 46D．1 502 12．当 x＜1 时,化简 ( x ? 1) 的结果为(A. x－1 B. －x－1 C. 1－x D. x＋1 13．如图所示,图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2),(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的 规律继续叠放下去,?至第八个叠放的图形中,小正方体木块总数应是 ( ) A. 66 B. 91 C. 120 D.153814．用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第 n 个图案中正方形的个数是 （ ）??n=1 n=2 n=3A． n B． 4 n ? 3 C． 4 n ? 1 D． 3n ? 2 15．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折 n 次 后折痕的条数是 （ ） A．2n－1 B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1 16．把多项式 1-x2+2xy-y2 分解因式的结果是 （ ） A. C. (1 ? x ? y)(1 ? x ? y) 17．计算 ( x ? y ? B. (1 ? x ? y)(1 ? x ? y) D. (1 ? x ? y)(1 ? x ? y)4 xy 4 xy )( x ? y ? ) 的正确结果是 x? y x? yB． x ? y2 2（）A．C． x ? 4 y22D．18．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大 1 米，需增加 m 米长的铁丝．假设地球赤道上也 有一个铁箍，同样半径增大 1 米，需增加 n 米长的铁丝，则 m 与 n 的大小关系是 （ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定 三、解答题 19．观察下列各式及其验证过程: 验证: 22 2 = 2? . 3 32 = 3验证： 223 = 3(23 ? 2) ? 2 2(22 ? 1) ? 2 = ? 22 ? 1 22 ? 12?2 ； 3 3? 3 ． 8验证: 33 3 3 33 = 3 ? ．验证： 3 = = 8 8 8 8(33 ? 3) ? 3 3(32 ? 1) ? 3 = ? 32 ? 1 32 ? 1(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 44 的变形结果并进行验证； 15(2)针对上述各式反映的规律,写出用 n(n 为任意自然数,且 n≥2)表示的等式,并给出证明．920．阅读下列题目的计算过程：x?3 2 ? 2 x ?1 1? x＝x?3 2( x ? 1) ? ( x ? 1)(x ? 1) ( x ? 1)(x ? 1)（A）＝（x－3）－2（x－1） （B） ＝x－3－2x＋1 （C） ＝－x－1 （D） （1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 （2）错误的原因 ． （3）本题目正确的结论为 ．．10●专题一《数与式》习题答案一、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 【答案】2（点拨：原式= ( )1 2200722007 2 ? (1 ?2． ） 2【答案】 （答案不唯一） 【答案】－1（点拨：a，b 互为相反数，所 a＋b=0，c，d 互为倒数，所 cd=1． ） 【答案】－1（点拨：由题意 x ? 1 ? 0 且 ( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ，所以 x=－1． ）2【答案】1 1 1 1 1 1 、 、 、 、 、 （点拨：每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值． ） 6 30 60 60 30 6【答案】3 个 【答案】 9 ? (n ? 1) ? n ? 10(n ? 1) ? 12 【答案】2（点拨：将原式改写为 4a ? 4ab ? b ? 0 ，所以 (2a ? b) ? 0 ，可求出 b=2a． ）2 29. 【答案】b b ? 1（点拨：先取 1 米长的电线，称出它的质量为 a，其余电线质量为 b，则其余电线的长度为 a a b 米，这捆电线的总长度为（ ? 1 ）米． ） a10. 【答案】－4，－6（点拨：将分解后的因式乘开，各项系数应与已知的二次三项式相等． ） 二、选择题 11. 【答案】D（点拨：每个分数的分子均为 1，分母为 n ? 1或 n ? 1（当 n 为奇数时加 1，当 n 为偶数时减 1） ，2 27 为奇数，因而其分母为 7 ? 1 ? 50 ． ） 12. 【答案】C（点拨：开方的结果必须为非负数． ） 13. 【答案】C（点拨：每增加一层所多出的个数为原来最下面一层个数加 4，列出前面几组数据，第一层：1，2第二层：1＋（1＋4） ，第三层： 1 ＋ （1＋4）＋ （1＋4?2）＋?＋[1＋4(n－ 1)]= n ? 4 （n 表示第几个叠放的图形） ，当 n=8 时，共有 2 ? 8 ? 8 ? 120 .）2n(n ? 1) ? 2n 2 ? n 214. 【答案】C（点拨：n=1，有 3 个正方形；n=2，有 7 个正方形；n=3，有 11 个正方形?，规律：n 每增加 1， 就多出 4 个正方形． ） 15. 【答案】C（点拨：除了第一次对折得到 1 条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍． ） 16. 【答案】A（点拨： 1 ? x ? 2xy ? y ? 1 ? ( x ? 2xy ? y ) ? 1 ? ( x ? y) ? (1 ? x ? y)(1 ? x ? y) ． ）2 2 2 2 217. 【答案】B（点拨：将括号内的式子分别通分． ）?r ? 2 ? ；设地球赤道半径为 R ，则 18. 【答案】 C （点拨：设地球仪赤道半径为 r ，则 m ? 2? (r ? 1) ? 2n ? 2? ( R ? 1) ? 2 ?R ? 2 ? ，所以相等． ）三、解答题 19． 【答案】(1)44 4 = 4? ． 15 15验证:44 4 43 (43 ? 4) ? 4 4(42 ? 1) ? 4 = = = = 4? 2 2 15 15 15 4 ?1 4 ?111(2)由题设及(1)的验证结果,?可猜想对任意自然数 n(n≥2)都有: nn n = n? 2 ． n ?1 n ?12证明：∵nn = 2 n ?1n3 n(n 2 ? 1) ? n (n3 ? n) ? n = = ， n2 ? 1 n2 ? 1 n2 ? 1∴nn n = n? 2 ． n ?1 n ?1220． 【答案】 （1）B ； （2）去分母； （3）x ?3 2 ? ； 2 x ?1 1? x?x ? 3 ? 2x ? 2 ?x ?1 1 x ?3 2( x ? 1) ? ? ? ? ． ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1) 1 ? x本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn12专题二《方程与不等式》●中考点击 考点分析： 内容 1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念 2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用 3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程 4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用 5、一元二次方程根的判别式及应用 6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集 7、不等式的基本性质 8、一元一次不等式（组）的解法及应用 要求 Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的 分值平均占到 25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的 简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二 次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大； 列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合
年 的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考 查． 不等式与不等式组的分值一般占到 5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填 空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式 （组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即 列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于 数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视亿元 58
舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州 00
