RSA算法原理（二） - 阮一峰的网络日志
RSA算法原理（二）
上一次，我介绍了一些。
有了这些知识，我们就可以看懂。这是目前地球上最重要的加密算法。
六、密钥生成的步骤
我们通过一个例子，来理解RSA算法。假设要与鲍勃进行加密通信，她该怎么生成公钥和私钥呢？
第一步，随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。（实际应用中，这两个质数越大，就越难破解。）
第二步，计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
　　n = 61×53 = 3233
n的长度就是密钥长度。3233写成二进制是，一共有12位，所以这个密钥就是12位。实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
第三步，计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式：
　　φ(n) = (p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52，即3120。
第四步，随机选择一个整数e，条件是1< e < φ(n)，且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间，随机选择了17。（实际应用中，常常选择65537。）
第五步，计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓就是指有一个整数d，可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
　　ed - 1 = kφ(n)
于是，找到模反元素d，实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
　　ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120，
　　17x + 3120y = 1
这个方程可以用求解，此处省略具体过程。总之，爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15)，即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步，将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (3233,17)，私钥就是（）。
实际应用中，公钥和私钥的数据都采用格式表达（）。
七、RSA算法的可靠性
回顾上面的密钥生成步骤，一共出现六个数字：
这六个数字之中，公钥用到了两个（n和e），其余四个数字都是不公开的。其中最关键的是d，因为n和d组成了私钥，一旦d泄漏，就等于私钥泄漏。
那么，有无可能在已知n和e的情况下，推导出d？
　　（1）ed≡1 (mod φ(n))。只有知道e和φ(n)，才能算出d。
　　（2）φ(n)=(p-1)(q-1)。只有知道p和q，才能算出φ(n)。
　　（3）n=pq。只有将n因数分解，才能算出p和q。
结论：如果n可以被因数分解，d就可以算出，也就意味着私钥被破解。
可是，大整数的因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。维基百科这样写道：
　　"对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。
　　假如有人找到一种快速因数分解的算法，那么RSA的可靠性就会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA密钥才可能被暴力破解。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。
　　只要密钥长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。"
举例来说，你可以对3233进行因数分解（61×53），但是你没法对下面这个整数进行因数分解。
它等于这样两个质数的乘积：
　　　　×
事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）。比它更大的因数分解，还没有被报道过，因此目前被破解的最长RSA密钥就是768位。
八、加密和解密
有了公钥和密钥，就能进行加密和解密了。
（1）加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m，他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意，m必须是整数（字符串可以取ascii值或unicode值），且m必须小于n。
所谓"加密"，就是算出下式的c：
　　me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17)，鲍勃的m假设是65，那么可以算出下面的等式：
　　6517 ≡ 2790 (mod 3233)
