求解一个关于幂级数的和函数数问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-13 16:34 标签： 函数展开成幂级数
求幂级数的和函数时应注意的几个问题
在现行的大学微积分教材[1,2]中,关于幂级数的和函数有下述重要性质:∞(1)幂级数∑n=0anxn的和函数S(x)在其收敛域I上可积,并且有逐项积分公式x∫0S(x)dx=∫x0[∑∞n=0anxn]dx=∑∞n=0∫xanxndx=∑∞n=0ann+1xn+1,(x∈I)逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径.∞(2)幂级数∑n=0anxn的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内可导,并且有逐项求导公式∞S(′x)=[∑n=0anxn]′=∑∞n=1(anxn)′=∑∞n=1nanxn-1,x∈(-R,R)逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径.上述两性质在求幂级数的和函数时,有重要应用.∞本文指出,在上述性质(1)中,逐项积分后所得的幂级数∑n=0ann+1x∞n+1的收敛域有可能扩大,即有可能把收敛区间的端点包含进来.∞而在上述性质(2)中,逐项求导后所得的幂级数∑n=1nanxn-1的收敛域有可能较∑...&
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求幂级数的和函数的基本思路是:经过加、减、乘运算,或逐项求导运算或逐项求积分运算,将幂级数转化为我们已知其和的幂级数(例如等比级数1+x+x2+…+xn+…=11-x),从而求得原幂级数之和函数。下面通过举例说明求幂级数的和函数的最基本的方法。例1:求下列幂级数的和函数:∞-1代入∑xn,发散)n=0注意:逐项求导后收敛区间的端点的收敛性可能会起变化,需要对端点进行讨论。(2)幂级数的收敛域容易得出为(-1,1)。∞设S(x)=∑nxn-1,则逐项积分得n=1∞(1)∑∞(2)∑∞nxn-1;(3)∑(2n+1)n=11nn=1n=0∞(4)∑(3n-1)x2n-1n=1解:(1)先要求出和函数的定义域,即幂级数的收敛域。易得该幂级数的收敛域为[-1,1)。∞再设S(x)=∑xn则逐项求导得n=11n∞S′(x)=(∑∞xn)′=∑∞(xn)′=∑xn-1∫0xS(t)dt=∑n∞=1n∫0xtn-1dt=∑n∞=1...&
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~~例谈一类幂级数和函数的求法@杜炜$濮阳广播电视大学!河南濮阳457000幂级数...&
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1990年研究生入学考试数学一中有这样一道关于级数的试题:例1计算∞n=0(2n+1)xn的收敛域与和函数.该题频繁地出现在一些考研辅导书[1,2]及高等数学辅导教材[3,4]中,并作为幂级数求和函数的典型实例.摘录其中解法如下:解法1[1]易知收敛域为(-1,1).令x=t2,则∞n=0(2n+1)xn=∞n=0(2n+1)t2n=∞n=0t2n+1)′=t1-t2′=1+x(1-x)2.解法2[2-4]收敛域为(-1,1).则∞n=0(2n+1)xn=∞n=12nxn+∞n=0xn=2x∞n=1∫x0nxn-1dx′+11-x=2x∞n=1xn′+11-x=2xx1-x′+11-x=1+x(1-x)2.这两种解法本质上是利用逐项求导或积分等分析性质将给定的幂级数化为几何级数的形式,借助几何级数的和函数得到给定幂级数的和函数.基于这种想法,还可这样求解:解法3收敛域为(-1,1).则∞n=0(2n+1)xn=2∞n=0(n+1...&
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幂级数求和是一类难度比较大的计算,有一定的技巧型,除了按定义直接结算幂级数的和函数外,常可从已知和函数的幂级数出发,利用换元,逐项求导,逐项求积,以及利用已知级数的展开来求和函数,以∑∞n=0xn为突破口,深入研究了它在求和函数中所起的重要作用.通过逐项求导,逐项积分,恒等变形等方法,计算幂级数的和函数.例1求幂级数∑∞n=1xnn(n+1)的和函数(-1x1).解方法1:将待求级数分解成已知和函数的级数的运算.s(x)=∑∞n=11n-1n+()1xn=∑∞n=1xnn-∑∞n=1xnn+1=∑∞n=1∫x0xn-1dx-1x∑∞n=1∫x0xndx=∫x0∑∞n=1xn-()1dx-1x∫x0∑∞n=1x()ndx=∫x011-xdx-1x∫x0x1-xdx=-ln(1-x)-1x(-x-ln(1-x))=1-xxln(1-x)+1.形如∑∞n=1-()1n+1xn+1n(n+1),∑∞n=2xnn2-1,∑∞n=1xn+2...&
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幂级数理论中有两个重要的命题 :( 1 )已知特定的幂级数 ,求和函数 ;( 2 )已知函数 ,求出其幂级数的表达式 .下面就这两方面分别给出一个结论 .命题 1　如果函数 f ( x) =1( 1 - ax) ( 1 - bx) 展开为 x的幂级数 ,即 c0 + c1 x+ c2 x2 + c3x3+… ,则函数 g( x) =1 + abx( 1 - abx) ( 1 - a2 x) ( 1 - b2 x) 可展开为 x的幂级数且为 c0 2 + c1 2 x+ c2 2 x2 +c32 x3+… .证明　首先求系数 ci与 a,b的关系 .假设 a≠ b,因为　 1( 1 - ax) ( 1 - bx) =1b- a( - a1 - ax+ b1 - bx) ,11 - ax=1 + ax+ ( ax) 2 +… + ( ax) n+… ,11 - bx=1 + bx+ ( bx) 2 +… + ( bx) n+… ,所...&
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有关一个级数求和函数的问题请问这个级数的和函数怎么去求?(n=1,n=无穷)nx^n
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给你推荐2种方法,写法太复杂,就给你介绍思路和步骤好了：1.用高中的知识：使用错位相减法.即设S等于这个数列的和（先求数列和,再求极限）,然后,在等式两边同时乘以x（当然,还要讨论x=0和1的情况,这个情况比较容讨论）,再和S那个等式错位相减,你会得到等式左边是（x-1）S,右边是一个等比数列,这样就可求出数列和,再将n取极限即可.2.使用大学中微积分的知识,等式两边除以一个x,等式右边就是nx^(n-1),在对其积分,等式右边即得x^n,这个和函数应该比较容易求吧,求和后在求导,最后把x乘过去就好了.有什么不明白的你再问我吧.
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{(1-x^(n+1))/(1-x)}'=(n=1,n=无穷)nx^n
能得到（1-x)S=x+x^2+x^3+x^4+……+x^n-nx^(n+1)然后对x的取值进行讨论化简就可以了
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