例 1 解方程：．【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母 即可．% 20 17 16.5 15.5 15.4 15.3 15原方程变形为15 10 5 0 舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州13.6方程两边都乘以 ( x ? 1)(x ? 1) ，去分母并整理得 x ? x ? 2 ? 0 ，2台州解这个方程得 x1 ? 2, x2 ? ?1 ．经检验， x ? 2 是原方程的根， x ? ?1 是原方程的增根．∴原方程的根是 x ? 2 ． 【答案】 x ? 2 ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法： 牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少．2 2 ? ?4 x ? y ? 0, 例 2? 2 ? ? x ? xy ? 3 ? 0.【考点要求】本题考查用消元法解二元二次方程组． 【思路点拨】解方程组的基本思路就是消元和降次，要根据方程组的特点选取适当方法．132 2 ? ?4 x ? y ? 0, ? 2 ? ? x ? xy ? 3 ? 0.① ②由方程①可得 ?2 x ? y ??2 x ? y ? ? 0 ，∴ 2 x ? y ? 0, 或2 x ? y ? 0 .它们与方程②分别组成两个方程组：?2 x ? y ? 0 ? 2 ? x ? xy ? 4 ? 0解方程组 ??2 x ? y ? 0 ? 2 ? x ? xy ? 4 ? 0可知，此方程组无解；?2 x ? y ? 02 ? x ? xy ? 4 ? 0解方程组 ??2 x ? y ? 02 ? x ? xy ? 4 ? 0得??x1 ? 2 ?x2 ? 4?x2 ? ?2 ? ? y2 ? ?4所以原方程组的解是 ??x1 ? 2 ?x2 ? 4 ?x2 ? ?2 ? ? y2 ? ?4?x2 ? ?2 ? ? y2 ? ?4【答案】 ??x1 ? 2 ?x2 ? 4【规律总结】少数学生未能掌握二元二次方程组的基本解题思路，不知如何处理．突破方法：将第一个方程 通过因式分解，得到两个一次方程，再分别与第二个方程组成两个新的方程组，求解． 解题关键：解二元二次方程组的基本解题思想是消元，即化二元为一元．常用的方法就是通过因式分解进行 降次，再重新组成新的方程组求解，所求得的结果即为原方程组的解． 例 3 下列一元方程中，没有实数根的是（ ） A． x ? 2 x - 1 ? 02B． x ? 2 2x ? 2 ? 02C．D．【考点要求】本题考查一元二次方程根的判别式． 【思路点拨】根据 ，确定好选项方程中的各项的系数及常数项，代入根的判别式进行计算，如果所求结果非负，则有实数根；否则没有实数根． C 选项中 ? b2 ? 4ac ? ( 2)2 ? 4 ?1?1 ? ?2 ＜0，方程无实数根． 【答案】选 C． 【错解分析】出现错误的学生主要是两原因：一是根的判断式未能记牢，出现使用错误，二是在确定各项系 数和常数项时，弄错符号，导致计算错误．突破方法：将一元二次方程化为一般式后，再确定系数及常数项． 解题关键：根据 ? b ? 4ac 可知，若二次项系数与常数项异号，则方程必有实数根，从而缩小解题范围．2例 4 用换元法解分式方程 x2 ? x ? 1 ?2 时，如果设 y ? x 2 ? x ，那么原方程可化为关于 y 的一元二次方程 x ?x2的一般形式是 ． 【考点要求】本题考查利用换元法将分式方程转化为整式方程． 【思路点拨】整体代换（换元法）也是我们解方程常用的方法之一，它在解方程中起到消元、降次简化运算 的作用．14把 y ? x 2 ? x 代入原方程得， y ? 1 ? 【答案】 y 2 ? y ? 2 ? 0 ．2 ，即 y 2 ? y ? 2 ? 0 ，故答案应填写 y 2 ? y ? 2 ? 0 ． y【方法点拨】整体换元要求原方程具备一定结构特点，如果不具备，必须设法通过变形化出相同或者相关的 形式再进行换元． 例 5 若不等式组 ??2 x ? 3x ? 3 的正整数解只有 2，求 a 的整数值． ?3x ? a ? ?6【考点要求】本题考查解不等式组及不等式组的解集等知识的综合运用． 要求 a 的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有 2，列出关于 a 的不 等式组，进而求出 a 的值．?x ? 3 ?2 x ? 3x ? 3 ? ，解得 ? a?6． ? x? ?3x ? a ? ?6 ? 3 ?又∵原不等式组只有正整数解 2． 由右图，应有 ．∴ 9 ? a ? 12, ∴ a ? 9,10,11. 【答案】 a ? 9,10,11. 【误区警示】部分学生解出不等式组的解集后，不知如何运用“正整数解只有 2”这一条件．突破方法：用 含 a 的代数式表示不等式组的解集， 结合数轴表示出不等式组的解集， 再转化为关于 a 的不等式组， 求出 a 的值． 例 6 如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示） ，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开 图是矩形．图乙是车棚顶部截面的示意图，弧 AB 所在圆的圆心为 O． 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留 ? ） ．2米 A 4 3米 BAB考 查 O 程 是 图甲 图乙 题 的 常 结 现． 【思路点拨】连结 OB，过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，交弧 AB 于 F，如图． 由垂径定理，可知：E 是 AB 中点，F 是弧 AB 中点， FA E O ? B60 米【考点要求】本题 用方程解几何问题，方 解决几何有关计算问 有效的方法和工具，通 合勾股定理的形式出1 AB ? 2 3 ，EF=2． 2 设半径为 R 米，则 OE=(R－2)米．∴EF 是弓形高 ∴AE= 在 Rt△AOE 中，由勾股定理，得 R 2= ( R ? 2)2 ? (2 3 )2 ． 解得 R =4．15∵sin∠AOE=AE 3 ? ， ∴ ∠AOE=60° ， OA 2∴弧 AB 的长为 120 ? 4? =180∴∠AOB=120° ． ∴帆布的面积为8 ?． 38 ． ? ×60=160 ? （平方米） 3【答案】160 ? （平方米） ． 【方法点拨】部分学生遇此问题，不能将实际问题抽象为数学问题．突破方法：联系实际，将车棚顶部展开 得长方形，其长为车棚长，宽为弧 AB 长． 解题关键：在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中 的问题抽象为数学问题． 例 7 已知方程组 ? A．m≥－? y ? 2 x ? m, 的解 x、y 满足 2x+y≥0，则 m 的取值范围是（ ?2 y ? 3 x ? m ? 14 3C．m≥1 D．－）4 3B．m≥4 ≤m≤1 3【考点要求】本题考查方程（组）与不等式的综合问题，此类题型常用的方法是可把 m 看作已知数，用它来 表示其余未知数．1? m 2 ? 5m 4 ,y ? ，代入 2x+y≥0，解得 m≥－ ．或者也可整体求值， 3 7 7 4 3m ? 4 把第(2)式乘以 4 减去第(1)式直接得 7 y ? 14x ? 3m ? 4 ，得 2 x ? y ? ? 0 ，解得 m≥－ ． 3 7【思路点拨】由题意，可求出 x ? 【答案】选 A． 【方法点拨】本题一般做法是把 m 看作是已知系数，用含 m 的代数式表示 x、y，解出方程组的解，然后再 把所求的 x、y 的值入题目中的不等式，从而得到只含 m 的不等式，求出解集．或者也可以依据题目条件的特点， 从整体考虑，直接进行整理得到与不等式相关的代数式，进行求解． 例 8 根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？小朋友，本来你用 10 元钱买一盒饼干 是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！ 今天是儿童节， 我给你买的饼干打 9 折， 两样东西请拿好！还有找你的 8 角钱． 一盒饼干的标价 可是整数元哦！阿姨， 我买一盒饼干和一 袋牛奶（递上 10 元钱）【考点要求】本题考查方程在实际情境中的运用，结合现实问题情景,需把方程和不等式有关内容有机结合 起来,求出整数解. 【思路点拨】设饼干的标价每盒 x 元，牛奶的标价为每袋 y 元，? x ? y＞10 ? 则 ?0.9 x ? y ? 10 ? 0.8 ? x＜ 10 ?① ② ③16由②得 y=9.2－0.9x ④ 把④代入①，得 x+9.2－0.9x＞10 ∴ x ＞8 由③得 8＜x＜10 ∵x 是整数 ∴x=9 将 x=9 代入④，得 y=9.2－0.9?9=1.1 【答案】饼干一盒标价 9 元，一袋牛奶标价 1.1 元． 【方法点拨】部分学生不习惯这种情境题，不能很好地从情景对话中找出有用的信息来．突破方法：因为题 目中的条件只是两人对话，因此要紧紧围绕两人的对话进行分析，综合各数据列出不等式组求解． 解题关键：情境题中的条件一般不会很多，但每一句话都可能给出重要信息，因此要仔细阅读分析． 例 9 某商场计划拨款 9 万元从厂家购买 50 台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别 为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元，商场销售一台甲种电视机可获利 150 元，销售乙 种电视机每台可获利 200 元，销售丙种电视机每台可获利 250 元． (1)若同时购进其中两种不同型号电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案； (2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的 3 倍．商场要求成本不能超过计 划拨款数额，利润不能少于 8500 元的前提，购进这三种型号的电视机共 50 台，请你设计这三种不同型号的电视 机各进多少台？ 【考点要求】本题考查方程（组）在实际生活中的应用． 【思路点拨】在市场经济大环境背景下,用数学知识确定价格,预计利润,是中考应用性问题的常见题型.我们 通过运用数学知识能够避免盲目的投资,创造最大的经济. （1）(Ⅰ)设甲种电视机 x 台,乙种电视机 y 台. 则 1500 x ? 2100 y ?90000 ,解得?x ? y ?50?x ? 25 y ? 25(Ⅱ)设甲种电视机 x 台,丙种电视机 z 台. 则 1500 x ? 2500 z ? 90000 ,解得?x ? z ? 50?x ? 35 z ?15（Ⅲ)设乙种电视机 y 台,丙种电视机 z 台. 则 2100 y ? 2500 z ?90000 ,解得 z ??37.5 (舍去) (2)设甲种电视机 (50 ? 