于是，c等于2790，鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
（2）解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后，就用自己的私钥() 进行解密。可以证明，下面的等式一定成立：
　　cd ≡ m (mod n)
也就是说，c的d次方除以n的余数为m。现在，c等于2790，私钥是()，那么，爱丽丝算出
　　27902753 ≡ 65 (mod 3233)
因此，爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此，"加密--解密"的整个过程全部完成。
我们可以看到，如果不知道d，就没有办法从c求出m。而前面已经说过，要知道d就必须分解n，这是极难做到的，所以RSA算法保证了通信安全。
你可能会问，公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m，那么如果要加密大于n的整数，该怎么办？有两种解决方法：一种是把长信息分割成若干段短消息，每段分别加密；另一种是先选择一种"对称性加密算法"（比如），用这种算法的密钥加密信息，再用RSA公钥加密DES密钥。
九、私钥解密的证明
最后，我们来证明，为什么用私钥解密，一定可以正确地得到m。也就是证明下面这个式子：
　　cd ≡ m (mod n)
因为，根据加密规则
　　ｍe ≡ c (mod n)
于是，c可以写成下面的形式：
　　c = me - kn
将c代入要我们要证明的那个解密规则：
　　(me - kn)d ≡ m (mod n)
它等同于求证
　　med ≡ m (mod n)
　　ed ≡ 1 (mod φ(n))
　　ed = hφ(n)+1
将ed代入：
　　mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下来，分成两种情况证明上面这个式子。
（1）m与n互质。
根据欧拉定理，此时
　　mφ(n) ≡ 1 (mod n)
　　(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)
原式得到证明。
（2）m与n不是互质关系。
此时，由于n等于质数p和q的乘积，所以m必然等于kp或kq。
以 m = kp为例，考虑到这时k与q必然互质，则根据欧拉定理，下面的式子成立：
　　(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)
进一步得到
　　[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
　　(kp)ed ≡ kp (mod q)
将它改写成下面的等式
　　(kp)ed = tq + kp
这时t必然能被p整除，即 t=t'p
　　(kp)ed = t'pq + kp
因为 m=kp，n=pq，所以
　　med ≡ m (mod n)
原式得到证明。
学习编程其实就是学高级语言，即那些为人类设计的计算机语言。
去年，比特币暴涨，其他币也像雨后春笋一样冒出来，已经有1000多种了。
比特币（bitcoin）诞生于2008年的一篇论文。
区块链（blockchain）是眼下的大热门，新闻媒体大量报道，宣称它将创造未来。1^k+2^k+3^k+...+n^k的计算公式?
　　解答：
　　因为1^k，2^k，3^k，...，n^k是k阶等差数列，故
不妨设1^k+2^k+3^k+...+n^k
=a0(k)+a1(k)*n+a2(k)*n^2+...+ak+1(k+1)n^(k+1)
经计算可得：
a0(k)=0
ai(k)=P(k+1,k)，i=1,…,k-1
ak(k)=12
ak+1(k+1)=1k
其中
P(i,i)=1k，i=1,…,k+1
P(i,j)=-(1i)(∑(n=j,…,i-1)相关信息(i,n-1)P(n,j)，ij
C(m,n)为m个不同数中取n个数的组合数=m!(n!(m-n)!)
[例]当k=1,…,7时,由上面公式不难得出：
1^1+2^1+3^1+......+n^1
=(12)n^2+(12)n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=(13)n^3+(12)n^2+(16)n
1^3+2^3+3^3+......+n^3
=(14)n^4+(12)n^3+(14)n^2
1^4+2^4+3^4+......+n^4
=(15)n^5+(12)n^4+(13)n^3-(130...
　　解答：
　　因为1^k，2^k，3^k，...，n^k是k阶等差数列，故
不妨设1^k+2^k+3^k+...+n^k
=a0(k)+a1(k)*n+a2(k)*n^2+...+ak+1(k+1)n^(k+1)
经计算可得：
a0(k)=0
ai(k)=P(k+1,k)，i=1,…,k-1
ak(k)=12
ak+1(k+1)=1k
其中
P(i,i)=1k，i=1,…,k+1
P(i,j)=-(1i)(∑(n=j,…,i-1)相关信息(i,n-1)P(n,j)，ij
C(m,n)为m个不同数中取n个数的组合数=m!(n!(m-n)!)