4 z ) 台,乙种电视机 3 z 台,丙种电视机 z 台. 由题意得 150(50 ? 4 z ) ? 200?3 z ? 250 z ?8500 解得: 4 ? z ? 5.357 ∴ z ? 4,5 ∴ 进货方案有:①甲、乙、丙各为 34 台、12 台和 4 台； ②甲、乙、丙各为 30 台、15 台和 5 台； 商场的利润为① 34 ? 150 ? 12 ? 200 ? 4 ? 250 ? 8500 （元） ② 30 ? 150 ? 15 ? 200 ? 5 ? 250 ? 8750 （元） ∴ 要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为 30 台、15 台和 5 台； 【答案】 （1）方案一：甲种电视机 25 台，乙种电视机 25 台，方案二：甲种电视机 35 台，乙种电视机 15 台； （2）要是商场获利最大，则进货方案为甲、乙、丙各为 30 台、15 台和 5 台． 【方法点拨】部分学生完成此题时，解题不能完整．突破方法：本题以现实问题为背景，以方案设计为主题， 体现分类讨论的数学思想. 例 10 某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A 、 B 两种产品，共 50 件．已知生产一件 A 种产品， 需用甲种原料 9 千克， 乙种原料 3 千克；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克， 乙种原料 10 千克． 二、 据现有条件安排 A 、 B 两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来．17?y ? z ?50?y ? 87.5?1500(50 ? 4 z ) ? 2100?3 z ? 2500 z ?90000三、 若甲种原料每千克 80 元，乙种原料每千克 120 元，怎样设计成本最低． 【考点要求】本题考查运用不等式知识解决实际生活和生产中的问题，不仅考查学生对知识的掌握，灵活运 用知识的解题的能力，同时考查学生数学建模的能力． 【思路点拨】 （ 1 ） 设 生 产 A 种 产 品 x 件 ， B 种 产 品 (50 ? x) 件 ． 按 这 样 生 产 需 甲 种 的 原 料?9 x ? 4(50 ? x) ? 360 ，∴ ? ?3x ? 10(50 ? x) ? 290即： 30 ? x ? 32 ．∵ x 为整数，∴ x ? 30,31 ,32, ∴有三种生产方案．第一种方案：生产 A 种产品 30 件， 种产品 20 件； 第二种方案：生产 A 种产品 31 件， B 种产品 19 件； 第三种方案：生产 种产品 32 件， B 种产品 18 件． （2）第一种方案的成本： 80 ? (9 ? 30 ? 4 ? 20) ? 120? (3 ? 30 ? 10 ? 20) ? 62800（元） ． 第二种方案的成本： 80 ? (9 ? 31? 4 ? 19) ? 120? (3 ? 31? 10 ? 19) ? 62360 （元） ． 第三种方案的成本： 80 ? (9 ? 32 ? 4 ? 18) ? 120? (3 ? 30 ? 10 ? 18) ? 61920（元） ． ∴第三种方案成本最低． 【答案】 （1）第一种方案：生产 A 种产品 30 件， B 种产品 20 件； 第二种方案：生产 A 种产品 31 件， B 种产品 19 件； 第三种方案：生产 A 种产品 32 件， B 种产品 18 件． （2）第三种方案成本最低． 【方法点拨】解决本题的关键在于找出生产 A 种产品和 B 种产品分别甲种原料和乙种原料的数量，再根据 厂里现有甲乙两种原料的数量列出不等式组，解不等式组得出结果可得三种生产方案．再根据三种不同方案，求 出最低成本． ●难点突破方法总结 方程（组）及方程（组）的应用问题是中考命题的重点，主要考查学生的应用能力，题型内容贴近生活实际， 考查学生的分析问题和解决问题的能力，在解题时应注意以下问题： 1.正确理解和掌握方程与方程组的相关概念，性质，结论和方法，这是解决有关方程与方程组问题的前提． 2.用化归思想求解二元一次方程组，可化为一元一次方程和一元二次方程的分式方程． 3.熟练掌握用换元法解方程及方程组． 4.关注社会，积累生活经验，通过阅读、观察、比较、分析、归纳、综合等方法解决与生产、生活密切相关 的社会热点问题． ●拓展演练 一、填空题 1． “某数与 6 的和的一半等于 12” ，设某数为 x，则可列方程_________． 2．方程 2x＋y＝5 的所有正整数解为_________． 3．当 x＝______时，代数式 3x＋2 与 6－5x 的值相等．0 4．方程组 ??x ? y ? 3 的解是_________． ?2 x ? 3 y ? ?4 ?x ? 2 ?x ? y ? a 的一组解是 ? ，则其另外一组解是 ?y ? 3 ?x ? y ? b．5. 已知方程组 ?6. 3 名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要______场比赛，则 5 名同学一共需要______18比赛．x?2 ? 1的解集是__________________． 3 8．当 x_________时，代数代 2 ? 3 x 的值是正数．7．不等式x ?1 ? ?4 x ? 3 x ? 1 的解集是__________________． ? ? 3 ? 2 10．不等式 3x ? 10 ? 0 的正整数解是_______________________．9．不等式组 ? x 11． x ? 2 的最小值是 a， x ? ?6 的最大值是 b，则 a ? b ? __________ _. 12．生产某种产品，原需 a 小时，现在由于提高了工效，可以节约时间 8%至 15%，若现在所需要的时间为 b 小时，则____________& b &_____________． 二、选择题 13．关于 x 的一元二次方程 (a ? 1) x ? x ? a ? 1 ? 0 的一个根是 0，则 a 的值为 （2 2）A. 1B. －lC. 1 或－1D.1 214. 使分式x2 ? 5x ? 6 的值等于零的 x 是( ) x ?1D.-6 )A.6 B.-1 或 6 C.-1 15. 若两个连续整数的积是 56,则它们的和是( A.11 B.15 C.-15 D.±15 16. 若方程组 ??ax ? (a ? 1) y ? 6 的解 x 、 y 的值相等，则 a 的值为 ?4 x ? 3 y ? 14D. 1 ) D.(x+2)(x-3)==-5(）A. －4 B. 4 C . 2 17. 不解方程判断下列方程中无实数根的是( A.-x =2x-12B.4x +4x+225 =0; 4C.2 x2 ? x ? 3 ? 02 18. 若 ? , ? 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个实数根，则 ? ? 3? ? ? 的值（）A．2007 B．2005 C．－2007 D．4010 19．某超市一月份的营业额为 200 万元,已知第一季度的总营业额共 1000 万元, 如果平均每月增长率为 x, 则由题意列方程应为( ) 2 A.200(1+x) =1000 B.200+200?2x=1000 2 C.200+200?3x=1000 D.200[1+(1+x)+(1+x) ]=1000 20.一元一次不等式组 ?? 2x ? 1 ? 3 的解集是 （ ?2 x ? 3 ? 3 x）A．-2＜x＜3 B．-3＜x＜2 C．x＜-3 D．x＜2 21．如图 1，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集 （）191 x?3 x ? ?1 B． ? ?3 C．x+1≥-1 D．-2x＞4 2 2 22．关于 x 的方程 2a ? 3x ? 6 的解是非负数，那么 a 满足的条件是(A． A．a＞3 三、解答题 B．a≤3 C．a＜3 D．a≥3)23．已知关于 x、y 的方程组 ?? x ? 2y ? 1 ． ?x ? 2 y ? m（1）求这个方程组的解； （2）当 m 取何值时，这个方程组的解中，x 大于 1，y 不小于－1． 24．已知方程组 ??2 x ? y ? 5k ? 6 的解为负数，求 k 的取值范围． ? x ? 2 y ? ?1725．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用 电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ②下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况： 月份 用电量（度） 3月 4月 80 45 交电费总数（元） 25 10根据上表数据，求电厂规定 A 度为多少？26．艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等. （1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ （2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品 100 件．若每件工 艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最 大利润是多少元?27．近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建的某段高速公路 要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作 24 天可以完成，需费用 120 万元，若甲单独做 20 天后，剩 下的工程由乙做，还需 40 天才能完成，这样需费用 110 万元．问： （1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要 多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需要费用多少万元？20●习题答案 ●专题二《方程与不等式》习题答案 一、填空题 1.1 ( x ? 6) ? 12 22. ??x ? 1 ?x ? 2 ,? （提示：将原方程化为 y ? 5 ? 2 x ，x 从 1 取起，求出相应的 y 的值，要求均为正） ?y ? 2 ?y ?11 （提示：列方程 3x ? 2 ? 6 ? 5 x ） 23. x ? 4. ??x ? 1 （提示：用代入消元或加减消元法） ?y ? 2 ?x ? 3 ?x ? 2 （将 ? 代入原方程然后所得解方程即可） ?y ? 6 ?y ? 31 x( x ? 1) 25. ?6. 3，10（提示：设 x 名学生参加比赛，每人需参赛（x－1）场，因为甲跟乙比赛时，也是乙跟甲比，所以 总共比赛场次为7. x≤5（利用不等式的基本性质） 8. x＜2 2 （提示：由题意，2－3 x＞0，解得 x＜ ） 3 3 10 ，再取其中的正整数） 39.－2≤x＜1（提示：求两不等式解集的公共部分） 10.1，2，3（提示：先求出不等式的解集为 x≤11.－4（提示：x≥2 最小值 a=2，x≤－6，最大值 b=－6，a＋b=2＋(－6)=－4） 12.85%a＜b＜92% a（提示：由题意可列不等式（1－15%）a＜b＜（1－8%）a） 二 、选择题 13.B（提示：把 x=0 代入原方程，解得 a=±1，考虑到一元二次方程二次项系数不能为 0，所以 a=－1）? x2 ? 5x ? 6 ? 0 14.A（提示：分式值为 0，即分子为 0 且分母不为 0，所以 ? ，∴x=6. ?x ?1 ? 015.D（提示：设较小数为 x，则较大数(x+1),x(x+1)=56，解得 x1 ? 7, x2 ? ?8 ，故两数为 7、8 或－7、－8） 16.C（提示：因为 x，y 值相等地，则原方程组可化为 ??ax ? (a ? 1) x ? b ?x ? 2 ，解之得 ? ） ?4 x ? 3x ? 14 ?a ? 2217．B（提示：先将各方程整理为一般式，再利用根的判别式进行判断，B 项中 b ? 4ac ? 16 ? 4 ? 4 ? ＜0，所以 B 项方程无实数根）5 ? ?4 418．B（提示：因为 ? , ? 是方程 x2 ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个实数根，则 ? 2 ? 2007 ? 2? ，把它代入原式得2007 ? 2? ? 3? ? ? ? 2007 ? ? ? ? ，再利用根与系数的关系得 ? ? ? ? ?2 ，所以原式=2005）19．D（提示：第一季度 1000 万元营业额为一、二、三三个月的总额，应把三个月营业额相加） 20．C（提示：不等式①的解集为 x＜2，不等式②的解集为 x＜－3，共公部分为 x＜－3）2121. C（提示：解四个不等式，得解集分别为 x＞－2，x≥－9，x≥－2，x＜－2，数轴上表示的范围是 x≥－ 2） 22. D（提示：解关于 x 的方程得 x ? 三、解答题2 2 a ? 2 ，因为解非负，所以 a ? 2 ≥0，解得 a≥3） 3 31? m ? x ? ? ? 2 23. 解（1） ? 1 ? m ?y ? ? ? 4 ?1 ? m ?1 ? x ? 1 ? ? 2 (2)由题意得 ? 即? ，解得 1＜x≤5. ? y ? ?1 ?1 ? m ? ?1 ? ? 424. 解方程组，得 ?1? x ? 2k ? 1 ? x ? 0 ? 2k ? 1 ? 0 ，因为方程组的解是负数，所以 ? 即? ，解得 k＜－8) ?y ? k ?8 ?y ? 0 ? k ?8 ? 0②由表中数据可得 25＝10＋ 2 (80－A)125．解：①10＋ 2 (90－A)解得：A＝5026．解：(1)设该工艺品每件的进价为 x 元，则标价为 ( x ? 45) . 由题意得: 8[0.85( x ? 45) ? x] ? (45 ? 35) ? 12 （2）工艺品应降价 a 元.2 则 W ? (45 ? a)(100? 4a) ? ?4(a ? 10) ? 4900? a ? 10 时,获得的利润最大为 4900 .解得 x ? 155 ? x ? 45 ? 20027．解： （1）设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要 x 天，y 天．? 24 24 ? x ? y ?1 ? 根据题意得 ? ? 20 ? 40 ? 1 ? y ?x解这个方程组得 x=30,y=120 . 经检验 x=30,y=120 是方程组的解． （2）设单独完成此项工程，甲需费用 m 万元，乙需费用 n 万元，? m n ( ? ) ? 24 ? 120 ? ? 30 20 根据题意，得 ? ? m ? 20 ? n ? 40 ? 110 ? 120 ? 30解这个方程组得 m=135,n=60 .本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn22专题三《函数》●中考点击 考点分析： 内容 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系 3、一次函数的概念和图像 4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图 5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用 6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次 函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题 要求 Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查 自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占 2%左右．一次函数与一次方程 有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占 5%左右．反比例函数的 图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值，3―6 分；二次函 数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中．要求：能通过对实际问题情景 分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的 性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题．会求一元二次方程的近似值． 分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计 2007 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量 之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解．同时将注重考 查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用． ●难点透视亿元 58
舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州 例 1 反比例函数 是00 500 0 1050的图象经过点（2，5） ，若点（1，n）在反比例函数的图象上，则 n 的值． 【考点要求】本题考查用反比例函数图象上的点确定其解析式，并会用解析式确定点的坐标． 【思路点拨】因为反比例函数的图象经过点（2，5） ，所以可将点（2，5）的坐标代入% 20 17 16.5 15.5 15.4 15.3 15 13.6 15 10 5 0 舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州，求 k 就可确定解析式，再将点（1，n）代入解析式中求 n 的值．或直接根据反比例函数性质即图象上点的横、纵坐标之积为 常数 k 来求 n，由题意得 2?5=1?n，所以 n=10． 【答案】填 10. 【方法点拨】由反比例函数解析式 y ?k (k ? 0) 经过变形，可以得到 xy ? k ，因为 k 是一个常数，所以在 x反比例函数图象上的所在的点的横、纵坐标的乘积是一个定值，根据这个结论，很容易求出这类问题的结果． 例 2 如图 3-1，已知点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 在直线 y ? ? x 上运动， 当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为 A. (0，0) B. ( , ? )1 21 2C. (2 2 ,? ) 2 2D. ( ?1 1 , ) 2 2是重要 图 3-1 且【考点要求】本题考查一次函数、线段、直角三角形等知识，数形结合 的数学方法之一． 当线段 AB 最短时 AB⊥BO， 又由点 B 在直线 y ? ? x 上可知∠AOB=45°，OA=1，过点 B 作 x 轴的垂线，根据等腰“三线合一”及直角三角形“斜边的中线等于斜边的一半”容易求得点23B 坐标为 ( , ? ) ， 【答案】选 B． 【误区警示】部分学生能找出 B 点运动到何处线段 AB 最短，但却无法求出具体坐标。突破方法：已知直线 BO 解析式，求点的坐标是根据两直线相交，再求出 AB 直线的解析式，利用方程组求出交点坐标。 解题关键：互相垂直的两直线解析式中，一次项系数互为倒数，据此再结合点 A 的坐标可求出直线 AB 的解 析式。 例 3 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于 5000 册时，投入 的成本与印数间的相应数据如下： 印数 x（册） 000 15000 ? 成绩 y（元）