[例]当k=1,…,7时,由上面公式不难得出：
1^1+2^1+3^1+......+n^1
=(12)n^2+(12)n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=(13)n^3+(12)n^2+(16)n
1^3+2^3+3^3+......+n^3
=(14)n^4+(12)n^3+(14)n^2
1^4+2^4+3^4+......+n^4
=(15)n^5+(12)n^4+(13)n^3-(130)n
1^5+2^5+3^5+......+n^5
=(16)n^6+(12)n^5+(512)n^4-(112)n^2
1^6+2^6+3^6+......+n^6
=(17)n^7+(12)n^6+(12)n^5-(16)n^3+(142)n
1^7+2^7+3^7+......+n^7
=(18)n^8+(12)n^7+(712)n^6-(724)n^4+(112)n^2
其他答案（共8个回答）
家贝努力和雅可比发现的）。
楼上有用数学归纳法证明的。但是我们要先知道结果才能用归纳法的。那么直接怎么推导呢？最常见的办法是利用二项式定理展开来做。
例如求s=1^2+2^2+3^2+……n^2
因为(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1，所以
（x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1
这个问题我已经回答过了。
首先肯定一点，通项公式确实存在，而且很早就被发现了（数学家贝努力和雅可比发现的）。
楼上有用数学归纳法证明的。但是我们要先知道结果才能用归纳法的。那么直接怎么推导呢？最常见的办法是利用二项式定理展开来做。
例如求s=1^2+2^2+3^2+……n^2
因为(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1，所以
（x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1
分别令x=1,2,……,n然后把这n个等式左右分别相加可得
(n+1)^3-1=3S+3(1+2+^+n)+n=3S+3n(n+1)2+n
将上式看成关于未知数S的方程，解出S=n(n+1)(2n+1)6
继续用四次方展开可以求出立方和、接下来求四次方和等等。
这是初等方法，其实学了级数以后没这么麻烦，这种级数有求和公式的，先介绍一下贝努力数Bn，由关系B0=1,∑C(n,k)Bk=Bn(n≥2）,K从0到n 所确定的数列称为贝努力数Bn。简单计算有B0=1,B1=-12,B2=16，B3=0，……
接下来就可以求自然数的幂级数和了。
自然数的m次幂求和公式为：
Sm(n)=1^m+2^m+3^m+……+(n-1)^m
=[1(m+1)]*∑C(m+1,k)*Bk*n^(m+1-k)，Bk为贝努力数,k从0加到m。 其推导需要用到级数展开式，等楼主上大学了才会学到。写出来估计要几大篇。这里省略。讲一下应用，
举例：因为B0=1,B1=-12,B2=16，B3=0，……
所以S2(n)=1^2+2^2+……+(n-1)^2
=(13)[C(3,0)B0*n^3+C(3,1)B1*n^2+C(3,2)B2*n^1]
=(13)(n^3-1.5n^2+0.5n)
=(16)(2n^3-3n^2+n)
=n(n-1)(2n-1)6
把n用n+1取代，则得平方和公式
1^2+2^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)6。
有了这个公式，随便楼主求几次方都行。不必麻烦地一一递推。
祝楼主学业进步！
参考文献：版权所有，复制必究！
通式是没有的！
但是，可以利用已知的1到n次平方的公式来推算(n+1)次公式
下面是我以前的一个答案，供参考！
正整数的N次方和公式.
1的平方+2的平方+...+N的平方=n(n+1)(2n+1)6
1的三次方+2的三次方+...+N的三次方=n^2(n+1)^24
1的四次方+2的四次方+...+N的四次方=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)30
1的五次方+2的五次方+...+N的五次方=n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)12
1的K次方+2的K次方+...+N的K次方 (只要你会推算，又肯花费大量时间，K值是可以不断推进的！)
数列求和常用公式
数列求和常用公式1。 1+2+3+......+n=n(n+1)2
2。 1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)6
3。 1^3+2^3+3^3+......+n^3=( 1+2+3+......+n)^2=n^2*(n+1)^24
4。 1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
5。 1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4
6。 1+3+6+10+15+......