? （1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本 y（元）是印数 x（册）的一次函数．求这个一次 函数的解析式（不要求写出 x 的以值范围） ； （2）如果出版社投入成绩 48000 元，那么能印读物多少册？ 【考点要求】本题考查一次函数解析式的确定及其应用． 【思路点拨】 （1）设所求一次函数解析式为 y ? kx ? b ，则 ? 所以所求函数的关系式为 y ? （2）因为 48000 ?1 21 2?5000k ? b ? 28500 5 ，解得 k ? , b ? 16000 , 2 ?8000k ? b ? 360005 x ? 16000 . 25 x ? 16000 ，所以 x=12800 2【答案】能印该读物 12800 册． 【方法点拨】关键要从题目所给表格中的数据选择合适的一对值代入所设解析式，求出解析式。 例 4 若 M?? 小关系为（ ） A、 y 2 ＞ y 3 ＞ B、 ＞ ＞ y3 C、 y3 ＞ y1 ＞ y 2 D、 y3 ＞ y 2 ＞ y1k ?1 ? ? 1 ? ? 1 ? , y1 ? 、N ? ? , y 2 ? 、P ? , y3 ? 三点都在函数 y ? （ｋ＜0）的图象上，则 y1、y 2、y3 的大 x ?2 ? ? 2 ? ? 4 ?【考点要求】本题考查反比例函数的性质及用函数图象比较函数值大小． 【思路点拨】反比例函数 y ? 结合图象可知， y 2 ＞ y1 ＞ y3 ， 【答案】选 B． 【误区警示】部分学生不能正确理解反比例函数图象的性质，容易错误的理解成“当 k＜0 时，图象位于二、 四象限，y 随 x 的增大而增大” 。突破方法：不单纯的根据性质进行判断，而是画出图象，结合草图进行判断。 解题关键：反比例函数图象及性质在描述时，因为是双曲线，所以一定要说明“在每一象限内”这一前提。 例 6 已知抛物线 y ? x2 ? bx ? c 的部分图象如图 3-2 所示，若 y＜0，则 x 的取值范围是 A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3 C．x＜－1 或 x＞4 D．x＜－1 或 x＞3 【考点要求】本题考查利用二次函数图象解不等式． －1 O24k 当 k＜0 时，其图象位于二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大， xy1xF图 3-2【思路点拨】抛物线 y ? x2 ? bx ? c 的图象上，当 y=0 时，对应的是抛物线与 x 轴的交点，坐标分别为（－1， 0） 、 （3， 0） ． 当 y＜0 时所对应的是 x 轴下方的部分， 对应的 x 在－1 与 3 之间， 所以 x 的取值范围是－1＜x＜3 ， 【答案】选 B． 【方法点拨】本题解题关键在于正确理解 y＜0 在图象上反映出来的是对应 x 轴下面的部分，而这一段图象 对所应的自变量的取值范围是－1 至 3，其中 3 根据抛物线的对称轴以及抛物线与 x 轴左边的交点坐标来确定的。 例 7 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图象与 x 轴的负半轴相交于点 C，如图 3-3，点 C 的坐标为（0，－3） ，且 BO＝CO （1） 求这个二次函数的解析式； （2） 设这个二次函数的图象的顶点为 M，求 AM 的长. 【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。 【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式 （1）C (0, ?3), OC ?| ?3 |? 3,? c ? ?3 ，，y8又 OC ? BO ， 9 ? 3b ? 3 ? 0,6 ? 3b ? 0, b ? ?2 。6 4 2? y ? x2 ? 2 x ? 3 。（ 2 ）-6-4-2 A O -22B46xC-4 -6?b ?2 ?? ? 1, f (1) ? 1 ? 2 ? 3 ? ?4, A(?1, 0), M (1, ?4) ， 2a 2? AM ? 2 ? 4 ? 2 5 .2 2图 3-3【答案】 （1） y ? x ? 2x ? 3 ； （2） AM ? 2 5 。2【方法点拨】部分学生因为题目中没有直接给出两个点的坐标，因此在求待定系数时遇到困难。突破方法： 由 BO＝CO 且点 C 的坐标为（0，－3）可推知点 B 的坐标为（3，0） ，然后代入求解。 例 8 小明在银行存入一笔零花钱， 已知这种储蓄的年利率为 n%． 若设到期后的本息和 （本金+利息） 为 y(元)， 存入的时间为 x（年） ，那么（1）下列那个图像更能反映 y 与 x 之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是 多少元？一年后的本息和是多少元？ （2）根据（1）的图象，求出 y 于 x 的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） ，并求出两年后的本息和． 【考点要求】本题考查用函数图象表示实际生活问题及根据图象求解析式． 【思路点拨】 （1）图乙反映 y 与 x 之间的函数关系从图中可以看出存入的本金是 100 元一年后的本息和是 102.25 元 （2）设 y 与 x 的关系式为：y=100 n%x+100 把（1，102.25）代入上式，得 n=2.25 ∴y=2.25x+100 当 x=2 时，y=2.25?2+100=104.5(元) 【答案】 （1）图乙，存入的本金是 100 元，一年后的本息和是 102.25 元。 （2）两年后的和是 104.5 元。 【方法点拨】在选择图象时，应抓住起始钱数为 100 元，然后随着时间推移逐步增加，到 1 年时总钱数变为 102.25 元。确定好图象后，根据图象中的数据，利用待定系数法，容易求一次函数解析式。25例 9 一次函数 y=x+b 与反比例函数 y ?k ?3 图像的交点为 A(m，n)，且 m，n(m&n) x是关于 x 的一元二次方程 kx2+(2k-7)x+k+3 的两个不相等的实数根，其中 k 为非负整数，m，n 为常数． （1）求 k 的值； （2）求 A 的坐标与一次函数解析式． 【考点要求】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与 x 轴的交点横坐标是其对应的一元二 次方程的两个根． 【思路点拨】 （1）由方程有两个不相等的实数根，得： △= (2k ? 7) 2 ? 4k (k ? 3) = ? 40 k ? 49 ? 0 ∴ k ?49 40又∵k 为非负整数 ∴k=0，1 当 k=0 时，方程 kx2+(2k-7)x+k+3=0 不是一元二次方程，与题设矛盾 ∴k=1 （2）当 k=1 时，方程 x2-5x+4=0 ∴ x1 ? 1 x2 ? 4∵m&n ∴m=1 n=4 即 A 点的坐标为（1，4） 把 A（1，4）坐标代入 y=x+b 得 b=3 ∴所求函数解析式为 y=x+3 【答案】 （1）k=1； （2）A（1，4） ，函数解析式为 y=x+3。 【方法点拨】因本题涉及一元二次方程及二次函数相关问题，部分学生综合运用遇到困难。突破方法：要求 k 的值，与之相关的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此根据根的判别式可求出 k 的取值范围，再结合其 它条件求出 k 的值。 例 10 阅读：我们知道，在数轴上，x＝1 表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1 表示一条直线；我们还 知道，以二元一次方程 2x－y＋1＝0 的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数 y＝2x＋1 的图象，它也是一 条直线，如图 3-4 中，图①. 观察图①可以得出：直线＝1 与直线 y＝2x＋1 的交点 P 的坐标（1，3）就是方程组 ??x ? 1 的解，所 ?2 x ? y ? 1 ? 0以这个方程组的解为 ??x ? 1 在直角坐标系中， x≤1 表示一个平面区域， 即直线 x＝1 以及它左侧的部分， 如图 3-4 ?y ? 3中，图②；y≤2x＋1 也表示一个平面区域，即直线 y＝2x＋1 以及它下方的部分，如图 3-4 中，图③． y 3 y P(1,3) yx O l O lx O x=1 图② 图 3-4 y=2x+1 图③ P lxx=1 y=2x+1 图①yx 回答下列问题： O26lx=－2 图 3-5y=－2x+2（1）在直角坐标系中，如图 3-5，用作图象的方法求出方程组 ?? x ? ?2 的解； ? y ? ?2 x ? 2? x ? ?2 ? （2）用阴影表示 ? y ? ?2 x ? 2 ，所围成的区域． ?y ? 0 ?【考点要求】本题考查学生对新知识的阅读理解发与应用能力． 【思路点拨】 （1）如图所示，在坐标系中分别作出直线 x＝－2 和直线 y＝－2x＋2， 这两条直线的交点是 P（－2，6） ． 则?? x ? ?2 ? x ? ?2 是方程组 ? 的解． ? y ? ?2 x ? 2 ?y ? 6 ? x ? ?2 ； （2）如图 3-5 所示。 ?y ? 6（2）如阴影所示． 【答案】 （1） ?【方法点拨】本题的难点是对题目条件所给信息的理解与运用。突破方法：结合图形反复研读，理解不等式 与它所对应的直线的关系，并能在图象中用阴影表示出来。运用这一知识求解不等式组时，也就是要找出各不等 式所表示的阴影的公共部分。 例 11 如图 3-6，已知 O 为坐标原点，∠ AOB=30° ，∠ ABO=90° ，且点 A 的坐标 为（2,0） ． （1） 求点 B 的坐标； （2） 若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A、B、O 三点，求此二次函数的解析式； （3） 在（2）中的二次函数图象的 OB 段（不包括点 O、B）上，是否存在一点 C，使得四边形 ABCO 的面 积最大？若存在，求出这个最大值及此时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点要求】 本题考查求二次函数解析式， 并探索抛物线上点的存在性， 培养学生分析问题，解决问题的综合能力． 【思路点拨】 （1） 在 Rt△OAB 中，∵∠AOB=30°，∴ OB= 3 . 过 点 B 作 BD 垂直于 x 轴，垂足为 D，则 OD=3 3 标为( , ) ． 2 23 3 ，BD= ，∴ 点 B 的坐 2 2图 3-6? 4a ? 2b ? c ? 0, ? 3 3 3 3 ?9 2 , （2） 将 A(2,0)、B( , )、O(0,0)三点的坐标代入 y=ax +bx+c，得 ? a ? b ? c ? 2 2 2 2 ?4 ? c ? 0. ?解方程组，有 a= ?2 3 4 3 ，b= ，c=0. 3 32 3 2 4 3 x+ x. 3 3∴ 所求二次函数解析式是 y= ? （3） 设存在点 C（x , ?2 3 2 4 3 3 x+ x） （其中 0&x& )，使四边形 ABCO 面积最大. 3 3 2∵△OAB 面积为定值， ∴只要△OBC 面积最大，四边形 ABCO 面积就最大. 过点 C 作 x 轴的垂线 CE，垂足为 E，交 OB 于点 F，则271 1 1 3 S△OBC= S△OCF +S△BCF= | CF | ? | OE | ? | CF | ? | ED | = | CF | ? | OD |? | CF | ， 2 2 2 4 2 3 2 4 3 3 2 3 2 x ? x? x?? x ? 3x ， 而 |CF|= yC ? yF = ? 3 3 3 3∴ S△OBC= ? ∴ 当 x=3 2 3 3 x ? x . 2 49 3 3 时，△OBC 面积最大，最大面积为 . 32 4 3 5 3 25 3 此时，点 C 坐标为( , )，四边形 ABCO 的面积为 . 4 8 323 3 2 3 2 4 3 3 5 3 【答案】 （1）B , ； （2）y= ? x+ x； （3）存在点 C 坐标为( , )，此时四边形 ABCO 的面积 2 2 4 8 3 3最大为25 3 。 32 【方法点拨】 （1）解题方法较为灵活，容易解决。 （2）因为已具备图象上三点坐标，可直接设为一般式，代入三点求解；也可以设为两根式，再代入点 B 坐标求解。 （3）关键要抓住四边形 ABCO 的面积由两部分组成， 其中△OAB 面积为定值，因此要四边形面积最大，问题转化为判断△OBC 面积是否存在最大值。 ●难点突破方法总结 函数在中考中占有很重要的地位，是中考必考内容之一。课改实验区的函数综合题其背景材料更加丰富，更 加贴近生活，更加注重对解决问题的思维过程的考查，但其计算量和书写量与非课改区相比，又有较大幅度的下 降。在完成函数问题方面，要注重以下几点。 1.正确理解和掌握各种函数的概念、图象和性质，这是解决所有函数问题的基本前提。 2.应用函数性质解决相关问题时，要树立数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象、直观地解决有关不 等式、最值、方程的解、以及图形的位置关系等问题。 3.利用转化思想，通过求点的坐标，来达到求线段长度；通过求线段的长度求点的坐标；通过一元二次方程 根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与 x 轴交点问题。 4.探究性问题的解题思路没有固定的模式和套路，解答相关问题时，可从以下几个角度考虑：（1）特殊点 法；（2）分类讨论法；（3）类比猜测法等，最重要的还是要结合具体题目的特点进行分析，灵活选择和运用适 当的数学思想及解题技巧。 ●拓展演练 一、填空题 1． 如果正比例函数及反比例函数图象都经过点（-2，4） ，则正比例函数的解析式为 比例函数的解析式为 ． 2. 抛物线 y ? ?4( x ? 2) 2 ? 5 的顶点坐标是 3．二次函数 y ? 3x 2 ? 3x ? 6 与 x 轴有 ，对称轴是 个交点，交点坐标是 ． ． . ，反4．已知 m 是整数，且一次函数 y ? (m ? 4) x ? m ? 2 的图象不过第二象限，则 m= 5．直线 y = ? x ? 与两坐标轴围成的三角形面积是 6．试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数解析式 7. 反比例函数 y ? 8. 双曲线 y ?2 3 4 3. . ．k 的图象经过点（2，－1） ，则 k 的值为 xk 和一次函数 y＝ax＋b 的图象的两个交点分别是 A(－1， － x28第 10 题图4)，B(2，m)，则 a＋2b＝____________． 9. 已知反比例函数 y ?k ?2 ，其图象在第一、第三象限内，则 k 的值可为 x． （写出满足条件的一个 k 的值即可） 10.在电压一定的情况下，电流 I（A）与电阻 R（Ω ）之间满足如图所示的反比例函数关系，则 I 关于 R 的函数表达式为 ． 二、选择题 11. 直线 y=kx+1 一定经过点（ ） A． （1，0） B． （1，k） C． （0，k） D． （0，1） 12. 如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，若∠ADE=∠C，且 AB=5，AC=4，AD=x，AE=y， 则 y 与 x 的关系式是（ ）AA．y=5xB．y= x4 5C．y= x5 4D．y=9 20xxDyE13. y=(x－1)2＋2 的对称轴是直线 （ A．x=－1 B．x=1C．y=－1D．y=1B14. 如图， △ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角 三角形，∠B=∠DEF=90° ，点 B、C、E、F 在同一直线上．现从点 C、 E 重合的位置出发， 让△ABC 在直线 EF 上向右作匀速运动， 而△DEF 的位置不动． 设两个三角形重合部分的面积为 y ， 运动的距离为 x ． 下 面表示 y 与 x 的函数关系式的图象大致是（ ）第 12 题图C第 12 题图ABCD15．点 P（a，b）在第二象限，则点 Q(a-１，b+1)在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 )） D．第四象限16．下列函数中,自变量 x 的取值范围选取错误的是( A． y ? 2 x 2 中, x 取全体实数 C． y ? x ? 2 中, x 取 x ? 2 的实数 B． y ? D． y ?1 中, x 取 x ? ?1 的实数 x ?11 x?3中, x 取 x ? ?3 的实数 ） D．二次函数 ） D．c17．当路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 之间的函数关系是（ A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数218． 若二次函数 y ? ax ? c ， 当 x 取 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 时， 函数值相等， 则当 x 取 x1 ? x2 时， 函数值为 （ A．a+c2B．a－cC．－c19．抛物线 y ? a( x ? 1) ? 2 的一部分如图所示，该抛物线在 y 轴右侧部分与 x 轴交点的坐标是 A． （291 ，0） 2B． （1，0）C． （2，0）D． （3，0）20．抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图角如图，则下列结论：① abc ＞0；② a ? b ? c ? 2 ；③ a ? b ? c ＜0；④b2 ? 4ac ＜0.其中正确的结论是（A．①②） C．②④ D．③④B．②③y 2 1 -3 -2 -1 O -1 -2 1 2 3 x第 20 题图 三、解答题 21．某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的日销售价 x （元）与产品的日销售量 y （件）之间的关系 如下表：第 19 题图x （元）y （件）15 2520 2025 1530 10? ?y（1）在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立 y 与 x 的恰当函数模型． （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日 销售利润是多少元？F A E B22．如图，在平面直角坐标系中，正方形 AOCB 的边长为 6，O 为坐标原点， 边 OC 在 x 轴的正半轴上，边 OA 在 y 轴的正半轴上，E 是边 AB 上的一点，直线 EC 交 y 轴于 F，且 S△FAE∶S 四边形 AOCE＝1∶3． （1） 求出点 E 的坐标； （2）求直线 EC 的函数解析式.OC第 22 题图x23．某厂从 2001 年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下 表： 年 度
4投入技改资金 z(万元) 产品成本(万元／件)（1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其 变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若 2005 年已投人技改资金 5 万元． ① 预计生产成本每件比 2004 年降低多少万元? ② 如果打算在 2005 年把每件产品成本降低到 3.2 万元， 则还 需投入 技改资金多少万元（结果精确到 0.01 万元）?30第 23 题图24．已知函数 y ? x 2 ? 4 x ? 1 （1）求函数的最小值； （2）给定坐标系中，画出函数的图象；2 2 （3）设函数图象与 x 轴的交点为 A（x1，0） 、B（x2，0） ，求 x1 的值． ? x225．某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，按相同的间距 0.2 米用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米． （1） 以 O 为原点， OC 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 请根据以上的数据，求出抛物线 y=ax2 的解析式； （2）计算一段栅栏所需立柱的总长度． （精确到 0.1 米）第 25 题图26．如图，用长为 18 m 的篱笆（虚线部分） ，两面靠墙围成矩形的苗圃. （1）设矩形的一边为 x （m） ，面积为 y (m2)，求 y 关 于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？第 26 题图3132●专题三《函数》习题答案 一、填空题 1． y ? ?2 x, y ? ?8 k （提示：设正比例函数与反比例函数分别为 y ? kx, y ? ? ，把点（-2，4）代入） x x2.（－2，5） ，x=－2（提示：根据顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k ，顶点为 ( h, k ) ，对称轴为 x ? h ） 3．2， （－2，0） 、 （1，0） （提示：把 y=0 代入解析式得 3x ? 3x ? 6 ? 0 ，解之得 x1 ? ?2, x2 ? 1 ）24．－3（提示：由题意，一次函数图象过一、三、四象限，所以 ? 5．?m ? 4 ? 0 ，解得 ?4 ? m ? ?2 ） m ? 2 ? 