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+......+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]2
=n(n+1)(n+2)6
7。1+2+4+7+11+......+ n
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+......+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+......+n(n+1)]2
=(n+1)+n(n+1)(n+2)6
8。12+12*3+13*4+......+1n(n+1)
=1-1(n+1)=n(n+1)
9。1(1+2)+1(1+2+3)+1(1+2+3+4)+......+1(1+2+3+...+n)
22*3+23*4+24*5+......+2n(n+1)=(n-1)(n+1)
10。11*2+22*3+32*3*4+......+(n-1)2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n-1)2*3*4*...*n
11。1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1)3
12。1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13。1^4+2^4+3^4+..........+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)30
14。1^5+2^5+3^5+..........+n^5=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) 12
15。1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1
这个通项公式是一个非常特别的
1^k+2^k+...+n^k=((n+1+p)^(k+1)-p^(k+1))(k+1)
我们先要求一个数字p,p满足以下规则
(1+p)^(k+1)-p^(k+1)=0这个里面首先要展开,展开后对于p,p^2 p^3等,我们要当成一个整体对待,比如
(1+p)^2-p^2=0
1+2p=0 p=-12
(1+p)^3-p^3=0
1+3p+3p^2=0
其中p=-12,代入
也就是说,p p^2 p^3这些数字之间相对独立
我们来看看k=1的时候我们计算的通项
1+2+..+n=((n+1+p)^2-p^2)2=((n+1)^2+2(n+1)p)2
=((n+1)^2-(n+1))2=n(n+1)2
我们来看k=2的时候
p=-12 p^2=16前面已经计算了,不再重复
1^2+2^2+....+n^2=((n+1+p)^3-n^3)3
=((n+1)^3+3(n+1)^2*p+3(n+1)p^2)3
=((n+1)^3-3(n+1)^22+3*(n+1)6)3
=(n+1)((2(n+1)^2-3(n+1)+1)6
=(n+1)((2n^2+4n+2-3n-3+1)6
=(n+1)(2n^2+n)6=n(n+1)(2n+1)6
举两个例子告诉大家怎么计算,其他的推导还是让自己完成吧
答: 无限极害了多少家庭
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
答: 第一个华罗庚
第二个陈景润
答: 对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评
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这个不是我熟悉的地区由公式的的式子相加推导出的公式.结合抛物线和中推导出的公式求出的值;当取到无穷无尽时,取极值,求得三角形的面积.
,当式中的从,,,依次取到时,就可得下列个等式:,,,,,将这个等式的左右两边分别相加得:,即.先求得,两点的坐标分别为,,点,,,,,,,的横坐标分别为,,,,,点,,,,,,,的纵坐标分别为,,,.,,,,;.(分)当时,;;当取到无穷无尽时,上式的值等于,即所有三角形的面积和等于.(分)
本题通过推导公式考查了二次函数图象上点的坐标特征,题目新颖,较有一定的难度.
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求解答 学习搜索引擎 | 观察下列各个等式:{{1}^{2}}=1,{{1}^{2}}+{{2}^{2}}=5,{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}=14,{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}=30,....(1)你能从中推导出计算{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+...+{{n}^{2}}的公式吗?请写出你的推导过程;(2)请你用(1)中推导出的公式来解决下列问题:已知:如图,抛物线y=-{{x}^{2}}+2x+3与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,将线段OAn等分,分点从左到右依次为{{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}},...,{{A}_{n-1}},分别过这n-1个点作x轴的垂线依次交抛物线于点{{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}},{{B}_{4}},{{B}_{5}},{{B}_{6}},...,{{B}_{n-1}},设\Delta OB{{A}_{1}},\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{A}_{2}},\Delta {{A}_{2}}{{B}_{2}}{{A}_{3}},\Delta {{A}_{3}}{{B}_{3}}{{A}_{4}},...,\Delta {{A}_{n-1}}{{B}_{n-1}}A的面积依次为{{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}},{{S}_{4}},...,Sn.\textcircled{1}当n=2010时,求{{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+{{S}_{4}}+{{S}_{5}}+...+{{S}_{2010}}的值;\textcircled{2}试探究:当n取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?为什么?已解决问题
1+4+9+16+25+36+49+....n^2 计算过程.？请帮忙
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平方和公式n(n+1)(2n+1)/6&&即1^2+2^2+3^2+&+n^2=n(n+1)(2n+1)/6&&(注：N^2=N的平方)证明1＋4＋9＋&＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6&证法一（归纳猜想法）：&&1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2&1＋1）/6＝1&&&2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2&2＋1）/6＝5&&&3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋&＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6&&&&&&则当N＝x＋1时，&&&&&&1＋4＋9＋&＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2&&&&&&＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6&&&&&&＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6&&&&&&＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6&&&&&&＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6&&&&&&也满足公式&&&4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+&+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。&证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,&n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1&..............................&3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1&2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.&把这n个等式两端分别相加，得：&(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,&由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,&代人上式得：&n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n&整理后得：&1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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