0 ?4 4 （提示：直线与 x 轴交点坐标为（－2，0） ，与 y 轴交点坐标为（0，－ ） ，所以围成的三角形面积 3 3 1 4 4 为 ? 2? ? ） 2 3 3 1 6． y ? ? （提示：答案不唯一，只需满足 k＜0） xk 可得 k ? xy ，把点（2，－1）代入即可） x 4 k 8.－2（提示：把 A（－1，－4）代入 y ? 求得 k=4，再把 B（2，m）代入 y ? 求得 m=2，再把 A（－ x x7.－2（提示：由 y ? 1，－4） ，B（2，2）代入 y＝ax＋b，可求得 a=2，b=－2） 9. 1（提示：答案不唯一，只需满足 k ? 2 ＜0 即可） 10. I ?6 k （提示：设 I ? ，把（2，3）代入，求得 k=6） R R二、选择题 11.D（提示：把各选项的坐标分别代入） 12.C（提示：根据题意，△AED∽△ABC，所以2AE AD y x 5 ? 即 ? ，所以 y ? x ） 4 AB AC 5 413. B（提示：根据顶点式 y ? a( x ? h) ? k ，对称轴为 x ? h ） 14. C（提示：由题意 y ?1 2 x ，y 的变化规律为先由小变大，再由大变小，且抛物线的开口均向上） 215. B（提示：P（a，b）在第二象限，所以 a＜0，b＞0，所以 a-１＜0，b+1＞0，因此点 Q(a-１，b+1) 在第二象限） 16．D（提示：D 项中分母不能为 0，所以 x 应取的 x＞－3 实数）s ，当 s 一定时，速度 v 是时间 t 的反比例函数） t 2 18．D（提示：二次函数 y ? ax ? c 对称轴为 y 轴，当 x 取 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 时函数值相等，所以 x1 , x2 关于17．A（提示：由题意 v ? 对称轴对称，所以 x1 ? x2 ? 0 ，把 x=0 代入解析式 y ? ax ? c 得 y=c）219．B（提示：由图象可看出抛线对称轴为 x=－1，与 x 轴的一个交点为 x=－3，则另一点与之关于 x=－1 对称，为 x=1，所以另一点为（1，0） ）b ＜0，所以 b ＜0，所以 abc ＜0；又因为点（1，2）在抛物 2a 线上， 把 （1， 2） 代入解析式可得 a ? b ? c ? 2 ； 由图象可知， 当 x=－1 时， 对应的 y 在 x 轴下方， 所以 a ? b ? c20．B（提示：由图象可知 a ＞0， c ＞0， ? ＜0；而抛物线与 x 轴有两个交点，故 b 2 ? 4ac ＞0）33三、解答题 21．解： （1） 经观察发现各点分布在一条直线上，∴设 y ? kx ? b （k≠0） 用待定系数法求得 y ? ? x ? 40 （2）设日销售利润为 z ，则 z ? xy ? 10 y = ? x ? 50x ? 4002当 x=25 时，z 最大为 225， 所以当每件产品的销售价定为 25 元时，日销售利润最大为 225 元． 22．解： （1） ∵S△FAE∶S 四边形 AOCE＝1∶3， ∴S△FAE∶S△FOC＝1∶4， ∵四边形 AOCB 是正方形， ∴AB∥OC， ∴△FAE∽△FOC，∴AE∶OC＝1∶2， ∵OA＝OC＝6， ∴AE＝3， ∴点 E 的坐标是(3,6) （2） 设直线 EC 的解析式是 y＝kx＋b， ∵直线 y＝kx＋b 过 E(3,6)和 C(6，0) ?3k＋b＝6 ?k＝－2 ∴? ，解得：? ?6k＋b＝0 ?b＝12 ∴直线 EC 的解析式是 y＝－2x＋12 23．解： （1）设其为一次函数，解析式为 y ? kx ? b 当 x ? 2.5 时， y ? 7.2 ； 当 x =3 时， y ? 6．?7.2 ? 2.5k ? b ? ?6 ? 3k ? b解得 k ? ?2.4 ， b ? 13.2∴一次函数解析式为 y ? ?2.4 x ? 13.2把 x ? 4 时， y ? 4.5 代人此函数解析式，左边≠右边． 同理．其也不是二次函数．∴其不是一次函数．k ． 当 x ? 2.5 时， y ? 7.2 ， x k 18 可得 7.2 ? 解得 k ? 18 ∴反比例函数是 y ? ． x 2.5 18 ? 6 ，符合反比例函数． 验证：当 x =3 时， y ? 3设其为反比例函数．解析式为 y ? 同理可验证 x ? 4 时， y ? 4.5 ， x ? 4.5 时， y ? 4 成立． 可用反比例函数 y ?18 表示其变化规律． x（2）解：①当 x ? 5 万元时， ， y ? 3.6 ． ∴生产成本每件比 2004 年降低 0．4 万元．4 ? 3.6 ? 0.4 （万元） ，18 ． ∴ x ? 5.625 x ∴ 5.625 ? 5 ? 0.625 ? 0.63 （万元）②当 y ? 3.2 时， 3.2 ? ∴还约需投入 0.63 万元．342 24．解： （1）∵ y ? x ? 4 x ? 1 ? ? x ? 2 ? ? 3 ， 2∴当 x=2 时， ymin ? ?3 . （2）如图，图象是一条开口向上的抛物线． 对称轴为 x=2,顶点为（2，-3） ． 2 （3）由题意，x1，x2，是方程 x -4x+1=0 的两根， ∴x1+x2=4，x1x2=1.2 2 ∴ x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ? 42 ? 2 ? 14第 24 题25．解： （1） 由已知：OC=0.6，AC=0.6，得点 A 的坐标为（0.6，0.6） ， 代入 y=ax ，得 a=25 ， 3∴抛物线的解析式为 y=5 2 x. 3（2）点 D1，D2 的横坐标分别为 0.2，0.4， 代入 y=5 2 5 5 x ，得点 D1，D2 的纵坐标分别为：y1= × 0.22≈0.07，y2= × 0.42≈0.27， 3 3 3∴立柱 C1D1=0.6－0.07=0.53，C2D2=0.6－0.27=0.33， 由于抛物线关于 y 轴对称，栅栏所需立柱的总长度为： 2（C1D1+ C2D2）+OC=2（0.53+0.33）+0.6≈2.3 米. 26．解： （1） 由已知，矩形的另一边长为 ?18 ? x ? m 则 y = x ?18 ? x ? = ? x （2）∵2? 18x ，自变量 x 的取值范围是 0＜ x ＜18.2y = ? x 2 ? 18x = ? ?x ? 9? ? 81∴ 当 x =9 时（0＜9＜18)，苗圃的面积最大，最大面积是 81 m 2 又解: ∵ a =－1＜0， y 有最大值， ∴ 当x = ?18 ? 9 时 （ 0 ＜ 9 ＜ 18) ， 2 ? (?1)y 最大值 ?0 ? 182 ? 81 （ m 2 ） 4 ? ?? 1?35专题四《统计与概率》●中考点击 考点分析： 内容 1、数据的收集、整理、描述与分析等统计的意义 2、总体、个体、样本，全面调查及抽样抽查，频数、频率等概念 3、利用扇形图、条形图、直方图及折线图进行数据整理 4、理解概率的意义，会用列举法及频率求概率 5、能利用统计与概率知识解决实际生活中的有关问题 要求 Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅱ命题预测：概率是新课程标准下新增的一部分内容，从
以及 2006 年课改实验区的中考试题来看，概率在试题中占有一定的比例，一般在 10 分左右，因此概率已成为近两年及今后中 考命题的亮点和热点．在中考命题时， 关于概率的考题， 多设置为现实生活中的情境问题， 要求学生能分清现实生活中的随机事件， 并能利用画树状图及列表的方法计算一些简单事件发生的概率． 因此学生在复习时要多接触现实生活， 多作实验， 留心身边的每一件事，把实际问题与理论知识结合到一块来考虑问题．预测 2007 年将进一步考查在具体情况中 求简单事件发生的概率以及运用概率的知识对一些现象作出合理的解释． ●难点透视 例 1 六个学生进行投篮比赛，投进的个数分别为 2、3、5、13、3、10，这六个数的中位数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点要求】本题考查统计的基本概念中位数的意义． 【思路点拔】 中位数是把数据按一定顺序排列后位于中间位置的一个数或两个数的平均数， 本题共 6 个数据， 按从小到大顺序排列后，中间位置的两个数是第 3、4 个，分别是 3 和 5，它们的平均数为 4，所以中位数是 4． 【答案】选 B． 【错解剖析】 不能正确理解中位数的意义， 简单的理解成中间位置上的一个数或两个数的平均数． 突破方法： 判断中位数时，必须先按一定顺序排列． 解题关键：要看清一组数据是否按一定顺序排列． 品 食 品 衣 着 食 衣 着 例 2 如图 4-1 是甲、 乙两户居民家庭全年支出费用的扇形 统 计 31% 34% 25% 23% 图．根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是 （ ） 他 他 教 育 其 教 育 其 A．甲户比乙户多 B．乙户比甲户多 19% 24% 23% 21% C．甲、乙两户一样多 D．无法确定哪一户多 甲 乙 【考点要求】本题考查扇形统计图的意义． 图 4-1 【思路点拔】 因为扇形统计图中的数据只能反映各组数据 所占的 百分比的大小，题目中并没有提供支出的总费用，所以不能确定全年食品支出的具体大小． 【答案】选 D． 【错解分析】部分学生简单地从所占百分比进行比较判断．突破方法：具体费用的多少，必须用总费用乘各 项支出的百分比． 解题关键：扇形图中各项的百分比表示各组数据所占的比例大小，但不能表示具体的数值． 例 3 “长三角”16 个城市中浙江省有 7 个城市．图 4-2 中，图 1、图 2 分别表示 2004 年这 7 个城市 GDP（国 民生产总值）的总量和增长速度．则下列对嘉兴经济的评价，错误 的是 ．．亿元 3000A．GDP 总量列第五位13 690 212 1173B．GDP 总量超过平均值 C．经济增长速度列第二位% 20 15 10 5 17 16.5 15.5 15.4 15.3 15D．经济增长速 平均值度 超 过00
105013.6360 舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州舟山 嘉兴 宁波 湖州 绍兴 杭州 台州图1图 4-2图2【考点要求】本题考查条形统计知识，要求能根据统计分析相关数据，得出信息． 【思路点拔】由条形图 1 可知，嘉兴 GDP 总量在杭州、宁波、绍兴、台州之后，位列第 5，而由条形图 2 可知 GDP 增长速度位于舟山之后，列第 2；由图 1，可算得 GDP 总量平均值为 1301.6 亿元，由条形图 2 可算得 增长速度平均值为 15.5%． 【答案】选 B． 【方法点拨】本题以计算为主．突破方法：要做出正确选择，必须求出两个条形图中提供信息的平均值． 例 4 一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对 9 位学生的鞋号进行了抽样调查. 其号码为：24、22、21、24、 23、20、24、23、24. 经销商最感兴趣的是这组数据中的（ ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【考点要求】本题考查统计知识在生活中的应用． 【思路点拔】因为经销商所关心的是哪种号码的鞋最好销售，也就是各种号码中卖出最多的． 【答案】选 B． 【规律总结】本题是一道联系生活实际的问题．突破方法：销售商最想知道的是哪种号码的鞋最好卖，能反 应出这一点的是众数． 例 5 甲、乙、丙三台机床生产直径为 60mm 的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了 20 个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是 60mm，它们的方差依次为 S2 甲=0.162，S2 乙 =0.058，S2 丙=0.149.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是__ __机床. 【考点要求】本题考查方差的有关知识，方差越小，说明数据波动越小，比较稳定． 【思路点拔】因为 S2 乙＜S2 丙＜S2 甲，所以乙机床生产的螺丝质量比较稳定． 【答案】填乙． 【错解剖析】不能正确理解方差与波动之间的关系．突破方法：正确理解方差越大，波动越大，说明数据越 不稳定． 例 6 以下说法合理的是（ ） A、小明在 10 次抛图钉的试验中发现 3 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 30% B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现 6 的概率是 1/6 的意思是每 6 次就有 1 次掷得 6 C、某彩票的中奖机会是 2%，那么如果买 100 张彩票一定会有 2 张中奖． D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为 0.48 和 0.51． 【考点要求】本题考查对概率意义的理解． 【思路点拔】A 项中实验次太少；B 项应该是经过大量实验平均每 6 次有一次掷得 6；C 不一定，彩票数量 很大，这 100 张中可能一张也不会中奖，也可能不止一张中奖；D 项两组概率接近 0.5，所以正确． 【答案】选 D． 【错解剖析】容易错选 B，主要是由于未能正确理解概率的意义，必须是在大量试验的前提下，平均每 6 次 就有 1 次． 例 7 如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得 1 分；抛出 其他结果，甲得 1 分. 谁先累积到 10 分，谁就获胜.你认为 （填“甲”或“乙” ）获胜的可能性更大. 【考点要求】本题考查利用概率判断规则的公平性． 【思路点拔】两枚硬币抛掷的所有可能结果是：正正、正反、反正、反反，其中两个正面的概率是 P（两个37正面）=1 3 3 1 1 ，所以甲的积分为： ?1= ，乙的积分为： ?1= .因此甲获胜可能性更大． 4 4 4 4 4【答案】填甲． 【错解剖析】部分学生易错误的认为其它他结果为一正一反即正反与反正，从而把甲得分概率错求为 破方法：两个正面之外的其他结果包括一正一反、反反． 解题关键：用列举法把各种结果全部表示出来． 例 8 用 6 个球 （除颜色外没有区别） 设计满足以下条件的游戏： 摸到白球的概率为 摸到黄球的概率为1 ．突 21 1 ， 摸到红球的概率为 ， 2 31 ，则应设 6个白球，个红球，个黄球．【考点要求】本题考查概率实验中小球数目的确定． 【思路点拔】因为一共有 6 个球，需满足条件：摸到白球的概率为 率为1 1 ，摸到红球的概率为 ，摸到黄球的概 2 31 1 1 1 ，则白球有 6? =3 个，红球有 6? =2 个，黄球有 6? =1 个． 6 2 3 6【答案】填 3，2，1． 【错解剖析】部分学生容易忽视总共是 6 个球，而只考虑三种颜色球之比为 3：2：1. 例 9 在中考体育达标跳绳项目测试中，1 分钟跳 160 次为达标，小华记录了她预测时 1 分钟跳的次数分别为 145，156，143，163，166，则他在该次预测中达标的概率是 【考点要求】本题主要考查计算简单事件发生的概率． 【思路点拔】这个事件的所有可能出现的结果有 5 种，其中达标的结果有 2 种，所以他达标的概率是 【答案】2 . 52 5【方法点拔】由预测的达标概率来估计中考达标原概率． 例 10 我市部分学生参加了 2005 年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数， 试题满分为 140 分，参赛学生的成绩分数分布情况如下： 分数段 0－19 20－39 40－59 60－79 80－99 100－119 120－140 0 37 68 95 56 32 12 人 数 请根据以上信息解答下列问题： （1） 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？ （2） 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在 60 分以上 (含 60 分)的考生均可获得不同等级的奖励，求我市参加本 次竞赛决赛考生的获奖比例； （3） 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？ （4） 上表还提供了其他信息，例如： “没获奖的人数为 105 人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息. 【考点要求】本题考查利用统计知识对所给数据进行分析，并解决相关问题． 【思路点拔】 （1）全市共有 300 名学生参加本次竞赛决赛，最低分在 20－39 之间，最高分在 120－140 之间 （2） 本次决赛共有 195 人获奖，获奖率为 65％ . （3） 决赛成绩的中位数落在 60―79 分数段内. （4） 如“120 分以上有 12 人；60 至 79 分数段的人数最多；??”等. 【答案】 （1）最低分在 20－39 之间，最高分在 120－140 之间； （2）获奖率为 65％； （3）60 至 79 分； （4）120 分以上有 12 人；60 至 79 分数段的人数最多． 【方法点拔】从问题出发，对表格中的数据进行分析，找出对解题有用的信息． 例 11 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了 838次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下： 甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 (1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？ (2)哪位运动员的成绩更为稳定？ (3)若预测，跳过 1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳过 1.70m 才能得冠军呢？ 【考点要求】本题考查平均数、方差等知识，并能利用方差判断成绩的稳定性，从而帮助作出决策的实际应 用问题． 【思路点拔】 （1） x甲 ? 1.69x乙 ? 1.68 （2） s甲2 ? 0.0006s乙2 ? 0 . 0 0 3 5故甲稳定（3）可能选甲参加，因为甲 8 次成绩都跳过 1.65m 而乙有 3 次低于 1.65m； 也可能选乙参加，因为甲仅 3 次超过 1.70m． （答案不唯一，言之有据即可） 【答案】 （1） ；（2）甲稳定； （3）答案不唯一，言之有据即可 【方法点拔】回答第（3）问时，并无固定答案，从不同角度可做出不同回答． 例 12 如图所示，A、B 两个旅游点从 2002 年至 2006 年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表 示．根据图中所示解答以下问题： （1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求 A、B 两个旅游点从 2002 到 2006 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句 话对这两个旅游点的情况进行评价； （3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游点的最佳接待人数为 4 万人，为控制游客数量，A 旅游点决定提高门票价格．已知门票价格 x（元）与游客人数 y（万人）满足函数关 系 ．若要使 A 旅游点的游客人数不超过 4 万人，则门票价格至少应提高多少？ 6 5 4 3 2 1 04
图 4-4 【考点要求】本题考查从折线图中获取信息，并结合信息加以评价，解决相关问题． (1)B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2005 年． (2) X A ＝ 年 万人 A B1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 3?3? 2? 4?3 ＝3（万元） ，XB ＝ ＝3（万元） 5 5 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ＝ [(-2) ＋(-1) ＋0 ＋1 ＋2 ]＝2， S B ＝ [0 ＋0 ＋(-1) ＋1 ＋0 ]＝ SA 5 5 539从 2002 至 2006 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但 A 旅游点较 B 旅游点的旅游人数波 动大． (3)由题意，得 ５－x ≤４ 100解得 x≥100100-80＝20【答案】 （1）2005 年； （2）从 2002 至 2006 年，A、B 两个旅游